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专项 05 导数
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【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测
【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式
【实战刷题·冲高分】精选高考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分
根据近五年天津卷考情，函数与导数是解答题必考主干，分值固定16分，为试卷压轴题．
命题趋势：
解答题：稳定考查导数综合（常为第20题），核心是利用导数研究函数单调性、极值、最值，结合零
点、不等式证明、恒成立与存在性、切线问题等进行综合考查，侧重分类讨论与逻辑推理．
2026年预测：解答题仍为导数压轴综合题，延续两到三问结构，第一问研究单调性或切线，后几问围
绕零点、不等式、参数范围展开．
备考核心：熟记基本求导公式与运算法则，强化“求导—定号—分析单调性”的核心流程，重点训练
分类讨论、构造函数、放缩证明等解题能力．
题型01 含参函数单调性、极值与最值综合问题
析典例 · 建模型
1．（24-25高三上·天津武清·月考）已知函数 ．
(1)若曲线 在点 处的切线的斜率为 ，求a的值；
(2)求 的单调区间；研考点 · 通技法
含参函数单调性的讨论依据：（1）导函数有无零点讨论（或零点有无意义）；（2）导函数的零点在不在
定义域或区间内；（3）导函数多个零点时大小的讨论．
再根据单调性变化确定极值点，结合区间端点与极值比较得出最值，全程注意定义域对参数范围的约束．
破类题 · 提能力
1．（24-25高三上·天津河西·月考）已知函数 ．
(1)若 ，求 在 处的切线方程．
(2)当 时，证明： 有两个不同的极值点．
(3)讨论 的单调性．
2．（25-26高三上·天津河北·期中）已知函数
(1)讨论 的单调性；
(2)当 时，记 在区间 的最大值为 ，最小值为 ，求 的取值范围.
3．（25-26高三上·天津红桥·期中）已知函数
(1)当 时， 求曲线 处的切线方程;
(2)求 的单调区间;
(3)设函数 ，求证: 当 时， 在 上存在极小值.题型02 函数零点个数判断与参数范围求解
析典例 · 建模型
1．（24-25高三上·天津·开学考）已知函数 .
(1)求函数的单调区间；
(2)求 的零点个数.
(3) 在区间 上有两个零点，求 的范围?
研考点 · 通技法
利用导数确定函数零点的常用方法
1、图象法：根据题目要求画出函数的图象，标明函数极（最）值的位置，借助数形结合的思想分析问题
（画草图时注意有时候需要使用极限）；
2、利用函数零点存在定理：先用该定理判定函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、
极值（最值）及区间端点值的符号，进而判断函数在该区间上零点的个数．
破类题 · 提能力
1．（25-26高三上·天津南开·月考）已知函数 ．
(1)若 的极小值小于 ，求 的取值范围；
(2)当 时，判断 的零点个数并写出证明过程．2．（25-26高三上·天津北辰·月考）已知函数 .
(1)若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)当 时，求 的单调区间；
(3)若 ，求函数 的零点个数.
3．（25-26高三上·天津河北·月考）已知函数
(1)当 时
①求曲线 在点 处的切线方程；
②求 的单调区间与极值．
(2)若函数 有两个零点，求实数 的取值范围．
题型03 不等式恒成立/存在性求参数范围
析典例 · 建模型
1．（25-26高三上·天津武清·月考）已知函数 ， .
(1)若曲线 在 处的切线的斜率为2，求a的值；
(2)若 在区间 上恒成立，求a的取值范围.
研考点 · 通技法
优先尝试分离参数，将参数单独放于一侧，转化为求另一侧函数的最值；无法分离参数时，构造新函数，通过导数研究其单调性与最值，结合恒成立条件列不等式求解；存在性问题则对应转化为函数能取到最值
或区间内有解，注意区分恒成立与存在性的不等号方向．
破类题 · 提能力
1．（25-26高三上·天津南开·开学考试）设函数 ．
(1)若 ，求 的单调区间；
(2)若当 时 ，求a的取值范围．
2．（25-26高三上·天津·期中）已知函数 .
(1)当 时，
（i）求函数 在点 处的切线方程；
（ii）求函数 的单调区间和极值；
(2)若对于 ，都有不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
3．（25-26高三上·天津南开·月考）已知函数 ， .
(1)讨论 的单调性；
(2)设 ，函数 ，对于 ， ，使得 ，求实数 的取值范
围.
题型04 不等式的证明析典例 · 建模型
1．（25-26高三上·天津蓟州·期中）已知函数 .
(1)求曲线 在点 处的切线斜率；
(2)当 时，求证： ．
研考点 · 通技法
单变量不等式直接移项构造新函数，求导分析单调性与最值，证明函数恒正或恒负，结构复杂时可合理放
缩简化后再证明；双变量不等式优先利用条件建立变量间关系，通过比值换元、差值换元统一为单变量函
数，再用导数研究单调性完成证明；涉及函数值大小比较时，可借助函数单调性转化为自变量大小比较．
破类题 · 提能力
1．（25-26高三上·天津·统练）已知函数 ．
(1)求函数 的单调区间
(2)若函数 有两个极值点 ， ，求证：
2．（25-26高三上·天津南开·开学考试）已知函数 ．
(1)求 的单调区间；
(2)证明： ；
(3)若 ，且 ，求证： ．3．（25-26高三上·天津·月考）已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)设函数 ．
（i）设 为 的极值点，证明： ；
（ii）证明：对任意 ，都有 ．
题型05 极值点偏移问题
析典例 · 建模型
1．（25-26高三上·天津滨海新区·月考）已知函数 有两个不同的零点 .
(1)求实数 的取值范围；
(2)求证： .
研考点 · 通技法
证明极值点偏移问题常用思路：利用分析法，将所证不等式中的变量分到不等式的两边，构造对称函数，
注意将 和 化到同一区间，再利用导数据研究函数的单调性，求极致、最值等手段证得不等式．破类题 · 提能力
1．（25-26高三上·天津蓟州·期中）已知函数 ．
(1)求 的单调区间；
(2)若 有两个正零点 ，且 ．
（i）求 的取值范围；
（ii）求证： ．
2．（24-25高三上·天津·期中）已知函数
(1)求函数 单调区间；
(2)设函数 ，若 是函数 的两个零点，
①求 的取值范围；
②求证： ．
3．（24-25高三上·天津河北·期中）已知函数 ，其中 为自然对数的底数．
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)若方程 有两个不同的根 ．
（i）求 的取值范围；
（ii）证明： ．（建议用时：45分钟）
刷模拟
1．（25-26高三上·天津·月考）已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)求函数 的极值；
(3)函数 ，若 在定义域内有解，求 的范围．
2．（25-26高三上·天津河东·月考）已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 ，且 在 上单调递增，求 的取值范围；
(3)证明：当 时， .
3．（2026·天津东丽·一模）设函数 ．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)当 时，讨论 的单调性；
(3)在（2）的条件下，记 的最大值为 ，若对任意的 ，使得关于a的不等式
恒成立，求实数 的取值范围．4．（25-26高三上·天津河东·期中）已知函数 ．
(1)当 时， 在区间 上存在极值，求 的取值范围；
(2)若 的图象与 轴有且只有一个交点，求 的取值范围；
(3)设 ，当 时，若对任意给定的 ，总存在唯一的 ，使得
成立，求 的取值范围．
5．（2026·天津·一模）设函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)讨论 的单调性；
(3)设 为 的导函数，若 在 上有两个不同的零点 ， ，求证：
．
刷真题
1．（2025·天津·高考真题）已知函数
(1) 时，求 在点 处的切线方程；
(2) 有3个零点， 且 .
（i）求a的取值范围；
（ii）证明 ．2．（2024·天津·高考真题）已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 对任意 成立，求实数 的值；
(3)若 ，求证： ．
3．（2023·天津·高考真题）已知函数 ．
(1)求曲线 在 处的切线斜率；
(2)求证：当 时， ；
(3)证明： ．
4．（2022·天津·高考真题）已知 ，函数
(1)求曲线 在 处的切线方程；
(2)若曲线 和 有公共点，
（i）当 时，求 的取值范围；
（ii）求证： ．5．（2021·天津·高考真题）已知 ，函数 ．
（I）求曲线 在点 处的切线方程：
（II）证明 存在唯一的极值点
（III）若存在a，使得 对任意 成立，求实数b的取值范围．
