文档文本内容
第03 讲 等式与不等式的性质
目录
01 常考题型过关练
题型01 作差法、作商法比较两数（式）的大小
题型02 利用不等式的性质判断命题真假
题型03 利用不等式的性质证明不等式
题型04 利用不等式的基本性质求代数式的取值范围
题型05 不等式的综合
02 核心突破提升练
03 真题溯源通关练
01 作差法、作商法比较两数（式）的大小
1．（多选）若
，那么下列不等式一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【详解】对于A，因为
，所以
，故A 正确；
对于B，
，故B 错误；
对于C，
，
，所以
，因为
，所以
，所以
，
故C 正确；
对于D，
，故D 正确.
故选：ACD.
2．假设买水两次，两次买水的价格有变动，第一次a 元/瓶，第二次b 元/瓶，有以下两种方案买水（假设
十元钱刚好能买到整数瓶水），方案一：每次买十元钱的水，买两次；方案二：每次买十瓶水，买两次．
则下列说法正确的是（ ）
A．用两种买水方案买水的花费一样
B．用“方案二”买水比较划算
C．用“方案一”买水比较划算
D．用哪种方案买水比较划算与a，b 的大小有关
【答案】C
【详解】方案一：平均每瓶的价格为
（元）；方案二：平均每瓶的价格为
（元）．由于
，故方案一比较划算．
3．每次去加油站，甲选择加固定金额的油，乙选择加固定体积的油．在油价的波动情况下，哪种方式更
经济呢？（ ）
A．加固定金额的方式
B．加固定体积的方式C．两种方案一样D．要视具体价格
而定
【答案】A
【详解】设两次加油的油价分别为
，
（
，且
），乙方案每次加油的量为
；甲方案
每次加油的钱数为
，
则乙方案的平均油价为：
，甲方案的平均油价为：
，
因为
，
所以
，即甲方案更经济．
故选：A
4．两人共同参加一个游戏，游戏规则如下：其中一人在集合
（
，
且
）
中任取2 个元素并求和，剩下2 个元素给另一个人并求和，和大者为胜.则先取者取下列哪2 个元素能够保
证先取者必胜（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】C
【详解】若先取者取
和
，
则
，
根据
，
且
，不能确定大小关系，A 错误；
若先取者取
和
，
则
，
根据
，
且
，不能确定大小关系，B 错误；
若先取者取
和
，
则
，
根据
，
且
，所以上式大于0，C 正确，D 错误.
故选：C
5．若
，求证：
．
【答案】证明见解析
【详解】证明：∵a>b>0，
∴
，且
．
∴作商得：
．
∴
．
02 利用不等式的性质判断命题真假
6．若
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因为
，
，所以
，
，所以
，
，故A 正确，B 错误；
当
时，
，
，故C 错误，D 错误．
7．若
，
，为非零实数，且
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】令
，
，则
，
，
因为此时
，故A 不成立；
，故B 不成立；
，故D 不成立；
根据不等式的基本性质：
，
，故C 成立.
故选：C
8．下列命题是假命题的为（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
且
，则
D．若
，则
【答案】A
【详解】对于A，
，因
，则
，
又
，则
，故A 错误；
对于B，由不等式同向可加性可知，当
时，
，故B 正确；
对于C，
，因
，则
，又
，
则
，故C 正确；
对于D，
，因
，则
，
，则
，
故D 正确．
故选：A
9．（多选）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【详解】对于A：
，又
，由加法性质知
，A 正确,
对于B：
,
,
，B 正确,
对于C：
,
,
,但是
的正负号不确定,
与
大小关系不确定，C 错误,
对于D：
,
,
，又
,
，D 正确,
故选：ABD.
10．（多选）若
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【详解】B 选项，
，
又
，故
，
由
可得
，即
，
由
可得
，
所以
，故
，
由
可得
，即
，
所以
，B 正确；
不妨设
，满足
和
，
此时
，
，AD 错误；
两边同除以
得
，
，
，故
，即
，
不等式两边同除以
得
，
所以
，C 正确；
故选：BC
03 利用不等式的性质证明不等式
11．（多选）下列说法正确的有（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】AC
【详解】A 中，因为
，可得
，所以
，所以A 正确；
B 中，若
，
也可以，所以
不正确，所以B 不正确；
C 中，
，
因为
，
，而
，所以
，即
，所以C 正确；
D 中，若
，当
时，则
，则
错误，所以D 不正确．
故选：AC．
12．（1）已知
，
，
，求证：
；
（2）证明：
．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【详解】（1）因为
，所以
．又
，所以
，则
，
所以
，即
．又
，所以
．
（2）要证
，只需证
，即证
，即证
，即证
，即证
，显然成立，所以
．
13．已知
，
．
(1)求证：
；
(2)求证：
．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【详解】（1）由
，则
，故
，
由
，则
，故
，
所以
，得证.
（2）由
，而
，
所以
，即
，得证.
14．设
，
，
，证明：
．
【答案】证明见解析
【详解】由题意知
，
，
，
则有
，
，
，①
，
，
，
所以
．
又根据①的结论可知
，
，
，
所以
．
综上所述，
.
15．已知
，且
，求证：
【答案】证明见解析．
【详解】因为
，且
，可得
，
，
所以
，
所以
，可得
，
又因为
，
所以
，
所以
，所以
，
因为
，由不等式的性质，可得
，故
．
16．已知
糖水中有
糖（
），往糖水中加入
糖（
），（假设全部溶解）糖水更甜了.
(1)请将这个事实表示为一个不等式，并证明这个不等式.
(2)利用（1）的结论证明命题：“若在
中a、b、c 分别为角A、B、C 所对的边长，则
”
【答案】(1)
；证明见解析；
(2)证明见解析；
【详解】（1）由题可得，
；
证明：因为
，
，
，
所以，
，
，从而
，即
（2）由三角形三边关系，可得
，而函数
，为单调递增函数，
，
，
，
故
，
所以，
04 利用不等式的基本性质求代数式的取值范围
17．若
，则
的范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因为
，所以
，所以
，
即
的范围为
.
故选：A
18．已知
，
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】因为
，又
，
，所以
的取值范围是
．
故选：C．
19．（多选）已知
且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【详解】∵
且
，∴
，即
，故A 正确；
取
，则
，故B 错误；
取
，则
，故C 错误；
∵
，∴
，又
，∴
，
∴
，∴
，
∵
，∴
，又
，∴
，
∴
，∴
，
综上，
，故D 正确，
故选：AD.
20．若实数x，y 满足
，则
的取值范围是 ；若实数x，y 满足
，则
的取值范围是 ．
【答案】
【详解】若x，y 满足
，则
，从而
．若
，设
，所以
解得
，则有
，所以
．
05 不等式的综合
21．
（2025·云南玉溪·二模）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由
，得
，
因为
，当且仅当
时取等号，
所以
，
因为
，所以
，
当
时，
，此时，
，
这与
矛盾，所以
，
由
，得
，
所以
，当且仅当
时取等号，
由A 选项知，当
时，不符题意，
所以
，
由
，可得
，
因为
，所以
，
所以
，
因为
，所以
，所以
，
由
，得
，
则
，
因为
，
，
所以
，
又因为
，所以
，所以
，
综上所述，
.
故选：A.
22．
设集合
，若
，
，且
，
，则（ ）
A．
B．
，
C．
D．
，
【答案】D
【详解】由
，
，则
，
，
则
又实数
，
，所以
，即
，A 选项错误；
当
，
，此时
，B 选项错误；
由A 选项知，
，故当
时，
，C 选项错误；
D 选项：1.当
为奇数，为奇数时，
为偶数．又
，因为
为奇数，所以
必为
偶数，这与
为奇数矛盾．
2.当
，为整数，且其中至少有一个为偶数，则
必为偶数．又
，且
为奇数，所以
必为偶数，
这与为奇数矛盾．故
，不可能都为整数，即
，
，选项D 正确．
故选：D.
23．
（2025·浙江·模拟预测）若负实数满足：对于任意
，总存在
，使得
，则的范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由题可知：对于任意
，总存在
，
使得
，
所以
的取值范围是
的子集即可，
，
注意到
，
，
因为
，所以
故选：B
24．已知实数
满足
．
(1)求
和
的取值范围；
(2)证明：
．
【答案】(1)
；
．
(2)证明见解析
【详解】（1）因为
，所以
，
因为
， 所以
；
（2）
．
因为
，所以
．
所以
；
所以
．
25．求证：
．
【答案】证明见解析
【详解】由浓度不等式，可得
，
则有
，
于是，
，
因此
．
证明浓度不等式：
，其中
，
证明：
，
所以
.
1．（多选）已知
，
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】CD
【详解】因为
，
，
对于A，因为
，而
，
，故无法确定
与
的大小，A 错；
对于B，因为
，所以
，B 错；
对于C，由不等式的性质可得
，从而
，C 对；
对于D，由不等式的性质可得
，D 对.
故选：CD.
2．已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】因为
，所以
．由于
，故在不等式上同时乘以a 得
，即
，因此，
．
3．（2025·福建三明·三模）已知a，
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】若
，则
，充分性成立；
设
，则有
满足
，
此时有
，不满足
，故必要性不成立，
综上所述，“
”是“
”的充分不必要条件.
故选：A.
4．（多选）在下列四个命题中，正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，
，则
C．已知
，
，则
D．已知
，若
，
，则
【答案】CD
【详解】对于A,由
，故
，故A 错误，
对于B，由于
，所以
，
又
，所以
，
又
，故
，故
，
因此
，故B 错误，
对于C,由于
，结合
，
，
则
，故C 正确，
对于D,
，由于
，
，
故
，即
，故D 正确，
故选：CD
5．（2025·山西·二模）从坐标平面的四个象限中取若干点，这些点中横坐标为正数的点比横坐标为负数的
点多，纵坐标为正数的点比纵坐标为负数的点少，则下列对这些点的判断一定正确的是（ ）
A．第一象限点比第二象限点多
B．第二象限点比第三象限点多
C．第一象限点比第三象限点少
D．第二象限点比第四象限点少
【答案】D
【详解】设第一象限的点即横坐标为正数且纵坐标为正数的点有
个，
第二象限的点即横坐标为负数且纵坐标为正数的点有
个，
第三象限的点即横坐标为负数且纵坐标为负数的点有
个，
第四象限的点即横坐标为正数且纵坐标为负数的点有
个，
又因为横坐标为正数的点比横坐标为负数的点多，纵坐标为正数的点比纵坐标为负数的点少，
所以
①，且
②，
由不等式性质可知，①+②可得
，即第二象限点比第四象限点少.
故选：D.
6．设
，则M 与N 的大小关系是 ．
【答案】
【详解】因为
，所以
．
7．（多选）若
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【详解】
，
，
，
，
所以
，
，
所以
，所以
，
所以B、C、D 正确，A 错误.
故选：BCD
8．已知
，且
．
(1)求证：
；
(2)求证：
．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）解法1 因为
且
，所以
，且
，两边取倒数得
，又
，则
，从而得证．
解法2 因为
且
，所以
，且
，所以
，即
．
（2）因为
且
，所以
，
，则
，
，由
，可得
，
即
，所以
，即
．综上，
．
9．求证：
．
【答案】证明见解析
【详解】原不等式可转化为
，
由浓度不等式得
，
则得
，
于是
两边开平方，即得
．
下面证明浓度不等式，
，其中
，
证明：由
，
所以
.
1．（2018·全国III 卷·高考真题）设
，
，则
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】分析：求出
，得到
的范围，进而可得结果．
详解：.
,即
又
即
故选：B.
2．（2016·全国I 卷·高考真题）若
，
，则
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】试题分析：用特殊值法，令
，
，
得
，选项A 错误，
，选项B
错误，
，选项D 错误，
因为
选项C 正确，故选C．
3．（2015·浙江·高考真题）设
，
是实数，则“
”是“
”的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【详解】本题采用特殊值法：当
时，
，但
，故是不充分条件；当
时，
，但
，故是不必要条件.所以“
”是“
”的既不充分也不必要条件.故选D.
