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单元集训卷11 三角函数与解三角形
（考试时间：120 分钟，分值：150 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58 分）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由诱导公式和两角差的正弦公式，正弦二倍角公式化简求值即可.
【详解】原式
．
2．已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先得到
的范围，求出
，再根据“凑角法”由两角差的正弦公式进行求解即可.
【详解】
，
．
3．已知
，β都是锐角，sin α = 4
5 ，
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】已知
是锐角，sin α = 4
5 ，则
，
，β都是锐角，则
，又
，
则
，故
，
．
4．将函数
的图象经过下列哪种变换可以得到函数
的图象（ ）
A．先向左平移
个单位，再将函数图象上每一点的横坐标变为原来的1
2倍（纵坐标不变）
B．先向左平移
个单位，再将函数图象上每一点的横坐标变为原来的2 倍（纵坐标不变）
C．先向左平移
个单位，再将函数图象上每一点的横坐标变为原来的1
2倍（纵坐标不变）
D．先向左平移
个单位，再将函数图象上每一点的横坐标变为原来的2 倍（纵坐标不变）
【答案】A
【详解】先将
向左平移
个单位，可得
，
再将函数图象上每一点的横坐标变为原来的1
2倍（纵坐标不变），
可得
的图象，故A 正确.
5．已知函数
的图象向左平移
（
）个单位长度后关于
轴对称，则
的最小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用平移变换的性质
求出结果.
【详解】由题可得
，
所以
，
因为函数
的图象关于
轴对称，
所以
，即
，
又
，所以
的最小值是
．
6．在
中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c．若
，△ABC的面积
，
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】因为
，所以由正弦定理得，
，
而
，所以
，
因为
，所以
，
又因为
，所以
，
而A ∈(0,π)，所以A = π
2 ，
由余弦定理得
，所以
，
因此
，而
，因此
，
所以
，因此
，
故
.
7．在锐角△ABC中，内角
的对边分别为
，已知
，
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用正弦定理将边化为角，转化为角B 的三角函数的值域问题，结合锐角三角形条件确定角B 的取值范
围，从而得到三角函数的值域，求出
的取值范围.
【详解】由已知得：
，即
，
所以
，又
，所以
，
由正弦定理得：
，
所以
，
所以
又
所以由
是锐角三角形得：
，
，即
的取值范围是
．
8．钝角
的内角
，
，C的对边分别为
，
，c，且
，则
的取值范围为
（）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先对已知等式进行化简，求出角C，再利用余弦定理将
转化为关于角
的表达式，最后根据角
的范围求出
的取值范围.
【详解】已知
，则
.
即
.
所以
.
由于
，
所以
或
.
当
时，可得B+C = π
2 ，那么
，不满足
为钝角三角形， 舍去.
当
时，则
，满足
为钝角三角形，此时
.
由正弦定理得，
，
由各内角大于0，即
，可得
，故
，
对勾函数
在
上单调递减，且
，
所以
，所以
的取值范围为
.
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的
得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．下列各式中，值为
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【详解】A.
，所以
，A 正确.
B.
，B 错误.
C.
，C 正确.
D.
.
因为
，
所以原式
，D 错误.
10．函数
的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．点
为
图象的一个对称中心
C．
时，
的值域为
D．若
，则
【答案】AB
【分析】对A，根据图象振幅确定
，结合周期公式算出
，再代入最低点坐标求出初相
，从而确定
函数表达式；对B，将
代入函数表达式，验证
，说明该点是函数图象的一个对称中心；对C，先
确定当
时，
的取值范围，再根据正弦函数的单调性判断值域是否正确；对D，先由
求出
，再利用三角恒等变换公式将
转化为关于
的表达式，进而求出结果．
【详解】对于A：由图象知
，
由函数图象的对称性可知f ( x)的一个最低点为
，即
，
又f ( x)的最小正周期为
，
，
由
可得
，即
，
即
，因为
，所以
，
所以
，A 正确；
对于B：因
，所以点
为f ( x)图象的一个对称中心，B 正确；
对于C：当
时，
，则f ( x)的值域为
，C 错误；
对于D：
，所以
，
则
，D 错误．
11．三角形
的内角
，
，C的对边分别为
，
，c，且
，下列说法正确的是（ ）
A．a=3
B．若
，
，则三角形
为锐角三角形
C．若
，
，则
D．若A =π
4 ，且三角形
有两解，则
【答案】AC
【分析】选项 A 通过射影定理得：
，直接判定正确；选项 B 结合余弦定理计算最大边所对
角的余弦值，可知该角为钝角，三角形为钝角三角形，故 B 错误；选项 C 运用正弦定理求出
，再根据
大边对大角舍去不合理解，得到
，C 正确；选项 D 依据三角形两解的条件推出b 的取值范围为开区间
，原选项区间有误，D 错误.
【详解】对于A 项，在
中，由射影定理得：
，
将其代入条件
，可得：
因为
，所以a=3，故选项 A 正确；
对于B 项，已知
，该三角形最大边为c，则最大的角为角C，
由余弦定理：
所以角C 为钝角，
为钝角三角形，故选项 B 错误；
对于C 项，已知
，
由正弦定理
得：
。
又a<b，根据大边对大角，得
，所以
，故选项 C 正确；
对于D 项，已知a=3，A =π
4 ，当三角形有两解时，满足条件：
，
解得：
，故
，故选项 D 错误.
第二部分（非选择题 共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．已知函数
，则
在
上的值域为___________．
【答案】
【分析】利用同角三角函数的平方关系将原函数转化为关于
的二次函数，再利用换元法，及二次函数的性质
即可求解．
【详解】由f (x)=cos
2 x +sin x =1−sin
2 x +sin x，x∈[0,π
2 )，
令
，
，则原函数转化为二次函数
，
，
又该二次函数开口向下，且对称轴为t = 1
2 ∈[0,1)，
当
时，
取得最大值，ymax =−(
1
2)
2
+ 1
2 +1= 5
4 ；
当
时，
；当
时，
，即
，
所以
在[0,π
2 )上的值域为[1,5
4)．
13．已知角
的终边不重合，且
，则
___________.
【答案】
【分析】利用辅助角公式，化简得到
，求得
，进而得到答案.
【详解】由
，可得
，
因为
，
且
，所以
，
因为角
的终边不重合，所以
，
则
，可得
，
所以
.
14．在锐角三角形
中，角
的对边分别是
，若
的面积
，则
的最小值为
________．
【答案】8
【分析】根据条件，利用三角形面积公式及正弦定理得到
，利用正弦的和角公式及商数关系，得
到
，再由正切的和角公式得
，
令
，得到
，即可求解.
【详解】因为
的面积
，则
，
又
，则
，
所以
，
又
，所以
，
则
，所以
，
则
，
令
，则
，
因为
，则
，所以m>1，
则
，
当且仅当
，即
时取等号，
所以
的最小值为8.
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．已知点
是函数
的一个对称中心．
(1)求
的值；
(2)若函数
的最大值为
，求f ( x)的最小值和单调递增区间．
【答案】(1)
(2)
的最小值为
，单调递增区间为
【分析】(1)利用余弦函数的对称中心性质即可求出
的值.(2)先利用二倍角公式和辅助角公式化简
,即可求解
最值和单调性.
【详解】（1）已知点
是对称中心，则有
，
解得
，又因为
，所以当k =0时，
.
（2）由(1)知，
则
即
因为
，所以
的最大值为
由题意可知
.
所以
，所以
的最小值是
.
解得，
所以
单调递增区间为
16．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用，现有一个筒车
按逆时针方向匀速转动，每10 秒钟转动1 圈.如图，将该筒车抽象为圆
，筒车上的盛水桶抽象为圆
上的点
，
已知圆
的半径为2m，圆心
距离水面1m，且当圆
上点
从水中浮现时（图中点
）开始计算时间.
(1)在如图所示的平面直角坐标系上，将点
到水面的距离h（单位：m，且点
在水面下时h为负数）表示为时间t
（单位：）的函数
，求h(t )的解析式；
(2)当
，求盛水桶高度上升的区间.
【答案】(1)
(2)
或
【分析】（1）根据题意可确定
，结合最小正周期公式得到
，根据最值得到
，
，再代入
，
可求
即可得到h(t )的解析式；
（2）以
为整体，结合正弦型函数的单调性运算求解即可．
【详解】（1）根据题意可知：h(t )的最小正周期
，
且
，则
，解得
，
因为
，解得
，则
，
又因为
，即
，
且
，则
，
所以
.
（2）因为
，
若
，则
，
令
或
，解得
或
，
所以盛水桶高度上升的区间为
或
.
17．已知函数
(1)讨论
在区间[0,π)上的单调性；
(2)在锐角
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若
，
，求
周长的最大值．
【答案】(1)递增区间
，递减区间
(2)
【分析】（1）先化简
，再利用正弦函数的单调性即可求出；
（2）先求出
，再利用余弦定理和基本不等式即可求出.
【详解】（1）由题意得
，
令
，当
时，
，
当
，即
时，
单调递增，
单调递增；
当
，即
时，
单调递减，
单调递减；
当
，即
时，
单调递增，
单调递增.
（2）
，
，
，
，
，
，即
，
，
，
由基本不等式得
，解得
，
当且仅当
时等号成立，
此时
为等边三角形，满足锐角三角形，周长的最大值为
.
18．在
中，设角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，且满足
．
(1)求角B；
(2)若D 在AB边上且
，
，求
的最大值．
【答案】(1)
(2)8
【分析】（1）根据正弦定理，结合辅助角公式进行求解即可；
（2）根据余弦定理可得
，然后利用基本不等式求解即可.
【详解】（1）因为
，
根据正弦定理得：
，
且
，
可得
，
即
，又因为
，则
，
可得
，整理可得
，
又
，则
，可得
，解得
.
（2）由
得
，又
，
，
则由余弦定理得
，即
，
即
，
由基本不等式得
，
所以
，所以
，
当且仅当
时取等，所以
的最大值为8.
19．已知
的内角
，
，C的对边分别为
，
，c，且
.
(1)判断
的形状并说明理由.
(2)已知
的面积为1
2.
（i）若
，求c的值；
（ii）若
为锐角三角形，求c的取值范围.
【答案】(1)等腰三角形，因为
，根据正弦定理，所以
，则
，
则
.
因为
，
，所以
，则
，
则
，即
，从而
为等腰三角形.
(2)
（i）
或
；（ii）(0,❑√2).
【分析】（1）根据正弦定理以及同角三角函数的关系化简得到
，再求解即可.
（2）（i）根据三角形面积公式求出
，再余弦定理求出c.
（ii）根据（i）得到
，再根据余弦定理得到
，结合等腰三角形以及锐角三角形求出C的范围，
进而得到c的取值范围.
【详解】（1）略
（2）（i）因为
的面积为1
2，所以
.
又
，所以
，
即
，则
.
由余弦定理知
.
当
时，
，得
；
当
时，
，得
.
（ii）由（i）可得
，则
.
因为
为锐角三角形，且
，所以
解得
，则
，则
，
则
，故c的取值范围为(0,❑√2).
