文档文本内容
第05 讲 一元二次不等式与其他常见不等式解法
目录
01 常考题型过关练
题型01 解不含参数的一元二次不等式
题型02 解分式不等式、高次不等式
题型03 解绝对值不等式
题型04 解含参数的一元二次不等式
题型05 由一元二次不等式的解集求参数
题型06 由一元二次不等式解集中的整数个数求参数
题型07 一元二次不等式的实际问题
题型08 一元二次不等式的恒（能）成立问题
题型09 一元二次方程根的分布问题
02 核心突破提升练
03 真题溯源通关练
01 解不含参数的一元二次不等式
1．已知集合
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】根据题意，
，
，
，
所以
，
，
.
故选：B
2．已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由
，即
，解得
，
所以
，
又
，
所以
.
故选：C
3．“
”是“
”的（ ）
A．必要而不充分条件
B．充分而不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】不等式
，可得
，
因为
，
因此，“
”是“
”的必要而不充分条件.
故选：A.
4．（2025·江西新余·模拟预测）已知集合
，则
．
【答案】
【详解】由题意知，
，
所以
．
故答案为：
02 解分式不等式、高次不等式
5．已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由
，则
，
根据对数函数的性质知
，则
.
故选：D
6．不等式
的解集是（ ）
A．
B．
或
C．
D．
或
【答案】C
【详解】因
，
解得：
.
故选：C.
7．（2025·上海黄浦·三模）不等式
的解集为 ．
【答案】
【详解】由题设
，而
，
所以
，则
，即解集为
.
故答案为：
8．关于
的不等式
的解集为 .
【答案】
【详解】由
，
可得
，
所以
方程
的根为
，
由数轴标根法可得
.
故答案为：
.
9．不等式
的解集是 ．
【答案】
【详解】由题意，
且
，
所以，利用穿针引线法，在数轴上标根如下图：解得：不等式的解集为
.
故答案为：
.
03 解绝对值不等式
10．（2025·四川乐山·模拟预测）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】令
，解得
，则
，
因为
，所以
，故D 正确.
故选：D
11．已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】因为
，
，
所以，
.
故选：C.
12．不等式
的解集是 ．
【答案】
【详解】当
时，
；
时，
；
时，
；
当
时，
，无解；
时，
，解为
；
时，
，解为
.
取并集，所以最终解集为
.
故答案为：
.
13．关于
的不等式
的解集为 .
【答案】
【详解】
，
当
时，
，所以此时不等式无解；
当
时，
；
当
时，
，所以此时不等式无解.
综上可知，原不等式的解集为
.
故答案为：
14．
，则不等式
的解集为 .
【答案】
【详解】当
时，
，
由
，可得
，解得
，故x 不存在；
当
时，
，
由
，可得
，解得
，故
；
当
时，
，
由
，可得
，解得
，故
，
综上，
，
故答案为：
.
15．解不等式：
(1)
.
(2)
.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为
，
当
时，
，则
，即
，所以
；
当
时，
，则
恒成立，所以
；
当
时，
，则
，即
，所以
；
综上：
，即
的解集为
.
（2）因为
，所以
，解得
，
所以
的解集为
.
04 解含参数的一元二次不等式
16．当
时，关于x 的不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
时，
，不等式
可化为
，
因为
，且
，
所以
，
，
解原不等式，得
，
所以原不等式的解集为
.
故选：C.
17．关于
的不等式
，其中
，则该不等式的解集不可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】当
时，不等式
，即
，
，
故不等式的解集为
，故A 可能；
当
时，
，即
，
当
时，
的解集为
，故D 可能；
当
时，不等式
无解；
当
时，
的解集为
，故B 可能.
故选：C
18．对于给定实数a，关于x 的一元二次不等式
的解集可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】当
时，
，此时解集为
或
，
当
时，
，此时解集为
，
当
时，
，此时解集为
或
，
当
时，不等式为
，此时解集为
，
当
时，
，此时解集为
，
故A 正确，B、C、D 错误.
故选：A.
19．（多选）已知关于
的不等式
的解集为
，则下列结论正确的是（ ）
A．
可能为空集
B．
中可能只有一个元素
C．若
，则
中的元素为负数
D．若
，则
【答案】BCD
【详解】对于A，由题意得
，
则
不可能为空集，A 错误；
对于B，由
，得
，
当
，即
时，
，得
，则
，B 正确；
对于C，当
，即
时，
，C 正确．
对于D，当
，即
时，
，
因为
，所以
，得
，D 正确．
故选：BCD.
20．已知
，若
是
的充分不必要条件，则实数
的取值范围
是 .
【答案】
【详解】由
可得
，即
，
由
可得
，即
，
又因为
是
的充分不必要条件，所以
，
所以
(等号不同时成立)，解得
，
故答案为：
.
21．已知集合
集合
(1)求集合
；
(2)若
，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由
，
所以
.
（2）因为
.
当
即
时，得
或
，即
，此时
不能成立；
当
即
时，得
或
，即
，此时
.
故
.
所以实数
的取值范围为
.
05 由一元二次不等式的解集求参数
22．已知关于
的不等式
的解集为
，则不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由题可知
的根为1 和2，代入方程可得
，
，
不等式
等价于
，则解集为
，
故选：D.
23．已知不等式
的解集为
或
，则
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】∵不等式
的解集为
或
，
可得
,
是方程
的两根，
由韦达定理可得：
，
，且
，
所以
的解集，即
，
所以解集为
，
故选：A.
24．（多选）已知关于
的不等式
的解集为
，其中
，则
的取值可以是（
）
A．2
B．
C．3
D．4
【答案】CD
【详解】∵
的解集为
，
∴
，且方程
的两根为
，
，
∴
，
，∴
，∵
，
，∴
，
∴
，即
，当且仅当
时取“=”，
故
，而
，对勾函数
在
上单调递增，
∴
，∴
的取值范围为
.
故选：CD.
25．若关于
的不等式
的解集是
，则
（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】A
【详解】解：根据不等式与方程之间的关系知1 为方程
的一个根，
即
，解得
或
，
当
时，不等式
的解集是
，符合要求；
当
时，不等式
的解集是
，不符合要求，舍去．
故
，
故选：A．
26．已知函数
，若不等式
的解集为
，则不等式
的解
集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为函数
，不等式
的解集为
，
所以
的两实数根分别为
和
，
所以
，解得
，所以
.
令
，解得
或
，
令
，解得
.
由
，可得
或
，
即
或
，则所求解集为
.
故选：D.
06 由一元二次不等式解集中的整数个数求参数
27．若关于
的不等式
的解集中恰有3 个整数，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】不等式
可化为
，
当
时，不等式的解集为
，要使解集中恰有3 个整数，则这3 个整数只能是4，5，6，所以
；
当
时，不等式的解集为
，此时不符合题意；
当
时，不等式的解集为
，要使解集中恰有3 个整数，则这3 个整数只能是0，1，2，所以
．
综上可知，实数
的取值范围是
．
故选：C．
28．若
，且不等式
的解集中有且仅有一个整数，则
的取值范围是 ．
【答案】
【详解】不等式
，
当
时，
，不等式的解集为
，
若不等式解集中有且仅有一个整数，则这四个整数为
，
则
，即
，解得
即
.
当
时，
，不等式的解集为
，不符合题意；
当
时，
，不等式的解集为
，
若不等式解集中有且仅有一个整数，则这整数可为
，
则
解得，
，即
综上可知，实数
的取值范围是
．
故答案为：
．
29．已知
，关于
的一元二次不等式
的解集中有且仅有5 个整数，则所有符合条件的
的值之和是（ ）
A．15
B．19
C．21
D．26
【答案】A
【详解】设
，其图象为开口向上，对称轴为
的抛物线，
根据题意可得：
，解得：
，
解集中有且仅有5 个整数，则这5 个整数必为
，
结合二次函数的对称性可得：
，即
，
解得：
，
又
，
，
即符合题意的
的值之和
.
故选：A.
30．关于
的不等式
解集中恰有2 个整数，则实数
取值范围是（ ）
A．
或
B．
或
C．
或
D．
或
【答案】B
【详解】由
可得
，
当
时，
无解，不满足题意；
当
时，原不等式解得
，由于解集中恰有2 个整数，所以该整数解为
和0，因此可得
，即
；
当
时，原不等式解得
，由于解集中恰有2 个整数，所以该整数解为2 和3，因此可得
，即
；
综上所述：
或
，
所以实数的取值范围为
或
．
故选：B．
31．关于x 的不等式
的解集中恰有3 个整数，则实数a 的取值范围是（ ）
A．[-3，-2)∪(4，5]
B．[-3，-2]∪[4，5]
C．(-3，-2]∪[4，5)
D．(-3，-
2)∪(4，5)
【答案】A
【详解】由
，得
，
当
时，
显然不成立，
当
时，不等式的解集为
，由解集中恰有3 个整数可得，
此时这三个整数为
，
，
，则
；
当
时，不等式的解集为
，由解集中恰有3 个整数可得，
此时这三个整数为
，，
，则
；
综上所述，
或
，
故选：A
07 一元二次不等式的实际问题
32．在物理学中，若不计空气阻力，则竖直上抛的物体距离抛出点的高度与时间满足关系
，
其中
，一名同学以初速度
竖直上拋一排球，排球能够在拋出点
以上的位置最多
停留（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由题意可得：
，
令
，即
，解得
，
所以排球能够在拋出点
以上的位置最多停留
秒.
故选：C.
33．有纯农药液一桶，倒出4 升后用水加满，然后又倒出2 升后再用水加满，此时桶中所含的纯农药药液
不超过桶的容积的
，则桶的容积最大为 升.
【答案】
/
【详解】设桶的容积为x 升，那么第一次倒出4 升纯农药液后，桶内还有
升纯农药液，
用水补满后，桶内纯农药液的浓度为
，第二次又倒出2 升药液，
则倒出的纯农药液为
升，此时桶内有纯农药液
升.
依题意，得
，由于
，则原不等式化简为
，
解得
，又
，所以
，所以桶的容积最大为
升.
故答案为：
.
34．近年来，某西部乡村农产品加工合作社每年的电费为24 万元．为了节能环保，决定修建一个可使用
16 年的沼气发电池，并入该合作社的电网．修建沼气发电池的费用（单位：万元）与沼气发电池的容积x
（单位：
）成正比，比例系数为0.12．修建沼气发电池后该合作社每年的电费C（单位：万元）与沼气
发电池的容积x（单位：
）之间的关系为
（
为正常数）．记该合作社修建此沼气发电
池的费用与16 年的电费之和为F（单位：万元）
(1)写出F 关于x 的函数关系．
(2)该合作社应修建多大容积的沼气发电池，可使F 最小？并求出F 的最小值．
(3)要使F 不超过140 万元，求x 的取值范围．
【答案】(1)
(2)当修建350
的沼气发电池时，可使F 最小，且F 的最小值为90 万元
(3)
【详解】（1）由题意修建沼气发电池的费用为
万元，
又当未修建沼气发电池时的费用为每年24 万元，
所以当
时，
，此时有
，
解得
，所以有
，
所以F 关于x 的函数关系为
.
（2）由（1）可知
，
所以由基本不等式可得
，
当且仅当
即
时，等号成立，
所以当修建350
的沼气发电池时，可使F 最小，且F 的最小值为90 万元.
（3）由（1）可知
，由题意有
，
所以
，
化简并整理得
，
解得
，
要使F 不超过140 万元，则x 的取值范围为
．
35．已知汽车从踩刹车到停住所滑行的距离s（单位：m）与速度v 单位：km/h）的平方及汽车总质量成正
比设某辆卡车不装货物以59 km/h 的速度行驶时，从踩刹车到停住滑行了20 m．如果这辆卡车装着等于车
重的货物行驶时，发现前面20 m 处有障碍物，这时为了能在离障碍物5 m 以外处停车，最大限制时速应是
多少？（结果保留整数，设卡车司机发现障碍物到踩刹车需经过1 s）
【答案】
【详解】设卡车从踩刹车到停住所滑行的距离为，卡车速度为，卡车总质量为
，比例系数为
，则
，
当
时，
，
①
当这辆卡车装着等于车重的货物行驶时，设能在离障碍物
以外处停车的速度为
，
则
满足
，即
②
由①②得
③，
由
，及③得
，
最大限制时速应是
.
08 一元二次不等式的恒（能）成立问题
36．若命题
为真命题，则实数
的取值范围是 .
【答案】
【详解】因为命题
为真命题，
所以
在
上恒成立，
因为
，所以
，当且仅当
，即
时取等号，
所以
，当且仅当
，即
时取等号，
即
的最大值为
，
所以
，即实数
的取值范围是
.
故答案为：
37．若不等式
对任意
恒成立，则实数a 的取值范围为 .
【答案】
【详解】因
对任意
恒成立，
则
对任意
恒成立，
因
在
上单调递减，在
上单调递增，且
，
，
则
在
上的最大值为
，
则
，
故实数a 的取值范围为
.
故答案为：
38．已知存在
，使得
成立，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】依题意，令
，
则
，其图象开口向上，对称轴为
，
所以函数
在区间
上单调递减，则
，
因为存在
，使得
成立，
所以
，即
，
即
，解得
，
所以
的取值范围是
，
故选：C.
39．若函数
的定义域是R，实数a 的取值范围是 ．
【答案】
【详解】因为
的定义域为
，所以不等式
恒成立.
当
时，不等式为
，显然恒成立；
当
时，有
，
即
，解得
，
所以
的取值范围为
，
故答案为：
.
40．不等式
，对于任意
及
恒成立，则实数
的取值范围是 .
【答案】
【详解】由
，则不等式
两边同时乘以
不等式可化为
，
因为
，所以
，又
，则
，
令
，则不等式转化为
，在
上恒成立，
由
，可得
，即
，
又
，当且仅当
时取等号，
所以当
时，
取得最小值
，故可得
，
所以
的取值范围为
.
故答案为：
09 一元二次方程根的分布问题
41．已知关于x 的方程
有两个大于2 的相异实数根，则实数m 的取值范围是（）
A．
或
B．
C．
D．
或
【答案】B
【详解】设关于x 的方程
的两个根分别为
,
则由根与系数的关系，知
所以由题意知
，
即
，
解得
.
故选：B
42．关于
的方程
有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
或
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】设
，
则由题意可知
，即
，解得
，
故实数
的取值范围是
.
故选：C．
43．关于
的方程
有两个不相等的实数根
，
，且
，则a 的取值范
围是 ．
【答案】
【详解】因为关于
的方程
有两个不相等的实数根，
所以
，解得
，
因为
，所以
，因为
，所以
，
故
，即
，
而由韦达定理得
，
，
代入不等式中得到
，解得
，
故答案为：
44．已知关于
的一元二次方程
的一根小于
，另一根大于，求实数
的取值范围．
【答案】
【详解】由
，因式分解得
，
故方程两根为
和
，
则由题意得
，
∴
．
45．已知
是方程
的两根，若两根都大于1，求
的取值范围．
【答案】
.
【详解】依题意，
，解得
或
，
，由
，得
，
则
，即
，则
，解得
，
因此
，
，当且仅当
，即
时取等号，
而
，所以
的最小值为10，即
的取值范围是
.
1．已知
，集合
，
，则
是
的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】因为
，
由
解得
或
，
或
，
由
解得
或
，
即
或
，
因为
，所以
，
所以
，
所以
是
的真子集，
所以
是
的充分不必要条件.
故选：A
2．已知关于
的不等式
的解集为
，则
的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为关于
的不等式
的解集为
，
所以
，
所以
，当且仅当
，即
时取等号.
故选：B
3．设a，b，c 为实数，不等式
的解集是
或
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由题意，1 和3 为方程
的两根，且
，
所以
，即
，
，
所以
.
当且仅当
，即
时等号成立.
故选：C.
4．若不等式
对任意
恒成立，则实数m 的值为
【答案】
/
【详解】解：若
，则当
趋于
时，
趋于
，不满足题意；
当
时，
是方程
的一个根，
不等式
对任意
恒成立，
且方程
的两根不相等，
所以
是方程
的根，
，
，得
，
此时原不等式等价于
，显然
时恒成立，
实数m 的值为
，
故答案为：
．
5．若关于
的不等式
的解集中恰好有3 个整数，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】不等式
因式分解为
.
①当
时，不等式为
，不等式无解，不合题意；
②当
时，不等式的解为
，
若不等式的解集中恰好有3 个整数，这3 个整数必为
，0，1，
必有
，解得
；
③当
时，不等式的解为
，
若不等式的解集中恰好有3 个整数，这3 个整数必为
，0，1，
必有
，解得
.
由①②③可知实数
的取值范围为
.
故选：D.
6．（1）若“
”是“
”的必要不充分条件，求实数
的取值范围；
（2）已知命题
：关于
的方程
在
上有解；命题
：仅有一个实数满足关于
的不等
式
.若p，q 都是假命题，求实数
的取值范围.
【答案】（1）
；（2）
.
【详解】（1）不等式
，解得
，
当
时，不等式
，解得
，
依题意，
，则
或
，解得
，
所以实数
的取值范围是
.
（2）解方程
，得
或
，依题意，
或
，
解
得
或
，解
得
或
，
于是命题
：
或
；
由仅有一个实数满足关于
的不等式
，得
，
解得
或
，于是命题
：
或
，
由p，q 都是假命题，得
，且
且
，因此
或
，
所以实数
的取值范围是
.
7．（2025·河南南阳·模拟预测）
已知
，若当
时，不等式
恒成立，
则
的取值范围是 .
【答案】
【详解】令
，则
为单调函数或常数函数，
若当
时，不等式
恒成立，
则
，
所以
，所以
，
所以
.
故答案为：
.
8．（多选）
若方程
恰有一个实根，则实数
的取值范围可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【详解】由
可得
，整理得
.
由于方程
恰有一个实根，分以下几种情况讨论：
（i）当
时，
或.
若
，则
，矛盾；
若
，则
，解得
，满足方程
；
（ii）当
时，即当
且
时，
若
，解得
，
此时方程为
，即
，解得
，
满足方程
；
若
，方程
有两个不等的实根
、
，
因为
，所以，
，
所以，
，即
，解得
.
综上所述，实数
的取值范围是
或
.
故选：BD.
1．（2019·全国I 卷·高考真题）已知集合
，则
=
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由题意得，
，则
．故选C．
【点睛】不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．
2．（2025·全国二卷·高考真题）不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
即为
即
，故
，
故解集为
，
故选：C.
3．（2019·天津·高考真题） 设
，使不等式
成立的
的取值范围为 .
【答案】
【详解】
，
即
，
即
，
故
的取值范围是
．
