文档文本内容
第 02 讲 导数与函数的单调性
目 录
模拟·基础演练................................................................................................2
题型01 求不含参函数的单调区间.........................................................................................................2
题型02 函数图象与导函数图象的关系.................................................................................................7
题型03 已知函数在区间上单调求参数 ........................................................................................11
题型04 已知函数在区间上存在单调或不单调求参数.......................................................................14
题型05 利用单调性比较大小...............................................................................................................17
题型06 利用单调性解不等式 .......................................................................................................21
题型07 含参单调性讨论（一次型）...................................................................................................24
题型08 含参单调性讨论（二次型可因式分解） ........................................................................29
题型09 含参单调性讨论（二次型不可因式分解） ....................................................................34
重难·创新演练..............................................................................................40
真题·实战演练................................................................................................46
模拟·基础演练
考查重点：涵盖不含参函数单调区间、函数与导函数图像互化、已知单调/存在单调求参、利用单
调性比较大小和解不等式，以及一次型、可因式分解、不可因式分解三类含参讨论，全面考查求导
运算、分类讨论、数形结合与转化思想，是导数应用的核心基础题型。
题型01 求不含参函数的单调区间1．函数 的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意得函数 的定义域为 ，
则 ，令 ，解得 ，
当 时， ，
所以函数 的单调递增区间是 ，
2．已知函数 .
(1)若 ，求函数 的单调区间；
(2)若 在 上恒成立，求 的取值范围．
【答案】(1)单调递减区间为 ，单调递增区间为
(2)
【分析】
【详解】（1）当 时， ，
则 ．
令 ，即 ，解得 ．
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增．
单调递减区间为 ，单调递增区间为 ．（2） ．
设 ，
则 在 恒成立等价于 在 恒成立．
，
又 ， ， ，当且仅当 时等号成立，
当 时， ．
①当 ，即 时， ，
在 上单调递增，又 ，
，满足 在 上恒成立．
②当 ，即 时，
令 ，则 ．
， ， ，
则 ， 在 上单调递增.
又 ，当 时， ，
存在 ，使得 ，即 ，
当 时， ， 单调递减，则 ，
不满足 在 上恒成立．
综上，a的取值范围为 ．
3．已知函数 .(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2)当 时，求证： .
【答案】(1)单调递减区间为 ，单调递增区间为 ；
(2)见解析.
【分析】
【详解】（1）当 时， ，定义域为 ，
，令 ，
则 ，故 即 在 上单调递增，
又 时， 时，
函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ；
（2）证明：当 时， ，
令 ，则 ，
令 ， ，
在 单调递增，又 ，
，使得 ，且是 在 上的唯一零点，
在 上为负，在 上为正，
故 在 处取到极小值，也就是最小值.
，即 ， ，
，当 时， .
4．已知函数
(1)若 ，求函数 的单调区间；
(2)若对任意 ，恒有 成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1)单调递增区间为 ，无单调递减区间
(2)
【分析】
【详解】（1）解：当 时，函数 ，且 ，
可得 ，
当 时， ，可得 ；
当 时， ，可得 ，
当 时， ，
综上可得，当 时， 恒成立，
所以 在区间 上单调递增，无单调递减区间.
（2）解：函数 ，定义域为 ，
若对于任意 时， 恒成立，即 ，
可得 在 上恒成立，
令 ，可得 ，
当 时，由 ，可得 ，当 时，可得 ，
当 时，由 ，可得 ，
综上，当 时， ，所以 在 上单调递减，
当 时，由 ，此时 ，所以
因为 在 上恒成立，即 ，所以 ，
经验证：
当 时， ，可得 ，
当 时，由 ，可得 ， 单调递减；
当 时，由 ，可得 ， 单调递增，
所以 在 处取得最小值，且 ，
此时对于任意 ， ，满足题意；
当 时，当 时， ，
则存在充分接近 的 ，使得 ，即 ，
即 ，此时不满足 恒成立，
综上可得，实数 的取值范围为 .
5．已知函数 .
(1)讨论 在 上的单调性；
(2)已知 为 的导数，若两个不相等的实数 满足 ，求证：.
【答案】(1) 在 上单调递增
(2)证明见解析
【分析】
【详解】（1）求导可得
（a）当 时， ，则 ， 在 单调递增
（b）当 时， ，则 ， 在 单调递增
（c）当 时，设 ，
则 ，由于 均在 上单调递增，故 在 上单调递增，
，
则存在 使得 满足
则 ， 单调递减，则 ， 单调递增，
，
所以 ，则 ， 在 单调递增；
综上所述： 在 上单调递增.
（2）由题意可得
不妨设 ，则先证明当 时，有 ，设 ，
则 ，所以 在 单调递减，
＝0，即当 ，有 ，
于是有
所以 ，故有 ，又 ，且 不能同时取到等号，
故 ，从而 .
题型02 函数图象与导函数图象的关系
6．函数 的图象如图所示，则 的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D【详解】当 时，曲线的切线斜率大于0且越来越大，当 时，曲线的切线斜率小于0且越来越大.
故选：D
7．已知定义在 上的函数 的大致图像如图所示， 是 的导函数，则不等式 的
解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】若 ，则 单调递减，图像可知， ，
若 ，则 单调递增，由图像可知 ，
故不等式 的解集为 ．
故选：C
8．已知函数 的导函数 的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【详解】 ，
如图：因为 的图象是开口向上的抛物线，所以 ；
应为函数图象关于 轴对称，即 为偶函数，所以 ；
因为 有两根且互为相反数，所以 .
综上： .
故选：B．
9．已知在同一平面直角坐标系中，函数 及其导函数 的部分图象如图所示，则（ ）
A．函数 在区间 上单调递增
B．函数 在区间 上单调递减
C．函数 在区间 上单调递增
D．函数 在区间 上单调递减
【答案】C
【详解】如图，不妨令上面的曲线为 ， 与 的轴交点横坐标分别为 ， ，
下面的曲线为 ， 与 的轴交点横坐标为 ，
由 的图象可知，当 时函数值小于 ，当 时函数值大于 ，且 的图象从左至右呈上升趋势；由 的图象可知，当 时函数值小于 ，当 或 时函数值大于 ，且 的图象从左至右
呈先下降，后上升趋势；
又这两个函数图象为函数 及其导函数 的图象，
所以 对应的是 ， 对应的是 ；
所以当 时 ， 单调递减，且 ，
当 时 ， 单调递增，且当 时 ，当 时 ；
对于A、B：由 ，所以 ，
显然 ，当 时 ，所以 ，则 在 上单调递减，
当 时 ，所以 ，则 在 上单调递增，故A、B错误；
对于C、D： ，则 ，
显然 ，且当 时 ，即 ，
所以 ，所以 在区间 上单调递增，故C正确，D错误.
故选：C
10．设函数 的导函数为 ，若 的图象如图所示，则 的解集为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【详解】根据图象由函数 的单调性知：当 时， ；当 时， ；
又因为 时， ；当 时， ，当 时， ，
所以可知 的解集为 ．
故选：D.
题型03 已知函数在区间上单调求参数
11．已知函数 在区间 上单调递增，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由 ，得 在区间 上恒成立，
设 ， 在区间 上恒成立，所以 在区间 上单调递增，
所以 ，则 ，即 ，则 的取值范围是 .
12．已知函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】 ， ，因为 在 上单调递增，所以 在 上恒成立，
即： ，即 ，
因为 时 ，所以 ，
令 ，则只需 （ ），
，
当 时， ， 在 上单调递增，
当 时， ， 在 上单调递减，
所以 在 处取得唯一极大值，也是区间 上的最大值，
且 ，则 .
则实数 的取值范围是 .
13．已知函数 是 上的增函数，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由 ，得 ，
所以 ，
因为 是 上的增函数，则 恒成立，
即 恒成立，
当 时， ，此时 不恒成立，不满足题意；当 时，等价于 对 恒成立，
则 ，即 ，则 ，
设 ，则 ，
令 ，得 ；令 ，得 ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
则 ，即 的最小值是 .
故选：B.
14．已知函数 在区间 上单调，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】函数 ，求导得 ，
由函数 在区间 上单调，得 ， 或 ，
① ， ，令函数 ，
求导得 ，函数 在 上单调递减，
于是 ，因此 ；
② ， ，由①得 ，
所以 的取值范围为 .
故选：B15．已知函数 ．
(1)若 为增函数，求实数a的取值范围；
(2)证明：函数 有且仅有一个零点．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】
【详解】（1）由题设 ，
若 为增函数，则 ， ，
即 对任意 恒成立，即 恒成立．
令 ， ，
令 ，得 ，
当 时， ， 在 上单调递减；
当 时， ， 在 上单调递增，
所以 ，即 的取值范围是 ；
（2）令 ，可得 ，令 ，
所以 ，
设 且 ，则 ，
当 时 ，当 时 ，所以 在区间 单调递减，在区间 单调递增，
所以 ，
所以 ， 在 上单调递增，
取 ，且 ，则 ，
取 ，且 ，则 ，
所以 在区间 存在唯一零点，
所以 有且仅有一个零点.
题型04 已知函数在区间上存在单调或不单调求参数
16．若函数 存在单调递减区间，则实数 的取值范围是_________.
【答案】
【详解】法一： ，
由题意可知 在 上有解，即 有正实数解，
当 时，显然满足要求，
当 时，只需满足 ，即 ，
综上： 的取值范围为 .
故答案为： .
法二： ，
由题意可知 在 上有解，
即 在 上有解，即 在 上有解，所以 ，则 的取值范围为 .
故答案为： .
17．函数 在区间 上不单调，则实数 k的取值范围是______.
【答案】
【详解】函数求导 ，
因为在区间 上不单调，所以 在区间 内有零点.
又因为 为偶函数，所以 在 上最多只有1个根.
，因为 ， ，
所以 .
故答案为：
18．若函数 在定义域 上不单调，则正整数 的最小值是______．
【答案】3
【详解】解：因为函数 ，
所以 ，
令 ，得 ，
因为 ，且 ，
所以 ，
当 时， ，则 单调递增，
当 时，当 时， ；当 时， ，
所以 不单调递增，
所以正整数 的最小值是3，
故答案为：3
19．已知函数 ，其中 ．
(1)当 时，求 在 处的切线方程；
(2)若函数 存在单调递增区间，求实数 的取值范围；
(3)若 R，对任意的 恒成立，求 的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】
【详解】（1）当 时， ，函数定义域为
故 ，
又 ，所以切线方程为 .
（2）由题意得
若 不存在单调增区间，则 恒成立，即 恒成立，
令 ，
当 时 ，当 时所以 在 单调递减，在 单调递增，
所以 ，所以 即
因此所求实数 的取值范围为 .
（3）由（2）知
所以 在 单调递减，又 ， ，
所以必存在正数 ，使得 ，即
由（2）知当 时， 即 ，当 时， 即 ，
当 时， 即 ，
由上可知 在 单调递增，在 单调递减，
所以 ，
所以 ，即 ，
令
因为
当 时， 单调递减，当 时， 单调递增，
所以 ，
所以 的最小值为20．已知 函数
(1)若 求 的单调区间;
(2)若 在 上不单调，求 的取值范围.
【答案】(1)上单调递增区间为 单调递减区间为
(2)
【分析】
【详解】（1） 的定义域为 ，
，
令 或 ， 或 ，
在 上单调递增，在 上单调递减.
（2） ，
设 ，
注意到 ，要使 在 上不单调，
只需满足 ，解得 ，
即实数 的取值范围为 .
题型05 利用单调性比较大小21．设 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设函数 ，求导可得 ，
当 时， ， 在 上单调递增，
所以 ，即 ，
令 ，代入可得 ，即 ，
设函数 ，求导可得 ，
当 时， ， 在 上单调递增，
所以 ，即 ，
令 ，代入可得 ，即 ，
所以 的大小关系为 .
22．已知 ， ， ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意设函数 ，
则 ， ， ，
又因为 （ ），
令 ，得 ，所以当 时， ， 单调递减，
又因为 ，且都在递减区间，
所以 ，即 .
23．已知函数 ，若 ，则 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】因为 ，所以 为偶函数，
当 时，则 ，所以 .
令 ，则 ，
令 ，解得 ；令 0，解得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，可得 ，即
在 上恒成立，故 在 上单调递增.
令 ，则 ，所以当 时， ，函数 单调递减，当 时，
，函数 单调递增，
又 ，所以 ，即 ，
所以 ，所以 ，即 .
故选：D.24．已知定义在R上的函数 ，设 ， ，
，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】令 ，因为 ，
所以 为偶函数．
，
因为当 时， ， ，此时 ，
所以 在 上单调递增．
因为 ， ，
，
因为 ， ， ，
所以 ，所以 ，
即 ．
故选：A．
25．已知 ，试比较 的大小关系（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】设 ，当 时， ， 单调递减，
所以有 ，
因为 ，
所以 ，
设 ，
设 ，
当 时， ，函数 单调递减，
因为 ，
所以 ，
因为函数 是正实数集上的增函数，
故 ，
即 ，所以 ，
故选：C
【点睛】关键点睛：根据所给指数的底数和指数的形式，构造函数，利用导数的性质是解题的关键.
题型06 利用单调性解不等式
26．已知函数 ，则满足 的实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【详解】当 时， ，
令 ，则 恒成立，
故 在 上单调递增，则 ，
则 在 上单调递减，则 ，
又当 时， ，
则有 ，解得 ，
故满足 的实数 的取值范围是 .
27．已知函数 ，若对 ， ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为函数 的定义域为 ，
，
所以 为偶函数，又 ，
令 ，则 .
因为 ， ，
所以 ，所以 在 上单调递增.
又 ，所以当 时， ，即 在 上单调递增.
又函数 为偶函数，所以 在 上单调递减，所以不等式 等价于 ，
即 .
又 ，所以 ，
即 ， ，
由 ，得 ，即 ；
由 ，得 ，即 .
综上， ，
所以 的取值范围为 .
28．已知函数 ，则满足 的 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由题意知 在 上单调递增，
的导函数 ，当且仅当 时，等号成立，
所以 在 上单调递增，
因此 在 上单调递增，
又 ，所以 的图象关于点 中心对称，
若 ，则 ，即 ，解得 ，
故选：C29．设函数 ，则满足 的实数 的取值范围是_____________．
【答案】
【详解】因为
所以
由于 ，则 恒成立，因此：
当 时， ，故 ， 在 上单调递减，
当 时， ，故 ， 在 上单调递增，
函数在 处取得最小值，图象关于直线 对称，且开口向上，
由函数性质可知：若 ，则 ，
令 ， ，代入得： ，
即： ，所以 ，
化简得 ，所以 .
所以 的取值范围为 .
30．已知函数 ，若对任意 ， ，则实数 的取值范
围为______.
【答案】【详解】设 ， ，
由 知函数 是奇函数，
∵
∴ 可化为
∴
又
所以 在 上单调递增，
∴ 在 上恒成立，
∴ 在 上恒成立，
令 ， ，则
所以 在 上递减，在 上递增，所以
所以 .
故答案为：
题型07 含参单调性讨论（一次型）
31．已知
(1)设函数 ，讨论函数 的单调性；
(2)当 时， ，求实数 的取值范围．
【答案】(1)当 时， 在 单调递增；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增．(2)
【分析】
【详解】（1） ， 的定义域为 ， ，
当 时， ， 在 单调递增；
当 时，令 ，则 ；令 ，则 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增．
（2）原不等式等价于 ，
①当 时，当 时， ， ，
所以 ，不合题意；
②当 时，原不等式等价于 ，
等价于
令
则 ，令 ， ，
注意到： ， ，
当 时， ， 在 单调递减，
所以 ，
所以 在 单调递增，所以 ，不合题意；
当 时， ， ，所以 在 单调递减，所以 ，符合题意；
当 时， ，所以 在 单调递增，
所以 ，
所以 在 单调递减，所以 ，符合题意；
当 时，令 ，则 ，
所以 ，所以 在 单调递减，
所以 ，所以 在 单调递增，
所以 ，不合题意．
综上所述，
32．已知函数 ， ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】(1)当 时， 在 上单调递减；当 时， 在 上单调递减；在
上单调递增
(2)
【分析】
【详解】（1）由题意得 ，
当 时， ， 在 上单调递减，当 时，令 ， ， 是增函数，
当 时， ， 在 上单调递减；
当 时， ， 在 上单调递增.
综上，当 时， 在 上单调递减；当 时， 在 上单调递减；在
上单调递增.
（2）当 时，由（1）知 在 上单调递减，不合题意，
当 时， 恒成立，
当 时，由（1）知 在 上单调递减；在 上单调递增，
，
即 ，解得 ，
综上，实数m的取值范围为 .
33．已知函数 ， .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)设函数 ，求函数 的极值点的个数；
(3)若存在 ，且 ， ，证明： .
【答案】(1)见解析
(2)1
(3)见解析
【分析】
【详解】（1）解：定义域为 ，
，当 时， 恒成立，
当 时， 时， ， 时， ，
综上：当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减， 上单调递增；
（2）因为 ，
所以 ，
由 ，得 ，所以 在 上单调递增，
又 ，所以 时， 时， ，
又 恒成立，
所以当 时， 在 上单调递增，
当 时， 在 上单调递减，
故 存在唯一的极小值点 ，即 极值点的个数为 ；
（3）由题得 ，
即 ，
由(2)知， 在 上单调递增，
不妨设 ，则 ，即 ，
所以 ，
即 ，
下面证明 ，即证明 ，
令 ，即证 ，即证 ，
令 ，
则 ，
所以 在 上单调递减，
即 ，即 ，
所以 ，即 ，
所以 ．
34．已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若 有极小值，且极小值大于 ，求 的取值范围．
【答案】(1)分类讨论，答案见解析；
(2)
【分析】
【详解】（1） 的定义域为 ．
① 时， ，此时 在 上单调递减；
② 时，令 得 ，令 得 ，
此时 在 上单调递减，在 上单调递增．（2）由（1）知 时， ，整理得 ．
令 ，则 ，当且仅当 即 时取等号，
故 在 上单调递增，又 ，所以 的取值范围为 ．
35．已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在 处的切线方程；
(2)讨论函数 的单调性.
(3)若 存在极大值，且极大值不大于 ，求实数 的取值范围.
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)
【分析】
【详解】（1）当 时， ， ，
则 ， ，所以切线方程为 ，化简得 .
（2）由 可得 ，则 ，即函数定义域为 ，
当 时， 恒成立，所以 在 上单调递增.
当 时，令 ，即 ，解得 ，因为定义域为 ，
所以 ，由 ，可得 ,
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，综上所述：
当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 上单调递增，在 上单
调递减.
（3）由（2）可知当 时函数无极值点，当 时函数在 处有极大值，
可得 ，代入得 ，化简得 ，
令 ，则 ，
因为 ，所以 ， 在 上单调递增，
因为 ，所以 解得 ，
所以实数 的取值范围是 .
题型08 含参单调性讨论（二次型可因式分解）
36．已知函数
(1)若 ，求曲线 在点 处的切线方程;
(2)讨论 的单调性;
(3)若 ，求正数a的取值范围.
【答案】(1)
(2)当 时： 在 上单调递减；在 上单调递增；当 时： 在 上单调
递减；在 上单调递增；当 时： 在 上单调递增。当 时： 在
上单调递减；在 上单调递增；(3)
【分析】
【详解】（1）由 解得 ，
则 ，求导得： ，
则 ，由点斜式得切线方程： ，
整理得： ；
（2）求导得： ，
当 时：
由 ，解得 ，由 ，解得 ，
所以 在 上单调递减；在 上单调递增；
当 ，即 时：
由 ，解得 ，由 ，解得 ，
所以 在 上单调递减；在 上单调递增；
当 时： ，故 在 上单调递增。
当 时：
由 ，解得 ，由 ，解得 ，
所以 在 上单调递减；在 上单调递增；
（3）已知 ，由(2)结论： 在 上单调递减；在 上单调递增；
故 最小值为 ，要使 恒成立，只需 ，
则 ，解得 ,即正数a的取值范围是 .
37．已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)讨论 的单调性；
(3)若 有极小值，且 ，求a的取值范围.
【答案】(1)
(2)当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增
(3)
【分析】
【详解】（1）当 时， ，所以
所以切线方程为 即 ，
（2） ，
若 ，可得 时， ，所以 在 上单调递增；
若 时，当 时， ，所以 在 上单调递减；
当 时， ，所以 在 上单调递增；
综上所述：当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增.
（3）由（2）可知当 时， 有极小值，极小值为 ，此时极小值也是最小值，由 ，可得 ， ，
又 ，所以
令 ，求导得 ，
所以 在 上单调递减，又 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 时， ，此时满足 ，
所以a的取值范围
38．已知函数 ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)设 （ 为自然对数的底数），当 时，对任意 ，存在
，使 ，求实数 的取值范围．
【答案】(1)当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增.
(2)
【分析】
【详解】（1）由 ， ，
则 ，
①当 时，令 ，得 ，令 ，得 ，所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增；
②当 时，令 ，得 ，令 ，得 ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增.
综上所述：当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增.
（2）当 时， ，
由（1）知，函数 在 上单调递减，
而 ， ，则 时， ，
对任意 ，存在 ，使 ，
即等价于 恒成立，即 ，
所以 对任意 恒成立．
设 ， ，则 ，
令 ，得 ，令 ，得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，则 ，即实数 的取值范围为 ．
39．已知 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)当 时， 在 最大值为10，最小值为0，求此时a，b的值．【答案】(1)当 时，函数 在 上单调递增，在 上单调递减；
当 时，函数 在 和 上单调递增，在 上单调递减；
当 时，函数 在 上单调递增，在 和 上单调递减
(2)
【分析】
【详解】（1） ，
当 时，令 ，所以函数 在 上单调递增，
令 ，所以函数 在 上单调递减；
当 时，令 ，或 ，所以函数 在 和 上单调递增，
令 ，所以函数 在 上单调递减；
当 时，令 ，所以函数 在 上单调递增；
令 ，或 ，所以函数 在 和 上单调递减，
综上所述：当 时，函数 在 上单调递增，在 上单调递减；
当 时，函数 在 和 上单调递增，在 上单调递减；
当 时，函数 在 上单调递增，在 和 上单调递减；
（2）由（1）可知：当 时，函数 在 上单调递增，所以当 时，函数 单调递增，
所以有 ，解得 .
题型09 含参单调性讨论（二次型不可因式分解）
40．已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)若 在 处取得极值，且关于 的方程 在区间 上有两个不同的实数根，求实数 的
取值范围.
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】
【详解】（1） ，
当 ，即 时， 恒成立，此时 在 单调递增，
当 ，即 时， ，得 或 ，
，解得 或 ，
，解得 ，
所以函数的单调递增区间是 和 ，
单调递减区间是 ，
综上可知，当 时，函数 在 单调递增，
当 时，函数的单调递增区间是 和 ，单调递减区间是，
（2）由条件可知 ，得 ，
当 时， ，得 或
当 或 时， ，当 时， ，
当 的单调性如下表，
3
单调递减 单调递增
若方程 在区间 上有两个不同的实数根，
则 与 在区间 有2个交点，所以 .
41．已知函数 ， ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若函数 在定义域内单调递减，并且对任意正数 都有 ，求实数 的取
值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】
【详解】（1） ，
①当 时， 恒成立，故 在 上递增；②当 时， 在 上递增， 在 上递减；
③当 时， 在 上递减．
（2）因为 在定义域内单调递减，所以 ．
不妨设 ，那么有 ，
于是不等式 等价于 ， ，
设 ，则 ，即 在 上递
减，
故 对 恒成立，也即 对 恒成立，
令 ，则 ，故 ，
当且仅当 时取等号，则 ，
所以实数 的取值范围为 .
42．已知函数 ， .
(1)若曲线 在点 处的切线与直线 平行，求 的值；
(2)讨论 的单调性；
(3)若 存在两个极值点 ，且 ，求 的取值范围.
【答案】(1)
(2)当 时，函数 在 上单调递减，在 上单调递增；当 时，函数 在 上单
调递减；当 时，函数 在 上单调递增，在 和上单调递减；当 时，函数 在 上单调递增，在 上
单调递减.
(3)
【分析】
【详解】（1）由 求导得 ，
依题意， ，解得
（2）因函数 的定义域为 ，
，
当 时， ，当 时， ，当 时， ，
即此时函数 在 上单调递减，在 上单调递增；
当 时，若 ， 恒成立，则 ，即函数 在 上单调递减；
若 ，由 解得 ，
由 可得 ，由 可得 或 ，
即函数 在 上单调递增，在 和 上单调递减；
当 时，由 可得 ，由 可得 ，
即函数 在 上单调递增，在 上单调递减.
综上，当 时，函数 在 上单调递减，在 上单调递增；
当 时，函数 在 上单调递减；当 时，函数 在 上单调递增，在 和 上
单调递减；
当 时，函数 在 上单调递增，在 上单调递减.
（3）由（2）分析可知， 存在两个极值点 ，则
此时 是方程 的两个实根，则 .
由
，
设 ，则 ，将 代入 ，化简得 ， ，
则 ， ，
设 ，则 ，故函数 在 上单调递增，
由题意， ，且 ，即有 ，故可得 ，
又因 ，函数 在 上单调递增，故 ，
又因 ，故得 .
43．已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)求证： .
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析【分析】
【详解】（1） ， ，
对于方程 ，
当 ，即 时， ，
函数 在 上单调递减；
当 ，即 时，方程 有两个不相等的实数根，
，且 ，
当 或 时， ；当 时， ，
即函数 在 上单调递减，在 上单调递增.
综上所述，当 时，函数 的单调递减区间为 ，无单调递增区间；
当 时，函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ，
.
（2）由（2）知，当 时，函数 在 上单调递减，
又 ， 当 时， ，即当 时， .
， ，
即 ， 当 时， ，
当 时， ，当 时， ，
当 时， ，
累加可得， ，即 ，
所以 .
44．已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若 存在两个极值点 ， ，且 ，求 的最大值．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】
【详解】（1）函数 的定义域为 ，
，
令 ， ，
①当 时， ， ，
所以函数 在 上单调递减．
②当 时， ， ，
所以函数 在 ， 上单调递减，
在 上单调递增．
（2）由（1）可知当 时，函数 存在两个极值点 ， ，且满足 ， ，
所以
，
令 ，所以 ，
，所以 在 单调递增，
，所以 的最大值为 ．
重难·创新演练
设题创新:有些题目依托各种新定义包装单调性问题，创新考查构造函数、图像转化、存在性与恒
成立结合、奇偶性+单调性综合判断，突出知识迁移、逻辑推理与数形结合能力。
1．【新情境】（2026·河南·模拟预测）我们把方程 的实数解称为欧米加常数，记为 ， 和 一样，
都是无理数， 还被称为在指数函数中的“黄金比例”．下列有关 的结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意可得 满足 ，据此逐一分析选项：
对A，B选项：由 ，两边取自然对数得： ，
所以 ，因此A、B均错误；
对C，D选项：构造函数 ，求导得 ，当 时， ，故函数 在 上单调递增，函数 有唯一零点为 .
， ，
所以 ，由零点存在定理，故 ，故C正确，D错误.
2．【新考法】（2026·河北·二模）若函数 在区间 上单调递减，则实数 为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为 ，所以 ，
因为函数 在区间 上单调递减，
所以 在 上恒成立，
所以当 时， ，
即 ；
当 时， ，
即 ，
所以 ；
当 时， ，当 时， ，正好是正弦函数的单调递减区间，
所以 符合题意；
综上， .
3．【新情境】（2026·浙江金华·二模）若某个函数的图象可以夹在两条平行直线之间，且对于定义域内的
任意 ， ，当 时，都有 ，则称该函数为“阶梯形函数”．下列选项中，不是“阶梯
形函数”的是（ ）
A． （不超过x的最大整数） B．
C． D．
【答案】D
【详解】对于选项A，若 ，则对于任意的 ，都有 ，
由已知 ，故函数 的图象夹在平行直线 和 之间，
故函数 满足“阶梯形函数”的定义，是阶梯形函数；
对于选项B，若 ，
因为 为增函数，故函数 为增函数，且函数 的值域为 ，
所以函数 为减函数，函数 的值域为 ，
因此 在 上单调递增，且函数 的值域为 ，
故函数 的图象夹在平行直线 和 之间，
所以函数 满足“阶梯形函数”的定义，是阶梯形函数；对于选项C，若 ，
则 恒成立，当且仅当 时取等号，
所以函数 在 上单调递增，
由 得 ，
故函数 的图象夹在平行直线 和 之间，
所以函数 满足“阶梯形函数”的定义，是阶梯形函数；
对于选项D，若
则 ，
当 时， ， ，故
当 时， ， ，故 ，
所以对于任意的 ， ，故函数 在 上单调递增，
假设存在两条平行直线，
和 ，则对任意 需要 ，
但当 时，三次项 增长速度远快于一次项 ， ，矛盾，
故 的图象无法被两条平行直线夹住，不满足条件，
因此函数 不满足“阶梯形函数”的定义，不是阶梯形函数.
4．【新角度】（2026·江苏南京·一模）已知函数 ，若存在 ，对于
任意 都有 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【详解】 ，
∵存在 ，对于任意 都有 ，
∴在 左侧附近，函数 小于0.
，
，
①当 时， ，
∴存在 ，对于任意 都有， ，函数 单调递增，
∴当 时， ，满足题意.
②当 时， ，
，
∴当 时， ，函数 单调递减，
∴不存在 ，对于任意 都有 ，
③当 时， ，
∴存在 ，对于任意 都有 ，函数 单调递减，
∴当 时， ，不满足题意.
综上所述，实数 的取值范围是 .
5．【新考法】（2026·湖南邵阳·二模）已知函数 ， ，则（ ）
A．是偶函数，且在 单调递增 B．是偶函数，且在 单调递减
C．是奇函数，且在 单调递增 D．是奇函数，且在 单调递减
【答案】A
【详解】 ，
的定义域为 ，
，
是偶函数，
当 时， ，
当 时， ，
，
，
，
，
，
，
在 上是单调递增函数.
6．【新角度】（2026·河北·一模）已知正数x，y，z满足 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由 ，得 ，则 ，令函数 ，
当 时，求导得 ，函数 在 上单调递减，
因此 ，而 ，则 ，
所以 .
故选：B
7．【新角度】（2025·26高二下·黑龙江·期中）（多选）已知定义域为 的函数 的导函数为 ，
若 ，且 ，则使不等式 成立的 的值可能为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】CD
【详解】令函数 ，求导得 ，由 ，
得 ，即函数 在定义域 上单调递增，由 ，得 ，
不等式 ，即 ，解得 ，
所以所求 的值可能为1，2.
8．【新角度】（2025·26高三上·河南信阳·期末）（多选）已知正数 ， 满足 ，
则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【详解】令函数 ，求导得 ，函数 在 上递增，
当 时， ，由 ，得 ，
不等式 ，则 ，对于A， ，则 ，A正确；
对于B， ， ，因此 ，B错误；
对于C， ，C正确；
对于D，由函数 在 上不单调，得由 不能推出 ，D错误.
故选：AC
真题·实战演练
高频考点：导数单调性、含参讨论、单调区间求解、已知单调求参数、存在与不单调问题、构造函
数解不等式、利用单调性比较大小；近三年以选择填空与解答第一问为主，侧重基础与中档综合，
突出含参、构造、恒成立三大热点。
1．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）设 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】方法一：构造法
设 ，因为 ，
当 时， ，当 时 ，
所以函数 在 单调递减，在 上单调递增，
所以 ，所以 ，故 ，即 ，
所以 ，所以 ，故 ，所以 ，
故 ，
设 ，则 ,
令 ， ，当 时， ，函数 单调递减，
当 时， ，函数 单调递增，
又 ，
所以当 时， ，
所以当 时， ，函数 单调递增，
所以 ，即 ，所以
故选：C.
方法二：比较法
解： ， ， ，
① ，
令
则 ，
故 在 上单调递减，
可得 ，即 ，所以 ；
② ，
令
则 ，
令 ，所以 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，所以
故
2．（2021·浙江·高考真题）已知函数 ，则图象为如图的函数可能是（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】对于A， ，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A；
对于B， ，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；
对于C， ，则 ，
当 时， ，与图象不符，排除C.
故选：D.
3．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程．
(2)若函数 在 单调递增，求 的取值范围．
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】
【详解】（1）当 时， ，则 ，
据此可得 ，
所以函数在 处的切线方程为 ，即 .
（2）由函数的解析式可得 ，
满足题意时 在区间 上恒成立.
令 ，则 ，
令 ，原问题等价于 在区间 上恒成立，
则 ，
当 时，由于 ，故 ， 在区间 上单调递减，
此时 ，不合题意;
令 ，则 ，
当 ， 时，由于 ，所以 在区间 上单调递增，
即 在区间 上单调递增，
所以 ， 在区间 上单调递增， ，满足题意.
当 时，由 可得 ，
当 时， 在区间 上单调递减，即 单调递减，
注意到 ，故当 时， ， 单调递减，由于 ，故当 时， ，不合题意.
综上可知：实数 得取值范围是 .
【点睛】方法点睛：
（1）求切线方程的核心是利用导函数求切线的斜率，求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数
的和、差、积、商，再利用运算法则求导，合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.
（2）由函数的单调性求参数的取值范围的方法
①函数在区间 上单调，实际上就是在该区间上 (或 )恒成立．
②函数在区间 上存在单调区间，实际上就是 (或 )在该区间上存在解集．
4．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数 ．
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)若 ，求 的取值范围．
【答案】(1) 在 上单调递减
(2)
【分析】
【详解】（1）因为 ，所以 ，
则
，
令 ，由于 ，所以 ，所以 ，
因为 ， ， ，
所以 在 上恒成立，
所以 在 上单调递减.
（2）法一：
构建 ，
则 ，
若 ，且 ，
则 ，解得 ，
当 时，因为 ，
又 ，所以 ， ，则 ，
所以 ，满足题意；
当 时，由于 ，显然 ，
所以 ，满足题意；
综上所述：若 ，等价于 ，
所以 的取值范围为 .
法二：
因为 ，因为 ，所以 ， ，
故 在 上恒成立，
所以当 时， ，满足题意；
当 时，由于 ，显然 ，
所以 ，满足题意；
当 时，因为 ，
令 ，则 ，
注意到 ，
若 ， ，则 在 上单调递增，
注意到 ，所以 ，即 ，不满足题意；
若 ， ，则 ，
所以在 上最靠近 处必存在零点 ，使得 ，
此时 在 上有 ，所以 在 上单调递增，
则在 上有 ，即 ，不满足题意；
综上： .
【点睛】关键点睛：本题方法二第2小问讨论 这种情况的关键是，注意到 ，从而分类讨论
在 上的正负情况，得到总存在靠近 处的一个区间，使得 ，从而推得存在
，由此得解.5．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）从下面两个条件中选一个，证明： 只有一个零点
① ；
② ．
【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.
【分析】
【详解】(1)由函数的解析式可得： ，
当 时，若 ，则 单调递减，
若 ，则 单调递增；
当 时，若 ，则 单调递增，
若 ，则 单调递减，
若 ，则 单调递增；
当 时， 在 上单调递增；
当 时，若 ，则 单调递增，
若 ，则 单调递减，
若 ，则 单调递增；
(2)若选择条件①：
由于 ，故 ，则 ，而 ，
而函数在区间 上单调递增，故函数在区间 上有一个零点.
，
由于 ， ，故 ，
结合函数的单调性可知函数在区间 上没有零点.
综上可得，题中的结论成立.
若选择条件②：
由于 ，故 ，则 ，
当 时， ， ，
而函数在区间 上单调递增，故函数在区间 上有一个零点.
当 时，构造函数 ，则 ，
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，
注意到 ，故 恒成立，从而有： ，此时：
当 时， ，当 时， ，
取 ，则 ，
即： ，
而函数在区间 上单调递增，故函数在区间 上有一个零点.
，
由于 ， ，故 ，
结合函数的单调性可知函数在区间 上没有零点.
综上可得，题中的结论成立.
