文档文本内容
第04 讲 直线与圆、圆与圆的位置关系
目录
01 常考题型过关练
题型01 直线与圆的位置关系
题型02 圆的切线方程
题型03 圆的弦长和弦心距
题型04 直线与圆的应用
题型05 圆与圆的位置关系
题型06 圆的公共弦
题型07 圆的公切线
02 核心突破提升练
03 真题溯源通关练
01 直线与圆的位置关系
1．已知圆
，直线
，则直线与圆
的公共点个数
为（ ）
A．
个
B．个
C．
个
D．与
有关，不能确定
【答案】C
【分析】根据直线过定点
，且点
在圆
内，可得直线与圆相交，即可得解.
【详解】直线
，
即
，
令
，解得
，
即直线过点
，
又
，
则点
在圆
内，
所以直线与圆相交，有
个公共点，
故选：C.
2．直线
与圆
交于
两点，
，则
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】设
，联立方程组得出
，由平面向量数量积的坐标运算列出方程求解即
可．
【详解】设
，
由
得，
，则
，
，
由
得，
，
故选：B．
3．（多选）已知直线
，圆
，则（ ）
A．当
时，直线与圆
相离
B．当直线与圆
相切时，
的值为
C．圆心
到直线的距离的最大值是5
D．圆
与圆
外切
【答案】BD
【分析】求出圆心
到直线的距离与半径比较可判断A；根据相切结合点到直线的距离公式运算判断B；
求出圆心到动直线的最大距离即可判断C；根据两圆位置关系判断D.
【详解】直线的方程可化为
，所以直线过定点
；
圆
的标准方程为
，所以圆心
，半径
.
对于A，当
时，直线的方程为
，
圆心
到直线的距离
，所以直线与圆
相交，故A 错误.
对于B，当直线与圆
相切时，圆心
到直线的距离等于半径，
即
，解得
，故B 正确.
对于C，当过点
的直线与直线
垂直时，圆心
到该直线的距离有最大值5，
此时因为直线
的斜率为0，所以过点
的直线的斜率不存在.
因为直线的斜率为
，所以圆心
到直线的距离的取值范围为
，
即圆心
到直线的距离不存在最大值，故C 错误.
对于D，圆
的标准方程为
，所以圆心
，半径
.
因为
，所以圆
与圆
外切.故D 正确.
故选：BD.
02 圆的切线方程
4．过点
作圆
的切线，切点为
，则
的最小值为（ ）
A．
B．5
C．
D．
【答案】A
【分析】根据圆的标准方程得出圆心坐标与半径，再利用切线的性质得到
与
的关系，最后根据
的最小值求出
的最小值.
【详解】已知圆
的方程为
，可得圆心
，半径
.
因为PQ 为圆
的切线，所以
，
在
中，根据勾股定理可得
.
已知
，则
.
点
，根据两点间距离公式，可得
.
因为
，当且仅当
时，
，此时
取得最小值，
.
因为
，当
取最小值时，
，
则
.
的最小值为
.
故选：A.
5．（多选）已知圆
，P 是直线
上一动点，过点P 作直线PA，PB 分别与圆O 相
切于点A，B，则（ ）
A．圆O 与直线l 相离
B．
存在最小值
C．
存在最大值
D．存在点P 使得
为直角三角形
【答案】AB
【分析】求出圆心
到直线的距离判断A；利用切线长定理计算判断B；利用四边形面积求得
，借助
的范围求解判断C；根据
为直角三角形求得
，根据圆心到
直线的最小距离即可判断D.
【详解】圆
的圆心
，半径
，
对于A，点
到直线的距离
，故圆O 与直线l 相离，正确；
对于B，
，
当且仅当
时取等号，正确；
对于C，由
垂直平分
得，
，
则
，当且仅当
时取等号，
所以
不存在最大值，错误；
对于D，由A 可知，
，若
为直角三角形，则
，
从而
，又
，所以不存在点P 使得
为直角三角形，错误.
故选：AB
6．过点
作圆
的切线，则直线的方程为 .
【答案】
【分析】分类讨论，切线斜率是否存在，再利用
解方程.
【详解】当直线斜率存在时，设切线方程为
，即
，
则圆心
到切线的距离
，得
，
切线方程为
；
当直线斜率不存在时，直线方程为
，则圆心
到切线的距离
，故直线
不是切线.
故直线的方程为
.
故答案为：
.
7．已知圆
，点
，则经过点
且与圆
相切的直线方程为 .
【答案】
【分析】将点
坐标代入圆方程，验证点在圆上，由切线垂直于圆心和切点直线，求出直线斜率后写出直
线方程.
【详解】
，即
，
，
∵
，即点
在圆
上，
设切线为，则
，
，
∴
，
∴切线
，即
.
故答案为：
.
8．已知函数
，设曲线
在点
处的切线为l，若l 与圆
相切，则a 的值为 ．
【答案】
或
【分析】利用导数的几何意义求出切线方程，再由圆的切线性质列式求解.
【详解】依题意，
，
，
切线的方程为
，即
，
由与圆相切，得
，解得
或
，
所以a 的值为
或
．
故答案为：
或
03 圆的弦长和弦心距
9．已知圆O 的方程是
，则圆O 过点
的最短弦所在的直线方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】求出圆心，当过点
的直线与过点
的直径垂直时,与圆相交所得的弦长最短，两垂直直线
的斜率乘积等于
可求直线方程
【详解】
，圆心为
，
圆心与
连线所在直线斜率为：
，
因为
，
所以点
在圆内，
所以当过点
的直线与过点
的直径垂直时,与圆相交所得的弦长最短.
所以，最短弦所在的直线斜率
满足：
，所以，
由点斜式方程得，最短弦所在的直线为：
，
整理得：
故选：B
10．若直线
被圆
截得的弦长为
，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．
【答案】C
【分析】根据圆的方程求出圆心和半径，再根据直线截圆弦长公式求解参数
的值.
【详解】因为圆
，所以圆心
为
，半径为
.
设圆心到直线距离为：
.
因为直线与圆截得的弦长为
.
所以
.
解得：
.
故选：
.
11．已知直线
与圆
相交于A、B 两点，若
，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用几何法先求圆心到直线的距离
，由
即可求解.
【详解】由题意有圆心
到直线
的距离为
，
所以
，
又
解得
.
故选：C.
12．已知点M 为圆
与y 轴负半轴的交点，直线
与圆O 交于A，B 两点，则
面积的最大值为（ ）
A．3
B．
C．4
D．
【答案】B
【分析】注意到直线
过点C
，将直线与圆方程联立，设
，则
面积为
，然后由韦达定理可得面积关于k 的表达式，据此可得答案.
【详解】注意到直线
过点C
，将直线方程与
联立，
可得
，其判别式为
，
设
，则
.
又
，
，
则
，
当且仅当
时取等号.
故选：B
04 直线与圆的应用
13．一条东西走向的高速公路沿线有三座城市
，其中
在
正西
处，
在
正东
处，
台风中心在
城市西偏南
方向
处，且以每小时
的速度沿东偏北
方向直线移动，距台风
中心
内的地区必须保持一级警戒，则从
地解除一级警戒到
地进入一级警戒所需时间（单位：
小时）在以下哪个区间内（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据题意作出示意图计算从
地解除一级警戒到
地进入一级警戒台风的路程，然后计算时间即
可.
【详解】
作
与
，作
与
，
直线的方程为
，
故
又可得
，
，
，
从
地解除一级警戒到
地进入一级警戒所需时间为
小时.
故选：A
14．对于
，给出如下定义：若点
是边
上一定点，且以
为圆心的半圆满足：①所有点均在
的内部或边上；②半径最大．则称此半圆为
边上的点
关于
的最大内半圆．若点
是
边上一动点（
不与
重合），则在所有的点
关于
的最大内半圆中，将半径最大的内半圆
称为边
关于
的内半圆．已知，在平面直角坐标系
中，点
的坐标为
，点
在直线
上运动（
不与原点重合），将
关于
的内半圆半径记为
，当
时，点
的横坐
标的取值范围是（ ）
A．
或
B．
或
C．
或
D．
或
【答案】A
【分析】设点
坐标为
，分两种情况分类讨论，（1）点
在第一象限时，（2）点
在第三象限时，
分别求出的取值范围即可.
【详解】过点
作
，与直线
交于点
，
设点
是线段
上的动点，
（1）当点
在第一象限时，
（i）当点
在线段
上运动时（
不与
重合），
关于
的
内半圆是以
为圆心，分别与
相切的半圆，如图①所示，连接
，
因为点
在直线
上，
所以
,
当
时，则
，
，
所以
，即
点为
中点，
过
轴，则
交
轴于
点，
所以点
的横坐标
.
（ii）如图②所示，当点
与点
重合时，点
在
的角平分线上，
分别与
相切，即
，
，
所以点
的横坐标
.
所以当
时，的取值范围为
.
（iii）当点
在
的延长线上运动时，
关于
的
内半圆是以
为圆心，经过点
且与
相切的半圆，如图③所示，
所以当
时，的取值范围为
.
（2）当点
在第三象限时，
当点
在
的反向延长线上运动时（
不与
重合）,
关于
的
内半圆是以
为圆心，经过点
且与
相切的半圆，如图④所示，
因为
,
所以
.
当
时，过点
作
轴于点
，
是切点，连接
，
则
，
所以
，
在
中，
，
所以
，
因为
，
所以
相似
,
所以
，即
，解得
.
所以当
时，的取值范围为
.
综上所述，点
在直线
上运动时（
不与
重合），
当
时，的取值范围为
或
.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查了圆的切线和三角形的综合，解题的关键是画出图形，综合应用圆的
切线性质、相似三角形及三角函数的知识.
15．已知平面向量
满足
，且对任意的实数t，均有
则
的最小值为
【答案】
【分析】利用向量的坐标运算，再用数形结合思想求出最小值.
【详解】
如图，建立直角坐标系，记
，
因为
，所以点
，
作
，设其坐标为
，因为
，
所以点
在以点
为圆心，1 为半径的圆上，即
，
因为对任意的实数t，均有
，
所以
，
由于上式对任意的实数t 的一元二次不等式恒成立，
则
，即
，
设
又设
，则
，
整理得：
，所以可知点
在直线
上，
又因为点
在以点
为圆心，1 为半径的圆上，且
，
所以可以把
看成两动点
和
的距离，
显然距离最小值为圆心
到直线
的距离减去半径1，
而点
到直线
的距离
,
所以
，即
的最小值为3,
故答案为：3.
【点睛】关键点点睛：确定B，C 点轨迹解决问题的关键.
16．某高速公路隧道内设双行线公路，某截面由一段圆弧和一个长方形的三边构成，已知隧道总宽度
米，行车道总宽度
米，
和
为相对的两个车道，侧端面
米，弧
顶高
米.
(1)求圆弧所在圆的半径的长度；
(2)为进一步保证安全，要求行驶车辆的顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有
0.5 米，则该隧道应规定的车辆限制高度为多少米.
【答案】(1)半径为
；
(2)
3.5 米
【分析】（1）以
所在直线为
轴，以
所在直线为
轴，建立平面直角坐标系，设圆的方程为
，通过
，
在圆上，求出参数值，即可得到半径；
（2）设限高为，作
交圆弧于
，则
，将
的横坐标
代入圆的方程，求出
，然后求出限高．
【详解】（1）由题，设
，以
为原点，
所在直线为
轴，
所在直线为
轴，
建立如图所示的直角坐标系，
因为
，
和
为相对的两个车道，侧墙面
米，弧顶高
米，
则
，
，
，
易知圆心在
轴上，设圆的方程为
，
又
，
在圆上，则
，
解得：
，
，
所以，圆弧所在圆的半径为
；
（2）设限高为，作
交圆弧于
，则
，
由（1）知，圆的方程为：
，
将
的横坐标
代入圆的方程，
有
，解得：
或
（舍，
所以
，
即车辆通过隧道的限制高度是3.5 米．
17．规定：在桌面上，用母球击打目标球，使目标球运动，球的位置是指球心的位置．我们说球A 是指该
球的球心点A．两球碰撞后，目标球在两球的球心所确定的直线上运动，目标球的运动方向是指目标球被
母球击打时，母球球心所指向目标球球心的方向．所有的球都简化为平面上半径为1 的圆，且母球与目标
球有公共点时，目标球就开始运动．如图：在桌面上建立平面直角坐标系，设母球A 的位置为
（
R），目标球B 的位置为
，球
的位置为
，解决下列问题：
(1)如图①，若
，沿向量
的方向击打母球A，能否使目标球B 向球
的球心方向运动？判断并说明
理由；
(2)如图②，若
，要使目标球B 向球
的球心方向运动，求母球A 的球心运动的直线方程；
(3)如图③，若
，能否让母球A 击打目标球B 后，使目标球B 向球
的球心方向运动？判断并说明理
由．
【答案】(1)能使目标球B 向球
的球心方向运动，理由见解析
(2)
(3)不可能让母球A 击打目标球B 后，使目标球B 向
处运动，理由见解析
【分析】（1）根据点
在母球A 的球心运动的直线方程上，得到结论；
（2）得到A，B 两球碰撞时，球A 的球心在直线
上，且在第一象限，设
，得到方程组，
求出
，求出母球A 的球心运动的直线方程；
（3）由
得到
为锐角，从而得到点
到线段
的距离小于2，故球A 的
球心未到直线
上的点
之前就会与球B 碰撞．
【详解】（1）若
时，沿向量
的方向击打母球A，则
，而
，
所以
，即两向量同向共线，
所以沿向量
的方向击打母球A，能使目标球B 向球
的球心方向运动；
（2）若
，过点
与点
的直线方程为
．
依题意，知A，B 两球碰撞时，球A 的球心在直线
上，且在第一象限，
设A，B 两球碰撞时球A 的球心坐标为
，此
，
则有
，解得
，
即A，B 两球碰撞时球A 的球心坐标为
，
∴母球A 的球心运动的直线方程为
；
（3）若
，由（2）知
．又
，
∴
，
∴
，
故
为锐角．
∴点
到线段
的距离小于2，故球A 的球心未到直线
上的点
之前就会与球B 碰撞．
故不可能让母球A 击打目标球B 后，使目标球B 向
处运动．
05 圆与圆的位置关系
18．已知圆
与圆
，若圆C 完全覆盖圆
，
，则圆C 的半径的最小值为
（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】A
【分析】先判断圆
与圆
外切，依题意只需使所求圆的半径等于两圆半径之和即可.
【详解】依题意，圆
的圆心
，半径
，圆
的圆心
，半径为
，
则
，故两圆外切，
因圆C 覆盖圆
，
，所以圆
半径的最小值为
.
故选：A.
19．圆
与圆
的位置关系是（ ）
A．相切
B．外离
C．内含
D．相交
【答案】B
【分析】将两圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，根据圆心距与半径和差的大小关系判断圆与圆的
位置关系即可.
【详解】圆
即
，圆心为
，半径为；
圆
即
，圆心为
，半径为
；
圆心距为
，因为
，所以两个圆外离.
故选：B
20．已知动圆
与圆
内切，同时与圆
外切，则动圆
的圆心轨迹方程为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用两圆位置关系建立等式，再利用椭圆的定义求出轨迹方程.
【详解】圆
圆心
，半径
，圆
圆心
，半径
，
设动圆
的圆心
，半径，而
，点
在圆
内，
由动圆
与圆
内切，与圆
外切，得动圆
在圆
内，且
，
因此
，动圆圆心C 的轨迹为以
为左右焦点，
长轴长
的椭圆，半焦距
，短半轴长
，
所以动圆圆心C 的轨迹方程为
．
故选：D
21．已知圆
：
，圆
：
．
(1)证明：圆
与圆
相交；
(2)若圆M 经过圆
与圆
的交点，且圆心M 在y 轴上，求圆M 的方程．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
.
【分析】（1）求出两圆的圆心和半径，再求出圆心距即可推理得证.
（2）联立两个圆的方程求出交点坐标，结合已知求出圆的方程.
【详解】（1）圆
的标准方程为
，圆心
，半径
；
圆
的标准方程为
，圆心
，半径
；
于是
，即
，
所以圆
与圆
相交.
（2）由
，得
，
将
代入圆
得：
，当
时，
；当
时，
，
则圆
与圆
的交点为
，
，线段AB 的中点坐标为
，
而圆心M 在y 轴上，因此圆心M 为
，所以圆M 的方程为
.
22．
年是中国传统的农历“鼠年”，有人用个圆构成“卡通鼠”的形象，如图：
是圆
的
圆心，圆
过坐标原点
；点
均在
轴上，圆
与圆的半径都等于
，圆、圆
均与圆
外切．已
知直线过点
设该直线的斜率为
，若直线截圆
、圆、圆
所得弦长均等于
，则
．
【答案】
【分析】利用圆、圆
均与圆
外切，分别求出圆、圆
的方程，直线的方程为
，由
圆的弦长公式建立方程组，求解即得.
【详解】由题意可知，圆
的圆心为
，半径为3.
设圆的标准方程为
，圆心为
，半径为
因为圆与圆
外切，所以
，解得
，
根据对称性得圆、圆
的标准方程分别为
，
.
直线过点
，且与三个圆都相交，
设直线的方程为
，
且
存在，则三个圆心到该直线的距离分别为：
，
依题意，
，
可得
，解得
.
故答案为：
.
【点睛】方法点睛：
求出三个圆的圆心和半径，设出直线的方程，利用弦长相等，结合点到直线距离公式和弦长公式列等式
求
.
06 圆的公共弦
23．圆
与圆
的公共弦长为
，则
的值为（ ）
A．12 或4
B．12 或-4
C．16 或4
D．16 或-4
【答案】B
【分析】利用圆的方程求得公共弦所在直线方程，由点到直线的距离公式，求得弦心距，根据弦长公式建
立方程，求得参数，结合圆的方程成立条件检验，可得答案.
【详解】两圆方程作差可得
，即公共弦所在直线方程为
，
由圆
，则圆心
，半径
，
点
到公共弦所在直线的距离
，
公共弦长为
，则
，解得
或
，
由圆
，整理可得
，
则
，所以
或
.
故选：B.
24．已知圆
和圆
，则两圆的公共弦长为 .
【答案】
【分析】先求出相交两圆的公共弦所在直线方程，再求出圆心
到公共弦直线的距离，根据弦长公式
即可求得公共弦长.
【详解】
如图，由圆
与圆
相减，
整理可得两圆的公共弦所在直线方程为：
，
由圆
的圆心
到直线
的距离为
，
由弦长公式，可得两圆的公共弦长为
.
故答案为：
.
25．若圆
，与圆
相交于A，B，则公共弦AB 所在的直线方程为 ．
【答案】
【分析】因为
两点是两圆公共的交点，即满足两圆方程，联立求解即可求得直线方程.
【详解】由题意可知
两点均在两个圆上，即
两点均满足两圆的方程，
也即是两个圆方程共同的解，故联立两个圆方程，得
，解得
或
，
故
或
，
两种情况下公共弦
所在的直线方程均为
.
故答案为：
.
26．已知圆
与圆
相交于两点
，则四边形
的
面积等于 .
【答案】9
【分析】法一：准确画图，可得四边形
是边长为3 正方形，进而求得其面积；
法二：将两圆方程做差求相交弦方程，再应用弦心距、半径与弦长关系即可求得
，利用两点间距离公
式求得
，进而求得四边形
的面积.
【详解】由已知，圆
，圆
，
圆心
，半径
，圆心
，半径
，
法一：如图，准确画图，容易发现四边形
是边长为3 正方形，其面积为9；
法二：将两圆方程相减，可得公共弦
所在直线的方程为：
到
距离为
，所以
，即
，
又
，
所以，四边形
的面积
.
故答案为：9.
07 圆的公切线
27．圆
，若两圆的公切线恰有3 条，则
（ ）
A．4
B．6
C．16
D．36
【答案】C
【分析】根据有3 条公切线，得两圆外切，从而
，解出
的值即可.
【详解】因为
是圆，所以
，
因为两圆的公切线恰有3 条，所以两圆外切，
因为
，所以
，解得
，
故选：C.
28．已知圆
：
与圆
：
有两条公切线，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据两圆恰有两条公切线时两圆相交，即圆心距
满足
，列不等式即可
求出
的取值范围．
【详解】由圆
与圆
恰有两条公切线，得圆
与圆
相交，
而圆心
，半径
，圆心
，半径
，则
，
因此
，即
，解得
，
所以实数
的取值范围为
.
故选：C
29．已知直线与圆
和圆
均相切，则的方程为（）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】通过计算可知两个圆内切，故两圆相减得到的方程即为所求.
【详解】圆
的圆心为
，半径为
，
圆
的圆心为
，半径为
所以两个圆内切，因此与两圆均相切的直线为两个圆的公共弦所在的直线方程，
所以
整理得
，
故选：
.
30．圆
：
与圆
：
的内公切线长为（ ）
A．3
B．5
C．
D．4
【答案】D
【分析】在平面直角坐标系中作出两个圆，由图可知内公切线一条为
轴，求公切线的长即可.
【详解】如图：
由图可知圆
与圆
的内公切线有一条为
轴，
则公切线的长为
，
方法二：
，
所以内公切线的长为：
故选：D
1．若直线
与曲线
恰有两个公共点，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据半圆与直线的位置关系，求出切线斜率，数形结合得解.
【详解】由
得
，
直线
经过定点
，如图，
，
当直线与半圆相切时，
，
所以恰有两个公共点时，由图可知，
，
故选：D．
2．
已知点
，
，若圆
上存在点
满足
，
则实数
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由向量的加法运算和向量模的运算得
，所以点
是两圆的交点，由圆与圆的位置关系求
得
的最大值.
【详解】若
为坐标原点，则
，
所以
，
所以点
落在以原点
为圆心，以为半径的圆上，
又因为点
落在以
为圆心，以为半径的圆上，
所以点
是两圆的交点，即两圆有交点，
由圆与圆的位置关系得到
，解得
，
所以
的最大值为
.
故选：A.
3．
在平面直角坐标系
中，若圆
：
上任意一点关于原点的对
称点都不在圆
：
上，则的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】求出圆
关于原点的对称圆圆
的方程，分析可知，圆
与圆
无公共点，可得出关于的不
等式，结合
可求得的取值范围.
【详解】圆
：
关于原点的对称圆为
：
，
则
，
由已知得
与
无公共点，所以
或
，
所以
或
，解得：
或
，
又因为
，所以
，故C 正确.
故选:C.
4．已知圆
直线
，
，则下列说法错误的是（ ）
A．直线恒过定点
B．直线与圆
一定有公共点
C．当
时，圆
上恰有两个点到直线的距离等于1
D．圆
与圆
只有一条公切线
【答案】D
【分析】求出直线过的定点判断A；判断定点与圆的位置关系判断B；求出圆心到直线距离判断C；判断
圆与圆的位置关系判断D.
【详解】对于A，直线的方程为
，由
，得
，
直线过定点
，故A 正确：
对于B，
，又
，
即定点
在圆C 内，则直线与圆C 相交，有两个交点，故B 正确；
对于C，当
时，直线
，圆心
到直线l 的距离为
，
而圆C 半径为2，且
，因此恰有2 个点到直线的距离等于1，故C 正确：
对于D，圆
化为
，
圆
的圆心为
，半径为4，
两圆圆心距为
，所以两圆相交，
因此它们有两条公切线，故D 错误.
故选：D
5．
已知圆
和
，动圆
与圆
均相切，
是
的内心，且
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
或
D．
【答案】C
【分析】由两圆方程得圆
内含于圆
，由P 是
的内心，且
得
，动圆M 内切于圆
，分别讨论圆
内切、外切于动圆M，由圆心距得
，即可求解
【详解】圆
圆心
，半径
，圆
圆心
，半
径
，
由
，得
，是圆
内含于圆
，设圆M 的半径为r，
由P 为
的内心，设内切圆的半径为
，由
，
得
，整理得
，
当动圆M 内切于圆
，与圆
外切（
），则
，
，则
，
，因此a＝17；
当动圆M 内切于圆
，圆
内切于动圆M 时，则
，
，则
，
，得a＝19
所以a＝17 或19.
故选：C．
6．
（多选）如图，圆C 与x 轴相切于点
，与y 轴正半轴交于A，B 两点，且
，过
点A 任作一条直线与圆
相交于M，N 两点，则（ ）
A．圆C 的方程为
B．圆C 与圆
的相交弦所在直线方程为
C．
D．
【答案】AC
【分析】根据给定条件求出圆C 的方程判断A；求出两圆公共弦所在直线方程判断B；对圆
上任意点
，
求出
求解判断D.
【详解】设圆C 的方程为
，由圆C 与x 轴相切于点
，截
轴所得弦长为
，
得
，解得
，则圆C 的方程为
，A 正确；
依题意，点
在圆
内，圆C 与圆O 必相交，将两圆方程相减得相交弦所在直线方程
，
B 错误；
设
为圆O 上任意一点，而
，则
，
因此
，则
，
，C 正确，D 错误.
故选：AC
7．
（多选）已知直线
，其中
，点
是直线上的一个
动点.圆
，其中
，点
是圆
上的一个动点.则下列说法中正确的
是（ ）
A．当
，
时，圆心
到直线的距离为
B．当
，
时，
是坐标原点，则
的最小值为
C．当
时，不存在
，使圆
与直线相离
D．存在
，使对任意的
，圆
与直线均相切
【答案】ACD
【分析】利用圆心到直线的距离判断A，作点O 关于直线的对称点
，结合点与圆的位置关系利用几何法
求解最小值判断B，求出圆心
到直线的距离
，利用辅助角公式化简并利用正弦函数的性质求得
，与半径比较即可判断C，举例法当
时，求出圆心到直线的距离等于半径，即可判断D.
【详解】对于AB，当
，
时，直线
即
，
圆
即
，圆心
，半径为
，
则圆心
到直线的距离为
，故A 正确；
如图作点O 关于直线的对称点
，设
，则
，
解得
，所以
，则
，
所以
的最小值为
，故B 错误；
当
时，圆
即
，
圆心
，半径为
，
圆心
到直线的距离为
，
，其中
，
因为
，所以
，所以
，
所以
，所以
，
所以任意的
，
，
故当
时，任意的
，使圆
与直线相交，故C 正确；
当
时，圆
即
，
圆心
，半径为
，圆心
到直线的距离为
，
故当
时，对任意的
，圆
与直线均相切，故D 正确.
故选：ACD
1．（山东·高考真题）已知圆
截直线
所得线段的长度是
，则圆
与圆
的位置关系是
A．内切
B．相交
C．外切
D．相离
【答案】B
【详解】化简圆
到直线
的距离
，
又
两圆相交. 选B
2．（全国·高考真题）已知直线
和圆
相切，那么a 的值是（ ）
A．5
B．4
C．3
D．2
【答案】C
【分析】根据直线与圆相切可知圆心到直线的距离等于半径，列式即可得出a 的值.
【详解】由题可知圆心坐标为
，半径为2，列式可得
，
得
，
（舍去）
故选：C
3．（上海·高考真题）在平面直角坐标系中，已知关于点集
的两
个结论：
①存在直线l，使得集合
中不存在点在直线l 上，而存在点在l 的两侧；
②存在直线l，使得集合
中存在无数个点在直线上.
则下列判断正确的是（ ）
A．①成立，②成立
B．①成立，②不成立
C．①不成立，②成立
D．①不成立，②不成立
【答案】B
【分析】
对于①只需要找一条直线，使得一部分圆在直线的方程，余下圆在直线的下方即可.对于②从极限的思想考
虑.
【详解】对于①，取直线
,
则对于任意的
，有
，
故圆
均在直线
的下方，
而对任意的
，有
，
故圆
均在直线
的上方，
而当
时，
表示原点，它在直线
的下方，
故此时集合
中所有的点均不在直线
上，且存在点在直线
的两侧.
所以①成立.
对于②，设直线的方程为
，则圆心
到直线的距离为
当
时
所以直线只能与有限个圆相交，所以②不成立.
故选：B
4．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知直线
与
交于A，B 两点，写出满
足“
面积为
”的m 的一个值 ．
【答案】
（
中任意一个皆可以）
【分析】根据直线与圆的位置关系，求出弦长
，以及点
到直线
的距离，结合面积公式即可解出．
【详解】设点
到直线
的距离为
，由弦长公式得
，
所以
，解得：
或
，
由
，所以
或
，解得：
或
．
故答案为：
（
中任意一个皆可以）．
5．（天津·高考真题）已知两圆
和
相交于
两点，则直线
的方程是
．
【答案】
【详解】试题分析：
两圆为
①，
②，
可得
，所以公共弦
所在直线的方程为
．
考点：相交弦所在直线的方程
6．（北京·高考真题）圆
的圆心坐标是 ，如果直线
与该圆有公共点，
那么实数a 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由圆的标准方程即可求出圆心和半径；直线
与该圆有公共点，则圆心
到直线
的距离小于等于半径，即可求出实数a 的取值范围.
【详解】由
知圆的圆心坐标为
，
，
直线
与该圆有公共点，
则圆心
到直线
的距离小于等于半径，
所以
，化简得：
.
所以实数a 的取值范围是：
.
故答案为：
；
.
