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专项 05 21 题压轴题 3 大考向
（函数与导数、数列、新定义问题）
内容导航
【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测
【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式
【实战刷题·冲高分】精选高考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分
年份 核心考点 命题结构 命题特点/创新点 对应思想方
法
2021年 主考点：函数新定义 （1）定义验证+简单单调 新定义贴近函数 数形结合、
（“关联函数”）、导数 性判断； 性质，设问常 分类讨论、
单调性；辅助考点：函 规，难度梯度清 转化与化归
数奇偶性、不等式恒成 （2）参数范围求解； 晰，无复杂构造
立
（3）存在性证明
2022年 主考点：极值、函数零 （1）新定义翻译+简单最 引入“下界”概念 分类讨论、
点；辅助考点：新定义 值计算； （大学确界思想 零点存在定
（“下界函数”）、不等 下放），侧重零 理、数形结
式放缩 （2）零点个数判断； 点分析，计算量 合
适中
（3）最值范围与证明
2023年 主考点：导数切线、同 （1）切线方程求解+定义 首次强化同构法 同构构造、
构构造；辅助考点：新 验证； 应用，多变量问 主元法、转
定义（“奇异点”）、多 题出现，对构造 化与化归、
变量消元 （2）同构构造求参数； 能力要求提升 数形结合
（3）多变量最值证明
2024年 主考点：隐零点、不等 （1）定义翻译+距离表达 隐零点“设而不 隐零点法、
式证明；辅助考点：新 式化简； 求”成为核心，引 反证法、数
定义（“最近点”）、导 入距离类新定 形结合、分
数符号判断 （2）隐零点应用求参 义，几何直观要 类讨论数； 求高
（3）唯一性证明
2025年 主考点：导数单调性、 （1）定义验证+单调区间 多参数问题难度 分类讨论、
多参数范围；辅助考 求解； 提升，放缩技巧 主元法、切
点：新定义（“性质 要求高，强调逻 线放缩、先
P”）、切线放缩 （2）多参数消元求范 辑严谨性 猜后证
围；
（3）复杂不等式放缩证
明
2026年 主考点：函数导数+新 （1）基础定义翻译+简单 延续新定义+导 同构构造、
（预 定义（大概率为距离/有 计算； 数主线，强化构 隐零点法、
测） 界性类）；辅助考点： 造性证明和逻辑 反证法、主
隐零点、同构构造、反 （2）参数范围/存在性问 闭环，可能融入 元法、数形
证法；潜在交汇：导数 题； 强基风格（如数 结合、先猜
+三角/数列 列递推） 后证
（3）多变量唯一性/最值
证明（难度提升）
题型01 函数与导数综合题（高频主流题型）
析典例 · 建模型
1．（2026·上海崇明·二模）函数 ， 是减函数，即对于任意的 ， ，当 时，均
有 ．
(1)若 ，求实数a的取值范围；
(2)是否存在函数 是偶函数，且满足 对所有 成立？若存在，请举出一个满足条件
的函数，若不存在，请说明理由；(3)设 ，已知函数 是周期函数，求证： 为常值函数．
【思路分析】（1）利用导数恒小于或等于 即可得到 取值范围；
（2）结合单调性和奇偶性判断出 为常值函数，进一步判断 不恒成立；
（3）根据周期函数性质构建出等式，根据 的单调性得到 应满足的性质，再结合正弦函数本身的
性质进行推导，最后得到 为常数
【规范答题】（1） 为减函数，则 即 恒成立，所以 .
（2）因为 为减函数，取任意实数 ，设 ，则有 ，
又 为偶函数即有 ，可得 ，
同时根据单调性由 可得 ，所以
即 对任意实数 成立，所以 为常值函数，设 ，
则 ，
当 时， 不成立，所以不存在满足条件的函数.
（3）设函数 的正周期为 即对任意 都有 ，
因为 ，根据 为减函数可知 ，所以 ，
那么有 ，因为 ，
所以 即 ，于是可得 ，从而 ，
而 为减函数，所以 在 上为常值函数，其中 为任意实数，
所以 在 上为常值函数.2．（2026·上海静安·二模）已知函数 （ 且 ）．
(1)当 时，求函数 的极值；
(2)若直线 是曲线 的一条切线，求 的值和切点的坐标；
(3)若函数 的图像与 的图像相交于相异两点 和 ，求 的取值范围．
【思路分析】（1）求导找单调性变化点，进而确定极值；
（2）先求导得到切线斜率公式，再根据 “切点在曲线、切线上，且切线斜率等于导数” 列三个方程，
联立消元求解，试根得到切点横坐标，最终算出 和切点坐标；
（3）将两函数交点问题转化为方程根的问题，用导数分析函数单调性，再根据零点存在性求参数范围．
【规范答题】（1）当 时， ， 的定义域为 ，
，
令 ，得 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减．
所以 在 处取极大值 ，无极小值．
（2） ，
设切点为 ，切线 的斜率为 ，所以 ①，
因为切点同时在曲线和切线上，所以 ②，
由①得 ③，由②得 ④，③ ④得 ⑤，
将⑤代入②中得 ，即 ⑥，
设 ， ，
令 ，
由 ，得 ， 单调递增，
又 ，
所以 时， ， 单调递减，
时， ， 单调递增，
又 ，
所以 是 的唯一零点，
即 方程⑥的根，代入⑤得 ，切点坐标为 ．
（3）令 ，即 ，整理得 ，
问题转化为 在 有 个不同正根，
令 ，
，
若 ，则 ， 在 单调递增，最多 个零点，不符合题意，
若 ，令 ，得 ，
当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，
要使 有 个不同零点，需满足极小值小于 （当 和 时， 满足题意），
所以 ，解得 ，
所以 的取值范围 ．
3．（2025·上海·三模）已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 ，求 的值；
(3)当 时，证明： 有2个零点．
【思路分析】（1）利用导数的几何意义求得切线斜率，由点斜式即可得到切线方程；
（2）函数求导后，根据参数 的取值分类讨论，得到 时， ，构
造函数 ，求导推得 ，结合 恒成立即得 的值；
（3）由 得 ，令 ，则 ，令
，求导判断 在区间 上单调递增，结合零点存在定理，推得
，使得 ，求出 的最小值为 ，由 可得 ，
，故得 的最小值 ，由 即可判断函数 ，即函数 的零点个数.
【规范答题】（1）当 时， ，则 ，
所以 ， ，所以曲线 在点 处的切线方程为 ，
即 ．
（2）函数 的定义域为 ，且 ，
① 当 时，易得 ， 在 上单调递减，
又 ，所以当 时， ，不符合题意；
② 当 时，由 ，得 时，即 在 上单调递增；
由 ，得 时，即 在 上单调递减，
所以 ，
因为 ，则其等价于 ，即 ．
令 ，则 ，
所以当 时， ，当 时， ，
则 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，因 恒成立，故 ．
（3） ．
令 ，得 ，
令 ，则 与 有相同的零点，
且 ．
令 ，则 ，
因为当 时， ，所以 在区间 上单调递增，又 ， ，所以 ，使得 ，
所以当 时， ，即 ；
当 时， ，即 ，
所以 在 单调递减，在 单调递增，
所以 的最小值为 ．
由 ，得 ，即 ，
令 ， ，则 ，则 在 单调递增．
因为 ，所以 ，则 ，
所以 ，从而 ， ，
所以 的最小值 ．
因为 ，所以当 趋近于0时， 趋近于 ；
当 趋近于 时， 趋近于 ，且 ，
所以 有2个零点，故 有2个零点．
4．（2025·上海松江·二模）已知 .
(1)若 是函数 的一个极值点，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)讨论函数 的单调性；
(3)已知实数 ，若点 是曲线 上两点，直线AB的斜率为 ，求证：.
【思路分析】（1）利用 ，得出 的值，再检验 是函数 的一个极值点，最后利用点斜
式求切线方程；
（2）求导，研究 的正负性，分 和 两种情况，再结合一元二次函数的图象研
究其正负性即可；
（3）化简 ，再令 ，将问题转化为利用导数证明不等式，再通过构造函数研究函数的最
值.
【规范答题】（1） 的定义域为 ，
由 ，得 ，
因为 是函数 的一个极值点，
所以 ，即 ，解得 ，
则 ， ，
则 得 或 ； 得 ，
则 在 和 上单调递增，在 上单调递减，
则 是 的极小值点，
又 ，
则切线方程为 ，整理得 .
（2） 的定义域为 ， ，令 ，其对称轴为 ，
①当 ，即 时， ，则 在 上单调递增；
②当 ，即 或 时，
（i）当 时， 的两根为 ，
且 ，
则当 或 时， ， ；
当 时， ， .
（ii）当 时， 的对称轴 ，且 ，
则 在 上恒成立，即 在 上恒成立.
综上，当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 和 上单调递增，在 上单调
递减.
（3）已知 ，则 ，
则 ，
则 ，
要证 ，即证 ，
即证 ，令 ，则只需证 ，
先证 ，即证 ，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，则 ，即 ；
再证 ，即证 ，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，则 ，即 .
综上， 得证.
研考点 · 通技法
步骤1：定义域优先，规范求导
先确定函数定义域（含对数、分式、根式时必写），避免定义域遗漏失分。
求导后因式分解：f′ (x)=g(x)⋅h(x)，拆分简单因式与复杂因式，优先分析定号因式。
易错点：复合函数求导、积商求导法则混淆，求导后务必验算。
步骤2：单调性与极值分析（通法）
无参数：令f′ (x)=0求零点，划分区间，列表判断f′ (x)正负，确定单调性与极值。
含参数：按参数对导数符号的影响分类（参数=0、>0、<0；零点大小关系；零点是否在定义域内）。
1
隐零点技巧：导数零点无法精确求解时，设x 为隐零点（h(x )=0），得ex 0= 、lnx =−x 等关系，设
0 0 x 0 0
0
而不求，代入原函数化简判断最值。
步骤3：零点问题（第2问核心）
方法：单调性+端点值+零点存在定理。
步骤：①分析f(x)单调性；②求极值/最值；③判断极值与区间端点值的正负；④结合图像确定零点个
数。
技巧：多零点问题分离参数a=g(x)，转化为y=a与y=g(x)图像交点个数，数形结合快速判断。步骤4：不等式证明（第3问难点）
直接构造法：移项得F(x)=f(x)−g(x)，求F(x) ≥0。
min
放缩法：常用ex≥x+1、lnx≤x−1、sinx≤x（x≥0），先放缩再证明。
同构法：将不等式变形为f(a)>f(b)结构，构造单调函数f(x)，利用单调性转化。
最值转化：恒成立f(x)≥a→f(x) ≥a；存在性f(x)≥a→f(x) ≥a。
min max
步骤5：切线与垂直问题
切线斜率k=f′ (x )，切线方程y−f(x )=f′ (x )(x−x )。
0 0 0 0
垂直关系：k ⋅k =−1，结合导数斜率列方程求解。
1 2
破类题 · 提能力
1．（2025·上海静安·一模）已知函数 （ ）的图象关于点 成中心对称的充要条件是
（ ）是奇函数；如果一个函数 的图象关于点 成中心对称，则称这
个函数是点 奇函数，其中点 为对称中心；设函数 ， .
(1)若函数 是点 奇函数，求实数 的值；
(2)证明：对于任意给定的实数 ，函数 存在两个极值点；若 是 的极小值点，求出
的所有极值点；
(3)若 是 的极大值点，函数 是否是点 奇函数？若是，求出对称中心 ；若
不是，请说明理由.
【答案】(1) ；
(2)证明见解析，极小值点1，极大值点 ；
(3)是， .【分析】（1）法一：由题意可得 是奇函数，由此计算可求得 ；法二：由题意可得
对任意实数 恒成立，据此计算可求得 ；
（2）求导可得 ，可得 有两个不等的解，进而可得有两个极值点，由题意可得 ，
求得 的值，验证即可；
（3）法一：当 时，由题意有 ，可得 ，求解即可.法二：由题
意可得 恒成立，求解即可.
【详解】（1）法一：若函数 是点 奇函数，则 是奇函数，得 是
奇函数，
即 ，因为 ，
，比较两式右边，由
所以 ，解得 .
法二：若函数 是点 奇函数，则 的图像关于点 对称，
则 对任意实数 恒成立，
即 ，化简得 ，
所以 ，解得 ．
（2） ，从而 ，其中 ，
所以 恰有两解，即函数 恰有两个驻点，设为 ， ， ，
则 就是一元二次方程 ；
当 时， ，当 时， ，当 时 ，从而 是 的极大值点， 是 的极小值点，所以函数 存在两个极值点，此外再无
极值点.
因为 是 的极小值点，所以 ，即 ，解得 或1.
当 时， ，
当 时 ， 单调递增，
当 时 ， 单调递减，
因此 是 的极大值点(舍去)；
当 时， ，
当 时 ， 单调递减，
当 时 ， 单调递增，
因此 是 的极小值点.
综上，可得 ，极小值点 ，极大值点 .
所以 的所有极值点为 和 .
（3）法一：由（2）可知，当 时， 是 的极大值点，
， 极大值点 ，极小值点 .
假设 是点 奇函数，则满足： ，
即 ，
等式左边展开计算： ，要求与 无关，所以 的系数必须为0，所以 ，解得 .
.
即函数的对称中心是 ，函数 是点 奇函数.
法二：由（2）可知，当 时， 是 的极大值点， ，
此时 极大值点 ，极小值点 .符合题意；
假设 存在对称中心 ，则满足 恒成立，
即 ，
化简得 恒成立，
所以 ，解得
所以函数 存在唯一的对称中心 ，
所以函数 是点 奇函数.
2．（2025·上海杨浦·三模）已知函数 .（其中 为常数）
(1)若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)当 时，求函数 的最小值；
(3)当 时，试讨论函数 的零点个数，并说明理由.
【答案】(1)
(2)(3)只有1个，理由见解析
【分析】（1）当 时，求得 ，得到 且 ，进而求得切线方程；
（2）求得 ，利用导数求得函数 的单调性和极值，即可求解；
（3）当 时，求得 在 上有一个零点；当 时，利用导数求得函数 的单调
性和极值，进而得出函数零点的个数.
【详解】（1）解：当 时，可得 ，
可得 ，所以 且 ，
所以切线方程为 ，即 ，
即曲线所以曲线 在点 处的切线方程为 .
（2）解：由函数 ，可得函数 的定义域为 ，
又由 ，令 ，解得 ， ，
当 时， 与 在区间 的情况如下表：
极小值 ↗
所以函数的极小值为 ，也是函数 的最小值，
所以当 时，函数 的最小值为
（3）解：当 时， ，令 ，解得 （舍去）
所以函数 在 上有一个零点；
当 时， 与 在区间 的情况如下表：0 0
↗ 极大值 极小值 ↗
所以函数 在 单调递增，在 上单调递减，
此时函数 的极大值为 ，
所以函数 在 上没有零点；
又由 且函数 在 上单调递增，
且当 时， ，
所以函数 在 上只有一个零点，
综上可得，当 时， 在 上有一个零点.
3．（2025·上海·三模）设定义域为 的函数 在 上可导，导函数为 ．若区间 及实数
满足： 对任意 成立，则称函数 为 上的“ 函数”．
(1)判断 是否为 上的 函数，说明理由；
(2)若实数 满足： 为 上的 函数，求t的取值范围；
(3)已知函数 存在最大值．求证：对任意正整数 都是 上 的函数的充要条件是对任
意 与 恒成立
【答案】(1)是，理由见解析；
(2) 且 ；
(3)证明见解析.【分析】（1）根据给定条件，作差判断即可.
（2）利用给定定义列出恒成立的不等式，再建立关于 的不等式求解即得.
（3）根据给定的定义，按充分性、必要性分别推理证明.
【详解】（1）函数 ，求导得 ，
， 恒成立，
所以 是 上的 函数.
（2）由 为 上的 函数， ，
得 ，
取 ，得 ，反之当 时， 在 恒成立，
令 ，求导得 ，且 的 为离散的点，
因此 为严格减函数，又 ，则 ，
又 ，
所以t的取值范围是： 且 .
（3）（充分性）对任意 与 恒成立，则对任意正整数 ，有：
，
因此 为 上的 函数，即充分条件成立；
（必要性）即对任意正整数 ，有 ①，
记函数 的最大值为 ，
先证明 恒成立，
反证法，假设存在 使得 ，则取正整数 ，使得 ，此时有 ，与①矛盾，因此假设错误，即 ；
再证明 恒成立，
取 为 的一个最大值点，
则当 时，由单调性知 ，但 ，则 ，
于是 ，
对任意 ，可取一个与 有关的正整数 ，使得 ，
由②知： ，因此必要性成立，
所以原命题正确．
4．（2025·上海青浦·三模）已知函数 ．
（1）求曲线 在 处的切线方程；
（2）函数 在区间 上有零点，求 的值；
（3）记函数 ，设 是函数 的两个极值点，若 ，且
恒成立，求实数 的最大值．
【答案】（1） ；（2） ；（3） ．
【分析】（1）根据导数几何意义求出切线斜率 ，由解析式求得切点坐标，从而得到切线方程；
（2）由导数可得函数单调性，利用零点存在性定理可判断出 在 上有零点，从而得到结果；
（3）整理出 ，可知 为 的两根，从而得到 ， ；根据 的范围可确定的范围后，将两式代入 进行整理；构造函数 ， ，利用导数
可求得函数的最小值，该最小值即为 的最大值.
【详解】（1）由题意得：
，
曲线 在 处切线为： ，即
（2）由（1）知：
当 时， ；当 时，
在 上单调递减，在 上单调递增
又 ， ，
由零点存在定理知： 在 上有一个零点
在 上单调递增 该零点为 上的唯一零点
（3）由题意得：
为 的两个极值点，即 为方程 的两根
，
，又 ，解得：令 ，
则
在 上单调递减
即
即实数 的最大值为：
5．（2025·上海崇明·三模）已知定义域为 的函数 ，其图象是连续的曲线，且存在定义域也为
的导函数 .
(1)求函数 在点 的切线方程；
(2)已知 ，当 与 满足什么条件时，存在非零实数 ，对任意的实数 使得
恒成立？
(3)若函数 是奇函数，且满足 .试判断 对任意的实数 是否恒
成立，请说明理由.
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)恒成立，理由见解析
【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得解；
（2）先求导，再根据 列出方程组，进而可得出结论；
（3）由函数 是奇函数，可得 是偶函数，再进一步求出导函数的周期性，再整理即可得
出结论.【详解】（1）由题可知， ，
所以切线的斜率为 ，
且 ，
所以函数在点 的切线方程为 ，即 ；
（2）由题可知 ，
又因为定义域上对任意的实数 满足 ，
所以 ，即 ，
当 且 时， ，
当 时， ，
当 时， ；
（3）因为函数 在定义域 上是奇函数，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 是偶函数，
因为 ，所以 ，
即 ，即 ，
因为 ，所以 ，即 ，
所以 是周期为 的函数，
所以 ，
所以 .
题型02 数列综合题（次高频题型）
析典例 · 建模型1．（2025·上海宝山·三模）把一列函数 按一定次序排列称为函数列，记为
（ 是正整数）， 为 的导函数.记 ，
.
(1)若 ，求证： 是等比数列；
(2)若 ，是否存在正数 ，使得 ；
(3)已知 在 上有最小值，求证“ 是偶函数”的充要条件是“对于任意正实数 ，均有
”.
【思路分析】（1）首先求 的导数，再根据等比数列的定义，即可证明；
（2）首先求 和集合 ，再利用导数讨论函数 的单调性，由
，讨论 得到取值范围；
（3）首先证明必要性，若函数 为偶函数，根据偶函数的性质，证明 ，再证明充分性，
若对于任意正实数 ，均有 ，分 和 两种情况证明 .
【规范答题】（1） ，因为 ，
所以 是以 为公比的等比数列；
（2） ，所以
且令
则 得： 在 严格增，在 严格减
①当 时， ，所以 与 矛盾；
②当 时， ，所以 ]
令
则 ，所以 在 上严格减，所以 ，
而当 时， ,从而 矛盾，综上，不存在正数 ，使得 .
（3）必要性：若 为偶函数，则
，
当 ，因为 ，故 ；
同理可证 ，故 .
充分性：若对于任意正实数 ，均有 ，其中
，
因为 有最小值，不妨设 ，
由于 任意，令 ，则 ，
故 最小元素为 中最小元素为 ，
又 ，则 对任意 成立，则 ，
若 ，则 对任意 成立 是偶函数，
若 ，此后取 ，
最小元素是 ，且 最小元素是 ，
则
综上，任意 ，即 是偶函数.
故“ 是偶函数”的充要条件是“对于任意正实数 ，均有 ”.
2．（2025·上海浦东新·三模）已知实数 ，且a、b、c依次构成等差数列，对于曲线 ，
，若满足 、 、 依次构成等差数列，则曲线 ， 为 曲线.
(1)若 ， ，是 曲线，求实数 的值；
(2)已知曲线 ， 都是 曲线，证明： 是 曲线；
(3)若 ， 为 曲线，求 的取值范围.
【思路分析】（1）根据定义和等差中项的性质列等式，讨论 的范围化简等式，即可求得 的值；
（2）根据定义和等差中项的性质列等式，可得 ，进一步根据等差中项性质列关于
的等式即可证明.
（3）已知 ， 为 曲线，构造新函数 ， ，即
有解即可.讨论 的范围，利用导数讨论函数的单调性和零点，即可得解.【规范答题】（1） ， ， ，
因为 ，所以 ，
① 不成立；
② ， 不存在；
③ ；
④ 不成立.
解得 .
（2） ，①
，②
两式相乘得 ，解得 ，
代入①得 ，
则 成立， 是 曲线.
（3） 在 上有解，
令 ， ，
①当 时， ， ，解得 ， 有零点；
②当 时， ， ，由零点定理知， 上存在 使 ， 有零点；
③当 时，若 ，则 ，
因为 在 上为严格减函数，在 上为严格增函数，
所以 ， ， 无零点；
若 ，又 ，有 ，
得 ， ，
， 在 上为严格增函数，
注意到 ，
由零点定理知，若 有零点，则 ，
解得 ，又 ，故 ，
④当 时， ， ， 为严格增函数， ，无零点；
综上， .
研考点 · 通技法
步骤1：通项求解（第1问）
等差/等比：知三求二，方程思想求解首项、公差/公比。等差数列通项a =a +(n−1)d，前n项和
n 1
na (q=1)
n(a +a ) n(n−1) 1
S = 1 n =na + d；等比数列通项a =a qn−1 ，前n项和S ={a (1−qn ) 。
n 2 1 2 n 1 n 1 (q≠1)
1−q
递推数列：
q
a =pa +q→构造等比数列{a + }（p≠1）；
n+1 n n p−1
n−1
a =a +f(n)→累加法，即a =a +∑❑f(k)；
n+1 n n 1
k=1n−1
a =f(n)⋅a →累乘法，即a =a ⋅∏❑f(k)；
n+1 n n 1
k=1
含S ：利用a =S −S （n≥2），a =S 转化。
n n n n−1 1 1
步骤2：数列性质证明（第2问）
a
单调性：作差a −a 判断正负，或作商 n+1 （a >0）判断与1的大小。
n+1 n a n
n
有界性：放缩法证明m<a <M（m、M为常数），或结合函数单调性求值域。
n
等差/等比：验证2a =a +a （等差）或a2 =a ⋅a （等比）恒成立。
n+1 n n+2 n+1 n n+2
步骤3：数列不等式（第3问）
放缩法：
1 1 1 1
裂项放缩： = − 、 >2(❑√n+1−❑√n)；
n(n+1) n n+1 ❑√n
1 1 1 1 1
等比放缩： 放缩为等比数列求和，如 + +⋯+ =1− <1。
2n 2 22 2n 2n
数学归纳法：适用于自然数n的命题，步骤：①奠基（n=1时成立）；②假设（n=k时成立）；③递推
（由n=k推导n=k+1成立）；④结论。
函数法：将a 视为f(n)，转化为函数单调性/最值分析。
n
步骤4：数列与导数结合
以数列项为自变量构造函数，用导数研究函数单调性，反推数列性质。
1
例：a =lna −1，构造f(x)=lnx−1−x，求导f′ (x)= −1，分析f(x)符号，判断a 与a 大小。
n+1 n x n+1 n
破类题 · 提能力
1．（2025·上海徐汇·三模）已知 ，函数 .
(1)当 时，求 的值域；
(2)若函数 在区间 上是严格增函数，求a的最大值；
(3)设 .方程 的所有正实数解按从小到大的顺序排列后，是否能构成等差数列？若能，求
所有满足条件的u的值；若不能，说明理由.【答案】(1) 的值域为 ；
(2)a的最大值为 ；
(3) 或 满足条件，理由见解析.
【分析】(1)结合二次函数性质和正弦函数的性质可求 的值域；(2)由已知可得 在
上恒成立，通过换元及分离变量结合不等式与函数关系，可求a的最大值；(3)结合已知条件及正弦
函数图象及性质可求u的值；
【详解】（1）因为 ， ，所以 ，因为
，所以 ，所以 ，所以 的值域为 ；
（2）由 ，
可得 ，
整理得 ，
因为函数 在区间 上是严格增函数，
所以 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，
令 ，则 ，因为 ，所以 ，
又由 ，所以 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，由函数 在 上单调递增，
所以当 时， 取最小值，且最小值为0，
所以 ，所以 的最大值为0.
（3）因为 ， ，所以不等式 可化为 ，
令 ，则 ， ，作函数 的图象，
又当 时， ，
由图象可得当 或 时，方程 在 上没有解，方程 没有解；
当 时，方程 的解为 ，则 ，方程 的正实数解按从小到大的顺序
排列记为 ，如图，
则 ， ， ，所以该数列不是等差数列，
当 时，方程 在 内有两个解，设方程的解为 ，且 ，，作函数 ， ， 图象如下，
方程 和 的正实数解按从小到大的顺序排列记为 ，
设数列 为等差数列，设数列的公差为 ，因为 ，所以 ， ，则
，所以 ，则 ， 与 矛盾，
当 时，方程 在 内有一个解，设方程的解为 ，且 ，作函数 ，
，图象如下，
方程 的正实数解按从小到大的顺序排列记为 ，
设数列 为等差数列，设数列的公差为 ，因为 ，所以 ， ，则
，所以 ，与 矛盾，
若 ，则方程 在 内的解为 ，所以 ，所以 ，所以方程
的正实数解按从小到大的顺序排列后所得数列为 ，该数列为等差数列，满足条件；
当 时，方程 在 内有两个解 ， ，由 ，可得 ， ，由 ，可得 或 ， ，
所以方程 的所有正实数解按从小到大的顺序排列后满足 ， ，
，所以 ，所以该数列为等差数列，
综上所述，当 或 时，方程 的正实数解按从小到大的顺序排列后所得数列为等差数列.
2．（2025·上海浦东新·二模）定义域为 的可导函数 满足，在曲线 上存在三个不同的点
，使得直线 与曲线 在点 处的切线平行（或重合）．
若 成等差数列，则称 为“等差函数”；若 成等差数列且 均为整数，则称
为“整数等差函数”．
(1)设 ， ，分别判断 和 是否为“整数等差函数”，直接写出结论；
(2)若 为“整数等差函数”，求实数 的最小值；
(3)已知 的导函数 在 上为增函数，且存在一个正常数 ， 使得对任意 ，
成立，证明： 为“等差函数”的充要条件是 为常值函数．
【答案】(1) 不是“整数等差函数”， 是“整数等差函数”
(2)答案见解析；
(3)证明见解析.
【分析】（1）设公差为 ，根据所给定义及导数的几何意义得到 ，即可判断；（2）设公差为 ，则 且 ，由 得到 从而确定 的最小值；
（3）首先证明充分性，再说明必要性，设公差为 ，结合所给定义得到
，令 ，结合 推
出 为常值函数.
【详解】（1）假设 成等差数列，得 ，
设公差为 ，则 ，
对于 ：直线 的斜率 ，
因为 ，所以曲线 在点 处的切线斜率为 ，
由题意， 恒成立，
取 ， ，则 成等差数列且均为整数，故 是“整数等差函数”．
对于 ，直线 的斜率 ，
因为 ，所以曲线 在点 处的切线斜率为 ，
由题意 ，
若 ，则 ，
令 ， ，则 恒成立，所以 在 上单调递减，
所以 ，即 在 上恒成立，
即 恒成立，所以 无解，故 不是“整数等差函数”．
（2）因为 为“整数等差函数”，所以 成等差数列且 均为整数，
设公差为 ，则 ，且 ，
直线 的斜率 ，
因为 ，所以曲线 在点 处的切线斜率为 ，
由题意， ，
又 的定义域为 ，有 ，
当 时, ,此时 ,无最小值；
当 时,因为 ， ，
所以
，
则 ，可取 使等号成立，故 的最小值为 ;
综上，实数 无最小值；
（3）充分性，因为 为常值函数，所以 ，
任意取等差数列 ，则直线 的斜率 ，曲线 在点 处的切线斜率为 ，
因为 ，所以 为“等差函数”．
必要性，因为 为“等差函数”，所以 成等差数列，
设公差为 ，则 ，
直线 的斜率 ，
曲线 在点 处的切线斜率为 ，
由题意， ,
，
令 ，
则
，
令 ，
则 ，
因为 在 上为增函数，所以 ， 在 上为增函数，
因为 ，所以 ， 在 上为增函数，
因为 ，所以 在 上恒成立，
又 ，由 的单调性知 ，故 ， ，
， 为常数，
，
，
，
接下来，一方面，因为 ，且 在 上为增函数，
所以 在 上为增函数，故 ， ，
由 ，可得 ，
另一方面，因为 ，
所以 ，可得 ，
以此类推， 在 上恒成立，即 为常值函数．
命题得证！
题型03 新定义问题（创新题型，近年高频）
析典例 · 建模型
1．（2026·上海徐汇·二模）已知函数 与函数 的定义域均为 ，且在 上的导函数分别为
和 .若存在常数 ，使得对任意实数 恒成立，则称 是 的“
调整函数”，并称 为调整系数.
(1)设 .求证： 是 的“2-调整函数”；(2)设 .若存在实数 ，使得 是 的“ 调整函数”，求调
整系数 的取值范围；
(3)已知 是 的“1-调整函数”，函数 的值域是一个闭区间，记作集合 ，函数
的值域记作集合 .若 ，判断 是否一定是常值函数，并说明理由.
【思路分析】（1）对 分别求导，并根据 是 的“k-调整函数”的定义判断即可；
（2）对 分别求导，根据 是 的“k-调整函数”的定义，得 恒成立，
时显然成立；当 时，设 ，利用导数，分 和 两种情况分析，
可得 .并分析此时 时，满足题意，即可确定 的取值范围；
（3）对题意所述函数举出实例说明 不一定是常值函数即可.
【规范答题】（1）因为 ，
所以 .
所以
所以 是 的“2-调整函数”；
（2）由 ，得 .
由于 是 的“ 调整函数”，那么存在常数 ，使得 恒成立，
即 ，即 .
因为存在实数 ，满足上式，所以 ，即 .
1)若 ，则 成立；2)若 ，则 ，所以 ，且 .
设 ，则 在 单调递增.
当 时，因为 ，
所以存在 ，当 时， ， 单调递增，
所以当 时， ，不满足题意；
当 时， ， ，所以 ， 在 上单调递减，
所以 恒成立.
3)当 时，对 ， 恒成立.
综上，调整系数 的取值范围是 .
（3） 不一定是常值函数.
例：令 ， ，
， .
此时函数 的值域是一个闭区间，为集合 ，函数 的值域为集合 ，满足
.又 ，满足对任意实数 恒成立，即满足 是 的“ 调整函
数”，
此时 不是常值函数.
2．（2025·上海金山·一模）现给出“ 函数”的定义与性质．
定义：若函数 在区间 上连续，且对于区间 内任意两数 ，如果都有
成立，则称函数 为区间 上的“ 函数”；
性质：若函数 为区间 上的“ 函数”，则对于任意 和满足
的正数 ，有 成立．
(1)判断下列两个函数是否为其定义域上的“ 函数”（不需要说明理由）
① ；
② ．
(2)若函数 为区间 上的“ 函数”，求实数 的取值范围；
(3)若 ，记 为函数 的图像与 轴所围成的图
形面积，当 且 时，求 的最小值．
【思路分析】（1）设 ， ，由“U函数”定义，比较以及 与0的大小关系，可完成判断；
（2）设 ，由题可得 ，据此可得答案；
（3）由题可得 ， ， ，
，据此可得 大致图像以及
，设 ，由题可得 为区间 上的“U函数”.然后由题干提供信
息结合取 可得答案.
【规范答题】（1）设 ，取
则 ，
，
则 ，
因 ，则 ， ，
从而 ， ，则 ，
即 ，当且仅当 时取等号，
则 不是定义域上的“U函数”；设 ， ，
， ，
，
当且仅当 时取等号，则 是定义域上的“U函数”；
（2）设 ，因 是 上的“U函数”，
则对 ， ，
注意到 ，则 ；
（3）由题可得 ，
当 时， ，则 ；
当 ， ，则 ；
当 时， ，则 ；
当 ， ，则 ；
依次类推可得： ， ，
， .
据此可得 大致图像如下：
则 ，则 .
设 ，则
取 ，
因 ，则 ， ， ，
，从而 ，
即 为区间 上的“U函数”.
由题干提供信息可得：取 ，
则
3．（2025·上海普陀·一模）设函数 的定义域为 ，导函数为 ，对于实数 ，若存在
，使得 成立，则称函数 具有性质 ．(1)若函数 ，请判断该函数是否具有性质 ，并说明理由；
(2)设 ，若函数 具有性质 ，且 的值恰有三个，求 的取值范围；
(3)若函数 ，求证：该函数具有性质 的充要条件是
【思路分析】（1）求导，将问题转化为函数 的零点问题，进而结合单
调性与零点存在性定理求解即可；
（2）根据 函数定义，将问题转化为存在实数 ，使得 有三个实数根问题，再构造函数
求解即可.
（3）由题将问题转化为 存在实数根的充要条件为 充分性的证明方面，先验证
当 时，函数 具有性质 ，再讨论当 且 时，结合函数隐零点得存在 满足
，即 成立；再证必要性：先说明 不成立，再研究 的性质得函数 在
严格减函数， 严格增函数，进而得 得矛盾即可证明.
【规范答题】（1）解：由 得，
设 ，
当 时， ，
又
则存在 ，使得 ，即
故函数 具有性质
（2）解：由 得， ，因为函数 具有性质 ，
所以存在实数 ，使得 ，
即 ，即 ，
即存在实数 ，使得 有三个实数根
设 ，则 ，
令 ，解得 或 ，列表如下：
0
0 + 0
↘ 极小值0 ↗ 极大值 ↘
因为函数 具有性质 时， 的值恰有三个，
所以满足条件的 的取值范围是 ．
（3）证明：由 得， ，
由 得， ，
设 ，
先证充分性：当 时， ，
考虑函数 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上严格单调递减，在 上严格单调递增，在 时有极小值 ，
所以，当 时， ，函数 具有性质 ，当 且 时， ，
且当 时， ，则 ，
则存在 满足 ，即 成立，
所以函数 具有性质
再证必要性：即证函数 具有性质 ，则
由 得 ，
若 ，则 ，与已知矛盾；
若 ，设 ，则 ，即函数 是严格减函数，
所以函数 是严格增函数，
又 ， ，
则存在 使得 ，即 ，
当 时， ，即函数 严格减函数，
当 时， ，即函数 严格增函数，
所以 ，
需证 ，
令 ，则 ， 在 单调递增，
所以 ，
所以 ，
则不存在 ，使得 成立，与 具有性质 矛盾；综上，函数 具有性质 的充要条件为 .
4．（2025·上海杨浦·一模）已知区间 ，函数 的定义域为 ，若函数 满足：对任意
，均有 ，则称函数 为压缩函数.
(1)判断函数 ， ，是否为压缩函数?并说明理由；
(2)若函数 ， 为压缩函数，求实数 的取值范围；
(3)已知函数 ， 为压缩函数，求证： ， 为单调函数的充要条件是：对任意
，均有 .
【思路分析】（1）根据压缩函数的定义，判断对于任意 ，是否都有
成立.
（2）根据压缩函数的定义，得到关于 的不等式，进而求出 的取值范围.
（3）结合压缩函数的定义，分充分性和必要性进行证明.在充分性证明时，先证明函数 连续，再用反
证法假设函数 不单调，借助极值点附近函数值与极值的大小比较，推出矛盾即证.
【规范答题】（1）已知函数 ，则 .
因为 ，所以 ，
那么 ，所以函数 ， 是压缩函数.
（2）因为函数 ， 为压缩函数，
所以对于任意 ，均有 .
显然当 时成立，不妨设 ，
则不等式可化为： ，
则 且 ，
令 ，则 在 上为减函数；
令 则 在 上为增函数.
对于 ，则
由 为减函数，得 对 恒成立，
即 ，所以 ，可得 ；
对于 ，其导数为
由 为增函数，得 对 成立，
即 恒成立，所以 ，可得
综上， 的取值范围为 .
（3）（必要性）已知函数 ， 为压缩函数，若 ， 为单调函数，
则对任意 ，均有 .
证明：若 在 上单调，①若 在 上单调递增，
则对任意 ，不妨设 ，有 ，
从而
于是 ，且 ，
则 ；
②若 在 上单调递减，则对任意 ，不妨设 ，
同理可得 ，且 ，
则 ；
综上所述，对任意 ，
均有 ，必要性得证.
（充分性）已知函数 ， 为压缩函数，
若对任意 ，均有 ，则 ， 为单调函数.
证明：由函数 ， 为压缩函数，
则对任意 ，恒有 ，
故当 时，有 ，即 .
即 的图象在 上连续不断.
下面用反证法证明.
假设 在 上不是单调函数，又 的图象连续不断，则存在实数 ，使得 在 处取极值 ，
若 为极小值点，则存在区间 ，其中 ，
使得 在 上单调递减，且在 上单调递增，
则存在 ，满足 ，
则 ，且 ，即 ，且 ，
故 ；
这与任意 ， 矛盾；
若 为极大值点，同理可得存在 ， 且 ，
故 ，
也与 产生矛盾.
故假设错误，即 在 上是单调函数，充分性得证.
综上所述， 是单调函数的充要条件是：
对任意 ，都有 .
研考点 · 通技法
步骤1：拆解定义，转化语言
逐句翻译定义：圈关键词（“不是单调”“存在常数”“对任意”），转化为数学符号/等式/不等式。
例：“函数f(x)具有性质P：非单调，且∀x∈D，f(x)≥k”→①f(x)不单调（f′ (x)有正有负）；②
f(x) ≥k。
min步骤2：特殊值试探（第1问）
代入特殊值（x=0,1,−1,e、端点）验证是否满足定义，快速判断。
反例法：不满足定义时，举1个反例即可（如判断是否为“类函数”，举1个不满足条件的函数）。
步骤3：分类讨论+等价转化（第2、3问）
按定义约束条件分类：如“非单调”→导数存在变号零点→f′ (x)=0有两个不同解。
转化为常规题型：将新定义问题转化为函数单调性、零点、不等式、值域问题。
步骤4：逻辑严谨，验证完备
证明“充要条件”时，需证充分性（条件→结论）+必要性（结论→条件）；
求范围时，验证端点是否满足定义，避免遗漏/多解。
破类题 · 提能力
1．（2026·上海嘉定·二模）已知在神经网络中， 常作为神经元激活函数．
(1)证明：对任意实数x，有 ，并由此写出 图像的对称中心；
(2)设交叉熵损失函数 ，用于衡量预测值 与真实标签t之间的差异，其中
．试确定t的值，使得 在 上是减函数；
(3)在深度神经网络中，信号经过多层传播可抽象为一个迭代过程．设数列 满足 ，其中n为
正整数．证明：存在唯一实数 ，使得 ，且对任意实数 和任意正整数n，都有
．
【答案】(1)证明见解析，
(2)
(3)证明见解析.【分析】（1）利用中心对称性恒等式进行证明即可；
（2）利用求导，结合不等式恒成立可确定参数取值；
（3）利用拉格朗日中值定理，构造递推数列关系，结合迭代法可证明不等式.
【详解】（1）由 ，得 ，求和可得：
，
则对任意实数x，有 ，
即 图像的对称中心为： ；
（2）由题意可得：
，
求导得： ，
要使得 在 上是减函数，则 ，
因为 ，所以 ，即 ，
又因为 ，所以 ；
（3）构造 ， ，
则 ，
所以 在 上单调递减，
又因为 ， ，
且 在 上连续递减，结合零点存在定理，
可知存在唯一实数 ，使得 ，再由 ，当且仅当 时取等号，
根据拉格朗日中值定理，对任意 有： ，
又因为 ， ，所以对任意 ，恒有不等式 成立，
则由迭代法，结合不等式性质可得：
，
因为 ，即 ， ，
所以 ，
因此 ，即问题得证.
2．（2025·上海徐汇·一模）已知函数 的定义域为 ，若其导函数 在 上是严格减函数，
则称 是一个“ 函数”．
(1)设 ， ，分别判断 、 是否为“ 函数”，并说明理由；
(2)已知数列 是公差为 的等差数列，且 的各项都为正数，若定义在 上的函数
是“ 函数”，求证： ．
(3)已知“ 函数” 的定义域为 ，不等式 的解集为 ．证明：函数 在 上
是严格减函数．
【答案】(1)函数 为“ 函数”，函数 不是“ 函数”
(2)证明见解析
(3)证明见解析【分析】（1）根据“ 函数”的定义判断即可；
（2）要证 ，即证 ，构造函数
，其中 ，利用“ 函数”的定义结合导数分析函数 在 上的单调性，
即可得出结论；
（3）利用反证法，假设 不是减函数，分两种情况讨论， 为增函数、 不单调，结合“ 函
数”的定义分析函数 的单调性，分析函数 的函数值变化，对不等式 的解集进行分析，
推出矛盾，即可证得结论成立.
【详解】（1）函数 的定义域为 ，其导函数 在 上为减函数，
函数 的定义域为 ，其导函数 在 上为增函数，
故函数 为“ 函数”，函数 不是“ 函数”.
（2）因为数列 是公差为 的等差数列，
所以 ， ， ，
要证 ，即证 ，
设函数 ，其中 ，则 ，
因为函数 为“ 函数”，则函数 在 上为减函数，且 ，
所以 ，故 对任意的 恒成立，
故函数 在 上为减函数，
又因为对任意的 ， ，所以 ，
即 ，故 .（3）假设 不是严格减，
的解集为 ，
不可能严格增，否则解集中必包含正无穷大，
只能有增有减，
使得 ，
严格减，
当 时， 严格增，
∴
当 时， 严格减，
取 ，求 处切线方程，
,即 ，
令 ,得 ，
构造函数 ，
严格减，
当 时， 严格增，
当 时， 严格减，
，即 ，即 （当 时，取等），
而 ，结合 ，得 严格增，
当 时, ，
∴
与 的解集为 矛盾，
假设不成立，即 严格减.
∴3．（2025·上海杨浦·二模）已知函数 的导函数为 ，若函数 的定义域为 ，且不
等式 对任意 成立，则称函数 是“超导函数”.
(1)判断 是否为“超导函数”，并说明理由；
(2)若函数 与 都是“超导函数”，且对任意 ，都有 ， ，记
，求证：函数 是“超导函数”；
(3)已知函数 是“超导函数”且 ，若有且仅有一个实数 满足 ，求 的
取值范围.
【答案】(1)是，理由见解析；
(2)证明见解析；
(3) 或 .
【分析】（1）求出导数，再利用“超导函数”定义判断即可.
（2）求出 的导数，作差变形，利用“超导函数”定义推理判断符号即得.
（3）构造函数 ，利用“超导函数”定义确定单调性可得 ，再构造函数，利用导数求出
函数值集合，结合已知求出范围.
【详解】（1）函数 ，求导得 ，则 ，
所以 是“超导函数”.
（2）函数 ，求导得 ，
则 ，
由函数 与 都是“超导函数”，得 ，
由对任意 ，都有 ， ，得 ，
因此 ，即 ，所以函数 是“超导函数”.
（3）由函数 是“超导函数”，得对任意 ， ，
令 ，求导得 ，函数 在 上单调递减，且 ，
由 ，得 ，即 ，
因此 ，即 ，令 ，
由有且仅有一个实数 满足 ，得直线 与函数 的图象有且只有1个交点，
，当 时， ；当 时， ，
函数 在 上单调递增，函数值的集合为 ，在 上单调递减，函数值的集合为 ，
因此当 或 时，直线 与函数 的图象有且只有1个交点，
所以 的取值范围 或 .
4．（2025·上海闵行·二模）已知函数 在定义域 上存在导函数 ．对于给定的一个有序实数
对 ，若存在 ，使得 ，则称 为 在定义域
上的一个“分割数对”．
(1)已知 ，判断数对 是否为 在 上的“分割数对”，并说明理由；
(2)已知 ，若 为 在区间 上的“分割数对”，求实数 的取值范围；
(3)已知 ，若有且仅有一个实数 满足对任意 ， 都不
是 在 上的“分割数对”，求实数 的值．
【答案】(1)是；答案见解析
(2)(3)
【分析】（1）取 ，由函数新定义代入验证即可；
（2）构造函数 ，求导分析单调性和最值，然后结合函数新定义可得；
（3）由题意先将问题 不是 在 上的“分割数对”等价于 或
恒成立，然后构造函数 ，求导后再将问题“ 恒成立”等价于“对任意 ， 恒成
立”，然后结合二次函数的性质令判别式小于等于零可得.
【详解】（1）是，
存在 ，
由函数新定义有 满足.
（2）令 ，
则 ，
令 ，得 ，
所以当 时， ，函数 为递减函数；当 时， ，函数 为递增函
数，
所以 在 处取得极小值，也是最小值，
所以 在区间 上的值域为 ，
若 为 在区间 上的“分割数对”，既要满足 在区间 上的函数值有正有负，
所以 ，
即实数 的取值范围为 .（3）对任意 ，考虑 ，
则 不是 在 上的“分割数对”等价于 或 恒成立，
显然， ，
由于 ，显然 ，
令 ，
因为 ，则 ，
所以 ，结合函数 的性质可知“ 恒成立”等价于“对
任意 ， 恒成立”，
即 在 上恒成立，
即 ，
由题意，满足 的实数 有且仅有一个，则 .
5．（2026·上海·一模）定义：若函数 满足在 上的值域为 （ ），则称
为“根 域同函数”．
(1)试判断 是否为“根 域同函数”并说明理由；
(2)若“根 域同函数” 为偶函数，求： 的值域；
(3)已知奇函数 对任意 均满足 为“根 域同函数”，幂函数 是“根 域同函
数”的充要条件为点 在 上，求证：当 时， 的图象在 下方．
【答案】(1)是，理由见解析(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据题设定义验证求解即可；
（2）先根据 为偶函数求得 ，再结合题设定义可得方程 在 上有两个
不相等的实数根，进而得到 ，再结合对勾函数的性质求解即可；
（3）根据题设定义及奇函数的性质可求得 ，结合幂函数的性质求得 ，进而分析求解即
可.
【详解】（1）当 时， ，则 ，
所以 为“根 域同函数”.
（2）由 为偶函数，则 ，
即 ，则 ，即 ，
所以 ，又 为“根 域同函数”，
则 在 上的值域为 ，且 ，
而函数 在 上单调递增，
则方程 在 上有两个不相等的实数根，
即方程 在 上有两个不相等的实数根，设 ，
则 ，解得 ，又 ，则 ，所以函数 在 上单调递减，
又 时， ， ，
则函数 的值域为 .
（3）因为 对任意 均为“根 域同函数”，
所以对任意 ，函数 在 上的值域为 ，且 ，
则函数 为单调函数，又 为奇函数，则 .
因为 为幂函数，设 ，而 为“根 域同函数”的充要条件为点 在 上，
若点 在 上，则 ；
若 为“根 域同函数”，
则 在 上的值域为 ，且 ， ，
当 时，函数 在 上单调递增，
则 在 上有两个不相等的实数根，
即 在 上有两个不相等的实数根，即 ，
此时 ，不满足题意；
当 时，函数 在 上单调递减，
则 ，则 ，即 ，
此时 ，满足题意，则 .设 ， ，
因为函数 在 和 上均为增函数，
所以函数 在 和 上为增函数，
因为 ， ，
则 时， ，即 ，
此时 的图象在 下方．
6．（2026·上海·二模）若对于定义在R上的函数 ，设 是R的一个子集， 和 是 上任意给定
的两个实数，当 时，恒有 ，则称函数 在 上具有“性质 ”
(1)分别判断函数 和 是否在R上具有“性质 ”；（无需说明理由）
(2)设 ，记 ，若函数 在 上具有“性质 ”，求实数 的取
值范围；
(3)若函数 在R上具有“性质 ”，其图像是连续曲线，且 ，求证：集合
是无限集或单元素集．
【答案】(1) 在 上具有“性质 ”； 在 上不具有“性质 ”.
(2)
(3)见解析
【分析】（1）根据“性质 ”的定义，判断函数 和 在 上是否满足“性质 ”.（2）分情况讨论函数 在不同区间上的单调性，结合“性质 ”的定义确定 的取值范围.
（3）先证明集合 非空，再通过反证法证明集合 是无限集或单元素集.
【详解】（1）因为 是严格增函数，则根据“性质 ”的定义可知，函数 在 上具有“性质
”；
因为 ，则函数 在 上不具有“性质 ”.
（2）当 时，此时 在 和 上单调递增，函数 在 上具有“性质 ”.
当 时，此时 在 和 上单调递减，函数 在 上具有“性质 ”.
当 时，函数 在区间 不单调， 在 不具有“性质 ”.
当 时，此时 在 上单调递减，在 上单调递增，
要使函数 在 上具有“性质 ”，
则需满足 或 ，即 或 ，
整理得 或 ，解得 或 或 ，
又 ，得 或 .
当 时，函数 在区间 不单调， 在 上不具有“性质 ”.
综上，实数 的取值范围是 .
（3）证明：因为函数 在R上具有“性质 ”，其图像是连续曲线， 在 上单调.
若 单调递减，假设 中至少有2个元素 ，则 ， 单调递减，
，矛盾，因此 最多一个元素.若 单调递增，假设 中至少有2个元素 ，则 .
对 ，若 ，由于 单调递增， ，矛盾
若 ，由于 单调递增， ，矛盾.
因此对 ，必有 ，即 ， 是无限集.
令 是连续函数，若 单调递增：
若 对所有 都成立，则 ，与 矛盾.
若 对所有 都成立，则 ，与 矛盾.
故存在 ，使 ，由零点存在定理， ，使 ，即 ， 非空.
若 单调递减：
当 ， ， ，
由零点存在定理， 使 ， 非空.
综上， 要么是单元素集，要么是无限集，命题得证.
7．（2025·上海闵行·一模）若定义域为 的函数 满足：对任意的 和 ，都有
，且 ，就称这个函数是“优美函数”.
(1)判断并证明优美函数 的奇偶性；
(2)若优美函数 的值域为 ，且当 时， ，判断并证明优美函数 的单调性；
(3)若题（2）中优美函数 还满足 ，且不等式 对任意的 恒成立，
试求实数 的取值范围.
【答案】(1)奇函数，证明见解析；
(2)证明见解析， 在 上是严格递增函数；(3) .
【分析】（1）令 ，得 ，令 ，得 证明；
（2）解法一：可得 ，根据题意结合单调性的定义证明；解法二：根
据题意整理可得 ，结合单调性的定义证明；
（3）由函数单调性，将问题转化为 对 恒成立，讨论求解.
【详解】（1） 的定义域为 ，关于原点对称，
令 ，得 ，解得 或 ，
又不存在 ，使得 ，∴ ，
令 ，得 ，
∴ ，
∴ 为奇函数.
（2）任取 ，设 ，
解法一： ，
因为 ， ，又 ， ，
所以 ， ，
所以 ，即 ，
所以 在 上是严格递增函数.解法二：由（1）函数为奇函数，则
任取 ，且 ，则 ，故 且 .
所以， ；
所以，函数 在 上严格递增.
（3） ，
则 ，
，
又不等式 对 恒成立，
则 对 恒成立，
又 在 上严格递增，
∴ 对 恒成立，即 对 恒成立，
当 时， 对 恒成立，
当 时， 对 恒成立，则 ，解得 ，
综上， .
8．（2025·上海奉贤·一模）记 ， 分别为函数 和 的导数，存在 ，
满足 且 ，则称 为 和 的一个“ 点”．(1)若函数 与 存在“ 点”，求实数 的值；
(2)证明函数 与 不存在“ 点”；
(3)已知函数 ， ，对任意的 ，判断是否存在 ，使得函数 和
在区间 内存在“ 点”，请说明理由．
【答案】(1) ；
(2)证明见解析；
(3)存在，理由见解析.
【分析】（1）求导，设“ 点”为 ，解方程组 ，可得结论．
（2）假设存在“ 点”为 ，解方程组 ，应用等式无解可得结论；
（3）设“ 点”为 ，由 ，用 表示出 ，由 求得 的范围，利用导数求得 的范
围即可求解.
【详解】（1）设 ， ，则 ， ，
由题意得： 需同时满足： ，故 ，
所以 ，
得 ，所以 .（2）由题意 需同时满足： ，
令 ，
函数 有 ，函数 ，有 ，
令 ，所以 得 ，
因为 ，所以 无解，
故函数 与 不存在“ 点”；
（3）对任意的 ，存在 ，使得函数 和 在区间 内存在“ 点”.
设 ， ，则 ， ，
函数 与 在区间 内存在“ 点”，
则 且需同时满足： ，即 ，
得： 且 ，
联立得： ，
因为 ，
所以 ，由 得： ，
又因为 ，所以 ，解得 ，
此时 ，当 ，所以 ，
当 ，设 ， ，
故 在 为增函数，且 ，而 时， ，
故对于任意 ，总存在 ，使得 ，
令 ，
求导得 ，
，
故函数 在 单调递增，故 ，
所以存在 满足题意；
所以存在 ，使得函数 和 在区间 内存在“ 点”.（建议用时：45分钟）
刷模拟
1．（2026·上海黄浦·二模）对于公共定义域为D的函数 与 ，定义集合
．
(1)若 ， ，求 ；
(2)若 ， ，且 ，求 的最小值；
(3)已知 是定义在 上的增函数，其图像是连续曲线，且存在正数 ，使得 ．若
， ，且 ，求证： ．
【详解】（1）由题意， .
因为 ，所以 .
当 时，等号成立．故 = .
（2）令 .
由题设可知， 的值域为非负实数集，从而其最小值为 .
设 时取到最小值，则 ，且 ，
因为 所以 .
又由 ，得 即 .
从而 .
由 可得 故令 ，则 当且仅当 时，等号成立.
此时 ，由 得 ，于是 ，又 ，故 ．所以 的最
小值为 .
（3）法一：由 可知，对任意 ，都有 .
而 所以 . (1)
已知存在正数 ，使得 .
对任意整数 ，令 .
由式（1）可得 即 .
所以 为常量，即对任意 ，都有 .
于是 . (2)
下面证明 .
先证 对任意 都成立．
任取 ，必存在 ，使 .
因为 在 上为增函数，所以 .
故对任意 ，都有 ． (3)
再由式（2）知 且 .
由于 的图像是连续曲线，且 在 上单调递增，因此 的值域为 ．
又因为 所以
当 取遍 时， 也取遍 ．故 .
法二：
由 可知，对任意 ，都有 .
而 所以 ． (1)
已知存在正数 ，使得 .
先证明：对任意整数 ，都有 ． (2)
当 时，由式（1）反复应用可得 .
当 时，显然 .
当 时，设 （ ），则由式（1）得 ,
故 .
反复使用上式可得 .
所以式（2）对任意整数 都成立．
由式（2）知 且 .
又因为 在 上单调递增，且图像连续，所以 .
由 ，可得 .
于是 .
法三：
由 可知，对任意 ，都有 .
而 所以 ． (1)已知存在正数 ，使得 .
由式（1）对正整数 反复迭代，可得
.
从而 .
同理，对负整数部分可得 ,
于是对任意 ，都有 ． (2)
由式（2）知 且 .
又因为 在 上连续且单调递增，所以 .
再由 可得 .
故 .
2．（2026·上海普陀·二模）已知p、q为实数，设函数 的最小值为 ，函数 的最小值
为 ，若 且 ，则称函数 和函数 是T函数.
(1)设函数 的表达式为 ，函数 的表达式为 ，请判断函数 和
函数 是否为T函数，并说明理由；
(2)设a、b为正实数，函数 的表达式为 ，函数 的表达式
为 ( )，若函数 和函数 不是T函数，求 的最小值；(3)设k、t、a为实数，函数 的表达式为 ( )，函数 的表达式为
，若存在 ，对任意的 ，皆有 成立，且函数
和函数 是T函数，求k的取值范围.
【详解】（1） ， ，
， ，
，且 ，
所以函数 和函数 的最小值相等，且最小值点均不相同，因此它们为T函数；
（2） ， ，
因为 ，
所以 ，当且仅当 ，即 时等号成立，
函数 和函数 不是T函数，
所以 ，即 ，
又 ，
所以 ，当且仅当 ，即
时等号成立，
所以 的最小值是 ；
（3） 是减函数，又 ，所以 ，， ，
是 上的增函数，
依题意，存在 ，使得 ①且 ②，
由①得 ，代入②得 ，
整理得 ，即 ③，
设 ，则③式为 ，
易知 是增函数，所以 ， ， ，
设 ，
则 ， 时， ， 递增， 时， ， 递减，
所以 ，又 ，
所以 的取值范围是 ，
所以 的取值范围是 ．
3．（2025·上海崇明·一模）已知函数 ，其导函数是 ．对于任意 ，记曲线
在点 处的切线方程为 ．定义集合 ．
(1)若 ，求集合 ；
(2)若定义域 且函数 是偶函数，证明：若 则 ；
(3)设 ，若集合 ，求实数 的取值范围．
【详解】（1）解：由函数 ，可得 ，则 且可得 ，
所以曲线 在 处的切线方程为 ，即 ，
又由 ，可得 ，解 ，
解得 或 ，所以 或 .
（2）解：因为函数 是偶函数，所以 ，且 ，
则在点 处的切线方程为 ，即 ，
在点 处的切线方程为 ，
即 ，
又因为 且 ，所以 ，
因为 ，则 ，即 ，
要证明 ，即证明 ，
因为 ，
所以 ，即 .
（3）解：由函数 ，可得 ，
当 时，可得 ，
所以切线方程为 ，即 ，
因为集合 ，所以 的解集为 ，
即 的解集为 ，令 ，则 的解集为 ，且 ，
又由 ，
若 ，当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
所以 在 处取得极小值 ，满足 的解集为 ；
若 ，当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
则当 时， ，则不满足 的解集为 ，
综上可得，实数 的取值范围为 .
4．（2025·上海·二模）已知 ，函数 ．
(1)若 ，求 的单调区间；
(2)是否存在实数a，使得 与 有相同的最大值？若存在，求出a的值；若不存在，请
说明理由；
(3)已知 ，直线 与两条曲线 和 共有四个不同的交点，其横坐标分别为
，证明： ．
【详解】（1） ，则函数 ，
，令 ，则 ；当 时， ， 在 上单调递减，
当 时， ， 在 上单调递增.
所以函数 的单调增区间： ；单调减区间： ；
（2）函数 ，则 ，
由（1）可知， 的单调性为：在 上单调递减，在 上单调递增.
要使 有最大值，则 ，
所以 ．
，当 时， 单调递增，
当 时， 单调递减，
所以 ．所以 ，则 ．
令 ， ，
此函数在 上单调递减，且 ，所以 ．
（3）证明：由 的单调性，可知 ．
又当 时， 知 ，从而 ．
．
设 ， ，则 ，
所以当 时， 单调递增；
当 时， 单调递减，
所以 ，即当 时， ，
所以当 时， ，当 时， ．
为了体现代数证明的严谨性，下面通过反证法判断 是 与哪个函数图象交点的横坐标．
如果 ，那么由（*）知 ，从而 ．
根据 的单调性，得 ，矛盾，
所以应有 ，即 ．
由 ，得 ．
如果 ，那么由（**）知 ，
从而 ．
根据 的单调性，得 ，矛盾，
所以应有 ，即 ．
由 ，得 ．
由上可知 ，要证 ，即证 ，
则 ，又 ，成立，证毕．
5．（2025·上海长宁·二模）已知函数 的定义域 ，对任意实数a，定义集合
．
(1)已知 ，求 ．
(2)已知 ，若集合 只有一个元素，求a的值；
(3)已知 ，其中 且 ，求证：集合 是一个区间．【详解】（1）函数 的定义域为 ，
由题意可知 即不等式 的解集，
可化为 ，整理可得 ，
即 ，解得 或 ，
所以 .
（2）函数 的定义域为 ，
由题意可知 即不等式 的解集，
令 ，所以 即 的解集，
若集合 只有一个元素，即方程 有唯一解，
且函数 在该点处与 轴相切.
因为 ，
（i）当 时， 恒成立， 在 上单调递增，
所以 ， 无解，故不成立；
（ii）当 时，令 ，解得 ，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
所以 ，即 ，
即 ，解得 .
经检验，当 时， ，
所以 只有一个解，且 ，
符合题意，故a的值为1；（3）函数 的定义域为 ，
由题意可知 即不等式 （ 且 ）的解集，
即 （ 且 ）的解集
令 ，
则 ，
①当 时， 恒成立， 单调递增，当
所以 的解集，即集合 必是一个区间；
②当 时，令 ，解得
所以 在 上单调递增，在 和 单调递减，
且 ，所以 的解集，即集合 必是一个区间；
③当 时，令 ，解得
所以 在 上单调递增，在 和 单调递减，
且 ，所以 的解集，即集合 必是一个区间；
6．（2025·上海普陀·二模）已知 ，对于函数 ， ，设集合 ，
，记 .
(1)若函数 ，请判断 中元素的个数，并说明理由；
(2)设 ，函数 ，若 ，求 的值以及曲线 在点 处的切线方程；
(3)设 ，函数 ，若对于任意的 ，皆有 成立，求 的取值范围.
【详解】（1）由 .
当 时， ；
当 时， .
所以 有2个元素.
（2）将 代入圆 ，
由相切 .
此时 ， ，
又 ，所以 ，所以 ，
切线方程 ，即 .
（3）对于任意的 ，皆有 成立，即函数 的图象与圆系： 无交点，所以
恒成立.
因为 ， ，所以 ， .
当 时， 恒成立，所以函数在 上单调递增，且 .由 .
当 时，设 ，则 ，所以 在 上单调递增，
所以 .
即当 时， ；
又 ，所以 .
所以 .
设 ， ，则 ，
所以 在 上单调递增，所以 .
由 .
综上，实数 的取值范围为：
7．（2025·上海·三模）若曲线 的切线 与曲线 共有 个公共点（其中 ），则称 为曲线 的
“ 切线”．
(1)若曲线 在点 处的切线为 切线，另一个公共点的坐标为 ，求 的值；
(2)求曲线 所有 切线的方程；
(3)设 ，是否存在 ，使得曲线 在点 处的切线为 切线？若存在，
探究满足条件的 的个数，若不存在，说明理由．
【详解】（1）曲线 在点 处的切线为 切线，另一个公共点的坐标为 ，
所以切线斜率为 ，
所以 .（2） ，所以 .
设切点为 ，则切线斜率为 ，
所以切线方程为 ，即 .
设 ，
因为切线为 切线，所以 有且仅有1个根，
所以 解得 ，
所以曲线 所有 切线仅有一条，切线方程为 .
（3） ，所以 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即
.
令 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
当 ， 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减.
所以 的所有极大值为 ，
当 时，极大值为 ，即 .当 为正整数时，极大值均小于 ，所以 在 无零点.
当 为负整数时，极大值均大于 ， 的所有极小值为 ,
当 时，极小值 ，且随着 的增大，极小值
越来越小，
因此曲线 在点 处的切线为 切线，等价于 有三个零点，等价于
，即 有解.
令 ，则 ，
所以 在 单调递增，又 ， ，
所以存在唯一实数 ，满足 ，
所以存在唯一实数 ，使得曲线 在点 处的切线为 切线.
8．（2025·上海黄浦·三模）已知函数 是定义在D上的连续函数，其导函数为 ，函数
的导函数为 ，定义函数运算： ．
(1)若 ，求出函数 的极值点 ，并判断 的符号；
(2)若 ， ，讨论方程 解的个数；
(3)若 ，当 ， ，记 与 中较大者为 ．证明： ．
【详解】（1） ，令 ，解得 或 ，
由 或 ；由 .所以函数 在 和 上单调递增，在 上单调递减.
所以 是函数 的极大值点； 是函数 的极小值点.
又 ，当 时， ；
当 时， .
（2）因为 ，所以 ， ，
则 ，
令 ， ， ，
令 ，即 ，因为 ，所以 ，
当 时， ，所以 在上 严格递增，
当 时， ，所以 在上 严格递减，
所以函数在 处取得最大值 ；
当 时， ；当 时， ，
时， 的图象无交点；当 时， 的图象有 1 个交点；当
时， 的图象有 2 个交点，
所以当 时，方程 无解；当 时，方程 有 1 个解；当 时，方程
有 2 个解；
（3）假设 在 上的最大值在某个内点 处取得，即 时 ，
由最大值的定义且 可导，且 ， ，
因为当 ， ，所以 ，
所以 ，由于 ，所以 ，所以 ，
但 ，而 ，这与 矛盾，
因此，函数 在 上的最大值只能在端点 或 处取得，
即
9．（2025·上海·三模）设函数 的定义域为 ，给定闭区间 ，若存在 ，使得对于任意
，①均有 ，则记 ；②均有 ，则记 ．
(1)设 ，求 ；
(2)设 ．若对于任意 ，均有 ，求
的取值范围；
(3)已知对于任意 与 均存在，证明：＂ 为 上的严格增函数或严格减函数＂的充
要条件为＂对于任意两个不同的 与 中至少一个成立＂．
【详解】（1）因为 ，求导得 ，
所以 在 上为单调递增函数，因此 ；
（2）因为 ，所以 ，而 ，
因为 ， 表示过点 ，斜率为 的直线，故 是 在 处的切线，
而 存在极值点 ，又因为 ，所以 ，
当 或 时， ，当 时， ，
则函数 在 上单调递减，在 上单调递减，
当 时，此时 与 在 上均为单调递增函数，
因此当 时， 恒成立，
即 ，
当 时，则有 ，显然成立，当 时，则有 ，
因为 ，所以 ；
当 时，此时
此时 ，不符题意舍去；
综上，实数 的取值范围为 ；
（3）证明：先证明必要性（ ）：
若 为 上的单调递增函数，则任取 ，
由题意可得 ，
因为 ，所以 或 或 或 ，
因为 为 上的单调递增函数，
所以 或 或 或 ，
所以 ，所以 或 成立．同时对 为 上的单调递减函数，同理可证．
下面证明充分性（ ）：
当 与 其中一式成立时， 不可能为常值函数，
先任取 ，总有 或
假设存在 ，使得 ，
记 ，则 ，
因为存在 ，则 或 ，
不妨设 ，则 ，否则当 ，
此时 ，矛盾；
进而可得 ，则 ， ，因此 ①．
最后证明 为 上的单调递减函数，任取 ，且 ，需考虑如下情况：
情况一：若 ，同上述可得， ，
所以 ．
情况二：若 ，则 ，
否则 ， ，由此矛盾，
因为 ，同情况一可得矛盾，
所以 ．
情况三：若 ，则 ，否则 ，
记 ，否则 ，记 ，
则 ， ，
同理若 ，所以 ，
由①可得： ．
情况四：若 ，同上述可得， ．
综上， 恒成立．（当 为 上的单调递增函数时，同理可证）
10．（2025·上海·三模）已知函数 .
(1)求函数 的极值；
(2)当 时，证明： 恒成立.
(3)函数 图像上存在多少组关于点 对称的点对？说明你的结论和理由.
【详解】（1）由题设 ，可得 ，
时， ， 在 上单调递增；
时， ， 在 上单调递减，
故函数 有唯一的极值点，当 时取得极大值 .
（2）当 时， ，
令 ， ，则 ，
令 ，则 ，当 时， ，于是 在 上严格递增，
所以 ，于是 在 上严格递增，
故 ，即 ，
所以 ，原不等式成立.
（3）存在唯一的点对关于 对称，证明如下：
假设存在，设 ， ， ，
于是， ，即 ，
设 ，则 ，
显然 ，即存在 ，其中 ，
令 ，则 ，即 在 上单调递减，
于是 时， ， 在 上单调递增；
时， ， 在 上单调递减.
且 ， ， ，
于是，存在唯一的 使得 ，即存在唯一的点对 、 满足题意.
11．（2026·上海长宁·二模）设函数 定义域为 ，区间 ，记函数 在区间 上的最大
值为 ，最小值为 .
(1)设 ， ，若 ，求实数 的值；(2)设 ， ，若 ，且 ，求 的值；
(3)已知 ， ，且对任意闭区间 ， 与 均存在.
求证：“ 在区间 上严格增”的充要条件是“对于任意闭区间 、 ，当
，且 时，均有 .”
【详解】（1）由题意知函数 ，在区间 上的最小值为 ，
由题意得 ，
①当 时， 恒成立，
在区间 上单调递增，无最小值，不满足题意；
②当 时，当 时， ，
在区间 上单调递减，
当 时， ，
此时 在区间 上单调递增，
此时 ，满足题意；
③当 时， 恒成立，
在区间 上单调递减，无最小值，不满足题意；
综上所述， .
（2）由题意得 ,
当 或 时， ，函数 单调递增，
当 时， ，函数 单调递减，又 ，
①当 时， 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
此时 ，
因为 ，所以 ，
又 在区间 上单调递减，即 ，
所以 ，故 ；
②当 时， 在区间 上单调递减，
此时 ，满足 ；
③当 时， 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
此时 ，
因为 ， 在区间 上单调递减，
所以 ，则 ，得到 ，解得 ，
综上所述： 或 或 .
（3）必要性：若 在区间 上严格增，
设 ，
因为 在区间 上严格增，
所以 ，
又 ， ，
所以 ，又 在区间 上严格增，
所以 ，必要性成立；充分性：假设 在 上不严格增，
则存在 ，使得 ，
令 ，设 ， ，
由函数 在区间 连续，
所以必存在 ，使得 ，
令 ，则 ， ，
由于 ，函数 在区间 上不可能是严格增函数，
若函数 在区间 上为常数，可取 ，
则 ，与题设矛盾；若函数 在区间 上不为常数，
则其最大值与最小值不可能同时在两个端点 取到，
故 是 的真子集，即 与题设矛盾.
因此假设不成立， 在 上严格增，充分性成立.
综上所述：“ 在区间 上严格增”的充要条件是“对于任意闭区间 、 ，
当 ，且 时，均有 .”
12．（2026·上海杨浦·二模）设函数 的定义域为D，值域 .若 且满足
，则称 与 构成“函数 的线性对”.
(1)若 ，判断 与π是否构成函数 的线性对，并说明理由；
(2)若 ， .若对于任意 （常数 ），都存在 ，使得 与 构成函数 的线性对，求 的取值范围；
(3)函数 是定义在 上的奇函数，且满足：若 与 构成函数 的线性对，则 与 也构
成函数 的线性对.求证：对任意 ， .
【详解】（1）因为 ， ，
所以 ，满足值域 且 ，
即 与π是构成函数 的线性对；
（2）由题意， ，需满足 ，
代入 整理得： ，
因为 ，所以要求 ，
又 ，故 ，由等式可得： ，
对任意 都存在满足条件的 ，故 ，
所以 的取值范围 ；
（3）由 是 上的奇函数，可得 ， ；
则 ，即 是线性对，
由 是线性对，则 也是线性对，可得 也是线性对，
所以有 ，因为 定义在 上，所以通过迭代可得： ，
又由题设大前提， 的值域 ，
若值域内存在正数 ，必存在 ，使得 ，
此时 ，而 ，显然 ，
即值域内不存在正数 ；
若值域内存在负数 ，必存在 ，使得 ，
此时 ，而 ，显然 ，
即值域不存在负数 ，
因此对任意 ， ，问题得证.
13．（2026·上海闵行·二模）对于定义在 上的函数 ，若存在实数对 ，对于任意的实数 ，
都有 成立，则称函数 为“ 型函数”，点 称为 的“ ”点.
(1)判断函数 与 是否为“ 型函数”（无须说明理由）；
(2)是否存在“ 型函数” ，其图象上的所有点都是 的“ 点”，如果存在，求出所有
满足题意的 ，如果不存在，说明理由；
(3)设 ，函数 是“ 型函数”，且 的图象是一条连续曲线. 已知 ，点
， 都是 的“ 点”. 证明：“对任意 ，当 时，均有
”是“函数 在 上为严格减函数”的充要条件.
【详解】（1）对于 ，考查 ，为随 变化的变量，
不可能恒等于某个常数 ，所以 不是“ 型函数”；对于 ，考查 ，取
即可满足 恒成立，所以 是“ 型函数”
（2）依题意这样的函数意味着对于任意实数 和 ，都有 ，
令 ，可得 ，所以对任意实数 ， 只能取 或 ，
若存在 使得 ，由 是“ 点”可知 对任意实数 成立，
又因为 只能取 或 ，所以 且 对任意实数 成立，
也即 对任意实数 成立，反过来函数 确实满足 恒成立；
若对任意实数 都有 ，此时函数 也满足 恒成立，
综上所述，满足题意的 有 和 .
（3）由点 是 的“ 点”可知 恒成立，取 得 ，同理可
得 ，
因为 ，所以 ，所以有 ， ，已知 ，所以 即 ，
必要性，若函数 在 上为严格减函数，当 时，有 ，
所以 ， ， ，所以
，
充分性，对任意 ， 时，均有 ，
可知在 上 ，所以 在 上严格单调，又因为 ，所以 在
上严格递减，设 ，则有 即 关于 中心对称，
同理有 即 关于 中心对称，因为 严格递增，
所以根据复合函数单调性可知 在 上严格递减，同时因为 连续且 ，所以 也连
续，
于是可以通过中心对称得到 在 和 上严格递减，不断往两边扩展，
即可得到 在 上严格递减，所以 在 上严格递减，
所以“对任意 ，当 时，均有 ”
是“函数 在 上为严格减函数”的充要条件.
14．（2025·上海黄浦·一模）已知函数 的定义域为D，对于给定实数t，定义集合
．
(1)若 ，求 ；
(2)若 ，求证：“ 为周期函数”的充要条件是“存在非零常数t，使得 ”．
(3)若 ， ，且对于任意的 ，都有 ，求实数a
的取值范围．
【详解】（1） ，
若 ，则 ，
所以 ，
所以（2）充分性：因为 ， ，
所以 ，所以 ，因为 ，所以 是周期函数；
必要性：若 是周期函数，设 是 的周期，则 ，
所以 ， ，
所以存在 ，使 .
（3）因为 ， ，所以 ， ，
所以 在 上单调递增，所以 ，
若 ，则 ，则不满足 ；
所以 ，设 ，
因为 ，
当 单调递减；当 单调递增；
所以 ，即 ，
设 ，则 ，
当 单调递增；当 单调递减；
又 ，所以 ；
所以 .
15．（2025·上海徐汇·二模）对于函数 ，记.如果 是满足 的最小正整数，则称 是函数 的“最小导周期”.
(1)已知函数 ，其中 ，求证：对任意实数 ，都有 ；
(2)设 ， ，若函数 的最小导周期为 ，记
，当实数 变化时，求 的最小值；
(3)设 ， ，若函数 满足 对 恒成立，且存在 使得
，试用 表示 ，并证明 .
【详解】（1）证明：因为 ，
，
，
，
所以，对任意实数 ，都有 .
（2） ， ，
由题意知， 对任意实数 恒成立，
令 ，则 ，即 ，
令 ，则 ，则 ，
所以 或 .
若 ，则 ， ，最小导周期不是 ，矛盾；
若 ，则 ， ， ，最小导周期为 ，符合要求，所以.
可视为点
与点
之间的距离，当实数 变化时，点 在直线 上运动，点 在曲线 上运动，
因此所求最小值可转化为曲线 上的点到直线 距离的最小值，
而曲线 在直线 上方，平移直线 使其与曲线 相切，
则切点到直线 的距离即为所求.
设切点 ， ，切线斜率 ，得 ，切点为 ，
点 到直线 距离 . 即 的最小值为 .
（3） ， ，
记 ，即 .
由 在 上恒成立及存在 使 ，
可知 是函数 的极大值点，于是 ，
则 ①，
又 ，则 ②，由①②得 ，则 .
又因为 ，
所以 ，由 得 ，
又因为 ，
所以 ，
有 ，于是 ，
所以 .
16．（2025·上海宝山·二模）定义在 上的可导函数 ，集合
为正整数 ，其中 称为 的自和函数， 称为 的固着点. 已知
.
(1)若 ， ，求 的值及 的固着点；
(2)若 ， 是 的自和函数，且 在 上是严格增函数，求 的最大
值；
(3)若 ， ，且 是 的固着点，求 的取值范围，并证明： .
【详解】（1）由题得 ，所以 ，
因为 ，所以 ，解得 ，
所以 ，固着点 .
（2）由题得 ，则 ，所以 ，因为 是 上的严格增函数，
所以 在区间 上恒成立，
由 ，得到 ，所以 ，
所以 ，因此 的最大值是 .
（3）（方法一）由题得 ， ，
所以 ，
因为 ，且 是 的固着点，所以 （*）在 上有唯一的解 ，
记 ，则 ，所以 在 是严格减函数，
从而 ，又当 时， ，故 的值域是 ，
所以 ，即 ，
记 ，则由上述可知 是 的严格减函数且 ，
，
因为 ，所以 ，所以 ①
又 ，
记 ，则 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 是 上的严格增函数，
故 ，从而 ②由①②可知， ，即 ，
又 是 的严格减函数，所以 ，故 .
（方法二）
由题得 ， ，所以 ，
因为 且 是 的固着点，所以 （*）在 上有唯一的解
求导得 ，
当 时， ， 是 上的严格减函数，
所以 ，所以方程（*）无解；
当 时，
（ⅰ）当 时， 在 恒成立，故 是 上的严格增函数，
所以 ，所以方程（*）无解；
（ⅱ）当 时，如下表
- 0 +
严格减 极小值 严格增
可知 在 严格减，在 严格增，
又 ， ，当 时， ，
所以方程（*）在 无解，在 有唯一解，满足题意的 的取值范围 ，
因为 是 的唯一解，所以 ，
又 ，令 ，则 ，所以 是 上的严格减函数，
所以 ，即 ，
又当 时， ，所以 ，
又 在 上有唯一的零点，则 ，
综上， ，此时 .
17．（2025·上海崇明·二模）已知函数 ，P为坐标平面上一点．若函数 的图像上存在与P
不同的一点Q，使得直线PQ是函数 在点Q处的切线，则称点P具有性质 ．
(1)若 ，判断点 是否具有性质 ，并说明理由；
(2)若 ，证明：线段 上的所有点均具有性质 ；
(3)若 ，证明：“点 具有性质 ”的充要条件是“ ”．
【详解】（1）点 具有性质 ，理由如下：
设 ，因为 ，
所以曲线 在点Q处的切线方程为： ，
将点 坐标代入，得： ，所以 或2
即函数 的图像上存在与P不同的一点 ，
使得直线PQ是函数 图像在点Q处的切线，故点 具有性质 ；
（2）证明：
设函数 的图像在Q处的切线方程为： ①
当 时，点P在函数 的图像上，
将 代入①式，得： ②
令 ，则
所以关于q的方程②必有实数解 ，且
故函数 的图像上存在与P不同的一点Q，使得直线PQ是函数 图像在点Q处的切线，即
点 具有性质 ；
当 时，点P不在函数 的图像上，
将 代入①式，得： ③
令 ，则
所以当 时，关于q的方程③必有解，
故函数 的图像上存在与P不同的一点Q，使得直线PQ是函数 图像在点Q处的切线，即
点 具有性质 ，
综上所述，线段 上的所有点均具有性质 ；
（3）证明：设 ，
函数 的图像在Q处的切线方程为：
必要性：若点 具有性质 ，则点 应满足方程
令 ，则由 ，得： ，当 时， ，当 时， ，
故函数 在 时取得最小值
因为P与Q是不相同的点，所以点P的横坐标 ，因此 ，
即 .
充分性：当 时，令
对于函数 ，当q趋向 时， 趋向 ，
又 ，故关于q的方程 必然有解，
即存在点 使得直线PQ是函数 的图像的切线，
所以点 具有性质
综上所述，“点 具有性质 ”的充要条件是“ ”.
18．（2025·上海浦东新·三模）已知 是定义在 上的函数，集合 对任意 ，都有
．当 时，若函数 存在最小值 ，则称 为直线 的“
距离”．
(1)若 ，直接写出相应的集合 ；
(2)设 ，且存在实数 ，使得直线 的 一距离不小于 ，求 的取值范围；
(3)设 的导函数 在 上严格增．若对任意 ，都有 且直线 与
的 距离相等．证明： 是偶函数．
【详解】（1）因为 ，则 ，若 ，由 可得 ，可知当 时， ，不合乎题意；
若 ，由 可得 ，可知当 时， ，不合乎题意.
故 ，由 可得 ，故 .
（2）要求直线 的“ 距离”，则求 的最小值，分以下两种情况讨论：
①当 时， 对任意的 恒成立，
所以 在 上严格减，无最小值；
②当 时， ，由 得 ，由 得 ，
所以函数 在区间 上严格减，在区间 上严格增，
故 ，所以 ，
令 ，其中 ，则 ，
由 得 ，由 得 ，
所以，函数 在区间 上严格增，在区间 上严格减，
由题意知 ，故实数 的取值范围是 .
（3）先说明 ，设点 为函数 图象上的一点，
因为 存在，则 存在，设直线 ，
其中 为任意的正常数，
考虑 的最小值，
因为 ，且 在 上为严格增函数，故当 时， ，即 在 上严格减，
当 时， ，即 在 上严格增，
故 为函数 的极小值点，也是最小值点，故 ，
若令 ， ，
则 对 恒成立，即 ，
所以 ，且直线 的“ 距离”为 ，
因为对任意的 ，都有 ，
考虑直线 ，
考虑 ，
因为直线 的“ 距离”和直线 的“ 距离”相等，
所以 对任意的 恒成立，所以 ，
则 ,
即 ，即 ，
同理有 ，故 ，
由 的任意性可知函数 为 上的偶函数.
19．（2025·上海松江·三模）设 ，函数 的定义域为 ．若对满足 的任意 ，均
有 ，则称函数 具有“ 性质”．
(1)在下述条件下，分别判断函数 是否具有 性质，并说明理由；① ； ② ；
(2)已知 ，且函数 具有 性质，求实数 的取值范围；
(3)证明：“函数 为增函数”是“对任意 ，函数 均具有 性质”的充要条件．
【详解】（1）①是，对任意 ， ，符合定义；
②不是，令 ， ，
故不符合题意.
（2）显然 ，设 ，
则 ，
当 时，取 最小值 ，
原问题等价于当 时， 恒成立，即 恒成立，得 ；
（3）证明：充分性：
若函数 为增函数，则对任意 均有 ，
即 ，因此，对任意 ，若 ，
则 ，函数 具有 性质，充分性得证；
必要性：
若对任意 ，函数 均具有 性质，
假设函数 不是增函数，则存在 ，满足 ，即 ，
而 ，故存在 ，使 ，且 ，即 ，
即对于 ，存在 ，但是 ，与“对任意 ，函数 均具有 性质”矛盾，因此假设不成立，
即函数 为增函数，必要性得证．
20．（2025·上海·三模）已知定义在 上的函数 的图像上存在 ， 两点，记直线 的方程为
，若直线 恰为曲线 的一条切线（ ， 为切点），且对 上的任意的 ，均有
，则称函数 为“切线支撑”函数.
(1)试判断函数 是否为“切线支撑”函数.若是，写出一组点 ， ；否则，请说明
理由；
(2)证明：函数 为“切线支撑”函数；
(3)已知 为“切线支撑”函数，求实数 的取值范围
【详解】（1） ，
显然 ，
令 ，得 ， ，即 ，
所以 ， 是 的极小值点，且 为曲线 的一条切线，
所以函数 是“切线支撑”函数，
可取 ， ．
（2）证明：因为 ，设 ， ，
所以 ， 点处的切线方程为 和
，所以 ，
所以 ， ，
不妨取 ， ，则 ，即 ， ，
所以 ，不妨取 ．则切线 的方程为 ，
又 ，所以函数 为“切线支撑”函数．
（3）当 时， ，所以 在 上为增函数，所以切点 ， 不可能都在 轴的右侧；
当 时， ，所以 在 上为增函数，所以切点 ， 不可能都在 轴的左侧；
所以切点 ， 必在 轴的两侧．
不妨设 ， ， ，
当 时， ，所以 点处的切线方程为 ，
即 ；
当 时， ，所以 点处的切线方程为 ，
即 ，
因为 ， 两点处的切线重合，所以 ，
设 ， ，则 ，
所以 在 上单调递增，
又当 时， ，所以 ，即 ，
设 点处的切线方程为 ，设 ，
则 ，
所以当 时， ， 在 上单调递减；
当 时， ， 在 上单调递增，
所以 ，所以 ，
设 点处的切线方程为 ，
则 ，即 ，
所以 为“切线支撑”函数，
综上可得，实数 的取值范围为 ．
21．（2025·上海·三模）定义：如果函数 在定义域内给定区间 上存在实数 ，满
足 ，那么称函数 是区间 上的“平均值函数”， 是它的一个均值点.例
如 是区间 上的“平均值函数”，0是它的均值点.
(1)已知函数 、 ，判断 、 是否为区间 上的“平均值函
数”，并说明理由；
(2)设 是区间 上的“平均值函数”，1是函数 的一个均值点，求所有满足条
件的整数数对 ；
(3)若 是区间 上的“平均值函数”， 是它的一个均值点，求证： .
【详解】（1）（1）函数 是区间 上的“平均值函数”，不是区间 上的“平均值函数”，理由如下：
由题题意 ，得 ，则 ，所以函数 是区间
上的“平均值函数”；
，即 ，
所以 ，无解，所以 不是区间 上的“平均值函数”；
（2）因为 是区间 上的“平均值函数”，1是函数 的一个均值点，
所以 ，
即 ， 显然不成立，
所以 ，因为 是函数的一个均值点，根据均值点的定义，可得 ，
又所求的 为整数对，故 或 或 或 .
（3）由题意可得 ，则所证不等式为 ，
需证 ，令 ，则不等式为 ，
则不等式等价于 ，
令 ，求导得 ，所以 在 上单调递减，所以 ，
即 ，即 .
22．（2026·上海金山·二模）若函数 ，其值域为 ．若 ，则称函数 在区间
上为封闭函数．
(1)已知 ，判断函数 是否在区间 上为封闭函数，并说明理由；
(2)已知 ，若函数 在区间 上不为单调函数，但在区间 上为封闭函数，求
的最大值；
(3)已知函数 在区间 上连续且为封闭函数，且对于任意的 、 ，都有
成立．若数列 满足 ， 且 ，证明：存在唯一常数 ，使
得 ，且对于任意的 ，都有 ．
【详解】（1）由 ，
由 ，得 ，从而有 ，即得 ，
即 ，
从而函数 在区间 上为封闭函数；
（2）由 ， ，
函数 的图象为开口向上的抛物线，其对称轴为直线 ，
根据题意 在区间 上不为单调函数，得 ，
从而函数 在区间 单调递减，在区间 单调递增，从而 ， ，
由函数 在区间 上为封闭函数，即有 ，
从而 ，即 ，
那么 ，即得 ，
即 的最大值为 ；
（3）由函数 在区间 上连续且为封闭函数，令 ，
从而函数 在区间 上连续，
函数 在区间 上为封闭函数，
从而 ， ，即有 ， ，
由函数 在区间 上连续，且 ，
故存在 ，使得 ，即 ，
假设存在 ，且 ，使得 ， ，
则 ，
又因为任意的 、 ，都有 成立，
所以 矛盾，
所以存在唯一的常数 ，使得 ，
数列 满足 ， 且 ，
当 ，那么 ，那么 ， ，可知数列 中的 ， 且 ，
那么由 ，则 ，
，
由 ，所以 ，
则 ，即有 .
故存在唯一常数 ，使得 ，且对于任意的 ，都有 ．
23．（2025·上海嘉定·二模）已知函数 ，其中 ，定义集合
．对于点 ，定义集合 ．若对任
意 ，均有 ，则称点P为平衡点．
(1)当 时，判断点 是否为平衡点；
(2)当 时，求实数b的取值范围，使得点 是平衡点；
(3)求所有实数a和b，使得点 是平衡点．
【详解】（1）由题设 ，而 ，
当 ，则 ，即 ，故 ，
所以点 是平衡点；
（2）由题设 ，若 是平衡点，则 ，即 ，
此时 恒成立，则 ；
（3）由题意，对于 ，都有 ，当 ，即 时， 在 上单调递增，则 ，
所以 ，易知 ，显然不满足前提；
当 ，即 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，
则 ，故 ，则 ，
所以 时， ；
当 ，即 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，
则 ，故 ，则 ，
所以 时， ；
当 ，即 时， 在 上单调递减，则 ，
所以 ，易知 ，显然不满足前提；
综上， 时， ； 时， .
24．（2025·上海虹口·一模）已知函数 的定义域为 （ ），记 ，其
中 ，且 ．
(1)当 ， ， ，求函数 的零点；
(2)当 ， ，若恒有 ，求实数 的取值范围；
(3)当 ，求证：“对于任意的正有理数 ，函数 在 上均是严格增函数”的充要条件是“任
取 中两个不相同的元素 和 ，均有 ”．【详解】（1）当 ， ， 时， ，
令 ，解得 ，
所以函数 的零点为 .
（2） ，
若 ，当 时 的二次项系数为负导致当 时， ，
当 时， ，均不满足 恒成立，故 ，
所以 ，设 ，
则 ，解得 或 （舍去），即 ，
此时 ，所以 在 上单调递增，
所以 ，
所以实数 的取值范围为 .
（3）必要性：对于 ，取 ，
因为函数 在 上是严格增函数且 ，所以 ，
即 ，
即 ，
所以 .
充分性： ， 且 ，因为 ，
所以 ，
即 ，又 ，
所以函数 在 上是严格增函数.
25．（2026·上海奉贤·二模）设定义域为 的函数 的表达式为 ，我们可
以证明函数 存在唯一的零点，设该零点为r．如图，过点 作函数 的切线 与
轴的交点为 ，设横坐标为 ，若 ，则过点 作函数 的切线 与x轴的交点
为 ，设横坐标为 ；若 ，则停止作切线．…依次类推，得到数列 ，记 ，
．
(1)若 ， ，求 ；
(2)求证：数列 是严格递减数列；
(3)若 ，比较 与 的大小，并说明理由．
【详解】（1）已知 ， ，当 ， ，设切线斜率为 ，
则 ，直线 为 ，
令 ， .
（2）设 ， ， ， ，所以 ，
，
则直线 为 .
令 ，则 .
，
因为 ，且 ，
所以 ，
所以数列 是严格递减数列.
（3）当 时， ， ，令 ，
则 ，
令 .
所以 .
构造函数，令 ， ，
求导 ，
构造函数 ， ，所以 单调递增，且 ，所以 ，所以函数 在 上单调递增，
当 ， ，
根据零点存在定理，存在唯一的 使得 ，
所以结合数列 的单调递减性，
当 ， ，此时 ；
当 ， ，此时 ；
当 ， ，此时 .
刷真题
1．（2024·上海·高考真题）对于一个函数 和一个点 ，令 ，若
是 取到最小值的点，则称 是 在 的“最近点”．
(1)对于 ，求证：对于点 ，存在点 ，使得点 是 在 的“最近点”；
(2)对于 ，请判断是否存在一个点 ，它是 在 的“最近点”，且直线 与
在点 处的切线垂直；
(3)已知 在定义域R上存在导函数 ，且函数 在定义域R上恒正，设点
， ．若对任意的 ，存在点 同时是 在 的“最近
点”，试判断 的单调性．【详解】（1）当 时， ，
当且仅当 即 时取等号，
故对于点 ，存在点 ，使得该点是 在 的“最近点”．
（2）由题设可得 ，
则 ，因为 均为 上单调递增函数，
则 在 上为严格增函数，
而 ，故当 时， ，当 时， ，
故 ，此时 ，
而 ，故 在点 处的切线方程为 .
而 ，故 ，故直线 与 在点 处的切线垂直．
（3）设 ，
，
而 ，
，
若对任意的 ，存在点 同时是 在 的“最近点”，
设 ，则 既是 的最小值点，也是 的最小值点，
因为两函数的定义域均为 ，则 也是两函数的极小值点，
则存在 ,使得 ，即 ①
②
由①②相等得 ，即 ，
即 ，又因为函数 在定义域R上恒正，
则 恒成立，
接下来证明 ，
因为 既是 的最小值点，也是 的最小值点，
则 ，
即 ，③
，④
③ ④得
即 ，因为
则 ，解得 ，
则 恒成立，因为 的任意性，则 严格单调递减.
2．（2023·上海·高考真题）令 ，取点 过其曲线 作切线交y轴于 ，取点
过其作切线交y轴于 ，若 则停止，以此类推，得到数列 ．
(1)若正整数 ，证明 ；(2)若正整数 ，试比较 与 大小；
(3)若正整数 ，是否存在k使得 依次成等差数列？若存在，求出k的所有取值，若不存在，试
说明理由．
【详解】（1） ，则 在 处的切线为 ，
当 时， ，即 ，
所以当正整数 时， ；
（2）作差得 ，
令 ， ，
当 时， ，当 时， ，
故 在 单调递增，在 上单调递减，
，故 ，
所以当正整数 时， ；
（3） ，令 ，
与 单调性相同，由（2）得 ，
当 时， ，当 时， ，
故 至多有两解，
若 成等差数列，则 ，
故最多 项成等差数列，此时 ， ．
而 ， ，
令 ， ，显然 时， ，故 在 上单调递增，
而， ， ，故 有唯一解，
存在 使得 ，此时 ，故存在最多 项成等差数列，
3．（2023·上海·高考真题）设函数 ，其中 ，若任意
均有 ，则称函数 是函数 的控制函数”，且对于所有满足条件的函数
在 处取得的最小值记为 ．
(1)若 ，试问 是否为 的控制函数”；
(2)若 ，使得直线 是曲线 在 处的切线，证明：函数 为函数 的控
制函数，并求“ ”的值；
(3)若曲线 在 处的切线过点 ，且 ，证明：当且仅当 或 时，
．
【详解】（1）当 时，令 ，
所以 ，令 解得 或 ，
所以 在 单调递减，
又因为 ，所以 在 上小于等于0恒成立，
即 在 上恒成立，所以由题意 是 的控制函数.
（2）当 时， ， ，所以 ， ，
所以曲线 在 处的切线为 ，整理得 ，
令 ，则 ，
令 解得 ，所以 在 单调递增，在 单调递减，
又 ，所以 在 上小于等于0恒成立，
即 在 上恒成立，所以 是 的控制函数，
由题意 .
（3）由题意
设 在 处的切线为 ，
则 ，因为 且 ，
所以 ，
所以 ，
，
所以 ，
则 即 恒成立，所以函数 必是函数 的“控制函数”.
是函数 的“控制函数”
此时“控制函数” 必与 相切与 点， 与 在 处相切，且过点 ，
由上及 知：当且仅当 或 时等号成立，其他位置恒有 ，
所以 或 .
所以曲线 在 处的切线过点 ，且 ，
当且仅当 或 时， .
4．（2026·上海·高考真题）设 是定义在 上的函数.定义性质 ：若对任意 ，当 时，
，则称函数 具有“性质 ”.
(1)判断函数 是否具有“性质 ”；
(2)若分段函数 具有“性质 ”，求所有满足条件的实数 和 的解；
(3)已知 的值域为 ，且在 上是严格增函数，证明： 是偶函数的充要条件是： 具
有“性质 ”.
【详解】（1）函数 不具有“性质 ”，理由如下：
例如当 时，显然 成立，
，根据指数函数的单调性可知 ，
所以有 ，这与“性质 ”矛盾，故函数 不具有“性质 ”；
（2）因为函数 具有“性质 ”，所以取 ，有 ，于是有 ，
当 时，由 ，
当 时，由 ，
若 ，若 ，则有 ，
取 ，
此时 ，但是 ，不符合“性质 ”，所以 不符合题意，
故 ，此时 ，
若 时，则 ，
由 ，
若 时，则 ，
由 ，
因此 ，
综上所述：当且仅当 时，满足条件；
（3）充分性：若 具有“性质 ”，则 是偶函数.
若存在 ， ，不妨设 ，
记 ，即 ，
因为函数 的值域为 ，
所以 ，
若 ，则有 ，若 ，则有 ，
故对任意 ， ，这与 的值域为 矛盾，
所以 不成立，则有 ，因此函数 是偶函数；
必要性：若 是偶函数，则 具有“性质 ”.
当 时，因为 在 上是严格增函数，
所以 ，
又因为函数 是偶函数，
所以由 ，因此 具有“性质 ”.
所以 是偶函数的充要条件是： 具有“性质 ”.
5．（2025·上海·高考真题）已知函数 的定义域为 ．对于正实数a，定义集合
．
(1)若 ，判断 是否是 中的元素，请说明理由；
(2)若 ，求a的取值范围；
(3)若 是偶函数，当 时， ，且对任意 ，均有 ．写出 ，
解析式，并证明：对任意实数c，函数 在 上至多有9个零点．
【详解】（1）（1） ， ，则 不是 中的元素.
（2）法一：因为 ，则存在实数 使得 ，且 ，当 时， ，其在 上严格单调递增，
当 时， ，其在 上也严格单调递增，
则 ，则 ，
令 ，解得 ，则 ，
则 .
法二：作出该函数图象，则由题意知直线 与该函数有两个交点，
由图知 ，假设交点分别为 ， ，
联立方程组 得
（3）对任意 ，因为其是偶函数，
则 ，而 ，
所以 ，
所以 ，因为 ，则 ，
所以 ，所以 ，
所以当 时， ， ，则 ，
，则 ，而 ， ，
则 ，则 ，
所以当 时， ，而 为偶函数，画出函数图象如下：
其中 ，但其对应的 值均未知.
首先说明 ，
若 ，则 ，易知此时 ，
则 ，所以 ，而 时， ，
所以 ，与 矛盾，所以 ，即 ，
令 ，则 ，
当 时，即使让 ，此时最多7个零点，
当 时，若 ，此时有5个零点，
故此时最多5个零点；
当 时，若 ，此时有5个零点，
故此时最多5个零点；当 时，若 ，此时有3个零点，
若 ，则 ，易知此时 ，
则 ，所以 ，而 时， ，
所以 ，与 矛盾，所以 ，
则最多在 之间取得6个零点，
以及在 处成为零点，故不超过9个零点.
综上，零点不超过9个.
6．（2025·上海·高考真题）已知函数 的定义域是 ．对于 ，定义集合 ．
(1) ，求 ；
(2)对于集合 ，若对任意 都有 ，则称 是对称集．若 是对称集，证明：“函数 是偶
函数”的充要条件是“对任意 ， 是对称集”；
(3)若 ， ．求 的取值范围，使得对于任意 ，都有 ．
【详解】（1）由定义得， .
（2）证明：必要性：因为函数 是偶函数，所以对任意 ， ，
对任意 ，若 ，即 ，则 ，
所以 ，所以对任意 ， 是对称集.
充分性：若对任意 ， 是对称集，
因为对任意 ， ，所以 ，即 ①，
又 ，所以 ，即 ②.
由①②得，对任意 ， ，
所以函数 是偶函数.
综上，“函数 是偶函数”的充要条件是“对任意 ， 是对称集”，得证.
（3）因为对于任意 ，都有 ，
所以若 ，则 ，即若 ，则 ，
所以 ，所以 在 上单调不减，
所以对任意 ， 恒成立.
当 时，显然成立， ；
当 时， 恒成立，令 ， ，
所以 在 单调递减， 单调递增，所以 ；
当 时， 恒成立，此时
因为 在 上单调递减，当 时， ，时， ，
所以 ；
综上， .
7．（2024·上海·高考真题）记
(1)若 ，求 和 ;
(2)若 ，求证:对于任意 ，都有 ，且存在 ，使得 .
(3)已知定义在 上 有最小值，求证" 是偶函数"的充要条件是“对于任意正实数 ，均有
”.
【详解】（1）由题意得: ；
（2）由题意知 ，记 ，有
或2，
0 2
正 0 负 0 正
极大值 极小值
现对 分类讨论:
当 ，有 为严格增函数，因为 ，此时 ，
符合条件;
当 时， ，先减后增， ，
因为 取等号)，所以 ，此时 ，符合条件，且 时， ；
当 时， ，在 严格增，在 严格减，在 严格增，
，因为 ，
此时， ，则 ，则 成立;
综上可知，对于任意 ，都有 ，且存在 ，使得 .
（3）必要性:若 为偶函数，则 ，
当 ，因为 ，故 ;
充分性：若对于任意正实数 ，均有 ，其中
，
因为 有最小值，不妨设 ，
由于 任意，令 ，则 ，
故 最小元素为 ， 中最小元素为 ，
又 则 对任意 成立，则 ，
若 ，则 对任意 成立 是偶函数，
若 ，此后取 ，
，
综上，任意 ，即 是偶函数.故" 是偶函数"的充要条件是“对于任意正实数 ，均有 ”.
8．（2022·上海·高考真题）数列 对任意 ，且 ，均存在正整数 ，满足
.
(1)求 可能值；
(2)命题p：若 成等差数列，则 ，证明p为真，同时写出p逆命题q，并判断命题q是真是
假，说明理由：
(3)若 成立，求数列 的通项公式.
【详解】（1）因为 ，所以 或 ，所以 可能值为7或9；
（2）因为 成等差数列，所以 ， ,
所以 ，
逆命题 ：若 ，则 为等差数列是假命题，举例：
故命题 为假命题，
（3）因为 ，所以
，所以 ，
因此 ，
以下用数学归纳法证明数列单调递增，即证明 恒成立：
当 时， 明显成立；
假设当 时命题成立，即 ，则 ，即 ，即命题得证；
回到原题，分类讨论求数列的通项公式：
1.若 ，则 矛盾；
2.若 ，则 ，所以 ，所以 ，
此时 ，
所以 ，
3.若 ，则 ，所以 ，所以 ，
所以 （由（2）知对任意 成立），所以 ，与事实上 矛盾，
综上 .
9．（2021·上海·高考真题）已知数列 满足 ，对任意 ， 和 中存在一项使其为另一项与
的等差中项
（1）已知 ， ， ，求 的所有可能取值；
（2）已知 ， 、 、 为正数，求证： 、 、 成等比数列，并求出公比 ；
（3）已知数列中恰有3项为0，即 ， ，且 ， ，求 的最大
值.
【详解】（1）由题意， 或 ，∴ ，此时 ，满足
，此时 ， ，
所以
（2）∵ ，∴ ，或 ，经检验， ；
∴ ，或 （舍），∴ ；
∴ ，或 （舍），∴ ；
∴ ，或 （舍），∴ ；
综上， 、 、 成等比数列，公比为 ；
（3）由 或 ，可知 或 ，
由第（2）问可知， ，
∴ ， ，
∴ ，
同理， ， ，∴ ，
同理， ，∴ 的最大值为
10．（2022·上海·高考真题）已知函数 ，甲变化： ；乙变化： ， .
(1)若 ， ， 经甲变化得到 ，求方程 的解；
(2)若 ， 经乙变化得到 ，求不等式 的解集；
(3)若 在 上单调递增，将 先进行甲变化得到 ，再将 进行乙变化得到 ；将先进行乙变化得到 ，再将 进行甲变化得到 ，若对任意 ，总存在 成立，
求证： 在R上单调递增.
【详解】（1）由题设，甲变化为 ，则 ，
∴ ，解得 .
（2）由题设， ，又 ，
∴ ，
当 ，即 时，则 ，恒成立；
当 ，即 时，则 ，解得： 或 .
综上，不等式解集为 .
（3）由题设， ，则 ，
，则 ，
∵当 成立， 在 上单调递增，
∴ ，
∴对于任意 总存在 成立，
∴ 在R上单调递增，得证.
