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专题04 等式与不等式性质、一元二次不等式
（核心考点精讲精练）
【备考策略】1.梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质
2.能够利用不等式的性质解决有关问题
3.会结合一元二次函数的图象,判断一元二次方程实根的存在性及根的个数
4.能借助一元二次函数求解一元二次不等式:并能用集合和区间表示
5.借助一元二次函数的图象,了解一元二次不等式与相应函数方程的联系
知识讲解
1. 等式的性质
性质1 如果
，那么
；
性质2 如果
，
，那么
；
性质3 如果
，那么
；
性质4 如果
，那么
；
性质5 如果
，
，那么
；
1
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2. 作差法比较大小关系
3. 不等式的性质
性质1 对称性
性质2 传递性
性质3 可加性
性质4 可乘性
性质5 同向可加性
性质6 同向同正可乘性
性质7 可乘方性
性质8 可开方性
若a＞b＞0，m＞0，则＜；＞，(b－m＞0)；＞；＜，(b－m＞0)．
4. 二次函数的图象与性质
函数图象
开口方向
向上
向下
对称轴方程
最值
5. 一元二次方程求根公式及韦达定理
一元二次方程求根公式
的根为：
2
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韦达定理（根与系数的关系）
的两根为
，
；则
6. 解一元二次不等式
“三个二次”：一元二次不等式与一元二次方程及二次函数的联系
判别式
一元二次方程
的根
有两个不等实根
，
（设
）
有两个相等实根
无实数根
二次函数
的图象
的解集
的解集
∅
∅
ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立的充要条件是：a＞0 且b2－4ac＜0(x∈R)．
ax2＋bx＋c＜0(a≠0)恒成立的充要条件是：a＜0 且b2－4ac＜0(x∈R)．
7. 解分式不等式
①
②
③
④
例题：
3
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8. 解单绝对值不等式
或
的解集为：
考点一、由不等式性质判断式子大小关系
1．（2023·山东枣庄·统考模拟预测）若
，
，
，且
，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用不等式的性质，判断选项的结论是否成立.
【详解】若
，
，
，满足
，但
，
，
不成立，A 选项错误；
，
，则有
，即
，B 选项正确；
，当
时，
不成立，C 选项错误；
当
时，
，则D 选项错误.
故选：B
2．（2023·辽宁葫芦岛·统考一模）若a，b，c 为实数，且
，
，则下列不等关系一定成立的是
（ ）
4
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由不等式的基本性质和特值法即可求解.
【详解】对于A 选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，
不等号方向不变，则
，A 选项正确；
对于B 选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变，若
，
，则
，B 选项错误；
对于C 选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变，
，
，C 选项错误；
对于D 选项，因为
，
，所以无法判断
与大小，D 选项错误.
1．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）下列不等式正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，
，则
D．若
，
，
，且
，则
【答案】D
【分析】举例说明选项ABC 错误；利用作差法证明选项D 正确.
【详解】对于A，当
，
，
时满足
，但
，所以A 错误；
对于B，当
，
，
时，满足
，但
，所以B 错误；
对于C，由不等式的基本性质易知
，当
，
，
时满足
，
，但
，
所以C 错误；
对于D，
，所以
，故D 正确．
故选：D．
2．（2023·广东广州·广州市第二中学校考模拟预测）若
，则下列结论中不正确的是（ ）
A．
B．
5
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C．
D．
【答案】D
【解析】由题意先求出
，根据它们的关系分别用作差法判断
和
选项，利用不等式的性质判断
选项，由几何意义判断
选项．
【详解】解：
，
，
、
，
，则
，故
对；
、
，则
，故
对；
、
，
，故
对；
、
，
成立，故
不对．
故选：
．
3．（2023·湖南永州·统考三模）已知
，下列命题为真命题的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】BD
【分析】根据不等式的性质结合作差法逐项判断即可.
【详解】对于A 项，
，因为
，所以
，所以
，
所以
，即：
，故A 项错误；
对于B 项，
，因为
，所以
，
，所以
，即：
，故B 项正确；
对于C 项，
，因为
，所以
，
，
，
所以
，即：
，故C 项错误；
对于D 项，因为
，
又因为
，所以
，
，
所以
，即：
，故D 项正确.
故选：BD
4．（2023·吉林·统考模拟预测）已知实数
满足
，则下列不等式一定成立的是
6
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（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【分析】根据作差法，结合举反例判断即可.
【详解】对A，因为
，又
，故
，则
，故A 正确；
对B，取
，因为
，故B 错误；
对C，因为
，由题意
，
，
，
故
，即
，故C 正确；
对D，取
，则
，则
，故D 错误；
故选：AC
考点
二
、由不等式范围求解不等式范围
1．（2023·江苏南通·模拟预测）已知
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用方程组以及不等式的性质计算求解.
【详解】设
，
所以
，解得
，
所以
，
又
，
所以
，故A，C，D 错误.
故选：B.
7
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1．（2023·全国·高三专题练习）已知
，
，且满足
，则
的取值范围是？
【答案】
【分析】由
，再结合同向不等式的可加性求解即可.
【详解】设
，则
，解得
，
所以
，
又
，所以
，
又
，
所以
，
即
.
故
的取值范围为
.
考点三、
作差法或作商法比较式子大小关系
1．（2023·全国·高三专题练习）比较
与
的大小．
【答案】
<
【分析】做差比较大小即可.
【详解】
,
<
.
1．（2023·全国·高三专题练习）设
，比较
与
的大小
【答案】
【分析】先判断两个式子的符号，然后利用作商法与1 进行比较即可.
【详解】
，
，
8
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，
.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知
，
，试比较
与
的值的大小.
【答案】若
，则
；若
，则
；若
，
.
【分析】利用作差法，结合分类讨论，比较
与
的大小即可.
【详解】由
,
当
时，
，所以
，即
；
当
时，
，所以
， 即
；
当
时，
，所以
，即
.
考点
四
、由不等式性质证明不等式
1．（2023·全国·高三专题练习）已知
，求证
.
【答案】证明见解析.
【分析】由于所证不等式的左边是两分式和的形式，宜采用作差比较法再对差式通分、变形，由于分母是
因式积的形式，故重点在对分子的变形，尽量化为因式积成平方式和，便于运用条件
加以讨论.
【详解】证明：
.
由
，可知
，
，从而
，
又
，
，又
，
因此上式分子、分母均小于零，
9
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，即
.
1．（2023·全国·高三专题练习）证明命题：“若在
中
分别为角
所对的边长，则
”
【答案】证明见解析
【分析】由作差法证明
，再由
证明
.
【详解】证明：取
，
因为
，所以
，即
.
所以
又因为
，故
，
所以
.
考点
五
、解不含参的一元二次不等式
及分式不等式
1．（2023·全国·高三专题练习）求下列不等式的解集：
（1）
；
（2）
【答案】（1）
；（2）
.
【分析】（1）根据“三个二次”之间的关系来解不等式即可；
（2）可以分类讨论或者转化为整式不等式.
【详解】（1）因为
，
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所以方程
有两个不相等的实根
，
.
又二次函数
的图象开口向下，
所以原不等式的解集为
.
（2）方法一:
等价于
①或
②
解①得
,解②得
,
所以原不等式的解集为
.
方法二:不等式
⇔
所以由二次不等式知
所以
.
所以原不等式的解集为
.
1．（2023·全国·高三专题练习）解下列不等式：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
.
(3)
(4)
【分析】运用因式分解和配方法逐一解下列不等式即可.
【详解】（1）
，即
，配方可得
，解得
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（2）
，即
，解得
；
（3）
，即
，而
，从而不等式无解，即解集为
；
（4）
且
同时成立.
由
解得
，
由
，即
，解得
.
于是
2．（2023·全国·高三专题练习）解关于
的不等式
．
【答案】
或
【分析】将分式不等式转化为一元二次不等式即可求解
【详解】
，
解得
或
，
所以不等式
的解集为
或
，
考点
六
、解含参的一元二次不等式
1．（2023·全国·高三专题练习）解关于x 的不等式
.
【答案】答案见解析
【分析】对不等式变形为
，然后对
进行合理分类讨论即可.
【详解】原不等式变为
，
①当
时，原不等式可化为
，
所以当
时，解得
；
当
时，解集为
；
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当
时，解得
②当
时，原不等式等价于
，即
.
③当
时，
，原不等式可化为
，
解得
或
.
综上，当
时，不等式的解集为
，
当
时，不等式的解集为
，
当
时，不等式的解集为
，
当
时，不等式的解集为
，
当
时，不等式的解集为
或
.
1．（2023·全国·高三专题练习）解关于
的不等式
.
【答案】答案见解析
【分析】根据判别式分类讨论
或
、
和
三种情况，即可求出一元二次不等式的
解集.
【详解】由题意知
，
①当
，即
或
时，
方程
的两根为
，
所以解集为
；
②若
，即
时，
当
时，原不等式可化为
，
即
，所以
，
当
时，原不等式可化为
，
即
，所以
；
③当
，
即
时，原不等式的解集为
；
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综上，当
或
时，原不等式的解集为
；
当
时，原不等式的解集为
；
当
时，原不等式的解集为
；
当
时，原不等式的解集为
.
2．（2023·全国·高三专题练习）解下列关于
的不等式
．
【答案】见解析
【分析】一元二次不等式，讨论开口方向即可.
【详解】方程：
且
解得方程两根：
；
当
时，原不等式的解集为：
当
时，原不等式的解集为：
综上所述, 当
时，原不等式的解集为：
当
时，原不等式的解集为：
考点
七
、一元二次不等式在对应区间的恒成立和有解问题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知关于
的不等式
.若不等式对于
恒成立，求
实数x 的取值范围
【答案】
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【分析】由不等式
对于
恒成立，转化为当
时，
恒成立，则满足
，求解对应不等式组即可得出答案.
【详解】由题知，
设
，
当
时，
恒成立.
当且仅当
，即
，
解得
且
，
或
且
，
则
.
所以
的取值范围是
.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知
.
（1）不等式
恒成立，求实数a 的取值范围；
（2）若不等式
有解，求实数a 的取值范围.
【答案】（1）
；（2）
.
【分析】(1)令
，求出
在
上的最小值即可；
(2)令
，求出
在
上的最大值即可.
【详解】令
，当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，
，
，
（1）因
在
恒成立，于是得
，
所以实数a 的取值范围是
；
（2）因不等式
在
有解，于是得
，
所以实数a 的取值范围是
.
1．（2023·全国·高三专题练习）当
时，不等式
恒成立，求
的取值范围．
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【答案】
．
【分析】令
，
，依题意
，即可得到不等式组，解得即可；
【详解】解：由题意不等式
对
恒成立，
可设
，
，
则
是关于
的一次函数，要使题意成立只需
，即
，解
，即
得
，解
，即
得
，所以原不等式的解集
为
，所以
的取值范围是
．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
.
（1）若对于任意
恒成立，求实数
的取值范围；
（2）若对于任意
恒成立，求实数
的取值范围；
（3）若对于任意
成立，求实数
的取值范围.
【答案】（1）
；（2）
；（3）
.
【分析】（1）由题意利用二次函数的性质可得
，由此求得求得
的范围；（2）由于对于任意
，
，
恒成立，故
．利用二次函数的性质，分类讨论求得
的范围；（3）问题等价于
，再由
、
都大于零，求得
的范围．
【详解】（1）若对于任意
,
恒成立，
则有
，解得
；
（2）由于对于任意
，
恒成立，故
．
又函数
的图象的对称轴方程为
，
当
时，
，求得
无解；
当
时，
，求得
；
当
时，
，求得
．
综上可得，
的范围为
；
（3）若对于任意
，
恒成立，等价于
，
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∴
，求得
，即
的范围为
．
【点睛】本题主要考查不等式恒成立求参数的取值范围问题，对于二次不等式恒成立，要结合二次函数的
图象和性质，对于在某区间上恒成立的二次不等式，要注意讨论函数的对称轴与区间的关系，对于第
（3）小题，要注意分清自变量是
,从而转化为线型函数在区间内大于零的问题．
考点
八
、多选题综合
1．（2023·全国·高三专题练习）已知关于x 的一元二次不等式
的解集中有且仅有2 个整数，
则实数m 的值可以是（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】AB
【分析】令函数
，结合二次函数
的图象性质，列出不等式组，求解判断作答.
【详解】函数
的图象开口向上，其对称轴为
，
因为
的解集
中有且仅有2 个整数，因此
，其它的整数都不属于集合
，
由对称性得：
，即
，解得
，显然选项AB 满足，CD 不满足.
故选：AB
2．（2023·全国·模拟预测）已知实数
，则下列不等式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【分析】根据不等式的性质即可结合选项逐一求解.
【详解】对于A，D，
，满足
，此时
，
，故A，D
错误.（判断一个结论错误时，举反例即可）
对于B，
，
，得
，故B 正确.
对于C，由
得
，又
，所以
，故C 正确.
故选：BC
1．（2023·全国·高三专题练习）已知关于x 的不等式
的解集为
，则（ ）
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A．
B．不等式
的解集是
C．
D．不等式
的解集为
【答案】ABD
【分析】根据不等式
的解集判断出
，结合根与系数关系、一元二次不等式的解法判断
BCD 选项的正确性.
【详解】关于
的不等式
的解集为
选项正确；
且－2 和3 是关于
的方程
的两根，由韦达定理得
，
则
，则
，C 选项错误；
不等式
即为
，解得
选项正确；
不等式
即为
，即
，解得
或
选项正确.
故选：
.
2．（2023·山东·校联考二模）已知实数
满足
，且
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【分析】根据已知等式可确定
，结合不等式性质和作差法依次判断各个选项即可.
【详解】对于A，
，
，
，A 错误；
对于B，
，
，
，
，
，
，
，即
，B 正确；
对于C，
，
，
，即
，C 正确；
对于D，
，D 错误.
故选：BC.
3．（2023·全国·高三专题练习）若
对任意
恒成立，其中
，
是整数，则
的可能取值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
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【分析】对
分类讨论，当
时，由
可得
，由一次函数的图象知不存在；当
时，由
，利用数形结合的思想可得出
的整数解.
【详解】当
时，由
可得
对任意
恒成立，
即
对任意
恒成立，此时
不存在；
当
时，由
对任意
恒成立，
可设
，
，作出
的图象如下，
由题意可知
，再由
，
是整数可得
或
或
所以
的可能取值为
或
或
故选：BCD
【基础过关】
1．（2023·辽宁丹东·统考二模）不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
或
，
【答案】C
【分析】根据分式不等式即可求解.
【详解】不等式
等价于
，等价于
，解集为
．
故选：C
2．（2023·山东枣庄·统考模拟预测）若
，
，
，且
，则下列不等式一定成立的是（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用不等式的性质，判断选项的结论是否成立.
【详解】若
，
，
，满足
，但
，
，
不成立，A 选项错误；
，
，则有
，即
，B 选项正确；
，当
时，
不成立，C 选项错误；
当
时，
，则D 选项错误.
故选：B
3．（2023·辽宁鞍山·鞍山一中校考二模）若对任意的
恒成立，则m 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】变形给定不等式，分离参数，利用均值不等式求出最小值作答.
【详解】
，而当
时，
，当且仅当
，即
时取等号，
则
，所以m 的取值范围是
.
故选：C
4．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）下列不等式正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，
，则
D．若
，
，
，且
，则
【答案】D
【分析】举例说明选项ABC 错误；利用作差法证明选项D 正确.
【详解】对于A，当
，
，
时满足
，但
，所以A 错误；
对于B，当
，
，
时，满足
，但
，所以B 错误；
对于C，由不等式的基本性质易知
，当
，
，
时满足
，
，但
，
所以C 错误；
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对于D，
，所以
，故D 正确．
故选：D．
5．（2023·辽宁沈阳·统考三模）不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据一元二次不等式的解法即可求解.
【详解】解：原不等式可以转化为：
，
当
时，可知
，对应的方程的两根为1，
，
根据一元二次不等式的解集的特点，可知不等式的解集为：
.
故选：A.
6．（2023·辽宁·朝阳市第一高级中学校联考三模）命题“
，
”为真命题的一个必要
不充分条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】求出命题“
，
”为真命题的等价条件，再结合必要不充分条件的定义逐项
判断即可.
【详解】因为
，
为真命题，则
或
，解得
，
对于A，
，
是命题“
，
”为真命题的充分不必要条件，A 错误；
对于B，
是命题“
，
”为真命题的充要条件，B 错误；
对于C，
，
是命题“
，
”为真命题的必要不充分条件，C 正确；
对于D，
，
是命题“
，
”为真命题的充分不必要条件，D 错误；
故选：C
7．（2023·山东潍坊·统考一模）“
”是“
，
成立”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由不等式
恒成立，可求得
，即可得出答案.
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【详解】因为
，
成立，则
，即
.
所以，“
”是“
，
成立”的充分不必要条件.
故选：A.
二、多选题
8．（2023·河北·统考模拟预测）已知
，则下列不等式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【分析】通过比较各项的大小，即可得出结论.
【详解】由题意，
∴
，故A 错误，
，故B 正确，
，当
时，
，故C 错误，
，
∴
，故D 正确，
故选：BD.
9．（2023·山东·校联考二模）已知实数
满足
，且
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【分析】根据已知等式可确定
，结合不等式性质和作差法依次判断各个选项即可.
【详解】对于A，
，
，
，A 错误；
对于B，
，
，
，
，
，
，
，即
，B 正确；
对于C，
，
，
，即
，C 正确；
对于D，
，D 错误.
故选：BC.
10．（2023·湖南长沙·长郡中学校考二模）已知实数
满足
，则下列说法正确的是（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】根据不等式的性质对各个选项验证.
【详解】因为
，所以有
，故A 错误；
，故B 正确；
，故C 正确；
，故D 正确．
故选：BCD．
【能力提升】
1．（2023·海南海口·海南中学校考二模）设
，则“
且
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】依据“
且
”与“
”之间的逻辑关系进行推导即可解决.
【详解】由
且
，可得
,
当
，
时，满足
，但不满足
且
,
则“
且
”是“
”的充分不必要条件,
故选：A.
2．（2023·广东广州·广州市培正中学校考模拟预测）已知
，则
是
的（ ）
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据题意，由不等式的性质，分别验证充分性以及必要性即可得到结果.
【详解】由
，即
，可得
，或
，或
，
当
时，可得
，所以
，即
；
当
时，可得
，
，所以
，即
；
当
时，可得
，
，所以
，所以
；
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故
是
的充分条件.
由
，即
，可得
或
，或
，
当
时，
，即
，所以
，所以
；
当
时，
，即
，显然成立，此时
；
当
时，
，即
，所以
，所以
，即
；
故
是
的必要条件.
所以
是
的充分必要条件.
故选:C
3．（2023·湖北·校联考模拟预测）已知
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】结合作差法比较代数式的大小关系，判断“
”和“
”之间的逻辑推理关系，
可得答案.
【详解】由题意
，
若
，结合
，则
，
故“
”是“
”的充分条件；
者
，则
，
取
满足
，但不满足
，
故“
”不是“
”的必要条件．
于是“
”是“
”的充分不必要条件，
故选：A．
二、多选题
4．（2023·山西·校联考模拟预测）已知
，
，则下列不等式成立的是（ ）
A．
B．
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C．
D．
【答案】ABD
【解析】根据不等式的基本性质，可判定A、B 正确，根据指数函数和幂函数的单调性，可判定C 错误，
D 正确.
【详解】由
，
，根据不等式的性质，可得
，所以A 是正确的；
由
，
，可得
，
则
，可得
，所以B 正确；
取
，
，则
，从而
，所以C 错误；
由幂函数
，在
上是增函数，
则由
，即得
，则D 正确.
故选：ABD.
【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质，以及幂函数的单调性的应用，其中解答中熟记不等式的基本
性质，以及合理应用幂函数的单调性进行比较是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
5．（2023·湖南永州·统考三模）已知
，下列命题为真命题的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】BD
【分析】根据不等式的性质结合作差法逐项判断即可.
【详解】对于A 项，
，因为
，所以
，所以
，
所以
，即：
，故A 项错误；
对于B 项，
，因为
，所以
，
，所以
，即：
，故B 项正确；
对于C 项，
，因为
，所以
，
，
，
所以
，即：
，故C 项错误；
对于D 项，因为
，
又因为
，所以
，
，
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所以
，即：
，故D 项正确.
故选：BD
6．（2023·吉林·统考模拟预测）已知实数
满足
，则下列不等式一定成立的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【分析】根据作差法，结合举反例判断即可.
【详解】对A，因为
，又
，故
，则
，故A 正确；
对B，取
，因为
，故B 错误；
对C，因为
，由题意
，
，
，
故
，即
，故C 正确；
对D，取
，则
，则
，故D 错误；
故选：AC
7．（2023·河北衡水·模拟预测）已知
，则下列不等式一定成立的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【分析】根据题意，由不等式的性质，对选项逐一判断即可得到结果.
【详解】由
，得
，当
时，得0
，即
;
当
时，得
，即
，综上
或
，上述两种情况均可得
，
故
选项错误;
当
时，得
，当
时，得
，故B 选项正确;
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令
，则
，
，从而得
，故C 选项错误;
由上述论证可知
恒成立，故D 正确.
故选：BD.
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