文档文本内容
第05 讲 一元二次不等式与其他常见不等式解法
目录
01
考情解码・命题预警
2
02 体系构建·思维可视....................................................................................3
03 核心突破·靶向攻坚....................................................................................3
知能解码.....................................................................................................3
知识点1 一元二次不等式................................................................................3
知识点2 简单分式不等式................................................................................5
知识点3 绝对值不等式.....................................................................................5
知识点4 高次不等式.........................................................................................5
题型破译.....................................................................................................6
题型1 解不含参数的一元二次不等式
......................................................6
题型2 解分式不等式、高次不等式................................................................7
题型3 解绝对值不等式.....................................................................................9
题型4 解含参数的一元二次不等式
........................................................10
【方法技巧】分类讨论技巧
题型5 由一元二次不等式的解集求参数
...............................................14
题型6 由一元二次不等式解集中的整数个数求参数
..........................15
题型7 一元二次不等式的实际问题...............................................................18
题型8 一元二次不等式的恒（能）成立问题
.......................................20
【方法技巧】恒（能）成立的处理方法
题型9 一元二次方程根的分布问题.............................................................23
04 真题溯源・考向感知................................................................................26
05 课本典例·高考素材..................................................................................27
考点要求
考察形式
2025 年
2024 年
2023 年
（1）会从实际生活或
数学问题中抽象出一元
二次不等式模型；
（2）能结合二次函数
图象，判断一元二次方
程根的个数，并依据图
象特征求解一元二次不
等式；
（3）掌握分式不等式
和绝对值不等式的基本
解法
单选题
多选题
填空题
解答题
上海卷T2 （4
分）
天津卷T15 （5
分）
/
全国 I 卷T1（5 分）
考情分析：
新高考卷中，该专题属于基础核心考点，常与集合运算、函数定义域、导数求单调区间等综合考查，单独命
题较少。命题侧重对“三个二次”关系的理解，强调通过函数图像分析根的分布及不等式解集。备考需重点掌握
分式与绝对值不等式转化技巧，以及恒成立问题中参数范围的求解策略。
复习目标：
1.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关
系；
2.会从实际情境中抽象出一元二次不等式，了解一元二次不等式的现实意义；
3.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集，类比求解高次不等式、
分式不等式和绝对值不等式
知识点1 一元二次不等式
1．三个“二次”之间的关系
判别式
的图象
一元二次方程
的根
有两相异实根
有两相等实根
没有实数根
一元二次不等式
的解集
解集为
一元二次不等式
的解集
2．不等式恒成立问题
（1）
恒成立的充要条件是：
或
（2）
恒成立的充要条件是：
或
自主检测1．不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】原不等式即为
，即
，解得
，
故原不等式的解集为
.
故选：A.
2．若命题“
，
”是假命题，则实数
的取值范围是
【答案】
【详解】因为命题“
，
”是假命题，
所以其否定“
，
”是真命题，
即
在
上恒成立，所以
,解得
.
故答案为：
知识点2 简单分式不等式
（1）
；（2）
（3）
左移，通分变成（1）；（4）
左移，通分变成（2）
自主检测不等式
的解集为 ．
【答案】
【详解】原不等式转化为
，解得
，
则其解集为
.
故答案为：
.
知识点3 绝对值不等式
1．绝对值不等式的概念
一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式．
2．
和
型不等式的解法
（1）
；
（2）
.
3．
和
型不等式的解法
①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；解含有两个绝对值形如
的
不等式，常用零点讨论法和数形结合法.注意小分类求交大综合求并.
自主检测已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】根据题意，集合
，所以
.
故选：A
知识点4 高次不等式
1．高次不等式的概念
不等式最高次项的次数高于2，这样的不等式称为高次不等式.
2．穿根引线
法
的步骤：
①将
最高次项系数化为正数；
②将
分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式的积；
③将每一个一次因式的根标在数轴上，自上而下，从右向左依次通过每一点画曲线(注意重根情况，偶
次方根穿而不过，奇次方根穿过)；
④观察曲线显现出的
的值的符号变化规律，写出不等式的解集．
自主检测（多选）下列结论正确的是（ ）
A．不等式
的解集为
或
B．不等式
的解集为
或
C．不等式
的解集为
或
D．不等式
的解集为
或
【答案】AD
【详解】由
得
，解得
或
，
由
得
，即
，解得
或
，
故选：AD
题型1 解不含参数的一元二次不等式
例1-1 已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】因为集合
，
，所以
.
故选：C．
例1-2 已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
，
则
或
，则
.
故选：B
【变式1-1】已知集合
，若
，则实数
的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由
，可得
，解得
，
所以
，由
，可得
，
又
，所以
，
所以实数
的取值范围是
.
故选：A.
【变式1-2】解关于
的不等式组：
【答案】
【详解】原不等式组可化为
即
所以，原不等式组的解集为
．
题型2 解分式不等式、高次不等式
例2-1（2025·上海浦东新·三模）设
为实数，则不等式
的解集是 .
【答案】
【详解】因为
，
解得
且
，即
，
所以不等式
的解集是
.
故答案为：
例2-2 不等式
的解集为 ．
【答案】
或
【详解】由
可得
，即
，
如下图所示：
由“穿针引线”法可知，原不等式的解集为
或
.
故答案为：
或
.
【变式2-1】若集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
或
D．
【答案】D
【详解】因为集合
，解得：
或
，所以
.
故选：D.
【变式2-2】已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
，故
，
故选：D.
【变式2-3】若“
”是“
”的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
，当
时，
，即
，解得
，故此时
符合题意．当
时，
，所以
，故
符合题意．由
得
，由题可知
是
的子集，所以
．
【变式2-4】不等式
的解集为 .
【答案】
【详解】
，
令
，因为
，所以
恒成立，
所以
，即
，解得
，
所以不等式
的解集为
.
故答案为：
.
题型3 解绝对值不等式
例3-1（2025·浙江·二模）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
故选：D.
例3-2 不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由
可得
，解得
，
即不等式
的解集是
.
故选：B.
【变式3-1】不等式
成立的一个必要不充分条件是（ ）
A．
或
B．
C．
或
D．
【答案】A
【详解】当
时，
，则
，可得
；
当
时，
，则
，可得
；
当
时，
，则
，可得
；
综上，不等式的解为
或
，
所以A 为必要不充分条件，B、D 为充分不必要条件，C 为充要条件.
故选：A.
【变式3-2】不等式
的解集是 .
【答案】
【详解】根据题意可知不等式等价于
或
，
解得
或
.
故答案为：
【变式3-3·变题型】对任意实数
，
的最小值为 ．
【答案】4
【详解】方法1：由绝对值三角不等式，可得
，
当且仅当
，即
时，
取得最小值4．
方法2：设
，
当
时，
；
当
时，
；
当
时，
.
综上，可得
的最小值为4.
故答案为：4.
题型4 解含参数的一元二次不等式
例4-1 对于给定的实数
，关于实数
的一元二次不等式
的解集可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABCD
【详解】对于一元二次不等式
，
当
时，函数
的图象开口向上，与
轴的交点为
，
，故不等式的解集为
.
当
时，函数
的图象开口向下，
若
，不等式的解集为
；
若
，不等式的解集为
；
若
，不等式的解集为
.
故选：ABCD.
例4-2 求下列关于
的不等式的解集：
．
【答案】答案见解析
【详解】由
，得
，
因为
，所以
，
当
时，解得
；
当
时，
，解得
或
；
当
时，
，解得
或
．
综上，当
时，不等式的解集为
；
当
时，不等式的解集为
或
；
当
时，不等式的解集为
或
．
方法技巧 分类讨论技巧
解含参数的一元二次不等式：
（1）若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0 与小于0 进行讨论；
（2）若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式
进行讨论；
（3）若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．
【变式4-1】已知集合
，
，若
⫋
，则实数
的取值范
围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】依题意，
，
，
因为
⫋
，所以
，解得
，
所以实数
的取值范围为
.
故选：C.
【变式4-2】解关于x 的不等式
．
【答案】答案见解析
【详解】原不等式可化为
，即
，
①当
时，原不等式化为
，解得
②当
时，原不等式化为
，
原不等式解集
，
原不等式解集为
，
原不等式解集为
，
③当
时，原不等式化为
．
原不等式解集为
.
综上，当
时，不等式的解集为
；
当
时，不等式解集为
；
当
时，不等式解集为
；
当
时，不等式解集
；
当
时，不等式解集为
.
【变式4-3】解关于
的不等式：
．
【答案】答案见解析
【详解】当
时，原不等式可化为：
.
当
时，
.
若
即
时，原不等式的解为：
或
；
若
即
时，原不等式的解为：
；
若
即
时，原不等式的解为：
或
.
当
时，
.
因为
，所以
.
综上可知：当
时，原不等式的解集为：
；
当
时，原不等式的解集为：
；
当
时，原不等式的解集为：
；
当
时，原不等式的解集为：
；
当
时，原不等式的解集为：
.
【变式4-4】设
．
(1)若
，求
的最小值；
(2)解关于
的不等式
.
【答案】(1)4；
(2)答案见解析；
【详解】（1）由
，且
，
所以
，当且仅当
时取等号，
所以
的最小值为4.
（2）由题设
，则
，
若
，则
，即
，解集为
；
若
，则
，解集为
；
若
，则
，
当
，即
时，解集为
；
当
，即
时，解集为
；
综上，
时解集为
；
时解集为
；
时解集为
；
时解集为
.
题型5 由一元二次不等式的解集求参数
例5-1 已知不等式
的解集为
或
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
【答案】A
【详解】由题意知
，1 为方程
的两根，所以
解得
则不等式
可
化为
，即
，解得
．
例5-2 已知二次函数
，若不等式
的解集为
，则函数
图像为
（ ）
A．开口向上，对称轴为
的抛物线B．开口向上，对称轴为
的抛物线
C．开口向下，对称轴为
的抛物线D．开口向下，对称轴为
的抛物线
【答案】C
【详解】因不等式
的解集为
，则
的根为
或2，
则由韦达定理可得
.又注意到
，则
开口向下，对称轴为
.
故选：C
【变式5-1】若关于
的不等式
的解集是
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因为关于
的不等式
的解集是
，所以可知
，
所以原不等式可化为
显然
是方程
的两根，
所以只须
，解得
，
所以
的取值范围是
.
故选：A
【变式5-2】若关于x 的不等式
的解集为空集，则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】当
时，
，显然解集为空，满足题设；
当
时，
在
上无解，
所以
，可得
；
综上，
.
故选：C
【变式5-3】已知函数
的定义域
是关于x 的不等式
的解集的
子集，则实数a 的取值范围是 .
【答案】
【详解】函数
定义域非空集，则
，解得
.记
，因为
，所以
的解集为
，依题意有
或
，
所以
或
.又
，
，所以
.
题型6 由一元二次不等式解集中的整数个数求参数
例6-1 关于x 的不等式
的解集中恰有4 个整数，则实数m 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】不等式
，
当
时，原不等式的解集为
，
由解集中恰有4 个整数，得
，解得
；
当
时，原不等式的解集为
，
由解集中恰有4 个整数，得
，解得
，
所以实数m 的取值范围是
或
.
故选：D
例6-2 若关于
的不等式
的解集中恰有两个整数，则实数
的取值范围是 ．
【答案】
【详解】不等式
，可化为
当
，即
时，
，
解集中含有两个整数解，
，
当
，不等式解集为
，不符合题意，
当
，即
时，
，
解集中含有两个整数解，
，
综上得
.
故答案为：
.
【变式6-1】若关于
的不等式
的解集中恰有3 个整数，则正数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】不等式可化为
，
①
时，不等式的解集为
，不合题意；
②当
时，不等式的解为
，且
，
若不等式的解集中恰好有3 个整数，则
，解得
；
③当
时，不等式的解为
，且
，
若不等式的解集中恰好有3 个整数，则
，解得
．
综上可知，正数
的取值范围为
或
．
故选：C
【变式6-2】若函数
的定义域中恰有
个整数，则
的取值范围是 .
【答案】
【详解】对于函数
，则有
，
即
，即
，
因为函数
的定义域中恰有
个整数，则
，
当
时，解不等式
可得
，
根据题意可知，满足不等式
的
个整数分别为
、
，所以，
；
当
时，解不等式
可得
，
根据题意可知，满足不等式
的
个整数分别为
、，所以，
.
因此，实数
的取值范围是
.
故答案为：
.
【变式6-3】
已知
，关于
的不等式
的解集中有且仅有个整数
，
，
，则
，
的取值范围为 ．
【答案】
【详解】由题意，
，即
，
设不等式的解集为
，则
，
，
则
，
因为不等式解集中有且仅有个整数，所以
，
即
，解得
，
所以
的对称轴
满足
，
而
，即离对称轴距离最近的整数只有，
所以
，所以三个整数解为
，
所以
，解得
.
故答案为：；
【点睛】关键点点睛：本题入手较难，关键是不等式解集中有个整数如何表示，利用解集的区间长度建
立不等式是解题关键.
题型7 一元二次不等式的实际问题
例7-1 常熟“叫花鸡”，又称“富贵鸡”，既是常熟的特产，也是闻名四海的佳肴，以其鲜美、香喷、酥
嫩著称.双十一购物节来临，某店铺制作了300 只“叫花鸡”，若每只“叫花鸡”的定价是40 元，则均可
被卖出；若每只“叫花鸡”在定价40 元的基础上提高
（
）元，则被卖出的“叫花鸡”会减少
只.要使该店铺的“叫花鸡”销售收入超过12495 元，则该店铺的“叫花鸡”每只定价应为（ ）
A．48 元
B．49 元
C．51 元
D．50 元
【答案】D
【详解】根据题意可得
，整理得
，
解得
，又
，所以
，该店铺的“叫花鸡”每只定价应为
.
故选：D.
例7-2 如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东
方向
处的热带风暴中心正在以
的
速度向正北方向移动，距风暴中心
以内的地区都将受到影响．以上预报估计，该码头将受到热带风
暴的影响时长大约为 h．
【答案】30
【详解】设现在热带风暴中心的位置为点
，小时后热带风暴中心到达
点位置，
自
向
轴作垂线，垂足为
，
由题意得
，则
，
若在点
处受到热带风暴的影响，则
，
所以
，即
，
整理得，
，解得
，
所以该码头将受到热带风暴影响的时间为
，
故答案为：30．
【变式7-1】在一个限速
的弯道上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对同时刹车，但还是相碰了.
事故后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过
，乙车的刹车距离略超过
，又知甲、乙两种车型的刹
车距离
与车速
之间分别有如下关系：
.则可判断甲、乙
两车的超速现象是（ ）
A．甲车超速
B．甲车不超速
C．乙车超速
D．乙车不超速
【答案】BC
【详解】由题意，对于甲车，有
，即
，解得
或
（舍去），
这表明甲车的车速超过
，但根据题意刹车距离略超过
，由此估计甲车不会超过限速
；
对于乙车，有
，即
，解得
或
（舍去），这表明乙车的
车速超过
，超过规定限速，即乙车超速.
【变式7-2】将进货单价为80 元的商品按90 元一个售出时，能卖出400 个，每涨价1 元，其销售量就减少
20 个，为了使商家利润有所增加（只考虑涨价的情况），售价
的取值范围应是 .
【答案】
【详解】设总利润
元，因为每个售价为
元，则根据题意可得
，
现在商家的售价为90 元，将其代入解析式得：
，
要使商家总利润有所增加，则要满足
，
即
，则
，
所以
，解得
，
所以售价
的取值范围应是
.
故答案为：
.
【变式7-3】数字经济是以数据资源为关键要素，以现代信息网络为主要载体，通过信息通信技术的融合
应用推动全要素数字化转型的新经济形态，在技术层面，包括大数据、云计算、物联网、区块链、人工智
能、5G 通信等新兴技术；在应用层面，包括“新零售”、“新制造”、工业互联网、元宇宙、无人驾驶
等.现有一人工智能企业生产制造人形机器人，每月的成本t（单位：万元）由两部分构成：①固定成本：
1000 万元；②材料成本：
万元，x 为每月生产人形机器人的个数.
(1)该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为多少万元？
(2)若每个人形机器人的售价为
万元，假设生产出来的每个人形机器人都能够售出，则该企业应如
何制订生产计划，才能确保每月的利润不低于400 万元？附：利润＝售价×销量－成本.
【答案】(1)每月的产量为100 个时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为30 万元
(2)每月生产不小于70 个人形机器人，才能确保每月的利润不低于400 万元
【详解】（1）设平均每个人形机器人的成本为
万元，根据题意有
，
当且仅当
，即
时取等号.
所以该企业每月的产量为100 个时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为30 万元.
（2）设月利润为
万元，则有
，
由题知
，整理得
，解得
.
所以该企业每月生产不小于70 个人形机器人，才能确保每月的利润不低于400 万元.
题型8 一元二次不等式的恒（能）成立问题
例8-1 若不等式
对任意实数
均成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
，
因为不等式对于任意
均成立，
所以当
时，
，符合题意；
当
时，则
，解得
，
综上所述，
，
故选：D．
例8-2 已知
为实数，集合
.
(1)若命题“
”是假命题，求实数
的取值范围；
(2)若
恒成立，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：因为集合
，
由命题“
”是假命题，可得命题“
”是真命题，
即
在
上恒成立，
因为函数
，当
时，取得最大值，最大值为，所以
，
所以实数
的取值范围为
.
（2）解：因为
恒成立，即
在
上恒成立，
即
在
上恒成立，
当
时，不等式等价于
恒成立，符合题意；
当
时，等价于
恒成立，
因为
，当且仅当
时，即
时，等号成立，所以
，
综上可得，实数
的取值范围为
.
方法技巧 恒（能）成立的处理方法
（1）一元二次不等式在
上恒（能）成立：一般用画出图象，结合根的个数和开口方向进行列不等式即
可；
（2）分离参数法：一元二次不等式在区间上恒（能）成立，若能够分离参数成
或
形
式，则可以转化为函数值域求解．
举例：若
的最大值为
，最小值为
.
①
恒成立⇔
，
恒成立⇔
②
恒成立⇔
，
恒成立⇔
.
③
能成立⇔
，
能成立⇔
④
能成立⇔
，
能成立⇔
.
【变式8-1】（2025·山东·二模）已知不等式
对任意的
恒成立，则实数a 的
最小值为 ．
【答案】
【详解】因为不等式
对任意的
恒成立，
所以
对任意的
恒成立，
又当
时，
，当且仅当
，即
时，等号成立，
所以
，即
，所以实数a 的最小值为
.
故答案为：
.
【变式8-2】已知命题
，
为真命题，求实数
的取值范围.
【答案】
【详解】由题意得：当
时，
，不符题意；
当
时，
的对称轴为
，
所以只需
，解得
；
当
时，
表示开口向下的抛物线，满足题意.
综上所述，
的取值范围为
.
【变式8-3·变题型】已知
，若关于x 的不等式
在区间
上恒成立，
则
的最小值是（ ）
A．2
B．
C．3
D．
【答案】B
【详解】∵
，∴
在区间
上单调递增，
∴当
时
，当
时
，
令
，
要想关于x 的不等式
在区间
上恒成立，
则当
时
，当
时
，
∴
，则
，即
，
∴
，当且仅当
，即
时取等号.
故选：B.
【变式8-4·变载体】已知关于
的方程
在
上有解，则实数
的取值范围为
．
【答案】
【详解】令
，则
，
原方程可转化为关于的方程
在
上有解，
分离参变量得：
，
即等价于直线
与函数
的图象在
内有交点．
又因为
的图象开口向下，对称轴为直线
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，即
．
故答案为：
.
题型9 一元二次方程根的分布问题
例9-1 若关于x 的方程
的两个根
都在区间
上，则a 的值可以为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【详解】设
，由题可知，若
都在区间
内，则需满足
所以
解得
，故B，C 符合.
例9-2 已知函数
在区间
内有零点，求实数
的取值范围是 .
【答案】
【详解】对于函数
，开口向上，对称轴为
，
令
，由题意得方程
在区间
内有根.
，
当
，即
时，
没有零点，不符合题意；
当
，即
或
时，
当
时，
，零点为，
，符合题意；
当
时，
，零点为
，
，不符合题意；
当
，即
或
时，方程有两个不相等的根
，
由题意方程至少有一个根在区间
内.
①若
，解得
，
此时
，故零点为0 或3，不符合题意；
②若
，
，
此时
，零点为2 或
，
，符合题意；
③若
，解得
，
由零点存在性定理可知，函数在
有零点，符合题意；
④若
，要使函数在
有零点，则
，
联立
，又
，即
或
，
故解得
；
⑤若
，由二次函数图象可知，
有两个零点，且一个在区间
内，另一个在
内，不符合题意.
综上所述，
的取值范围是
.
故答案为：
.
【变式9-1】已知方程
有一正根一负根，且正根绝对值大于负根绝对值，求实数
的取值范围．
【答案】
【详解】由已知可得
，即
，
解得
．
∴此时
的取值范围是
．
【变式9-2】若关于x 的一元二次方程
两根都小于1，求实数m 的取值范围．
【答案】
【详解】设
，
由已知方程的两根都小于1，应满足
，
化简得
，
解得
或
．
故实数 m 的取值范围为
．
【变式9-3】已知集合
，集合
，
.
(1)若
，求实数
的值；
(2)若
，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意可知，方程
有两个不等根
、
，
所以，
，解得
或
，
由韦达定理可得
，
，
所以，
，
即
，解得
（舍去）或
.
（2）方程
在区间
上有
个不等根，
所以，
，解得
.
因此，实数
的取值范围是
.
1．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】因为
，而
，
所以
．
故选：C．
2．（2020·山东·高考真题）已知二次函数
的图像如图所示，则不等式
的解集
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】结合图像易知，
不等式
的解集
，
故选：A.
3．（2025·天津·高考真题）若
，对
，均有
恒成立，则
的
最小值为
【答案】
【详解】设
，原题转化为求的最小值，
原不等式可化为对任意的
，
，
不妨代入
，得
，得
，
当
时，原不等式可化为
，
即
，
观察可知，当
时，
对
一定成立，当且仅当
取等号，
此时，
，说明
时，
均可取到，满足题意，
故
的最小值为
.
故答案为：
4．（2025·上海·高考真题）不等式
的解集为 ．
【答案】
【详解】原不等式转化为
，解得
，
则其解集为
.
故答案为：
.
1．求下列不等式的解集：
（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
.
【答案】（1）
；（2）
；（3）
或
；（4）
.
【解析】（1）将所求不等式变形为
，解此不等式即可；
（2）利用一元二次不等式的解法解此不等式即可；
（3）将所求不等式变形为
，利用一元二次不等式的解法解此不等式即可；
（4）将所求不等式变形为
，计算
，由此可得出该不等式的解集.
【详解】（1）原不等式等价于
，即
，所以原不等式的解集是
；
（2）原不等式的解集是
；
（3）原不等式等价于
，所以原不等式的解集是
或
；
（4）原不等式等价于
，
，则原不等式的解集是
.
【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，在求解时要将二次项系数化为正数，熟悉一元二次不等式的解
法是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题.
2．已知
，
，求
，
.
【答案】
或
，
或
.
【解析】求出集合
、
，然后利用交集和并集的定义可求出集合
，
.
【详解】
或
，
或
.
因此，
或
，
或
.
【点睛】本题考查交集与并集的计算，同时也涉及了一元二次不等式的求解，在求解无限数集之间的运算
时，可充分利用数轴来理解，考查计算能力，属于基础题.
3．当k 取什么值时，一元二次不等式
对一切实数x 都成立.
【答案】
【解析】对k 分k＜0 和k＞0 两种情况讨论，即得解.
【详解】解：当
时，要使一元二次不等式
对一切实数x 都成立，
则二次函数
的图象在x 轴下方，
即
，得
.
当
时，二次函数
的图象开口向上，一元二次不等式
不可能对一切实数
x 都成立.
综上可知，
.
【点睛】本题主要考查一元二次不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
4．一名同学以初速度
竖直上抛一排球，排球能够在抛出点2m 以上的位置最多停留多长时间
（精确到0.01s）？若不计空气阻力，则竖直上抛的物体距离抛出点的高度h 与时间t 满足关系满足关系
，其中
5.100．
【答案】
【详解】由已知得
，化简得：
，设方程的两个根为
，则
，
所以
，
所以最多停留
.
5．如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD 和EFGH
构成的面积为
的十字形地域，计划在正方形MNPQ 上建一座花坛，造价为4200 元/
；在四个相同
的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210 元/
；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草
坪，造价为80 元/
.设总造价为S（单位：元），AD 长为x（单位：m）.当x 为何值时，S 最小？并求出
这个最小值.
【答案】
时，S 最小且
元.
【解析】先求出
，再利用基本不等式求解.
【详解】解：由题意，有
，又
，有
.
当且仅当
，即
时取“=”.
∴当
时，S 最小且
元.
【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
