文档文本内容
第04 讲 直线、平面垂直的判定与性质
目录
01 常考题型过关练
题型01 有关垂直命题的判断
题型02 线面垂直的判定与性质
题型03 面面垂直的判定
题型04 面面垂直的性质
题型05 几何法求线面角
题型06 几何法求面面角
题型07 线面垂直的探索性问题
题型08 面面垂直的探索性问题
02 核心突破提升练
03 真题溯源通关练
01 有关垂直命题的判断
1．设
，
为两条不同直线，
，
为两个不同平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若
，
，则
B．若
，
，
，则
C．若
，
，则
D．若
，
，
，则
【答案】D
【详解】对于A：若
，
，则
或
，故A 错误；
对于B：若
，
，
，则
或
与
相交，故B 错误；
对于C：若
，
，则
或
，故C 错误；
对于D：若
，
，
，则
，故D 正确.
故选：D.
2．已知，
，
为三条不同直线，
，
，
为三个不同平面，则下列判断正确的是（ ）
A．若
，
，则
B．若
，
，则
C．若
，
，则
D．若
，
，则
【答案】D
【详解】对于A ，若
，
，则
、相交或异面，故
错误；
对于B，若
，
，则
或相交；故B 错误；
对于C，若
，
，则
或
，故C 错误；
对于D，如图，因
，经过直线
和平面
内一点
可作平面
，
设
，则
，因
，故
，又因
，故
，即D 正确.
故选：D.
3．已知
，
是平面
内的两条直线，则“直线
且
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】
，
是平面
内的两条直线
且
，反之，若
，则
且
所以“直线
且
”是“
”的必要不充分条件，
故选：B
4．（多选）直线与平面
相交于点
，点
在直线上，
，
是平面
内的任意两点，
，
，
，
不重合，且
，
，
三点不共线，下列说法正确的是（ ）
A．直线
与是异面直线
B．平面
内一定存在直线平行于平面
C．平面
内一定存在直线垂直于平面
D．若平面
垂直于平面
和平面
，则
【答案】ABD
【详解】因为
，
，
三点不共线，所以
和是异面直线，所以A 选项正确．
因为平面
上存在直线平行于
，所以B 选项正确．
一条直线若要垂直于
，则必须垂直其在平面
上的射影，
因为
的射影和
不一定重合，所以平面上的直线不一定同时垂直于
的射影和
，所以C 选项错误．
因为垂直于同一平面的两平面的交线一定垂直于该平面，所以D 选项正确．
故选：ABD.
02 线面垂直的判定与性质
5．在长方体
中，
，
．给出下列四个结论：
①
；②
；③
平面
；④
平面
．
其中正确的结论是（ ）
A．①③
B．②③
C．①④
D．②④
【答案】B
【详解】在长方体
中，
，
，
所以底面
是长方形，故
不成立，
因为
平面
，由线面垂直的性质可知
与平面
不垂直，
因为
平面
，
平面
，所以
，
因为
，所以
不成立，故①错误；
因为
，
在长方体中，有
，
因为
平面
，
平面
，所以
，
因为
，所以四边形
是正方形，
所以
，故②正确；
因为
，所以
，
因为
是正方形，所以
，
因为
，且
平面
，
所以
平面
，故③正确；
因为
是长方形，所以
不成立，
由线面垂直的性质可知，
平面
不垂直，故④错误；
所以正确的结论是②③.
故选：B
6．如图，在四面体
中，
，
，
且
，D 为四面体
外一点，
要使
，需要添加的条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】取
的中点
，连接
，
因为
，所以
，
因为
，
，
，
平面
，
所以
平面
，又
平面
，所以
，
因为
，
平面
，所以
平面
，
要使
，其中
平面
，故需
平面
，
连接
，则
平面
，故只需
，
又
为
的中点，故
时，满足要求.
故选：C.
7．如图，在四棱锥
中，底面
为菱形，
，
平面
，
，E，F
分别为
，
的中点.
(1)证明：
平面
；
(2)证明：
平面
.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）证明：如图，取直线
的中点
，连接
，
，
因为
是
的中点，所以
，
.
又因为底面ABCD 为菱形，
是BC 的中点，所以
，
，
即四边形BEFG 为平行四边形，从而
.
因为
平面
，
平面
，所以
平面
.
（2）证明：因为底面
为菱形，
，E 是
的中点，
所以
，则
，
又
平面
，
平面
，所以
，
因为
，所以
平面
，
又因为
平面
，所以
；
因为
，F 是PD 的中点，所以
，
又因为
，所以
平面
.
8．《九章算术》中有这样一段话：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”，这里
所谓的“阳马”，就是底面是矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，四棱锥
为阳马，
底面
，
，
，
分别为
，
的中点.
(1)证明：
平面
；
(2)证明：
平面
.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）取
的中点
，连接
.
在
中，
，所以
.
因为
，
所以
，所以四边形
为平行四边形，
所以
，又
平面
，而
不在平面
内，
所以
平面
.
（2）连接
.
在
中，
，
，所以
.
由（1）知
，所以
.
因为
平面
，
平面
，所以
.
根据勾股定理得
.
而
，
，
所以
，又
，所以
.
又
平面
，
所以
平面
.
9．在直三棱柱
中，已知
为
的中点，
．
(1)求证：
平面
；
(2)若
，
，
，证明：
平面
．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【详解】（1）如图，取
中点
，连接
，
，因为
为
的中点，所以
，
因为
平面
，
平面
，所以
平面
，
因为
，所以
为
的中点，所以
，
因为
平面
，
平面
，所以
平面
，
因为
，
平面
，
平面
，所以平面
平面
，
又因为
平面
，所以
平面
；
（2）如图，因为
，
，
，
所以
，所以
，所以
，
因为
平面
，
平面
，所以
，
因为
，
平面
，所以
平面
，
因为
平面
，所以
，
因为
，所以四边形
为正方形，所以
，
又
，
平面
，
平面
，所以
平面
．
03 面面垂直的判定
10．如图是一几何体的平面展开图，其中
为正方形，
分别为
的中点，在此几何体中，给
出下面四个结论，其中所有正确命题的序号是 .
①直线
与直线
异面；
②直线
与直线
异面；
③直线
平面
；
④平面
平面
.
【答案】②③
【详解】如图所示:①连接
，则
分别为
的中点，所以
，
而
，所以
，则
共面，所以直线
与
不是异面直线，错误；
②因为
平面
平面
平面
，所以直线
与直线
是异面直线，正确；
③由①知
，因为
平面
平面
，所以直线
平面
，正确；
④假设平面
平面
，
在面
上过点
作
分别交
于点
，
在
上取一点
，连接
，
因为平面
平面
，
，
所以
平面
，而
平面
，所以
，
由中位线的性质，易知O 是
的中点，此时
是等腰三角形，即
恒成立，
因为
是线段
上任意取的一点且
中腰
与底边
的长度不确定，
所以不一定有
成立，若
时，必然平面
与平面
不垂直，所以④不正确.
故答案为：②③
11．如图，在四棱锥
中，平面
平面
，且
．四边形
满足
．
为侧棱
上的任意一点，且平面
与侧棱
交于点
．
(1)求证：平面
平面
；
【答案】(1)证明见解析
【详解】（1）因为
立平面ADE，
平面
，
则
平面
，
又
平面
，平面
平面
，则
．
．
面
平面
，且
，面
平面
面PAC，
平面
，又
平面
，得
，
又
，PA，
平面
，
平面
，
平面
，
平面
，
平面
平面
；
12．如图1，在平面五边形ABCDE 中，四边形ABCD 是边长为1 的菱形，
，
，
.将
沿AD 翻折至
，如图2.点M 在PD 上.
(1)若M 为PD 中点，证明：
平面MAC；
(2)若
，且四棱锥
与三棱锥
的体积相等.证明：平面
平面
.；
【答案】(1)证明见详解
(2)证明见详解
【详解】（1）连接
相交于点
，连接
，
四边形
为菱形，所以
为
中点，又M 为PD 中点，
所以
，又
平面
，
平面
，
所以
平面
.
（2）因为
，
，
所以
，即
是
靠近
的三等分点，
则
，又
，
，
，
所以
，
，
则
，即
，
，
又
平面
，
所以
平面
，又
平面
，
所以平面
平面
.
13．如图，在三棱柱
中，侧面
为正方形，平面
平面
，
，
分别为BC，
的中点，平面ADE 与棱
相交于点F．
(1)求证：
；
(2)若
，求证：平面
平面
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析
【详解】（1）取
的中点
，连接
，
在三棱柱
中，平面
平面
，
且平面
平面
，平面
平面
，
所以
，
又因为侧面
是平行四边形，且
，
分别是
的中点，
所以
，
所以
，
所以四边形
是平行四边形，
所以
，所以
，
因为
为
的中点．
所以
为
的中点，
所以
．
（2）取
的中点
，连接
，
因为平面
平面
，平面
平面
，
又因为侧面
为正方形，所以
．
又
平面
，
所以
平面
，所以
．
又
，所以
，
因为
，则
平面
，
所以
．
由
平面
平面
，
所以
．又
，
所以
平面
．
又
，
所以
平面
．又
平面
，
所以平面
平面
．
14．如图，在正方体
中.
(1)求证：
平面
；
(2)若
平面
，求证：平面
平面
.
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
【详解】（1）由正方体的结构特征可知，
，且
，所以四边形
为平行四边形，
即有
，而
平面
，
平面
，故
平面
．
（2）因为
平面
，
平面
，所以
，
由四边形
为正方形可知，
，
而
平面
，所以
平面
，
又
平面
∴
．
因为
平面
，
平面
，所以
，
由四边形
为正方形可知，
，
而
平面
，所以
平面
，
又
平面
∴
，
而
平面
，故
平面
．
又因为
平面
，所以平面
平面
.
04 面面垂直的性质
15．如图1，在五边形
中，
，
，
，
，
．将
沿
折起，使平面
平面
，如图2．
(1)证明：
平面
．
【答案】(1)证明见解析；
【详解】（1）由平面
平面
，平面
平面
，
平面
，
，得
平面
，而
平面
，则
，
又
，
平面
，
所以
平面
．
16．如图，三棱台
，
，
，平面
平面
，
，
，
与
相交于点
，
，且
平面
.求三棱锥
的体积.
【答案】
【详解】由题意，平面
平面
，且平面
平面
，
，
平面
，
∴
平面
，
平面
，则
，
又
，
，
平面ABC，则
平面
，
连接
，
∵
平面
，
平面
，平面
平面
，
∴
，
∵
，∴
，易知
.
∴三棱锥
底面
的面积
，高
，
∴其体积为：
.
17．在三棱柱
中，平面
平面ABC，
，
，E，F 分别是AC，
的中点．求证：
．
【答案】证明见解析
【详解】如图，取BC 的中点M，连接
，EM，
．
因为
，所以
．
又因为平面
平面ABC，平面
平面
，
平面
，
所以
平面ABC．因为
平面ABC，所以
．
又E 为AC 中点，所以
，进而
，E，M，
四点共面．
因为
，所以
．
又因为
，
平面
，所以
平面
．
又F 为
中点，所以
平面
，所以
．
18．在多面体
中，已知
，且平面
与平面
均垂直于平面
为
的中点． 证明：
．
【答案】证明见解析
【详解】如图，分别取
的中点
，连接
，
因为
，故
，
又平面
平面
，且平面
平面
，
平面
，
因此
平面
，同理可知，
平面
，
又
，所以
，
因此
且
，故四边形
为平行四边形，
所以
，
又因为
，所以
．
19．如图，在以
，
，
，
，
，
为顶点的六面体中（其中
平面
），四边形
是正方
形，
平面
，
，且平面
平面
.
(1)设
为棱
的中点，证明：
，
，
，
四点共面；
(2)若
，求六面体
的体积.
【答案】(1)证明见详解
(2)
【详解】（1）连接
，由四边形
是正方形，故
，
又
平面
，
平面
，故
，
由
，
，
平面
，故
平面
，
又
为棱
的中点，
，故
，
又平面
平面
，平面
平面
，
平面
，
故
平面
，故
，
所以
，
，
，
四点共面；
（2）设
与
交于
点，连接
，则
，
又
平面
，
平面
，则
平面
，
又因为六面体
，平面
平面
，
又
平面
，故
，则四边形
为矩形，
且
平面
，故
，
则
.
05 几何法求线面角
20．如下图，在矩形
中，
，
，
为
的中点，沿
将
折起到
的位置，
使平面
平面
．
为线段
的中点．
(1)求证：
平面
；
(2)求直线
与平面
所成角的正切值．
【答案】(1)证明见详解
(2)
【详解】（1）取
的中点
，连接
，
，
则
，且
，
所以四边形
为平行四边形，所以
，
又
平面
，而
平面
，所以
平面
；
由
为线段
的中点，
为线段
的中点，则
，
又
平面
，而
平面
，所以
平面
，
又
，且
，
平面
，所以平面
平面
，
又
平面
，所以
平面
．
（2）根据题意及（1）可知四边形
是一个直角梯形，
又
，
，
，
则
，
，
所以
，即
，
又平面
平面
，平面
平面
，
又
平面
，则
平面
，
所以直线
与平面
所成的角为直线
与直线
所成的角，
即
是直线
与平面
所成的角，
在
中，
，
，
，
则
，
所以在
中，
，
故直线
与平面
所成角的正切值为
．
21．如图，在直三棱柱
中，
，
，点
是
的中点，求证：
(1)
平面
；
(2)
(3)若平面
与平面
的交线为，求与平面
所成的角.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）连接
，交
于
点，
可知四边形
是平行四边形，可得
为
中点，
又
是
的中点，则
，又
平面
，
平面
，
所以
平面
．
（2）根据题意，三棱柱
为直三棱柱，则
，
又由
，
则
，
，
面
，
面
则有
面
，又
面
，所以
，
又由
，则四边形
为正方形，则
，
又由
，
面
，
面
，则有
面
，
面
，则
；
（3）延长
交
于
，连接
，则
面
，
面
，又
面
，
面
，
则直线
即为直线．由
，且
，则
，
又
且
，所以
且
，则四边形
为平行四边形，故
，故
为与平面
所成的角．
因为
，所以
．
即与平面
所成的角为
．
22．如图，在多面体
中，平面
平面
，四边形
为正方形，四边形
为梯
形，且
.
(1)求证：平面
平面
；
(2)求直线
与平面
所成角的正切值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：因为四边形
为正方形，所以
，
又因为平面
平面
平面
，平面
平面
，
所以
平面
，
又因为
平面
，
所以平面
平面
.
（2）连接
，设
.
因为
.
所以
，
又因为
，所以
.
由余弦定理
得
，
所以
，即
，
由（1）知
平面
平面
，则
，
而
平面
，
所以
平面
，
所以
就是直线BE 与平面
所成的角，
在
中，
，
所以直线
与平面
所成角的正切值为
.
23．如图，
为圆锥
的轴截面，
为底面圆
的直径，
，
为底面圆周上一点，且
，
为
的中点.
(1)求证：
平面
；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为
为
的中点，
为
的中点，所以
，
因为
平面
，
平面
，所以
平面
；
（2）
平面
，因为
，所以
，
又
，
，
则
，故
，
所以
，
又
，
，则在
中，
边上的高为
，
，设点
与平面
的距离为，
因为
，所以
，所以
，
设直线
与平面
所成角为
，则
，
即直线
与平面
所成角的正弦值为
.
06 几何法求面面角
24．我们连接一个正方体各个面的中心，可以得到一个正八面体
（如图）．若该正八面体的
所有棱长均为2，则二面角
的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】如图，
连接AC，BD 交于点O，连接EF，依题意，EF 过点O，取
的中点
，连接
，
，
由正八面体的几何特征，得
，
为二面角
的平面角，
而
平面
，AC 在面ABCD 内，则
，
是直角三角形，又
，
，则
，
，
在
中，
，同理
，
在
中，
，
所以二面角
的余弦值为
.
故选：C
25．如图，在四棱锥
中，
为等边三角形，
，
，
，
，点E，F 分别为
，
的中点.
(1)求证：平面
平面
；
(2)求二面角
的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）在
中，点
分别为
的中点，
所以
，因为
平面
，而
不在平面
内，
所以
平面
.
因为
，所以
.
因为
为等边三角形，所以
，
所以
.又
，所以
.
又因为
平面
，而
不在平面
内，
所以
平面
.
又
平面
，
所以平面
平面
.
（2）取
的中点为
，连接
.
因为
，所以
.
因为
，平面
平面
，
所以二面角
的平面角为
.
因为
，所以
.
所以
.
根据余弦定理得
.
所以二面角
的余弦值为
.
26．如图，一个水平放置的边长为
的等边三角形
绕着中心点O 逆时针旋转
，再沿竖直方向
平移一定距离后，连接
，
，
，
，
，
，此时侧面三角形
，
，
，
正好都是等边三角形.
(1)证明：平面
平面
.
(2)求平面
与平面
所成角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）由题意可得
，且
，所以四边形
为平行四边形，
同理，
与
平行且相等，所以四边形
为平行四边形，故
.
又
，
，
平面
，
平面
，
所以平面
平面
.
（2）由平面
平面
，得平面
与平面
所成的角
即为平面
与平面
所成的
角.
如图，作点
在平面
上的投影E，连接
，交
于点
，连接
，
，可知
，则
即为二面角
的平面角.
因为
，所以
，
，
故
.
27．如图，在等腰直角三角形
中，
，M 是半圆弧
上异于A，B 的动点，平面
平面
．设O，N 分别为
，
的中点，
，三棱锥
体积的最大值为
．
(1)证明：
平面
；
(2)当
时，求二面角
的正切值；
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）由
为等腰直角三角形，且
，且
，
分别为
，
的中点，连接
，
，
则
，又平面
平面
，且平面
平面
，
所以
平面
，又
平面
，所以
，
又因为
为直径
所对的圆周角，所以
，即
，
又
，所以
，因
，
平面
，
所以
平面
.
（2）连接
，由题意可知当
时，三棱锥
体积取到最大，
此时
，解得
，
由（1）知
平面
，
平面
，所以
，
又
，所以
即为二面角
，
因
，所以
，
，
所以
，
故二面角
的正切值为
.
07 线面垂直的探索性问题
28．如图，四棱柱
中，底面ABCD 是菱形，
，
平面ABCD，E 为
中
点，
．
(1)求证：
平面
；
(2)求点C 到平面
的距离；
(3)在
上是否存在点M，满足
平面
?若存在，求出AM 长，若不存在，说明理由．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
；
(3)存在，
.
【详解】（1）连
交
于点F，连EF，
∵
A1B1C1D1是菱形，
∴F 是
中点，又∵E 是
中点，
∴
，又∵
平面
，
平面
，
∴
平面
；
（2）连
交EF 于点N，棱柱中
是平行四边形，且E，F 分别为
，
中点，
∴
，又
平面
，
∴点C 到平面
的距离是点
到平面
的距离的3 倍，
∵菱形
A1B1C1D1中，
，又
，
∴
，
，
，
又
平面ABCD，
平面ABCD，
∴
，又
，
∴
，∴
，
因为
，
，
，
∴
面积为
，
的面积为
，
由
得
，其中h 是
到平面
的距离，
∴
，
∴点C 到平面
的距离为
；
（3）∵
平面ABCD，平面
平面ABCD，
∴
平面
A1B1C1D1，∵
平面
A1B1C1D1，
∴
，
∵菱形
A1B1C1D1，
，
，
平面
，
∴
平面
，又
平面
，
∴
，
在
中，过F 作
，垂足为M，
又
，
平面
，
所以
平面
，
∴存在M 满足条件，
在
中，
，
，F 是
中点，
∴
，
∴
．
29．如图，已知四棱锥
的底面
为等腰梯形，
，
与
相交于点
O，且顶点P 在底面上的射影恰为O 点．又
．
(1)求异面直线
与
所成角的余弦值；
(2)求二面角
的大小；
(3)设点M 在棱
上，且
，问
为何值时，
平面
．
【答案】(1)
；
(2)45°；
(3)
.
【详解】（1）∵PO⊥平面ABCD，∴PO⊥BD
又
，
由平面几何可得：
，
过D 做DE∥BC 交于AB 于E，连接PE，
则∠PDE 或其补角为异面直线PD 与BC 所成的角，
∵四边形ABCD 是等腰梯形，
∴OC＝OD＝1，OB＝OA＝2，OA⊥OB
∴
又AB∥DC∴四边形EBCD 是平行四边形．
∴
∴E 是AB 的中点，且
，
又
，
∴
PEA 为直角三角形，
∴
在△PED 中，由余弦定理得
故异面直线PD 与BC 所成的角的余弦值为
；
（2）连接OE，由
为等腰梯形，所以
，且
为
中点，
所以
，又
平面
，
∠PEO 为二面角P﹣AB﹣C 的平面角，
∴sin∠PE0＝
，∴∠PEO＝45°，
∴二面角P﹣AB﹣C 的平面角的大小为45°；
（3）连接MD，MB，MO，
∵PC⊥平面BMD，OM⊂平面BMD，
∴PC⊥OM，
在Rt△POC 中，PC＝PD＝
，OC＝1，PO＝
，
∴PM＝
，MC＝
，
∴
，
故λ＝
时，PC⊥平面BMD．
30．如图，在四棱锥A－BCDE 中，四边形BCDE 为菱形，
，
，AE＝AC，点G 是棱
AB 上靠近点B 的三等分点，点F 是AC 的中点．
(1)证明：
∥平面CEG．
(2)点H 为线段BD 上一点，设
，若AH⊥平面CEG，试确定t 的值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)0.
【详解】（1）证明：如图，取AG 的中点Ⅰ，记
，连接FⅠ，DⅠ，GO．
在△ACG 中，F，Ⅰ分别为AC，AG 的中点，所以
∥
，
同理，在△BDⅠ中，有
∥
，
因为
平面
，
平面
，
所以
∥平面
，
∥平面
，
因为
，
平面
，
所以平面
∥平面
，
又
平面ⅠFD，
所以
∥平面CEG．
（2）解：因为底面BCDE 是菱形，所以OC⊥OD．
因为AE＝AC，BC＝BE，所以△ABC≌△ABE，
则GC＝GE，
又因为点O 是EC 的中点，所以OC⊥OG．
因为
，
平面ABD，
所以OC⊥平面ABD，
因为
平面ABD，
所以OC⊥AG．
因为
，
，
所以
，
则
，
则
，所以BG⊥OG．
又因为
，
平面CEG，
所以AG⊥平面CEG．
若AH⊥平面CEG，则H 与B 重合．
故
．
31．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000 多年，在《九章算术》中，将
底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵（qiandu）；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于
底面的四棱锥，鳖臑（bienao）指四个面均为直角三角形的四面体.如图，三棱柱
，
平
面
，四棱锥
为阳马，且
，
分别是
，
的中点.
（1）求证：
平面
；
（2）在线段
上是否存在点
，使得
平面
？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）存在；
.
【详解】（1）取
中点
，连接
，
，
在
中，因为
，
分别是
，
中点，
所以
，且
，
在平行四边形
中，因为
是
的中点，
所以
，且
，
所以
，且
，
所以四边形
是平行四边形，
所以
，
又因为
平面
，
平面
，所以
平面
.
（2）在线段
上存在点
，使得
平面
，
取
的中点
，连
，连
，
因为
平面
，
平面
，
平面
，
所以
，
，
在
中，因为
，
分别是
，
中点，所以
，
又由（1）知
，所以
，
，
由
得
平面
，
故当点
是线段
的中点时，
平面
.此时，
.
【点睛】本题主要考查了线面平行的判断，以及线面垂直的证明，属于中档题.
08 面面垂直的探索性问题
32．在梯形
中，
．
为
的中点，
为
的中点．将
所在平面沿
翻折，使构成的四棱锥
体积最大．
(1)求证：
平面
；
(2)若
为
边的中点，能否在棱
上找到一点
，使平面
平面
?并证明你的结论．
【答案】(1)证明见解析；
(2)当
为
中点时，平面
平面
，证明见解析.
【详解】（1）因为
，又
为
的中点，
所以
为等边三角形，四边形
为菱形，所以
，
因为
为
的中点，所以
，所以
，即
连接
，所以
，
若使构成的四棱锥
体积最大，则
平面
，
因为
平面
，所以
，
因为
，
平面
，
平面
，
所以
平面
；
（2）当
为
中点时，平面
平面
.
取
中点为
，连接
，
，
，因为
为
边的中点，所以
，
因为
平面
，
平面
，所以
平面
，
又
，
，所以四边形
为平行四边形，所以
，
因为
平面
，
平面
，所以
平面
，
所以平面
平面
，
由（1）得
平面
，又
平面
，所以平面
平面
，
所以平面
平面
.
33．如图，在四棱锥
中，底面
是菱形，
，侧面
为正三角形，且平面
平面
．
(1)求证：
．
(2)若
为
中点，试在
上找一点
，使平面
平面
．
【答案】(1)证明见解析
(2)
为
的中点
【详解】（1）取
的中点
，连接
，
，
，
∵
，∴
．
在底面菱形
中，∵
，∴三角形
是等边三角形，则
，
由于
平面
，
所以
平面
，由于
平面
，所以
.
（2）
为
的中点，连接
交
于点
．连接
，
∵
，
，∴所以四边形
是平行四边形，
∴
为
的中点，则
．
∵平面
平面
且交线为
，
，
平面
，
∴
平面
，
则
平面
，
由于
平面
，
∴平面
平面
，
所以
是
的中点.
34．如图，四棱锥
中，
平面
，
，底面
是矩形，且
，
.
（1）求证：
平面
；
（2）求直线
与平面
所成的角的正弦值；
（3）在线段
上是否存在一点
，使得平面
平面
，若存在，求出点
的位置；若不存在，
请说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）
；（3）存在，
.
【详解】解：（1）证明：
平面
，故
，
又
，故
平面
.
（2）设点
到平面
的距离为，
由
知
，可得
，
所以直线
与平面
所成的角的正弦值是
.
（3）设
，在
上取点
，使
，
连接
，作
于点
，连接
，
由平面
平面
知
平面
，且
是直线
在平面
的射影，
所以
，所以
.
由
，得
，
所以
，故
，
所以当
时平面
平面
.
1．如图正三棱柱
底面边长为2，高为6，点
分别在棱
上，且
，若平面
恰好将正三棱柱
体积均分，则平面
和平面
夹
角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因为
，即
，
，
又平面
恰好将正三棱柱
体积均分，所以点
为
的中点，
延长
与
的延长线交于点
，延长
与
的延长线交于点
，连接
，
则
为平面
与平面
的交线，
因为
，
，
，
，
，
所以
，即
，解得
，所以
；
，即
，解得
，所以
，
在
中由余弦定理
，
所以
，
所以
，即
，
又
平面
，
平面
，所以
，
又
，
平面
，所以
平面
，
又
平面
，所以
，
所以
为平面
和平面
夹角，又
，
所以
，
即平面
和平面
夹角的余弦值为
.
故选：A
2．（ 2025·天津·一模）《九章算术》中记载了几何体“刍甍”，即“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无
广．刍，草也．甍，屋盖也．”译为：底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．现有一刍甍如
图所示，底面
为矩形，
且
为等边三角形，且平面
平面
，点
M 为棱
上靠近点E 的三等分点，平面
将几何体分成体积为
的左、右两部分，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为
，
所以可将刍甍补成如图所示的三棱柱
，取
中点
，连接
，
因为
是等边三角形，所以
，
又因为平面
平面
，平面
平面
，
平面
，
所以
平面
，
又
平面
，
所以
，
又因为
，
，
平面
，
所以
平面
，
所以三棱柱
是直三棱柱，
不妨设
的面积为，三棱锥
的体积为
，
从而
.
故选：D.
3．（多选）在正三棱台
中，
，
，
，
分别是
，
，
，
的中点，且
，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．
平面
C．
平面
D．若
，则
平面
【答案】ABD
【详解】由题意，可将正三棱台补为如图所示的正三棱锥
，
取
的中点
，连接
，则
.
又
，所以
平面
，因为
平面
，
则有
．A 正确.
因为
分别是
的中点，所以
，
又
平面
，
平面
，
平面
，即
平面
，故B 项正确．
对于选项C，假设
平面
，因为
平面
，
所以
与
垂直，而
是等边三角形，不垂直，所以C 不正确．
由
，知
，可设
，
则
，
，根据勾股定理
.
而
，故
，
又
，
，则
平面
，即
平面
，故D 正确．
故选：
.
4．（ 2025·吉林·模拟预测）（多选）如图，正方体
中，顶点A 在平面
内，其余顶点在
的同侧，
的交点为O，顶点
到
的距离分别为
，则（ ）
A．
平面
B．O 到平面
的距离为1
C．平面
平面
D．正方体的棱长为
【答案】BCD
【详解】对于A，因为
到
的距离分别为1，2，显然不相等，
所以
不可能与平面
平行，因此选项A 不正确；
对于B，
的交点为
，显然
是
的中点，
因为平面
，顶点
到
的距离为
，
所以
到
的距离为1，因此选项B 正确；
对于C，因为
到
的距离分别为，
到
的距离为，
因此
，即
，
设平面
，所以
，
因为
是正方形，所以
，
又因为
平面
平面
，所以
，
因为
平面
，所以
平面
，
因此有
平面
，而
，所以平面
平面
，因此选项C 正确；
对于D，设正方体的棱长为
，
因为平面
平面
，所以令平面
平面
，
因为平面
平面
，所以
在平面
的射影
与
共线，
显然，
，如图所示：
由
，
，
由
（负值舍去），
因此选项D 正确，
故选：BCD.
5．如图，点P 是正方体
的面对角线
上一点，对任意的点P，有以下四个结论：
①点P 到直线
的距离不变；②
平面
；③
；④平面
平面
．
其中正确结论的序号是 ．（写出所有你认为正确结论的序号）
【答案】②④
【详解】由图可知直线
与
是异面直线，又点
为直线
的动点，
所以点P 到直线
的距离会因点
的变化而变化，故①错误；
连接
，在正方体
中有
，
所以四边形
为平行四边形，所以
，
又
平面
平面
，所以
平面
，
同理
平面
，又
平面
，
所以平面
平面
，又
平面
，
所以
平面
，故②正确；
因为
，所以当点
为
的中点时，
，故③错误，
因为
平面
平面
，所以
，
又
平面
，
所以
平面
，连接
，又
平面
，所以
，
同理可证
，
又
平面
，所以
平面
，
又
平面
，所以平面
平面
，故④正确．
故答案为：②④.
6．如图所示，平面
为圆柱
的轴截面，C 为底面圆周上异于A，B 的任意一点.D 为
的中点.
(1)求证：
平面
；
(2)若C 为
的中点，且
，求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)证明过程见解析
(2)
【详解】（1）取
的中点
，连接
，
因
为
的中点，则在
中，
，且
，
又在圆柱
中，
，且
，
则
，
，故四边形
为平行四边形，则
，
又
平面
，
平面
，则
平面
.
（2）容易知，
平面
，则直线
与平面
所成角为
，
因C 为
的中点，故不妨设
，则
，
则在
中，
，则
，
故直线
与平面
所成角的正弦值为
.
7．如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为梯形，且
，
，等边三角形PCD 所在的
平面垂直于底面ABCD，
．
(1)求证：
面
．
(2)若直线PB 与平面ABCD 所成角的正切值为
，求二面角P-AB-D 的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）如图所示：
取CD 中点H，连接PH，
是等边三角形，
，
面ABCD⊥面PCD，且交线为CD，
面PCD，
，
面ABCD，
面ABCD，
，
又
平面
，
面PCD.
（2）连接BH，AH，过点H 作
，
面ABCD，所以直线PB 在底面ABCD 上的射影为直线BH，
直线PB 与面ABCD 所成的角为
，
设
，则
，
，
，
，
，
，
面ABCD，而
平面
，
，且
平面
，
面PHE，
面PHE，
，
为二面角P-AB-D 的平面角，
在
中，
，
解得
，
在
中，
，
，
所以二面角P-AB-D 的余弦值为
.
8．（ 2025·安徽合肥·模拟预测）如图，在等腰梯形
中，
，点
为
的中点，现将该梯形中的
沿线段
折起，形成四棱锥
，且直线
与平面
所成角的
正弦值为
.
(1)在四棱锥
中，求证：
；
(2)求点
到平面
的距离；
(3)求二面角
的大小.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
；
(3)
.
【详解】（1）在等腰梯形
中，连
，则四边形
为菱形，
连
交
于
，则
，
在四棱锥
中，
且都在平面
内，
平面
，
，则
平面
，
由
平面
，故
；
（2）设直线
与平面
所成角的大小为
，点
到平面
的距离为
，
则
，且
，所以
，
由
平面
平面
，则
平面
，
点
到平面
的距离等于点
到平面
的距离，距离为
；
（3）由（1）知
平面
且
平面
，所以平面
平面
，
平面
平面
，过
在平面
内作
垂直于
，垂足为
，
平面
，所以
，
在
中，
，所以
为
中点，易知
，
所以
，而
，
所以二面角
的平面角为
，大小为
.
1．（2024·北京·高考真题）如图，在四棱锥
中，底面
是边长为4 的正方形，
，
，该棱锥的高为（ ）.
A．1
B．2
C．
D．
【答案】D
【详解】如图，底面
为正方形，
当相邻的棱长相等时，不妨设
，
分别取
的中点
，连接
，
则
，且
，
平面
，
可知
平面
，且
平面
，
所以平面
平面
，
过
作
的垂线，垂足为
，即
，
由平面
平面
，
平面
，
所以
平面
，
由题意可得：
，则
，即
，
则
，可得
，
所以四棱锥的高为
.
故选：D.
2．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知正三棱台
的体积为
，
，
，则
与
平面ABC 所成角的正切值为（ ）
A．
B．1
C．2
D．3
【答案】B
【详解】解法一：分别取
的中点
，则
，
可知
，
设正三棱台
的为，
则
，解得
，
如图，分别过
作底面垂线，垂足为
，设
，
则
，
，
可得
，
结合等腰梯形
可得
,
即
，解得
，
所以
与平面ABC 所成角的正切值为
；
解法二：将正三棱台
补成正三棱锥
，
则
与平面ABC 所成角即为
与平面ABC 所成角，
因为
，则
，
可知
，则
，
设正三棱锥
的高为
，则
，解得
，
取底面ABC 的中心为
，则
底面ABC，且
，
所以
与平面ABC 所成角的正切值
.
故选：B.
3．（2023·全国乙卷·高考真题）已知
为等腰直角三角形，AB 为斜边，
为等边三角形，若二
面角
为
，则直线CD 与平面ABC 所成角的正切值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】取
的中点
，连接
，因为
是等腰直角三角形，且
为斜边，则有
，
又
是等边三角形，则
，从而
为二面角
的平面角，即
，
显然
平面
，于是
平面
，又
平面
，
因此平面
平面
，显然平面
平面
，
直线
平面
，则直线
在平面
内的射影为直线
，
从而
为直线
与平面
所成的角，令
，则
，在
中，由余弦定理得：
，
由正弦定理得
，即
，
显然
是锐角，
，
所以直线
与平面
所成的角的正切为
.
故选：C
4．（2025·天津·高考真题）正方体
的棱长为4，
分别为
中点，
．
(1)求证：
平面
；
【答案】(1)证明见解析
【详解】（1）法一、在正方形
中，
由条件易知
，所以
，
则
，
故
，即
，
在正方体中，易知
平面
，且
，
所以
平面
，
又
平面
，∴
，
∵
平面
，∴
平面
；
5．（2024·上海·高考真题）如图为正四棱锥
为底面
的中心．
(1)若
，求
绕
旋转一周形成的几何体的体积；
(2)若
为
的中点，求直线
与平面
所成角的大小．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）正四棱锥满足且
平面
，由
平面
，则
，
又正四棱锥底面
是正方形，由
可得，
，
故
，
根据圆锥的定义，
绕
旋转一周形成的几何体是以
为轴，
为底面半径的圆锥，
即圆锥的高为
，底面半径为
，
根据圆锥的体积公式，所得圆锥的体积是
（2）连接
，由题意结合正四棱锥的性质可知，每个侧面都是等边三角形，
由
是
中点，则
，又
平面
，
故
平面
，即
平面
，又
平面
，
于是直线
与平面
所成角的大小即为
，
不妨设
，则
，
，
又线面角的范围是
，
故
.即为所求.
6．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）如图，四棱锥
中，
底面ABCD，
，
．
(1)若
，证明：
平面
；
(2)若
，且二面角
的正弦值为
，求
．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）（1）因为
平面
，而
平面
，所以
，
又
，
，
平面
，所以
平面
，
而
平面
，所以
.
因为
，所以
， 根据平面知识可知
，
又
平面
，
平面
，所以
平面
．
（2）如图所示，过点D 作
于
，再过点
作
于
，连接
，
因为
平面
，所以平面
平面
，而平面
平面
，
所以
平面
，又
，所以
平面
，
根据二面角的定义可知，
即为二面角
的平面角，
即
，即
．
因为
，设
，则
，由等面积法可得，
，
又
，而
为等腰直角三角形，所以
，
故
，解得
，即
．
7．（2023·北京·高考真题）如图，在三棱锥
中，
平面
，
．
(1)求证：
平面PAB；
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为
平面
平面
，
所以
，同理
，
所以
为直角三角形，
又因为
，
，
所以
，则
为直角三角形，故
，
又因为
，
，
所以
平面
.
8．（2023·全国乙卷·高考真题）如图，在三棱锥
中，
，
，
，
，BP，AP，BC 的中点分别为D，E，O，
，点F 在AC 上，
.
(1)证明：
平面
；
(2)证明：平面
平面BEF；
(3)求二面角
的正弦值.
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3)
.
【详解】（1）连接
，设
，则
，
，
，
则
，
解得
，则
为
的中点，由
分别为
的中点，
于是
，即
，则四边形
为平行四边形，
，又
平面
平面
，
所以
平面
.
（2）法一：由（1）可知
，则
，得
，
因此
，则
，有
，
又
，
平面
，
则有
平面
，又
平面
，所以平面
平面
.
（3）过点
作
交
于点
，设
，
由
，得
，且
，
又由（2）知，
，则
为二面角
的平面角，
因为
分别为
的中点，因此
为
的重心，
即有
，又
，即有
，
，解得
，同理得
，
于是
，即有
，则
，
从而
，
，
在
中，
，
于是
，
，
所以二面角
的正弦值为
.
