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专项 05 函数与导数
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【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测
【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式
【实战刷题·冲高分】精选高考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分
根据近五年北京卷考情，导数是必考大题的重点跟难点，分值约15-17分．
命题趋势：导数大题稳居压轴位置，重点考查利用导数研究函数的单调性、极值与最值，以及不等式
证明与零点问题。命题弱化复杂构造技巧，强化分类讨论思想与逻辑推理能力，注重导数作为研究函
数工具的本质。
2026年预测：预计2026年仍以指数函数、对数函数或三角函数为载体，考查含参函数的单调性讨论与
不等式恒成立问题。与实际优化问题结合的情境化试题可能出现，同时导数与数列、概率综合的新题
型值得关注。
备考核心：重点掌握含参函数的分类讨论标准（以导函数零点为核心），熟练运用分离参数法处理恒
成立问题。强化从几何意义理解导数，提升构造函数证明不等式与处理隐零点问题的综合能力。
题型01 导数与极值（点）
析典例 · 建模型
1．（2025·北京昌平·二模）已知函数 ，其中 ．
(1)当 时，
若 ，求函数 的最大值；
①若直线 是曲线 的切线，且 经过点 ，证明： ；
②
(2)当 时，若 是函数 的极小值点，求 的取值范围．
【答案】(1) ； 证明见解析
① ②
(2)
【分析】（1）把 代入， 利用导数探讨单调性求出最大值； 设出切点坐标，利用导数的几
何意义求出切线方程，再由切线过的①点，结合一元二次方程有解推理得证②.
（2）求出导数，由给定的极小值点可得 ，且 ，构造函数 ，按
最小值不小于0和小于0分类讨论求解.
【详解】（1）（i）当 时，函数 ，求导得 ，
当 时， ；当 时， ，
函数 在 上单调递减，且 ，在 上单调递增，又
所以当 时，函数 的最大值为 .
（ii）设切点为 ，而 ， ，
曲线 在点 处的切线 方程为
由 经过点 ，得 ，整理得 ，
由 ，得 ，所以 .
（2）函数 的定义域为R，求导得 ，
由 是函数 的极小值点，得 ，即 ，
则 ，令 ，
求导得 ，令 ，即 ， ，得 ，
当 时， ；当 时，函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
则 ，
当 时，即 时，得 ，此时 ，
①
当 时， ；当 时， ，
函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 是函数 的极小值点，符合题意；
当 时，即 时，则 ，而 ，
②
则存在 ，使 ，当 时， ，
因此 不是函数 的极小值点，不符合题意，
所以 的取值范围为 .
研考点 · 通技法
1、用导数求函数极值的方法：
（1）先确定函数f(x)的定义域；
（2）求导数f' (x)，求f'(x)=0的根
（3）检验f' (x)在方程f' (x)=0的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那
么函数y=f(x)在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数y=f(x)
在这个根处取得极小值．
注意：可导函数f(x)在点x 处取得极值的充要条件是：x 是导函数的变号零点，即f' (x )=0，且在x 左
0 0 0 0
侧与右侧，f' (x)的符号导号。
2、根据极值点求参
（1）根据求极值的方法求导数，令f'(x)=0
（2）根据极值点的个数跟情况，对方程进行参数的讨论。
注意需要验证极值的存在，因为f' (x )=0是x 为极值点的不充分条件。
0 0
破类题 · 提能力
1．（2025·北京朝阳·二模）已知函数 ．(1)若 ，求函数 在区间 上的最大值；
(2)若 在区间 上存在单调递减区间，求 的取值范围；
(3)若 存在极值点 ，且 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）求导，利用导函数的符号判断 在 的单调性进而求最大值即可；
（2）求导，结合导数的几何意义按 的不同取值范围分类讨论求解即可；
（3）由极值点的概念可得 ，消去 得 （*），令 ，
利用导数可得 ，当且仅当 时取等号，又（*）等价于 ，解得 ，代入求出 的值
即可.
【详解】（1）若 ，则 ， ，
当 时， ，所以 在 单调递减，
所以当 时， 取得最大值 .
（2） 的定义域为 ，
当 时，易知 在区间 上单调递减，符合题意；
当 时， ，设 ，
则 ，当 时， ，所以 在区间 上单调递减，
①若 ，即 时，当 时， ，即 ，此时 在区间 上单调递增，不符合题意；
②若 ，即 时， ，
所以存在唯一的 使得 ，
当 时， ，即 ，
此时 在区间 上单调递减，符合题意；
综上， 的取值范围为 .
（3）由题意可得 即 ，
所以 ，即 （*），
设函数 ，
，
当 时， ，所以 在区间 上单调递增，
当 时， ，所以 在区间 上单调递减，
所以当 时， 取得最大值 ，
又 ，所以 ，当且仅当 时取等号，
又（*）等价于 ，所以 ，
所以 ．经检验，当 时， 存在极大值点 且 ，符合题意，
所以 ．
2．（2026·北京朝阳·模拟预测）已知 ， ，
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)设 ，若 在 上有极值点 ：
①求 的取值范围
②证明： ．
【答案】(1)答案见解析
(2) ；②证明见解析
①
【分析】（1）先确定定义域，对 求导，分类讨论；
（2）①函数化简，确定定义域， 在 上有极值等价于 在 上有变号零点；
②方法一：根据极值点的单调性性质结合已知参数范围放缩；方法二：利用极值点条件代换，构造新函数
分析单调性.
【详解】（1）
由题意知 的定义域为 ，
当 时， ，
当 时， ，则 在 上单调递减，
当 时，由 ，解得 ；由 ，解得 .
即 在 上单调递减，在 上单调递增.
综上所述，当 时， 在 上单调递减；当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增.
（2）
①由题意得 ，所以 的定义域为 ，
在 上有极值点等价于 在 上有变号零点.
令 ，即 在 上有变号零点.
当 时，显然 在 上恒成立，无变号零点，不满足题意；
当 时， 在 上恒成立，所以 在 上单调递增，
令 ，解得 ，此时 在 上有唯一零点 .
②∵ 在 上单调递增，
∴当 时， ，即 ；当 时， ，即 ，
故 在 上单调递减； 在 上单调递增，故 是 的极小值点.
方法一：由上， ，∵ ，∴
方法二：因 ，
由 ，可得 ，则 ，
令 ，显然 在 上单调递减，
则 ，即 ，故 ．
3．（2025·北京西城·模拟预测）已知函数 ， ．(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)当 时，求函数 的单调递减区间；
(3)若函数 在区间 上只有一个极值点，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2) ，
(3)
【分析】（1）当 时，求出 的值，利用导数的几何意义可求得所求切线的方程；
（2）当 时，求出 ，利用函数的单调性与导数的关系可求得函数 的单调递增区间；
（3）令 ，分析可知，函数 在 上有且只有一个异号零点，对实数a的取值进行分
类讨论，结合题意可得出关于实数a的不等式，综合可得出实数a的取值范围.
【详解】（1）当 时， ，则 ，
所以 ，
曲线 在点 处的切线方程为 ，
（2）当 时， ，
所以该函数的定义域为 ，
，
由 ，解得 或 ，
所以当 时，求函数 的单调递减区间为 ，（3）因为 ，
则 ，
令 ，因为函数 在区间 上只有一个极值点，
则函数 在 上有一个零点，
当 时，对任意的 ， ，不合乎题意；
当 时，函数 在 上单调递增，
因为 ，只需 ，合乎题意；
当 时，函数 的图象开口向下，对称轴为直线 ，
因为 ，只需 ，不合乎题意，舍去.
综上所述，实数a的取值范围是 .
题型02 根据单调性求参
析典例 · 建模型
1．（2025·北京门头沟·一模）已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)设 ，讨论函数 的单调性；
(3)若 在定义域上单调递减，求 的取值范围.
【答案】(1)(2)答案见解析；
(3)
【分析】（1）利用导数的几何意义即可求出切线方程；
（2）对函数求导再对 的取值范围进行分类讨论，即可求得函数 的单调性；
（3）将问题转化为 在 上恒成立，再利用（2）中的结论可得 即
可，构造函数 即可求得当 时满足题意.
【详解】（1）当 时可得 ，则 ，
此时 ，
因此切线方程为 ，即 ；
（2）由 可得其定义域为 ；
且 ，即 ，
显然 ，
当 时， ，此时 在 上单调递增；
当 时，令 可得 ，
若 ， ，此时 在 上单调递增；
若 ， ，此时 在 上单调递减；
综上可得，当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减.（3）若 在定义域上单调递减，可得 在 上恒成立；
由（2）可得当 时， 即 在 上单调递增，
当 ，可得 ，显然不合题意；
当 时，可得 在 上单调递增，在 上单调递减；
即 在 处取得极大值，也是最大值；
即 恒成立；
令 ， ；
则 ，
显然当 时， ，此时 在 上单调递减；
当 时， ，此时 在 上单调递增；
因此 ，即 ，
又 恒成立，可得 ，即 .
所以 的取值范围为 .
研考点 · 通技法
由函数的单调性求参数的取值范围的方法
（1）函数在区间(a,b)上单调，实际上就是在该区间上f '(x)≥0（或f '(x)≤0）恒成立．
（2）函数在区间(a,b)上存在单调区间，实际上就是f '(x)>0（或f '(x)<0）在该区间上存在解集．
破类题 · 提能力
1．（2026·北京密云·一模）已知函数 .(1)当 时，求曲线 在 处的切线方程；
(2)若4是 的极小值点，证明此时 的极大值小于零；
(3)若 在定义域内单调递增，求实数 的取值范围.
【答案】(1)
(2)证明过程见解析
(3)
【分析】（1）根据导数的几何意义及直线的点斜式方程求解即可.
（2）根据4是极小值点求出 ，结合导数与单调性、极值的关系求出极大值，进一步证明即可.
（3） 在定义域内单调递增即 在定义域内恒成立，结合分离常数法及基本不等式求解即可.
【详解】（1）当 时， ，则 ， ，
所以 ，
所以曲线 在 处的切线方程为： ，即 .
（2）函数 的定义域为 ， .
因为4是 的极小值点，所以 ，即 ，解得 .
当 时， ， ，
令 ，则 ，解得 或 .
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，
所以 在 处取得极大值， ，
故此时 的极大值小于零.
（3）因为 在定义域 内单调递增，所以 在 上恒成立，
即 在 上恒成立.
在 上恒成立，也即 在 上恒成立.
又 ，当且仅当 ，即 时等号成立.
所以 ，即实数 的取值范围为 .
2．（2025·北京·三模）设函数 ，且在 处的切线方程为 .
(1) 求k的值；
(2) 求 的单调区间；
(3) 设 为 在点 切线方程，是否存在t使得函数 单调？若存在，求出
所有t的值；如不存在，说明理由.
【答案】(1)
(2)单调递增区间为 和 ，单调递减区间为
(3)
【分析】（1）根据导数的几何意义可得 ，可得解；
（2）利用导数求函数单调性；（3）求出切线方程，设 ，转化为 在 恒成立，再由二次函数性质可解.
【详解】（1） ，
则 ，
解得 ；
（2） ，
令 ，得 或 ，
当 时， ，所以函数 在 和 上单调递增，
当 时， ，所以函数 在 上单调递减，
所以函数 单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ；
（3）因为 ，所以 ， ，
所以 处切线方程为 ，
整理得： ，
设 ，
则
，
所以 ，
若 在 单调，则 恒成立，所以只有 即 或 （舍）时， 恒成立，
即 在 单调递增，所以 .
题型03 恒成立问题求参
析典例 · 建模型
1．（2026·北京平谷·一模）已知函数 ．
(1)当 ，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 ，求函数 极值点的个数；
(3)若对任意的实数 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】(1)
(2)2个
(3)
【分析】（1）切线斜率等于函数 在该点的导数值 ，结合点斜式直线方程即可求解；
（2）多次求导得函数 的单调性，进而求出函数的极值点即可判断；
（3）分离参数得 在 上恒成立，令 ，多次求导得其单调性，然后求解最
值即可．
【详解】（1）当 时， ，所以 ．
所以 ．所以曲线 在点 处的切线方程为 ，
即 ．
（2）由 ，得 ，
令 ，则 ．
当 时， ，当 时， ，
所以 在区间 上是减函数，在区间 上是增函数．
所以 的最小值为 ．
，
又 在 单调递减，在 单调递增，
故存在 ，使得 ，
所以，在区间 上 ，在区间 上 ．
所以，在区间 上 单调递增，在区间 上 单调递减，
故 是函数 的极大值点．
同理：存在 ，使得 ，
所以，在区间 上 ，在区间 上 ．
所以，在区间 上 单调递减，在区间 上 单调递增，
故 是函数 的极小值点．
综上：函数 极值点有2个．（3）对任意的实数 恒成立，
等价于 在 上恒成立，得 ，
令 ，则 ．
令 ，则 ．因为 ，所以 ，
所以 在 上是增函数，所以 ，所以 ，
所以 在 上是增函数，所以 的最小值为 ．所以 ，
即实数 的取值范围 ．
研考点 · 通技法
1、恒成立问题（任意）
f(x)>a 恒成立，只需f (x) >a（大于最大的最小值）。
min
f(x)<a 恒成立 ,只需f (x) <a（小于最小的大值）。
max
技巧：优先考虑参变分离，若分离后函数复杂，再直接求导讨论。
注意问题：
1、端点取舍（是否取等）
若题中是 > 或 <（不带等号），检查端点值时，若恰好相等，需验证能否取到（开区间取不到则恒成立
不成立；闭区间能取到则不等式不成立）。
2、分离参数后的定义域
分离为a>h(x)时，要注意x 的取值范围（特别是分母不能为零）。若区间是开的，h(x)的最大值可能
取不到，此时a 只能取该极限值（但需结合等号验证）。
3、混淆“恒成立”与“能成立”
求出的参数范围正好相反。记反会导致答案全错。
4、忽略参数在函数中的位置
若参数不能彻底分离，需根据函数类型分类讨论（如二次函数开口、判别式、对称轴）。此时画草图辅助
最稳妥。
破类题 · 提能力
1．（2026·北京延庆·一模）已知函数 ， ， ．(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)讨论 的单调性；
(3)是否存在a，使得不等式 恒成立，若存在，求出a的所有值；不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)当 时，函数 在 上单调递减；当 时， 在 上单调递增，在 上单调递
减.
(3)
【分析】（1）根据导数的几何意义求曲线在点 处的切线方程.
（2）利用导数，分情况讨论，求函数的单调性.
（3）设 ，问题转化为 在其定义域上恒成立，求 的值.
【详解】（1）当 时， .
因为 ，
，所以 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为： 即 .
（2） ， .
当 时，由 ，此时 ，函数 在 上单调递减；
当 时，由 ，
此时由 ，由 .
所以 在 上单调递增，在 上单调递减.综上可知，当 时，函数 在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减.
（3）设 ，问题转化为 在其定义域上恒成立，求 的值.
因为 .
若 ，则函数的定义域为 ，此时 ，即 ，
所以 在 上单调递增.
因为 .
设 ， .
则 .
由 ；由 .
所以 在 上单调递增，在 上单调递减.
所以 .
所以 恒成立，所以 在 不可能恒成立.
若 ，则函数的定义域为 ，此时 ，
由 ，由 .
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
所以 .
要想 在 上恒成立，需要 .设 ， .
则 .
由 ，由 .
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 .
即当 时， .
所以 为所求.
2．（2025·北京海淀·三模）已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线；
(2)当 时，讨论函数 的单调性；
(3)当 时，若对任意的 ， 恒成立，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2) 的减区间为 ,增区间为
(3)
【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解；
（2）根据导数即可判断单调区间；
（3）构造函数 对任意 恒成立，据此根据导数求解即可.
【详解】（1）由 ，得 ，则 ，又 ，
所以曲线 在点 处的切线为 ；
（2）当 时， ，
所以 ，
令 ，则 ，
所以 在 单调递增，且 ，
所以当 时， ，则 ，函数 单调递减，
当 时， ，则 ，函数 单调递增，
所以函数 的减区间为 ，增区间为 ；
（3）设 ，
则 ，
因为 时，所以 为增函数，
又 在 上都是增函数，
所以函数 在 上单调递增，且 ，
当 即 时， ，
所以函数 在 上单调递增，所以 ，
所以 时，符合题意；
②当 即 时， ，又 ，
当 即 时， 恒成立，所以函数 在 上单调递减，所以 ，
此时不符合题意；
当 即 时，
存在 ，使得 ，
且当 时， ，当 时， ，
即函数 在 上单调递减，此时 ，不符合题意；
综上所述， 的取值范围是
题型04 能成立问题求参
析典例 · 建模型
1．（2025·北京海淀·三模）已知 ．
(1)当 时，求函数 的极值点和极值；
(2) 时，求函数 在 上的最小值；
(3)若不等式 的解集非空，求a取值范围．
【答案】(1)极大值点 ，极大值 ，无极小值点和极小值；
(2)
(3)
【分析】（1）求出导函数，得出单调性，进而求出极值和极值点情况；（2）求出 ，根据 的值域确定出 的正负性，进而得出单调性即可求最值；
（3）将问题转化为 使得 成立，求 的最小值即可.
【详解】（1） 的定义域为 ，
当 时， ， ，
由 得 ； 得 ；
则 在 上单调递增，在 上单调递减，
则 的极大值点为 ，极大值为 ，无极小值点和极小值；
（2）因 ，
令 ，则 在 上恒成立，
故 在 上单调递减，则 ，
因 ，则 ， ，
则存在 使得 ，
故 时 ， ； 时 ， ；
故 在 上单调递增，在 上单调递减，
又 ， ，则 ，故函数 在 上的最小值为 .
（3）由题意可知， 使得 成立，
即 使得 成立，
又 ，则 ，即 ，
故a的取值范围为 .
研考点 · 通技法
能成立/存在性问题（存在 ）
存在x 使 f(x)>a成立 →→ 只需f (x) >a（存在大于，找最大的）。
max
存在 x 使 f(x)<a成立 →→ 只需 f (x) <a（存在小于，找最小的）。
min
口诀：恒成立是“所有都满足”，能成立是“有一个就行”。
核心：分清任意与存在，对应的是“最值对最值”。
破类题 · 提能力
1．（25-26高三上·北京·月考）已知函数 .
(1)若 时，求曲线 在 处切线的斜率；
(2)求 的单调区间；
(3)设 ，若对任意 ，均存在 ，使得 ，求 的取值范围.
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)
【分析】（1）根据导数几何意义直接求解即可；
（2）求导后，分别在 和 的情况下，根据 的正负得到结论；（3）将问题转化为 ，由二次函数性质可求得 ，采用参变分离的方式可得
，利用导数可求得 的最小值，进而得到结果.
【详解】（1）当 时， ，则 ，
， 在 处切线的斜率为 .
（2）由题意知： 的定义域为 ， ，
①当 时， ， ， ，
在 上单调递增；
②当 时，令 ，解得： ，
当 时， ；当 时， ；
在 上单调递增，在 上单调递减；
综上所述：当 时， 的单调递增区间为 ，无单调递减区间；当 时， 的单调递增
区间为 ，单调递减区间为 .
（3） 对任意 ，均存在 ，使得 ， ；
， 当 时， ，
在 上恒成立，即 在 上恒成立， ；
令 ，则 ，
令 ，解得： ，当 时， ；当 时， ；
在 上单调递减，在 上单调递增， ，
，即实数 的取值范围为 .
2．（2025·安徽·二模）已知函数 ， ，其中函数 的导函
数为 .
(1)当 时，求函数 在 上的单调性；
(2)证明：当 时， 在 上存在极大值点 ，且 ；
(3)证明： ，使得 恒成立.
【答案】(1)单调递减
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）利用导数研究其单调性即可.
（2）先求出导函数，然后求出单调区间，进而利用极大值点的概念证明即可.
（3）将问题转化为证明 对任意 恒成立，参变分离得 对任意
恒成立，令 ，即证 ，
，多次求导求得 的单调区间，即可求解 的最小值，令 ，
，利用导数求得最小值，即可证明.【详解】（1）当 时， ， ，
令 ，则 ，
当 时， ， ，所以 ，
所以 在 上单调递减.
（2） ， ，其中 满足
， ， ，
令 ，得 ，当 时， ，所以函数 在区间 上单调递增；
当 时， ，所以函数 在区间 上单调递减.
所以 在 上存在极大值点 ，且 .
（3）由（2）知 在 上的最大值为 .
要证 ，使得 对任意 恒成立，
即证 对任意 恒成立，
即证 对任意 成立，又 ，
所以即证 对任意 恒成立，
即证 ，其中 .
令 ， ，因为 ， ， ，
所以 .
令 ， ，
则 ，
则 在 上单调递增，又 ，
，
则 ，使 ，
解得 ，所以 .
当 时， ，即 ，所以函数 在区间 上单调递减；
当 时， ，即 ，所以函数 在区间 上单调递增.
所以函数 在 时取到极小值，也是最小值，
.
令 ， ，
则 ，
即 在 上单调递减， ，又 ，
即当 时， ，
所以 ，使得 对任意 恒成立，命题得证.
题型05 零点问题
析典例 · 建模型
1．（2025·北京海淀·一模）已知函数 ．
(1)若曲线 在点 处的切线为 ，求 的值；
(2)若 为 上的单调函数，求 的取值范围；
(3)若函数 ，求证： 可以取无数个值，使得每一个 的取值 都恰有三个不同的零
点．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3)证明见解析.
【分析】（1）根据 ，结合导数运算，即可求得参数值；
（2）分类讨论， 为增函数和减函数，参变分离，根据 或 在 上恒成立，即可求得范围；
（3）根据 ，以及 为奇函数，只需证明 在 有一个零点即可；讨论 时，
的单调性，结合（2）中所求，即可证明.【详解】（1） ，故 ，故 ；
由题可知， ，故 ，解得 .
（2）若 为 上的单调增函数，则 在 上恒成立，即 ，
也即 恒成立，又 ，故 ；
若 为 上的单调减函数，则 在 上恒成立，即 ，
也即 恒成立，又 ，故 ；
综上所述，若 为 上的单调函数，则 的范围为 .
（3） ，其定义域为 ，又 ，故其为奇函数；
又 ，故只需证明 可以取无数个值，使得每一个 的取值 在 有一个零点即可.
又 ，令 ，则 ，
当 时，由（2）可知， 为 上的单调减函数，又 ，故 在 恒成立，
故 在 单调递减，又 ， ，故存在 ，使得 ，
则当 ， ， 单调递增；当 ， ， 单调递减；
故当 ， ，又 ，
故存在 ，使得 ；
综上所述：当 时， 在 存在唯一零点，
也即当 时， 恰好有三个零点，
于是， 可以取无数个值，使得每一个 的取值 都恰有三个不同的零点.研考点 · 通技法
利用导数研究函数零点（或方程根）问题，核心是 “看单调性，算端点值，数形结合找交点”
1、单调性分割：求导确定函数的单调区间。函数在每一个单调区间内至多存在一个零点。
2、找端点符号：
计算每个单调区间两端的函数值（或极限值，如 x→+∞）。
异号（一正一负）⟹该区间内有且仅有 1个 零点。
同号（同正或同负）⟹该区间内 无 零点。
有一端为0 ⟹该端点即为零点，需注意区间开闭。
3、含参讨论（难点）
若函数含参数，参数的取值会改变图象的高低或单调性。
临界状态：找到“恰好相切”的情况（即极值点刚好在 x 轴上，此时零点个数变化）。通常令极值 =0
解出参数临界值。
按参数分类：以临界值为分界，分别讨论不同区间内零点个数。
破类题 · 提能力
1．（2025·北京朝阳·一模）已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 ，求证：当 时， ；
(3)若函数 有 个不同的零点，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）当 时，求出 、 的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程；
（2）当 时，利用导数分析函数 在 上的单调性，结合单调性即可证得结论成立；
（3）对实数 的取值进行分类讨论，利用导数分析函数 在定义域上的单调性，确定每种情况下函数的零点个数，并结合零点存在定理可得出实数 的取值范围.
【详解】（1）当 时， ，则 ，所以 ， ．
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ．
（2）由题设知 ．
设函数 ．
当 时，因为 ，
所以 对任意的 恒成立，即 ．
所以函数 在区间 上单调递增，所以 ．
所以当 且 时， ．
（3）函数 的定义域为 ，
．
①当 时， ，函数 在区间 上单调递减，
函数 至多一个零点，不合题意；
②当 时，由（2）可知函数 在区间 上单调递增，
函数 至多一个零点，不合题意．
③当 时，对于函数 ，
因为 ，所以方程 有两个实数根 、 ，满足 ， ，
不妨设 ，则 ， 、 的情况如下：
增 极大值 减 极小值 增
所以函数 的单调递增区间是 、 ，单调递减区间是 ．
因为 ，所以 为 的一个零点．
又 ， ，且 ，
所以存在唯一实数 ，使得 ．
又 ， ，且 ，
所以存在唯一实数 ，使得 ．
所以函数 有 个不同的零点．
综上， 的取值范围为 ．
2．（2025·北京·模拟预测）已知函数 .
(1)若函数 的极值点在 内，求m的取值范围；
(2)若 有两个零点，求m取值的范围.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）求导，转化问题为 在 上有解，进而求解即可；
（2）求导，分 ， 两种情况讨论求解即可.
【详解】（1）由 ,
则 ，
要使函数 的极值点在 内，
则 在 上有解，
即 在 上有解，则 ，解得 ，
即m的取值范围为 .
（2）由 ， ，
则 ，
当 时， ， ，则 ，
此时函数 在 上单调递增，不可能有两个零点，不符合题意；
当 时， ，令 ，得 ，
当 时， ，函数 单调递增，
当 时， ，函数 单调递减，
又 时， ， 时， ，
要使 有两个零点，则 恒成立，设 ，则 ，
所以函数 在 上单调递增，又 ，
则 ，解得 .
综上所述，m取值的范围为 .
题型06 证明不等式
析典例 · 建模型
1．（2025·北京·模拟预测）已知函数 ．
(1)当 时，求 在 处的切线的倾斜角；
(2)若 是函数 的极值点，
（i）求实数 的值；
（ii）设函数 ．证明： ．
【答案】(1) ；
(2)（i）1；（ii）证明见解析.
【分析】（1）根据导数的几何意义求切线斜率，进而确定倾斜角大小；
（2）（i）对函数求导，由已知有 求参数值，注意验证；（ii）将问题化为证明
在 且 上恒成立，应用换元法及导数研究不等式恒成立，即可证.
【详解】（1）由题设 ，则 ，故切线斜率 ，
所以，结合直线倾斜角的范围，易知 在 处的切线的倾斜角为 .
（2）（i）由题设 ，则 ，由 ，则 ，故 且 ，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递减，且 ，
所以 时 ， 在 上单调递增，
时 ， 在 上单调递减，
所以 是函数 的极值点，故 ；
（ii） ，则 且 ，
当 时， ，此时 ，即证 ，
当 时， ，此时 ，即证 ，
综上，只需证明 在 且 上恒成立，
令 ， ，则 ，
当 时， ，则 在 上单调递减，
当 时， ，则 在 上单调递增，
所以 ，故 得证.
研考点 · 通技法
一、利用导数证明不等式恒成立，核心是 “构造函数，找最值”。
1、移项构造：将所有项移到一边，化为F(x)>0（或<0）的形式。目标是证明F(x) 的最值满足条件。
2、求导定单调：对F(x) 求导，分析导数正负，判断函数在给定区间上的单调性。
3、比较端点或极限
若F(x) 单调递增，则最小值在左端点，证明左端点值 ≥0（注意端点是否能取等）。
若 F(x)单调递减，则最大值在左端点，证明左端点值 ≤0。
若先减后增（有极小值），求出极小值点，证明极小值 ≥0。
二、当直接构造复杂时
1、放缩法：将复杂函数替换为更简单的中间函数（如 ex≥x+1，lnx≤x-1），但需注意放缩方向要一
致。
2、拆分法：将不等式拆成两个函数，分别求最值，证明一个的最小值大于另一个的最大值。
3、分段讨论：当导数符号复杂时，可分割区间分别证明。
破类题 · 提能力1．（2025·北京顺义·一模）已知函数 .
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)设 ，求证： 是 上的单调递减函数；
(3)求证：当 时， .
【答案】(1) ；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析.
【分析】（1）求出 ，再计算得切点和切线斜率即可得到切线方程；
（2）通过二次求导得 ，则 ，则 是 上的单调递减函数；
（3）令 ，求导得 ，再利用放缩法得 ，最后再次放缩
即可证明.
【详解】（1）依题意， ．
又 ，
所以 .
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，
即 .
（2）由（1）知， ， ，
所以 .
令 ，则 ，
因为 ，所以 ，即 ，
所以 在 上单调递减，所以 ，
即 ，所以 是 上的单调递减函数.
（3）令 ，
则 ，
由（2）知， 在 上单调递减，所以当 时， ，此时 ，即 在 上单调递减，
所以 ，即 ，
当 时， ， ， .
所以 即 ，
所以 即 ，
综上可得：当 时， .
2．（25-26高三上·北京石景山·期末）设函数 ．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程：
(2)若 有两个极值点，求 的取值范围：
(3)当 时，求证： ．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见详解
【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线的斜率，进而求出切线方程；
（2）对 求导，整理得 ，令 ， 有两个极值点等价于 有两个变号零
点，分 和 讨论判断单调性和极值结合零点存在性定理求解；
（3）令 ，利用导数证明 ，令 ，利用导数证明
，得证.
【详解】（1）当 时， ，则 ，
可得 ， ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 .（2）由 ，得 ，整理得 ，
令 ，则 ，
所以 有两个极值点等价于 有两个变号零点，
当 时， ， 在 上单调递增，
所以 至多有一个零点，从而 没有两个极值点.
当 时，令 ，得 ，即 在 上单调递增，
令 ，得 ，即 在 上单调递减，
所以 ，由 ，得 ，
又 ， ， 在 上单调递增，
所以 在 上有一个零点；
取 ， ，因为 在 上单调递减，
所以 在 上有一个零点，
综上，当 时， 有两个零点，即 有两个极值点.
（3）令 ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，
所以 ，即 ，
令 ，则当 时， ，
易得 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 ，即 ，
所以 ，所以 ，即 .
题型07 双变量问题
析典例 · 建模型
1．（2026·北京·模拟预测）已知函数 ．
(1)当 时，求 在点 处的切线方程；
(2)讨论 的极值；
(3)已知 ，函数 有两个不同的零点 ， 和一个极值点 ，记 ，
， ，试判断 与 的大小关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2) 时， 无极值； 时， 的极大值为 ，无极小值；
(3)
【分析】（1）求出 ，由点斜式求切线方程；
（2）求出导数 ，分 和 进行讨论，根据导数的符号确定函数的单调区间，从而可得
极值；
（3）由于 ， ，利用导数证得 ， ，故由零点存在定理 有零点
，由三角形性质可比较 .
【详解】（1）当 时， ，则 ，又 ，
所以 在点 处的切线方程为 ；
（2）由 ，得 ，
当 时，对任意 ， ，
所以 在 单调递减，无极值；
当 时，令 ，得 ；令 ，得 ．
在 单调递增，在 单调递减，
函数 在 处取得极大值，极大值为 ，无极小值，
综上所述， 时，无极值；
时，在 处取得极大值，极大值为 ，无极小值；
（3）由 ，函数 有两个不同的零点 ， 和一个极值点 ，
由（2）知 在 单调递增，在 单调递减，
故 为 的极大值点，
极大值 ，令 ．
则 ，故 在 单调递增，
故 ，
又注意到 ，故不妨设 ，
此外 ，
则 ，记 ，则 ，
所以 在 上单调递减，所以 ，
即 ，故 在 单调递减，
故 ．
由零点存在性定理，知 有零点 ，
则 ．
设 ，则 为 的高且 ，故 .
研考点 · 通技法
将双变量问题转化为单变量问题：通过两变量之间的等量关系（如极值点、零点、对称轴）或不等关系
（如区间端点），将问题转化为关于一个变量的函数进行研究。
常见类型与处理方法
1、极值点偏移：常用构造对称函数或比值代换法，将双变量问题转化为单变量函数的单调性问题。
2、双变量不等关系：常用方法是将不等式变形后构造函数F(t)=f(x )-f(x )-k(x -x )，利用单调性
1 2 1 2
证明；或固定一个变量，研究另一个变量。
3、用参数统一变量：若两变量均与参数有关，可先消去参数，找到两变量的直接关系（如 x +x 为定
1 2
值），再代入原式转化为单变量函数。
f(x )-f (x ) x
4、比值代换：对于形如 1 2 的结构，可设t= 1 或t=x -x ，将双变量转化为关于 t 的单变量
x -x x 1 2
1 2 2
函数求解。
破类题 · 提能力
1．（2025·北京海淀·二模）已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)求 在区间 上的极值点个数；
(3)若 且 时，都有 成立，直接写出 的取值范围．【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)
【分析】（1）利用导数的几何意义计算即可求解；
（2）利用三阶导数研究函数 的单调性可知当 时， 在 上单调递增；当 时 在
上单调递增，在 上单调递减（ ），结合极值点的概念即可求解；
（3）由（2）知，当 时 ，若 ，则 ，不符合题意；当 时，可知
，证得 在 上为上凸函数，即可求解.
【详解】（1）由题意知， ，
，则 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 .
（2）由（1）知 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
又当 时， ， ，
所以 ，函数 在 上单调递增，所以 ，
即 ，所以函数 在 上单调递减，且 ，
当 即 时， ，即 ，
所以函数 在 上单调递增，无极值点；
当 即 时， ，存在 使得 ，即 ，
当 时， ；当 时， ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
此时 在 上有1个极大值点.
综上，当 时， 在 上无极值点；当 时， 在 上有1个极大值点.
（3）由 ，且 ，知 ，
由（2）知，当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，
且 ，所以 .
若 ，则 ，不符合题意；
当 时， 在 上单调递增，
满足 的情况；
由（2）知， ，
，设 ，
则 ，
所以 在 上单调递增，且 ，
所以当 时， ，即 ，
所以 在 上为上凸函数，
则 ，均有 ，
所以 .
2．（2026·北京朝阳·模拟预测）已知函数 .
(1)若 ，求函数 的极值；(2)若 时， ，求a的取值范围；
(3)若函数 有两个极大值点 ，求 的范围.
【答案】(1)极大值为 ，无极小值
(2)
(3)
【分析】（1）首先求函数的导数，并求导函数的零点，根据导函数的正负判断函数的单调性，求函数的
极值；
（2）法1，首先根据 ，得到命题成立的必要条件 ，再证明 时，不等式成立；
法2，首先利用对称性转化为 时， ，再分区间讨论函数的单调性，证明不等式；
法3，利用换元， ，等价于 时， ，再根据 ，讨论 的
取值，判断函数的单调性，证明不等式；
（3）首先根据导函数的零点个数，确定 ，再转化为 在 有两个不等实根
，再代入韦达定理求得 ，即可求解.
【详解】（1） 时，
令 或 （舍去）或 （舍去）
（0,2） 2 （2,4）
+ 0 -
↗ 极大值 ↘极大值为 ，函数 无极小值；
（2）法 1：
所以 时， ，所以 ．
当 时， ，
．
综上， 的取值范围是 ．
法 2： 因为 ，
所以 关于 对称，
所以 时， 等价于 时， ．
首先：由 时， 得 ．
其次：证明 时， 时， ，
当 时， 在 递增， ．
当 时，
① 当 ，即 时，
递增．
② 当 ，即 时，
存在唯一 使得 ，即 ．
递增： 递减．③ 当 ，即 时，
递减．
综上， 最小值为 ，
因为 ，
所以 时， ．
综上， 的取值范围是 ．
法 3：令 ，
．
令 ，
时， ，等价于 时， ，
．
① 当 时， 递增．
② 当 时，存在唯一 使得 ．
递增， 递减．
③ 当 时， ， 在 上递减，其最小值为 ，
欲满足题意，需 ，即 ，
结合条件，此情况下 的范围是 ，
综上 时， ，因为 ，
所以 时， ，当且仅当 ．
综上， 的取值范围是 .
（3）当 时， 只有一个极值点．
当 时， ，
令 或 ．
若函数有两个极大值点 ，
则 在 有两个不等实根 ，
所以 ，且 ．
+ 0 - 0 + 0 -
↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘
由表可知，函数 的两个极大值点为 ，极小值点为 ，
， ，（建议用时：60分钟）
刷模拟
1．（2025·北京·模拟预测）已知函数 ， .
(1)求 斜率为1的切线方程；
(2)若对于任意 ，任意 ，总有 ，求 的最大值；
(3)若 有4个极值点，求 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用导数的几何意义求得斜率，利用点斜式写出方程；
（2）利用导数研究函数 的最小值，求得最小值为 ，利用导数研究函数 的单调性和极值，进
而根据题意得到 的取值范围；
（3）利用导数分析，根据极值存在的条件，并作换元，转化为函数 与直线 在
内有2个不同的交点，利用对数函数的图像和直线的图像，即可得到实数 的取值范围.
【详解】（1） ,令 ，
，故切点为 ，
切线方程为 ；（2）分析 在 的最小值：
， 时 , 单调递减；
时 , 单调递增；
.
分析 在 的最大值：
导数 .
在 或 时 , 单调递增；
时 , 单调递减.
在 处有极大值 ，在 处有极小值 .
令 ，解得 ，
当 时， 在 内单调递增， 趋近于 .
保证 ；
当 时， 在 内的最大值严格小于 ，
因此， 的最大值为 ；
（3）
极值点满足 ，即： ，
令 ，则 ，方程变为：
根据题意，此方程应当有四个不同的实数根
函数 与直线 在 内有2个不同的交点，函数 在 内单调递减，以直线 为渐近线， ,
直线 横截距为1，斜率为 ,
设 , ,
，所以 ,
此时，函数 与直线 在 内有2个不同的交点，
交点横坐标分别记为 ，在每一个值的左右两函数值的差出现正负变号，
从而对应方程： 的4个实数根的每一个的左右 的值出现
正负变号，因此函数 有4个极值点，
综上，实数 的取值范围是 .
2．（2025·北京大兴·三模）已知函数 ，其中 ．
(1)求 的单调区间；
(2)若 恒成立．
①求实数 的值；
②判断方程 的根的个数，并说明理由．
【答案】(1)答案见解析
(2) ；②两个，理由见解析
①
【分析】（1）分 ， 两种情况，解不等式 ， 可得单调区间；
（2）①由（1）可得 满足题意，注意到 ，通过研究 单调性可得
答案；
②由 （ ）单调性，结合零点存在性定理可得零点个数.【详解】（1） ， ．
当 时，对 ， ，
所以 的单调递增区间为 ，无递减区间；
当 时，令 ，得 ．
因为 时， ； 时， ．
所以 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ．
（2）①由（1）知，当 时， 的单调递增区间为 ，
所以当 时，有 ，不符合题意；
当 时， 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ，
所以 ，
令 （ ）， ，
与 在区间 上的情况如下：
－ 0 ＋
↘ 0 ↗
所以
所以 时， ，
时， ，所以 ．
②方程 有两个根，证明如下：令 （ ）， ，
① 时，令 ， ，
， ， 单调递增，
，
所以 ， ，
．
－ 0 ＋
↘ 0 ↗
， ， ，
所以 在区间 上有一个零点．
② 时， ， ，所以 ，所以 递增，
，
由（i）知 ，所以 在区间 上有一个零点．
③ 时，由①知 ， ，
所以 ，所以 无零点．
④ 时，因为 ，
对于函数 ，则 ,
故 在 上递增，所以 ，
所以 无零点．
综上可知函数 有两个零点．
【点睛】关键点睛：对于零点问题，常利用数形结合思想，转化为函数图象的交点问题，也可如本题，利
用函数单调性结合零点存在性定理解决.
3．（2025·北京·三模）已知函数 ， ， ．
(1)若 在点 处的切线平行于直线 ： ，求 的值；
(2)求 的单调区间；
(3)当 时，求证：对任意 ，恒有 成立．
【答案】(1)
(2)函数 的单调递增区间为： ， ，无单调递减区间；
(3)见解析
【分析】（1）求导得出 即可求解；
（2）利用导数求解函数的单调区间，分 和 和 进行讨论，其中当 和 时，需
要令 ，研究 的单调性，得出 与 的关系即可判断；
（3）把问题转化为：令 ，需要证明 对任意 成立，分两种情
况来讨论，通过求导，证明出 单调递增．
【详解】（1） ，
，
，
切线平行于直线 ： ，，解得： ；
（2） ，
，
当 时，显然 ，故 在 上单调递增；
令 ， ，
当 时， ，故 在 上单调递增，
由于 ，故当 时， ，
，故 在 上单调递增；
故 在 上单调递增；
当 时，令 ， ，
当 时， ，故 在 上单调递减，
由于 ，故当 时， ，
，故 在 上单调递增；
故函数 的单调递增区间为： ， ，无单调递减区间；
（3）当 时，需要证明： ，恒有 成立，
即 ，
化简得： ，
即证： ，
当 时， ，又 ，
，
当 时，记 ，则 ，记 ，则 ，
， ，
所以当 ， 单调递增，所以 ，
所以 在 单调递增，所以 ，
综上：对任意 ，恒有 成立．
4．（2025·北京海淀·三模）已知函数 ，曲线 在点 处的切线斜率为
．
(1)求 的值．
(2)求 在 上的零点个数．
(3)证明： 在 上存在两个零点 ，且 ．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）由函数求导，根据导数的几何意义建立方程，可得答案；
（2）先由图象分析零点的存在性，再分段研究函数的单调性，根据零点存在性定理，可得答案；
（3）由函数求导并构造函数，利用导数要求新函数的单调性，根据零点存在性定理，可得答案.
【详解】（1） ，定义域为 ．
．由题可得， ，解得 ．
（2）由（1）可得， ．
当 时， ， ，故 ，在 时无零点；当 时， ， ，故 ，在 时无零点．
当 时， ，所以 在 上单调递增．
而 ， ．
故由零点存在性定理知， 在 上存在唯一零点．
当 时， ， ，故 ，在 时无零点；
综上： 在 上的零点个数为1．
（3） ．令 ， ．
令 ，则 ．
当 时， ， ， ，所以 ．所以 在 上单调递增．
， ，所以由零点存在性定理，存在唯一 ，使得 ．
当 变化时， ， 的变化如下表：
0
极小值
又 ， ， ．
所以由零点存在性定理， 分别在 ， 上各恰有一个零点，即 在 上存在两个零
点 ．
不妨设 ．则当 时， ；当 时， ．而 ， ．
所以 ．故 ．
5．（2025·北京·模拟预测）已知函数 ，曲线 在 处的切线方程为
.
(1)求a，b的值；
(2) 求证： 只有一个零点；
①
②记 的零点为 ，曲线 在 处的切线l与x轴的交点横坐标为 ，若 ，求u的
取值范围.
【答案】(1)
(2) 证明见解析；②
①
【分析】（1）利用导数的几何意义，结合题意得切线方程建立方程，解之即可求解；
（2）①由（1），利用导数研究函数 的单调性，结合零点的定义即可证明；②利用导数的几何意义求
出切线 方程，令 可得 ，结合 ，利用导数研究函数
的单调性可得当 时 ，当 时 ，即可求解.
【详解】（1）由题意知， ，
所以曲线 在 处的切线的斜率为 ，
又曲线 在 处的切线方程为 ，
所以 ，解得 ；
（2）①：由（1）知， ，
令 ，所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
且当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上存在唯一 ，使得 ，
即函数 在 上存在唯一零点.
②：由①知，切线 的斜率为 ，又 ，
所以 ，
令 ，得 ，
设 ，则 ，
令 或 ， 或 ，
所以函数 在 和 上单调递减，在 和 上单调递增，
当 时， ，即 ，由①知 ，故不符合题意；
当 时，由 ，得
，
即 ，符合题意，
故实数 的取值范围为 .
6．（2025·北京通州·一模）已知函数 .
(1)求函数 的单调区间；
(2)曲线 在点 处的切线为l，记l与y轴交点的纵坐标为 ，求 的最大值；(3)若 有两个根 ， ，写出a的范围并证明 .
【答案】(1)增区间 ，减区间
(2)
(3) ，证明见详解
【分析】（1）求导，判断导数正负得解；
（2）利用导数的几何意义求出曲线在 处的切线方程，得到 的表达式，利用导数求最大值；
（3）由 的单调性判断极值，值域，得到 的取值范围，且 ， ，要证 ，即证
，又 ，即证 在 上恒成立，转化为 在
上恒成立，构造函数 ， ，利用导数证明 恒成立即可.
【详解】（1）由 ，
故当 时， ，当 时， ，
所以 的单调增区间为 ，减区间为 ；
（2）曲线在 处的切线斜率 ，又 ，
所以其切线方程为 ，
令 ，得 ，则 ， ，
当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，所以 ；
（3）由（1）， 的单调增区间为 ，减区间为 ，且 ， ，
当 时， ，当 时， ，
即 时， ， 时， ，
若 有两个根 ，则 ，且 ， ，
要证 ，即证 ，又 在 上单调递减，
即证 ，又 ，
即证 在 上恒成立，
又 ，即证 ，
两边取对数，原命题即证 在 上恒成立，
令 ， ，
，
故 在 上单调递减，所以 ，
所以 在 上恒成立，故 得证.
7．（2025·北京东城·一模）设函数 ，曲线 在 处的切线方程为
.(1)求 的值；
(2)求不等式 的解集；
(3)已知 ，其中 ，直线 的方程为 .若 ，且 ，求证：
.
【答案】(1) ；
(2) ；
(3)证明见解析.
【分析】（1）利用导数的几何意义求切线方程，结合已知求参数值；
（2）导数研究函数的单调性，结合函数的零点求不等式的解集；
（3）问题化为 且 上 恒成立，即判定证明 、 在 上单调递增
即可证.
【详解】（1）由题设 ，则 ，而 ，
所以曲线 在 处的切线方程为 ，
所以 ，即为 ，则 ；
（2）由（1）得 ，则 ，
令 ，则 ，
当 ， ， 在 上单调递减，
当 ， ， 在 上单调递增，
所以 ，故 在R上单调递增，且 ，
所以 的解集为 ；（3）由（2）知 在R上单调递增，要证 ，即证 ，
由 且 ，即证 ，
由 ， ，则 且 ，
所以 且 上，证明 ，即 恒成立，
所以，只需证 在 上单调递增，且增长速度逐渐变快，
由（2） ， 、 在 上均单调递增，
所以 且 上， 恒成立，故 ，得证.
8．（25-26高三上·北京通州·期末）已知函数 ， .
(1)若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若存在 ，使 ，求 的取值范围；
(3)若 ，求证：对任意 ， ，当 时，不等式 恒成立.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）利用导数的几何意义，求出曲线 在点 处的斜率，再由直线的点斜率式，
即可求解；
（2）先求出 的单调区间，进而求出 的最小值为 ，再结合条件可得 ，再求解
不等式，即可求解；
（3）利用（2）中的结果，将问题转化成证明对任意 ， ，当 时，不等式恒成立，构造函数 ，利用导数，求出其在区间 上
的单调性，即可求解.
【详解】（1）当 时， ，则 ，
所以 ，又 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，
即 .
（2）易知 的定义域为 ，且 ，
因为 ，令 ，得到 ，当 时， ，
当 时， ，
即 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
所以 ，
又由题知，存在 ，使 ，则 ，即 ，
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
即 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
又 ，所以当 时， ，
故 的取值范围为 .
（3）由（2）知 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，又 ，则 ，所以 在区间 上单调递增，
要证对任意 ， ，当 时，不等式 恒成立，
即证明对任意 ， ，当 时，不等式 恒成立，
即证明对任意 ， ，当 时，不等式 恒成立，
令 ，
则 ，当 时， ，
又 ，则 ，所以当 时， ，
则 在区间 上恒成立，所以 在区间 上单调递增，
当 时， ，即 ，
故命题得证.
9．（25-26高三上·北京丰台·期中）已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)求证：当 时， .
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据导数几何意义可求得切线斜率，结合 可得切线方程；
（2）构造函数 ，利用导数可求得 单调性，从而得到 ，
原结论得证.
【详解】（1） 定义域为 ， ， ，又 ，在 处的切线方程为 .
（2）令 ，
则 ， 在 上单调递减，
，即当 时，
10．（2025·北京·模拟预测）已知函数 ，其中 为自然对数的底数， 为函数
的导函数.
(1)当 时，求 在 处的切线方程;
(2)若 在区间 上不是单调函数，求 的取值范围；
(3)若当 时， 恒成立，求 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）当 时，求得 ，得到 ，进而得到切线方程；
（2）求得 ，令 ，得到 ，分 和 ，两
种情况讨论，结合函数 在区间 上不单调，得出不等式，即可求得 的取值范围；
（3）根据题意，转化为 在区间 上恒成立，令 ，求得
，令 ，得到 ，得到 ，得到 的单调性和最小值，进而求得 的取值范围.
【详解】（1）解：当 时，函数 ，可得 ，
则 ，
所以 在 处的切线方程为 ，即 .
（2）解：由函数 ，可得 ，
令 ，则 ，
若 ，可得 恒成立，则 在 上单调递增，不符合题意；
若 ，令 ，可得 ，
要使得函数 在区间 上不单调，则满足 ，
此时 在 上单调递减，在 上单调递增，
即 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，即 ，所以实数 的取值范围为 .
（3）解：当 时，由 恒成立，即 ，
即 恒成立，即 在 上恒成立，
令 ，
可得 ，
令 ，则 且 ，
所以 ，当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，所以 ，即实数 的取值范围为
刷真题
1．（2025·北京·高考真题）已知函数 的定义域是 ，导函数 ，设 是
曲线 在点 处的切线．
(1)求 的最大值；
(2)当 时，证明：除切点A外，曲线 在直线 的上方；
(3)设过点A的直线 与直线 垂直， ， 与x轴交点的横坐标分别是 ， ，若 ，求 的
取值范围．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）利用导数判断其单调性，即可求出最大值；
（2）求出直线 的方程，再构造函数 ，只需证明其最小值（或者下确界）大于零即可；
（3）求出直线 的方程，即可由题意得到 的表示，从而用字母 表示出 ，从而求出范围.
【详解】（1）设 ， ，
由 可得 ，当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，
所以 的最大值为 .
（2）因为 ，所以直线 的方程为 ，即 ，
设 ， ，
由（1）可知， 在 上单调递增，而 ，
所以，当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，且 ，
而当 时， ，所以总有 ， 单调递增
故 ，从而命题得证；
（3）解法一：由题意，直线 ，直线 ，
所以 ， ，
当 时， ， 在 上单调递增，
所以 ，
所以
，由（1）可得当 时， ，
所以 ，
所以 .
解法二：由 可设 ，又 ，所以 ，即 ，
因为直线 的方程为 ，易知 ，
所以直线 的方程为 ,
， .
所以
,由（1）知,当 时， ，所以 ,
所以 .
2．（2024·北京·高考真题）设函数 ，直线 是曲线 在点
处的切线．
(1)当 时，求 的单调区间.(2)求证： 不经过点 .
(3)当 时，设点 ， ， ， 为 与 轴的交点， 与 分别表示
与 的面积．是否存在点 使得 成立？若存在，这样的点 有几个？
（参考数据： ， ， ）
【答案】(1)单调递减区间为 ，单调递增区间为 .
(2)证明见解析
(3)2
【分析】（1）直接代入 ，再利用导数研究其单调性即可；
（2）写出切线方程 ，将 代入再设新函数 ，利用导
数研究其零点即可；
（3）分别写出面积表达式，代入 得到 ，再设新函数
研究其零点即可.
【详解】（1） ，
当 时， ；当 ， ；
在 上单调递减，在 上单调递增.
则 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 .
（2） ，切线 的斜率为 ，
则切线方程为 ，
将 代入则 ，即 ，则 ， ，
令 ，
假设 过 ，则 在 存在零点.
， 在 上单调递增， ，
在 无零点， 与假设矛盾，故直线 不过 .
（3） 时， .
，设 与 轴交点 为 ，
时，若 ，则此时 与 必有交点，与切线定义矛盾.
由（2）知 .所以 ，
则切线 的方程为 ，
令 ，则 .
，则 ，
，记 ，
满足条件的 有几个即 有几个零点.
，
当 时， ，此时 单调递减；
当 时， ，此时 单调递增；
当 时， ，此时 单调递减；因为 ，
，
所以由零点存在性定理及 的单调性， 在 上必有一个零点，在 上必有一个零点，
综上所述， 有两个零点，即满足 的 有两个.
【点睛】
关键点点睛：本题第二问的关键是采用的是反证法，转化为研究函数零点问题.
3．（2023·北京·高考真题）设函数 ，曲线 在点 处的切线方程为 ．
(1)求 的值；
(2)设函数 ，求 的单调区间；
(3)求 的极值点个数．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)3个
【分析】（1）先对 求导，利用导数的几何意义得到 ， ，从而得到关于 的方程组，
解之即可；
（2）由（1）得 的解析式，从而求得 ，利用数轴穿根法求得 与 的解，由此求
得 的单调区间；
（3）结合（2）中结论，利用零点存在定理，依次分类讨论区间 ， ， 与 上的零点的情况，从而利用导数与函数的极值点的关系求得 的极值点个数.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
因为 在 处的切线方程为 ，
所以 ， ，
则 ，解得 ，
所以 .
（2）由（1）得 ，
则 ，
令 ，解得 ，不妨设 ， ，则 ，
易知 恒成立，
所以令 ，解得 或 ；令 ，解得 或 ；
所以 在 ， 上单调递减，在 ， 上单调递增，
即 的单调递减区间为 和 ，单调递增区间为 和 .
（3）由（1）得 ， ，
由（2）知 在 ， 上单调递减，在 ， 上单调递增，
当 时， ， ，即
所以 在 上存在唯一零点，不妨设为 ，则 ，
此时，当 时， ，则 单调递减；当 时， ，则 单调递增；所以 在 上有一个极小值点；
当 时， 在 上单调递减，
则 ，故 ，
所以 在 上存在唯一零点，不妨设为 ，则 ，
此时，当 时， ，则 单调递增；当 时， ，则 单调递减；
所以 在 上有一个极大值点；
当 时， 在 上单调递增，
则 ，故 ，
所以 在 上存在唯一零点，不妨设为 ，则 ，
此时，当 时， ，则 单调递减；当 时， ，则 单调递增；
所以 在 上有一个极小值点；
当 时， ，
所以 ，则 单调递增，
所以 在 上无极值点；
综上： 在 和 上各有一个极小值点，在 上有一个极大值点，共有 个极值点.
【点睛】关键点睛：本题第3小题的解题关键是判断 与 的正负情况，充分利用 的单调
性，寻找特殊点判断即可得解.
4．（2022·北京·高考真题）已知函数 ．(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)设 ，讨论函数 在 上的单调性；
(3)证明：对任意的 ，有 ．
【答案】(1)
(2) 在 上单调递增.
(3)证明见解析
【分析】（1）先求出切点坐标，在由导数求得切线斜率，即得切线方程；
（2）在求一次导数无法判断的情况下，构造新的函数，再求一次导数，问题即得解；
（3）令 ， ，即证 ，由第二问结论可知 在[0,+∞）上单调递增，
即得证.
【详解】（1）解：因为 ，所以 ，
即切点坐标为 ，
又 ，
∴切线斜率
∴切线方程为：
（2）解：因为 ，
所以 ，
令 ，
则 ，
∴ 在 上单调递增，
∴
∴ 在 上恒成立，∴ 在 上单调递增.
（3）解：原不等式等价于 ，
令 ， ，
即证 ，
∵ ，
，
由（2）知 在 上单调递增，
∴ ，
∴
∴ 在 上单调递增，又因为 ，
∴ ，所以命题得证.
5．（2025·全国二卷·高考真题）已知函数 ，其中 ．
(1)证明： 在区间 存在唯一的极值点和唯一的零点；
(2)设 分别为 在区间 的极值点和零点.
（i）设函数 .证明： 在区间 单调递减；
（ii）比较 与 的大小，并证明你的结论．
【答案】(1)证明见解析；
(2)（i）证明见解析；（ii） ，证明见解析.
【分析】（1）先由题意求得 ，接着构造函数 ，利用导数工具研究函数 的单调性和函数值情况，从而得到函数的单调性，进而得证函数 在区间 上存在
唯一极值点；再结合 和 时 的正负情况即可得证 在区间 上存在唯一零点；
（2）（i）由（1） 和 结合（1）中所得导函数 计算得到
，再结合 得 即可得证；
（ii）由函数 在区间 上单调递减得到 ，再结合 ，
和函数 的单调性以以及函数值的情况即可得证.
【详解】（1）由题得 ，
因为 ，所以 ，设 ，
则 在 上恒成立，所以 在 上单调递减，
，令 ，
所以当 时， ，则 ；当 时， ，则 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 在 上存在唯一极值点，
对函数 有 在 上恒成立，
所以 在 上单调递减，
所以 在 上恒成立，又因为 ， 时 ，
所以 时 ，
所以存在唯一 使得 ，即 在 上存在唯一零点.
（2）（i）由（1）知 ，则 ， ，
，
则
，
，
，
即 在 上单调递减.
（ii） ，证明如下：
由（i）知：函数 在区间 上单调递减，
所以 即 ，又 ，
由（1）可知 在 上单调递减， ，且对任意 ，
所以 .6．（2025·全国一卷·高考真题）（1）求函数 在区间 的最大值；
（2）给定 和 ，证明：存在 使得 ；
（3）设 ，若存在 使得 对 恒成立，求b的最小值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）利用导数结合三角变换得导数零点，讨论导数的符号后得单调性，从而可求最大值；或者
利用均值不等式可求最大值.
（2）利用反证法可证三角不等式有解；
（3）先考虑 时 的范围，对于 时，可利用（2）中的结论结合特值法求得 ，从而
可得 的最小值；或者先根据函数解析特征得 ，再结合特值法可得 ，结合（1）的结果可得
的最小值.
【详解】（1）法1： ，
因为 ，故 ，故 ，
当 时， 即 ，
当 时， 即 ，
故 在 上为增函数，在 为减函数，
故 在 上的最大值为 .
法2：我们有.
所以：
.
这得到 ，同时又有 ，
故 在 上的最大值为 ，在 上的最大值也是 .
（2）法1：由余弦函数的性质得 的解为 ， ，
若任意 与 交集为空，
则 且 ，此时 无解，
矛盾，故无解；故存在 ，使得 ，
法2：由余弦函数的性质知 的解为 ，若每个 与 交集都为空，
则对每个 ，必有 或 之一成立.
此即 或 ，但长度为 的闭区间 上必有一整数 ，
该整数 不满足条件，矛盾.
故存在 ，使得 成立.
（3）法1：记 ，
因为 ，
故 为周期函数且周期为 ,故只需讨论 的情况.
当 时， ，
当 时， ，
此时 ，
令 ，则 ，
而 ，
，故 ，
当 ，在（2）中取 ，则存在 ，使得 ，
取 ，则 ，取 即 ，
故 ，故 ，
综上 ，可取 ， 使得等号成立.
综上， .法2：设 .
①一方面，若存在 ，使得 对任意 恒成立，
则对这样的 ，同样有 .
所以 对任意 恒成立，这直接得到 .
设 ，则根据 恒成立，有
所以 均不超过 ，
再结合 ，
就得到 均不超过 .
假设 ，则 ，
故 .
但这是不可能的，因为三个角 和单位圆的交点将单位圆三等分，
这三个点不可能都在直线 左侧.
所以假设不成立，这意味着 .②另一方面，若 ，则由（1）中已经证明 ，
知存在 ，使得 .
从而 满足题目要求.
综合上述两个方面，可知 的最小值是 .
