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专项 05 导数
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【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测
【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式
【实战刷题·冲高分】精选高考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分
根据近五年天津卷考情，函数与导数是解答题必考主干，分值固定16分，为试卷压轴题．
命题趋势：
解答题：稳定考查导数综合（常为第20题），核心是利用导数研究函数单调性、极值、最值，结合零
点、不等式证明、恒成立与存在性、切线问题等进行综合考查，侧重分类讨论与逻辑推理．
2026年预测：解答题仍为导数压轴综合题，延续两到三问结构，第一问研究单调性或切线，后几问围
绕零点、不等式、参数范围展开．
备考核心：熟记基本求导公式与运算法则，强化“求导—定号—分析单调性”的核心流程，重点训练
分类讨论、构造函数、放缩证明等解题能力．
题型01 含参函数单调性、极值与最值综合问题
析典例 · 建模型
1．（24-25高三上·天津武清·月考）已知函数 ．
(1)若曲线 在点 处的切线的斜率为 ，求a的值；
(2)求 的单调区间；
【思路分析】
（1）应用导数的几何意义有 ，即可求；（2）对函数求导，根据导数的区间符号求单调区间.
【规范解答】
（1）由题设 ，则 ，
又在点 处的切线的斜率为 ，则 ，可得 ；
（2）由题设 且 ，
当 ，则 ，故 在 上单调递减，
当 ，则 ， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
综上， 时， 的递减区间为 ，无递增区间，
时， 的递减区间为 ，递增区间为 .
研考点 · 通技法
含参函数单调性的讨论依据：（1）导函数有无零点讨论（或零点有无意义）；（2）导函数的零点在不在
定义域或区间内；（3）导函数多个零点时大小的讨论．
再根据单调性变化确定极值点，结合区间端点与极值比较得出最值，全程注意定义域对参数范围的约束．
破类题 · 提能力
1．（24-25高三上·天津河西·月考）已知函数 ．
(1)若 ，求 在 处的切线方程．
(2)当 时，证明： 有两个不同的极值点．
(3)讨论 的单调性．
【答案】(1) ；(2)证明见解析；(3)答案见解析.
【解析】（1）由题设 ，则 ，
所以 ， ，故切线方程为 ，
整理得 .（2）由题设 ，则 ，
由函数定义域为 ，则当 时 ，当 或 时 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
显然 有两个不同的极值点，分别为 和 ，得证.
（3）由题设 ，且 ，
当 时， ，故当 时 ，当 时 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减；
当 时，由 得 ，由 得 或 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增；
当 时， 恒成立，即 在 上单调递减；
当 时，由 得 ，由 得 或 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
2．（25-26高三上·天津河北·期中）已知函数
(1)讨论 的单调性；
(2)当 时，记 在区间 的最大值为 ，最小值为 ，求 的取值范围.
【答案】(1)答案见解析；(2)
【解析】（1）由 ，可得 ，
令 ，得 或 .
因为 ，则当 时， ；当 时， .
时， ， 单调递增；时， ， 单调递减；
时， ， 单调递增.
（2）当 时，由（1）可知， 在 单调递减，在 单调递增，所以 在 的
最小值为 ，最大值为 或 .
所以 ，
所以 .
当 时，设 ， ， 单调递减，
因为 ， ，所以 的取值范围是 .
当 时， 单调递增，所以 的取值范围是 .
综上， 的取值范围是 .
3．（25-26高三上·天津红桥·期中）已知函数
(1)当 时， 求曲线 处的切线方程;
(2)求 的单调区间;
(3)设函数 ，求证: 当 时， 在 上存在极小值.
【答案】(1) ；(2)答案见解析；(3)证明见解析
【解析】（1）当 时， 则 ，则 ，又 ，
所以曲线 处的切线方程为 ，
即 .
（2）解：由 得：① 时， ，∴ 在 递增；
② 时，若 时， ，若 ，则 ，故 在 递增，在
递减；
综上：当 时， 的单调递增区间是 ，误减区间；
当 时， 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 ；
（3）由 得： ，
因为 ，由（2）得： 在 递增，又因为 ，
取 ，显然 ， ，
∴存在 满足 ，
令 ，解得： ，
令 ，解得： ，
故 在 递减，在 递增，
∴ 时， 在 存在极小值.
题型02 函数零点个数判断与参数范围求解
析典例 · 建模型
1．（24-25高三上·天津·开学考）已知函数 .
(1)求函数的单调区间；
(2)求 的零点个数.
(3) 在区间 上有两个零点，求 的范围?
【思路分析】
（1）对函数求导，利用导数正负与原函数的关系求解即可；
（2）结合(1)问的单调性，求出函数 的值域，结合零点存在定理即可求解.
（3）将零点问题转化为函数交点问题，求出 在区间 上的值域即可求解.
【规范解答】（1）由题可得： ，
令 ，解得： 或 ，
令 ，解得： ；
令 ，解得： 或 ；
所以 的单调减区间为： ；单调增区间为： ，
（2）因为 的单调减区间为： ；单调增区间为： ， ，
由于 ，则 在 上无零点；
由于 ，则 在 上无零点；
由于 ，则 在 上存在唯一零点；
综上，函数 在 上存在唯一零点.
（3）若 在区间 上有两个零点，则函数 与 在区间 上有两个交
点；
由(1)知， 在 上单调递增， 上单调递减；
， ， ，
所以函数 与 在区间 上有两个交点，则 ，
即 在区间 上有两个零点，则 的范围为研考点 · 通技法
利用导数确定函数零点的常用方法
1、图象法：根据题目要求画出函数的图象，标明函数极（最）值的位置，借助数形结合的思想分析问题
（画草图时注意有时候需要使用极限）；
2、利用函数零点存在定理：先用该定理判定函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、
极值（最值）及区间端点值的符号，进而判断函数在该区间上零点的个数．
破类题 · 提能力
1．（25-26高三上·天津南开·月考）已知函数 ．
(1)若 的极小值小于 ，求 的取值范围；
(2)当 时，判断 的零点个数并写出证明过程．
【答案】(1) ；(2)2个零点，证明见解析
【解析】（1）函数 的定义域为 ，且 ，
当 时，易得 在 上单调递减，则 无极小值，不满足；
当 时，由 ，得 ，即 在 上单调递增；
由 ，得 ，即 在 上单调递减，
所以 的极小值为 ，而 的极小值小于 ，
所以 ，即 ，
令 ，则 ，
所以当 时， ，当 时， ，
则 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，可得 .
故 的取值范围为 .
（2） ．令 ，得 ，
令 ，则 与 有相同的零点，
且 ．
令 ，则 ，
因为 ，则 ，所以 在区间 上单调递增，
又 ，所以 ，使得 ，
当 时， ，即 ；当 时， ，即 ，
所以 在 单调递减，在 单调递增，最小值为 ．
由 ，得 ，即 ，
令 ，则 ，则 在 单调递增，
因为 ，所以 ，则 ，
所以 ，从而 ，
所以 的最小值 ，
又当 趋近于0时， 趋近于 ，当 趋近于 时， 趋近于 ，
当 时， 有2个零点，
故 有2个零点．
2．（25-26高三上·天津北辰·月考）已知函数 .
(1)若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)当 时，求 的单调区间；
(3)若 ，求函数 的零点个数.
【答案】(1) ；(2)答案见解析；(3)两个零点【解析】（1）由已知 ，则 ， ，
所以 ， ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 .
（2）由已知 ，且 .
令 ，解得 .
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增.
当 时， ，此时 在 上单调递增.
当 时， ，此时 在 上单调递增.
（3）要求函数 的零点个数，即求函数 与直线 的交点个数.
由（2）知，当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增.
若 ，则 在 上单调递减，在 上单调递增.
所以 ，又 ，所以 ，
又当 和 时， ，
所以函数 与直线 有两个交点，故函数 有两个零点.
3．（25-26高三上·天津河北·月考）已知函数
(1)当 时
①求曲线 在点 处的切线方程；
②求 的单调区间与极值．
(2)若函数 有两个零点，求实数 的取值范围．
【答案】(1)① ；②递增区间为 ，递减区间为 ，极大值为 ，
无极小值；(2) .【解析】（1）①当 时，函数 ，求导得 ，则 ，而
，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 .
②函数 的定义域为 ， ，
由 ，得 ；由 ，得 ，
所以函数 的递增区间为 ，递减区间为 ，
函数 在 处取得极大值 ，无极小值.
（2）函数 ，由 ，得 ，令 ，
由函数 有2个零点，得直线 与函数 的图象有2个交点，
求导得 ，当 时， ；当 时， ，
函数 在 上单调递增，在 上单调递减，且 ，
而当 时，恒有 ， ，在同一坐标系内作出直线 与函数 的图象，
观察图象得，当且仅当 时，直线 与函数 的图象有2个交点，
因此函数 有两个零点时， ，
所以实数 的取值范围为 .
题型03 不等式恒成立/存在性求参数范围
析典例 · 建模型
1．（25-26高三上·天津武清·月考）已知函数 ， .
(1)若曲线 在 处的切线的斜率为2，求a的值；(2)若 在区间 上恒成立，求a的取值范围.
【思路分析】
（1）根据函数导数的几何意义，求出函数导数，列出导数值的方程，求出参数；
（2）根据不等式恒成立的性质，构造函数，根据函数导数和函数最值之间的关系，求出函数最小值，求
出参数范围.
【规范解答】
（1）由 ，可知 ，
因为 在 处的切线斜率为2，所以 ，解得 .
（2）若 在区间 上恒成立，即 在区间 上恒成立.
令 ，则 ，
令 ，则 ，
所以 在 时单调递增，可知 .
当 时， ，即 ，所以 在 时单调递增，
所以 成立.
当 时， ，当 时， ，所以 使得 .
当 时， ，即 ，所以 此时单调递减；
当 时， ，即 ，所以 此时单调递增；
所以， 不满足题设条件，舍去.
综上， .
研考点 · 通技法
优先尝试分离参数，将参数单独放于一侧，转化为求另一侧函数的最值；无法分离参数时，构造新函数，
通过导数研究其单调性与最值，结合恒成立条件列不等式求解；存在性问题则对应转化为函数能取到最值
或区间内有解，注意区分恒成立与存在性的不等号方向．
破类题 · 提能力
1．（25-26高三上·天津南开·开学考试）设函数 ．
(1)若 ，求 的单调区间；(2)若当 时 ，求a的取值范围．
【答案】(1)单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；(2)
【解析】（1） 时， ，定义域为R，
，令 得 ，令 得 ，
所以 单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；
（2） ，
由（1）知 ，当且仅当 时，等号成立，
故 ，
又 ，从而当 ，即 时， ，
在 上单调递增，
而 ，于是当 时， ，
由 得 ，即 ，
从而当 时， ，
故当 时， ，
故 在 上单调递减，又 ，故当 时， ，
综上，a的取值范围是 .
2．（25-26高三上·天津·期中）已知函数 .
(1)当 时，
（i）求函数 在点 处的切线方程；
（ii）求函数 的单调区间和极值；
(2)若对于 ，都有不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1)（i） ；（ii）增区间为 ；减区间为 ，极大值为
，极小值为 ；(2) .
【解析】（1）当 时， ，，
（i） ，
所以函数 在点 处的切线方程为 ，
整理为：
（ii）令 得， ，
的变化如下表：
2
+ 0 - 0 +
增函数 极大值 减函数 极小值 增函数
的增区间为 ；减区间为 ，
极大值为 ，极小值为 .
（2）由 ，则 ，
令 ，
，由 ，
所以 时 单调递减； 时 单调递增.
只需 恒成立，则 .
3．（25-26高三上·天津南开·月考）已知函数 ， .
(1)讨论 的单调性；
(2)设 ，函数 ，对于 ， ，使得 ，求实数 的取值范
围.
【答案】(1) 时， 在 单调递减； 时， 在 单调递减， 单调递增
(2)
【解析】（1）由题设 且 ，当 时 在 上递减；
当 时，令 ，
当 时 在区间 上递减；
当 时 在 上递增．
所以当 时， 的减区间为 ，无增区间；
当 时， 的增区间为 ，减区间为 .
（2）由题设对于 ， ，使得 ，知 ， 成
立．
由（1）当 时， ，则 在 上递增， ，
对于 ，函数 单调递增， 在 上递增， ，
所以只需 ．
综上： ．
题型04 不等式的证明
析典例 · 建模型
1．（25-26高三上·天津蓟州·期中）已知函数 .
(1)求曲线 在点 处的切线斜率；
(2)当 时，求证： ．
【思路分析】
（1）求导得 ，再代入计算求出 即可；
（2）设 ，再求导得到其最小值即可证明.
【规范解答】
（1）由 ，可得 ，
所以切线斜率为 ．（2）令 ，
则 ，
当 时 ，所以 在 上单调递减，
当 时 ，所以 在 上单调递增，
所以当 时， 有最小值为 ，
所以当 时， ，即当 时， ．
研考点 · 通技法
单变量不等式直接移项构造新函数，求导分析单调性与最值，证明函数恒正或恒负，结构复杂时可合理放
缩简化后再证明；双变量不等式优先利用条件建立变量间关系，通过比值换元、差值换元统一为单变量函
数，再用导数研究单调性完成证明；涉及函数值大小比较时，可借助函数单调性转化为自变量大小比较．
破类题 · 提能力
1．（25-26高三上·天津·统练）已知函数 ．
(1)求函数 的单调区间
(2)若函数 有两个极值点 ， ，求证：
【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析
【解析】（1） 由 ，得 ，
令 ，则 ， ，
当 ，即 时， 恒成立，则 ，所以 在 上是减函数．
当 ，即 或 ．
当 时，方程 的两根均为负数，故在定义域 内， 恒成立，
从而 ，所以 在 上是减函数．
当 时，函数 有两个零点： ， ，列表如下：综上，当 时， 的减区间是 ，无增区间
当 时， 的增区间是 ，减区间是 和
（2）由 知，当 时， 有两个极值点 ， ， ，
则 ， 是方程 的两个根，从而 ， ，
由韦达定理，得 ， ，所以 ，
．
令 ， ， ，则 ，
当 时， ，则 在 上是增函数，从而 ，
故
2．（25-26高三上·天津南开·开学考试）已知函数 ．
(1)求 的单调区间；
(2)证明： ；
(3)若 ，且 ，求证： ．
【答案】(1)单调递减区间为 ，无单调递增区间；(2)证明见解析；(3)证明见解析
【解析】（1）由 ， ，则 ，
设 ，
则 ，
令 ，得 ；令 ，得 ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
则 ，
则函数 的单调递减区间为 ，无单调递增区间.
（2）要证 ，即证 ，
只要证 .
而 ，
设 ， ，则 ，
令 ，得 ；令 ，得 ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
则 ，则当 时， .
令 ， ，则 ，
故 在 上单调递增，
则 ，即 .
综上所述， ，则 .
（3）由 ，且 ，则 ，
由（1）可知，函数 在 上单调递减，所以 ，
由（2）可知，当 时， ，即 ，即 ；
所以 ，当且仅当 时等号成立，则 .
3．（25-26高三上·天津·月考）已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)设函数 ．
（i）设 为 的极值点，证明： ；
（ii）证明：对任意 ，都有 ．
【答案】(1) ；(2)（i）证明见解析；（ii)证明见解析
【解析】（1）由 ，可得 ，求导得 ，
则 ，
故曲线 在点 处切线方程为 ，
即 .
（2）（i） ，
设 ， ，则
所以 在 上单调递减，
因 ， ，
故存在唯一 ，使得 ，即 ，即 ，
则当 时， ， ，
当 时， ， ，
则 在 上单调递增，在 上单调递减，
为 的极大值点， ，
函数 在区间 单调递减，则 ，
即 .（ii)由 ，因为 和 在 上单调递增，
则 在 上单调递增，且 ， ，
则存在唯一 ，使得 ，即 ，即 ，（*）
当 时， ，当 时， ，
故 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
的最小值为 ，
由（i）可知， 的最大值为 ，且 ，（**）
由于函数 在 上为增函数，由（*），（**）式可得 ，
故对任意正实数 ，都有
，
故对任意正实数 ，都有 .
题型05 极值点偏移问题
析典例 · 建模型
1．（25-26高三上·天津滨海新区·月考）已知函数 有两个不同的零点 .
(1)求实数 的取值范围；
(2)求证： .
【思路分析】
（1）利用导数求单调区间，结合图象可解；
（2）利用单调性将问题转化为证明 ，然后构造差函数 ，
利用导数证明 即可.
【规范解答】
（1） 的定义域为 ，
因为 ，所以当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，所以当 时， 取得最小值 .
又当x趋近于0或 时， 趋于 ，
所以，要使 有两个不同的零点 ，只需满足 ，即 .
所以实数 的取值范围为 .
（2）不妨设 ，由（1）可知， ，则 ，
要证 ，只需证 ，
又 在 上单调递增，所以只需证 ，即证 .
记 ，
则 ，
当 时， ， 单调递增，
又 ，
所以 ，即 .
所以 .
研考点 · 通技法
证明极值点偏移问题常用思路：利用分析法，将所证不等式中的变量分到不等式的两边，构造对称函数，
注意将 和 化到同一区间，再利用导数据研究函数的单调性，求极致、最值等手段证得不等式．
破类题 · 提能力
1．（25-26高三上·天津蓟州·期中）已知函数 ．
(1)求 的单调区间；
(2)若 有两个正零点 ，且 ．
（i）求 的取值范围；（ii）求证： ．
【答案】(1)答案见解析；(2)（i） ；（ii）证明见解析
【解析】（1）函数 的定义域为 ，求导得 ，
当 时， ，所以函数 在 上单调递增；．
当 时，令 ，解得 ，
当 时， ，函数 在 上单调递减，
当 时， ，函数 在 上单调递增．
综上所述，当 时，函数 在 上单调递增；
当 时，函数 在 上单调递减，在 上单调递增．
（2）（i）由题意知方程 有两个不同的正实根 ，
由（1）知 ，且 ，所以 ，解得 ．
（ii）由（1）得 ，所以 ，两边同时取自然对数，
得 ，两式相减得 ，即 ，
要证 ，只需证明 ，
令 ，只需证明 构造函数 ，
求导得 ，所以函数 在 上单调递增，
于是 ，所以不等式（*）成立，于是原不等式 成立．
2．（24-25高三上·天津·期中）已知函数
(1)求函数 单调区间；
(2)设函数 ，若 是函数 的两个零点，
①求 的取值范围；
②求证： ．
【答案】(1)单调递增区间为 ；单调递减区间为 ；(2)① ；②证明见解析
【解析】（1） 定义域为 ， ，当 时， ；当 时， ；
的单调递增区间为 ；单调递减区间为 .
（2）①若 是 的两个不同零点，则 与 在 上有两个不同交点；
由（1）知： ，又 ，
在 的图象如下图所示，
由图象可知： ， ，即 的取值范围为 .
②不妨设 ，由①知： ，
， ，
在 上单调递增，在 上单调递减；
设 ，则 ，
在 上单调递减， ， ，
又 ， ，又 ， ；
， ， 在 上单调递增，
，则 .
3．（24-25高三上·天津河北·期中）已知函数 ，其中 为自然对数的底数．
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)若方程 有两个不同的根 ．（i）求 的取值范围；
（ii）证明： ．
【答案】(1) 在区间 内单调递增，在区间 内单调递减；(2)（i） ；（ii）证明见解析.
【解析】（1）由题意得 ， ，则 ，
由 ，解得 ．
当 时， 单调递增，
当 时， 单调递减；
综上， 在区间 内单调递增，在区间 内单调递减；
（2）（i）由 ，得 ，
设 ，
由（1）得 在区间 内单调递增，在区间 内单调递减，
又 ，当 时， ，且当 时， ，
所以当 时，方程 有两个不同的根，即方程 有两个不同的根，
故 的取值范围是 ．
（ii）不妨设 ，则 ，且 ．
法一：
当 时，结合（i）知 ，即 ；
当 时， ．
设
则
所以 在区间 内单调递增，
则 ，即 ，
所以
又 在区间 内单调递减，所以 ，即 ，
又 ，所以 ，
故 ，所以 ，得证．
法二：
设 ， ，
则 ，
所以 在区间 内单调递增，又 ，
所以 ，即 ．
又 ，所以 ，
又 在区间 内单调递减．
所以 ，即 ，
又 ，所以 ，得证．
（建议用时：45分钟）
刷模拟
1．（25-26高三上·天津·月考）已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)求函数 的极值；
(3)函数 ，若 在定义域内有解，求 的范围．
【答案】(1) ；(2)函数 的极大值为 ，极小值为 ；(3)【解析】（1）由题知 ，
所以 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为： .
（2）由（1）知 ，定义域为 ，
令 得 ，
所以，当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
所以当 时，函数 有极大值 ；
当 时，函数 有极小值 .
综上，函数 的极大值为 ，极小值为
（3）解：函数 ， 在定义域内有解，
故 在 内有解，
即 在 内有解，
所以 在 内有解，
所以
令
令 ， ，则 在 上恒成立，
所以 在 上单调递增，所以 在 上的值域为 ，
令 ，则 ，
显然当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减，
所以 ，
所以 有最大值 ，
所以 ，即 的取值范围为
2．（25-26高三上·天津河东·月考）已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 ，且 在 上单调递增，求 的取值范围；
(3)证明：当 时， .
【答案】(1) ；(2) ；(3)证明见解析
【解析】（1）当 时， ，则 ，
，则 ，
故曲线 在点 处的切线方程为 ，即 .
（2）依题可知， 在 上恒成立.
令 ，则 ，
因为 ，所以 ，
所以 恒成立，
所以 是 上的增函数.
因为 在 上单调递增，
所以 在 上恒成立，
只需 ，
又 ，故 .
（3）令 ，该二次函数的图象的对称轴为直线 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ， ，则 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，所以 ，所以 在 上单调递增.
问题可转化为证明 ，即证 ，
即证 .
令 ，则 ，
令 ，
则 ，
所以 在 上单调递减，且 ，
所以当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，即 ，证毕.
3．（2026·天津东丽·一模）设函数 ．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)当 时，讨论 的单调性；
(3)在（2）的条件下，记 的最大值为 ，若对任意的 ，使得关于a的不等式
恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】(1) ；(2)当 时， 在 上单调递增；当 时， 在
上单调递增，在 上单调递减；当 时， 在 上单调递减；(3)
【解析】（1）依题意 ，
所以 , ，
又
函数在 处的切线方程为 ，即 ．
（2）当 ，
①当 时， ， 在 单调递增，②当 时， ， 在 单调递减，
③当 时，令 ，解得
则当 时， ，当 时， ，
所以 在 单调递增，在 单调递减．
综上可知，
当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递减
（3）由（2）可知， ，
，
故 在 单调递减，
又因为 时， ，所以 ，即 ，
因为，对 ，关于a的不等式 恒成立，
所以，对 ， 恒成立，
即 成立，
令 ，
因为
令 在 上单调递增
因为所以，由零点存在定理，可知 ，使得 ，即 ．
当 时，
当 时，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减
所以 ，
所以
4．（25-26高三上·天津河东·期中）已知函数 ．
(1)当 时， 在区间 上存在极值，求 的取值范围；
(2)若 的图象与 轴有且只有一个交点，求 的取值范围；
(3)设 ，当 时，若对任意给定的 ，总存在唯一的 ，使得
成立，求 的取值范围．
【答案】(1) ；(2) ；(3)
【解析】（1）当 时，由已知 ，
令 ，解得 或 ，
因为 ，
所以要使函数 在区间 上存在极值，只需 ，
解得 ．
（2）当 时， ， 的图象与 轴没有交点；
当 时，令 ，解得 或 ．
当 时，
0 2
0 0
极大值 极小值， ．
若函数 的图象与 轴有且只有一个交点，则 ，解得 ，
所以 ；
当 时，
0 2
0 0
极小值 极大值
， ．
则函数 的图象与 轴有且只有一个交点，
所以 ；
综上，
（3）由题意知， ，
因为 ， ，
所以由 ，解 或 ，由 ，解得 ，
故 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 和 ，
， ， ， ，
又因为 在 上单调递增，
所以 的值域为 ，
依题意，对任意给定的 ，总存在唯一的 ，使得 成立，
可得 ，即 ，
解得 的取值范围是 ．5．（2026·天津·一模）设函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)讨论 的单调性；
(3)设 为 的导函数，若 在 上有两个不同的零点 ， ，求证：
．
【答案】(1) ；(2)当 时， 在 上单调递增；
当 时， 有两根记为 ， 在 和 上单调递增，在
上单调递减；(3)证明见解析
【解析】（1）函数 ，有 ，
，有 ，
所以切线方程为 ，
即曲线 在点 处的切线方程为 .
（2）函数 ， ， ，
令 ， ， ，
令 ，得 ，
令 ，得 ，所以 在 上单调递减，
令 ，得 ，所以 在 上单调递增，
所以 ，
①当 时， ，
所以 ，即 ，
所以 在 上单调递增；
②当 时， ，
所以 ，即 ，
当 时， ， ，从而 ，
当 时， ， ，与 相比，指数函数 呈爆炸性增长，从而
，
所以 有两根，记为 ，
当 变化时， 与 的变化情况如下表：+ 0 - 0 +
单调递 单调递
极大值 极小值 单调递增
增 减
在 和 上单调递增，在 上单调递减；
综上所述：当 时， 在 上单调递增；
当 时， 有两根，记为 ， 在 和 上单调递增，在
上单调递减.
（3）由（2）知， ，
因为函数 在 上有两个不同的零点 ，
所以 即 ， 即 ，
两式相除得 ，令 ③，
，所以 ，代入③式得 ，
，
令 ， ， ，
令 ， ，
因为 ，所以 ，
所以 在区间 上单调递增，所以 ，
所以 在区间 上单调递增，所以 ，
得证 .
刷真题
1．（2025·天津·高考真题）已知函数(1) 时，求 在点 处的切线方程；
(2) 有3个零点， 且 .
（i）求a的取值范围；
（ii）证明 ．
【答案】(1) ；(2)（i） ；（ii）证明见解析.
【解析】（1）当 时， ， ，
则 ，则 ，且 ，
则切点 ，且切线的斜率为 ，
故函数 在点 处的切线方程为 ；
（2）（i）令 ， ，
得 ，
设 ，
则 ，
由 解得 或 ，其中 ， ；
当 时， ， 在 上单调递减；
当 时， ， 在 上单调递增；
当 时， ， 在 上单调递减；
且当 时， ； 当 时， ；
如图作出函数 的图象，
要使函数 有3个零点，则方程 在 内有 个根，即直线 与函数 的图象有 个交点.
结合图象可知， .
故 的取值范围为 ；
（ii）由图象可知， ，
设 ，则 ，
满足 ，由 可得 ，
两式作差可得 ，
则由对数均值不等式可得 ，
则 ，故要证 ，
即证 ，只需证 ，
即证 ，又因为 ，则 ，
所以 ，故只需证 ，
设函数 ，则 ，
当 时， ，则 在 上单调递增；
当 时， ，则 在 上单调递减；
故 ，即 .
而由 ，
可知 成立，故命题得证.
2．（2024·天津·高考真题）已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；(2)若 对任意 成立，求实数 的值；
(3)若 ，求证： ．
【答案】(1) ；(2)2；(3)证明过程见解析
【解析】（1）由于 ，故 .
所以 ， ，所以所求的切线经过 ，且斜率为 ，故其方程为 .
（2）设 ，则 ，从而当 时 ，当 时 .
所以 在 上递减，在 上递增，这就说明 ，即 ，且等号成立当且仅当 .
设 ，则
.
当 时， 的取值范围是 ，所以命题等价于对任意 ，都有 .
一方面，若对任意 ，都有 ，则对 有
，
取 ，得 ，故 .
再取 ，得 ，所以 .
另一方面，若 ，则对任意 都有 ，满足条件.
综合以上两个方面，知 的值是2.
（3）先证明一个结论：对 ，有 .
证明：前面已经证明不等式 ，故 ，
且 ，
所以 ，即 .由 ，可知当 时 ，当 时 .
所以 在 上递减，在 上递增.
不妨设 ，下面分三种情况（其中有重合部分）证明本题结论.
情况一：当 时，有 ，结论
成立；
情况二：当 时，有 .
对任意的 ，设 ，则 .
由于 单调递增，且有
，
且当 ， 时，由 可知
.
所以 在 上存在零点 ，再结合 单调递增，即知 时 ， 时
.
故 在 上递减，在 上递增.
①当 时，有 ；
②当 时，由于 ，故我们可以取 .
从而当 时，由 ，可得
.
再根据 在 上递减，即知对 都有 ；
综合①②可知对任意 ，都有 ，即 .根据 和 的任意性，取 ， ，就得到 .
所以 .
情况三：当 时，根据情况一和情况二的讨论，可得 ，
.
而根据 的单调性，知 或 .
故一定有 成立.
综上，结论成立.
3．（2023·天津·高考真题）已知函数 ．
(1)求曲线 在 处的切线斜率；
(2)求证：当 时， ；
(3)证明： ．
【答案】(1) ；(2)证明见解析；(3)证明见解析
【解析】（1） ，则 ，
所以 ，故 处的切线斜率为 ；
（2）要证 时 ，即证 ，
令 且 ，则 ，
所以 在 上递增，则 ，即 .
所以 时 .
（3）设 ， ，则 ，
由（2）知： ，则 ，
所以 ，故 在 上递减，故 ；
下证 ，
令 且 ，则 ，
当 时 ， 递增，当 时 ， 递减，
所以 ，故在 上 恒成立，
则 ，
所以 ， ，…， ，
累加得： ，而 ，
因为 ，所以 ，
则 ，
所以 ，故 ；
综上， ，即 .
4．（2022·天津·高考真题）已知 ，函数
(1)求曲线 在 处的切线方程；
(2)若曲线 和 有公共点，
（i）当 时，求 的取值范围；
（ii）求证： ．
【答案】(1) ；(2)（i） ；（ii）证明见解析
【解析】（1） ，故 ，而 ，曲线 在点 处的切线方程为 即 .
（2）（i）当 时，
因为曲线 和 有公共点，故 有解，
设 ，故 ，故 在 上有解，
设 ，故 在 上有零点，
而 ，
若 ，则 恒成立，此时 在 上无零点，
若 ，则 在 上恒成立，故 在 上为增函数，
而 ， ，故 在 上无零点，
故 ，
设 ，则 ，
故 在 上为增函数，
而 ， ，
故 在 上存在唯一零点 ，
且 时， ； 时， ；
故 时， ； 时， ；
所以 在 上为减函数，在 上为增函数，
故 ，
因为 在 上有零点，故 ，故 ，
而 ，故 即 ，
设 ，则 ，
故 在 上为增函数，
而 ，故 .
（ii）因为曲线 和 有公共点，
所以 有解 ，其中 ，
若 ，则 ，该式不成立，故 .
故 ，考虑直线 ，表示原点与直线 上的动点 之间的距离，
故 ，所以 ，
下证：对任意 ，总有 ，
证明：当 时，有 ，故 成立.
当 时，即证 ，
设 ，则 （不恒为零），
故 在 上为减函数，故 即 成立.
综上， 成立.
下证：当 时， 恒成立，
，则 ，
故 在 上为增函数，故 即 恒成立.
下证： 在 上恒成立，即证： ，
即证： ，即证： ，
而 ，故 成立.
故 ，即 成立.
5．（2021·天津·高考真题）已知 ，函数 ．
（I）求曲线 在点 处的切线方程：
（II）证明 存在唯一的极值点
（III）若存在a，使得 对任意 成立，求实数b的取值范围．
【答案】（I） ；（II）证明见解析；（III）
【解析】（I） ，则 ，
又 ，则切线方程为 ；
（II）令 ，则 ，
令 ，则 ，
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增，当 时， ， ，当 时， ，画出 大致图像如下：
所以当 时， 与 仅有一个交点，令 ，则 ，且 ，
当 时， ，则 ， 单调递增，
当 时， ，则 ， 单调递减，
为 的极大值点，故 存在唯一的极值点；
（III）由（II）知 ，此时 ，
所以 ，
令 ，
若存在a，使得 对任意 成立，等价于存在 ，使得 ，即 ，
， ，
当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，
所以 ，故 ，
所以实数b的取值范围 .
