文档文本内容
第02 讲 两条直线的位置关系
目录
01
考情解码・命题预警
2
02 体系构建·思维可视............................................................................................................................................3
03 核心突破·靶向攻坚............................................................................................................................................4
知能解码.............................................................................................................................................................4
知识点1 两条直线的位置关系........................................................................................................4
知识点2 直线的交点与方程组解的关系......................................................................................4
知识点3 距离公式...............................................................................................................................5
知识点4 对称问题...............................................................................................................................5
题型破译..................................................................................................................................................................... 5
题型1 直线的交点及其应用.............................................................................................................5
题型2 两条直线平行及其应用
.................................................................................................6
【方法技巧】斜率相等，截距不相等
【易错分析】易忽视掉两直线重合的情况
题型3 两条直线垂直及其应用........................................................................................................7
题型4 点到直线间的距离公式的应用..........................................................................................8
题型5 两条平行直线间的距离公式的应用
..........................................................................8
题型6 与距离有关的最值问题........................................................................................................9
【方法技巧】数学结合，利用距离的几何意义进行转化
题型7 点、直线的对称问题
.....................................................................................................9
04
题
真
溯源·考向
知
感
......................................................................................................................................... 10
05 课本典例·
考
高
素材......................................................................................................................................... 11
考点要求
考察形式
2025 年
2024 年
2023 年
（1）能根据斜率判定
两条直线平行或垂直．
（2）能用解方程组的
方法求两条直线的交点
坐标．
（3）掌握平面上两点
间的距离公式、点到直
线的距离公式，会求两
条平行直线间的距离．
单选题
多选题
填空题
解答题
天津卷，12 题，5
分
甲卷理科，第12 题，5
分
北京卷第3 题，4 分
新课标I 卷，第6 题，5
分
新课标II 卷，第15 题，5
分
考情分析：高考对两条直线的位置关系的考查比较稳定，考查内容、频率、题型难度均变化不大，备考时应熟练
掌握两条直线的位置关系、距离公式、对称问题等，特别要重视两条直线的位置关系以及点到直线的距离公式这
两个考点．
复习目标：
1.两条直线的位置关系
2.直线的交点与方程组解的关系
3.距离公式
4.对称问题
知识点1 两条直线的位置关系
直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0(其中l1与l3是同一直
线，l2与l4是同一直线，l3的法向量v1＝(A1，B1)，l4的法向量v2＝(A2，B2)的位置关系如下表：
位置关系
法向量满足的条件
l1，l2满足的条件
l3，l4满足的条件
平行
v1∥v2
垂直
v1⊥v2
相交
v1与v2不共线
自主检测判断下列各组直线的位置关系：
(1)
，
；
(2)
，
；
(3)
，
．
知识点2 直线的交点与方程组解的关系
(1)两直线的交点
点P 的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即点P 的
坐标是方程组的解，解这个方程组就可以得到这两条直线的 坐标.
(2)两直线的位置关系与方程组解的关系
方程组的解
一组
无数组
直线l1与l2的公共点的个数
一个
零个
直线l1与l2的位置关系
重合
自主检测直线
和
的交点坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
知识点3 距离公式
(1)两点间的距离公式
平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝ .
特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝ .
(2)点到直线的距离公式
平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0 的距离d＝ .
(3)两条平行线间的距离公式
一般地，两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)间的距离d＝ .
自主检测已知点
在直线
上，则
的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
知识点4 对称问题
(1)点P(x0，y0)关于点A(a，b)的对称点为P′ .
(2)设点P(x0，y0)关于直线y＝kx＋b 的对称点为P′(x′，y′)，
则有可求出x′，y′.
自主检测已知
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型1 直线的交点及其应用
例1-1 过直线
与
的交点，且一个方向向量
的直线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
例1-2 已知直线过直线
和
的交点，且与
平行，则的方程是
（ ）
A．
B．
C．
D．
方法技巧
判断两条直线位置关系的注意点
(1)斜率不存在的特殊情况.
(2)可直接利用直线方程系数间的关系得出结论.
【变式训练1-1】已知直线
．
(1)求经过点
且与直线
垂直的直线方程；
(2)求经过直线与
的交点，且在两坐标上的截距相等的直线方程．
【变式训练1-2】已知菱形
中，
，
，
边所在直线过点
，求：
(1)
边所在直线的方程；
(2)点
的坐标．
题型2 两条直线平行及其应用
例2-1“
”是直线
“
与
平行的（
”
）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
例2-2（多选）已知直线：
，
：
，点
在上，点
在
上，则
（ ）
A．
的最小值为
B．原点到
的距离的最大值为
C．
的充要条件为
D．
的充要条件为
或
方法技巧
三种常见的直线系
(1)与直线Ax＋By＋C＝0 平行的直线系方程为Ax＋By＋C1＝0(C≠C1)；
(2)与直线Ax＋By＋C＝0 垂直的直线系方程为Bx－Ay＋C1＝0；
(3)过直线A1x＋B1y＋C1＝0 与直线A2x＋B2y＋C2＝0 交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝
0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0).
易错分析
.两条直线平行时，不要忘记它们的斜率有可能不存在或则排除重合的情况的情况.
【变式训练2-1】已知直线
与直线
平行，则它们之间的距离是（ ）
A．
B．
C．2
D．
【变式训练2-2·变考法】已知直线经过点
，且与直线
平行，则直线的方程为 ．
【变式训练2-3·变载体】已知直线
与x 轴，y 轴分别交于点A，B，以线段AB 为边在第一象限
内作等边
，如果在第一象限内有一点
使得
和
的面积相等，则
．
题型3 两条直线垂直及其应用
例3-1 以
为端点的线段的垂直平分线的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
例3-2 设直线
，
，则
是
的（ ）
A．充要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
方法技巧
两条直线垂直时，不要忘记一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况
【变式训练3-1】（多选）下列说法正确的是（ ）
A．直线
必过定点
．
B．截距相等的直线都可以用方程
表示
C．直线
的倾斜角为
D．过点
且垂直于直线
的直线方程为
【变式训练3-2】已知
的顶点
．
(1)求边
上的高
所在直线的方程；
(2)求边
上的中线
所在直线的方程．
题型4 点到直线间的距离公式的应用
例4-1 已知直线l 过点
且倾斜角为
，则点
到直线l 的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
例4-2 若点
，
到直线
的距离相等，则
（ ）
A．4
B．
C．4 或
D．
或
方法技巧
利用距离公式应注意的点
(1)点P(x0，y0)到直线x＝a 的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b 的距离d＝|y0－b|.
(2)使用两条平行线间的距离公式前要把两条直线方程化为一般式且x，y 的系数对应相等.
【变式训练4-1】点
到直线
（
为任意实数）距离的最大值为（ ）
A．
B．1
C．
D．2
【变式训练4-2·变载体】已知实数
，满足
，
，
，则
的最小值是 ．
题型5 两条平行直线间的距离公式的应用
例5-1（2025·四川成都·模拟预测）已知直线
与直线
平行，则它们之间的距离
是（ ）
A．
B．
C．
D．
例5-2 已知实数
满足
，
， 则
的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
方
法技巧
两点间的距离，点到直线的距离以及两平行直线间的距离的计算，特别注意点到直线距离公式的结构．
【变式训练5-1】若两条不同的直线：
与直线
：
平行，则
的
值为（ ）
A．
B．1
C．
或1
D．0
【变式训练5-2】设直线
与
.
(1)若
，求、
之间的距离；
(2)当直线
与两坐标轴正半轴围成的三角形的面积最大时，求
的值.
题型6 与距离有关的最值问题
例6-1 点
到直线
的最大距离是（ ）
A．
B．2
C．
D．不存在
例6-2（2025·江苏南京·二模）已知
，则
的最小值为（ ）
A．2
B．1
C．
D．
方法技巧
数学结合，利用距离的几何意义进行转化
【变式训练6-1】已知点
在直线
上，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．3
D．
【变式训练6-2】（多选）已知直线
和两点
.在直线l 上有一点P，则
的最小值和
的最大值为（ ）
A．
的最小值为12
B．
的最小值为6
C．
的最小值为
D．
的最大值为2
题型7 点、直线的对称问题
例7-1 下列说法正确的是（ ）
A．直线
与两坐标轴围成的三角形的面积是4
B．点
关于直线
的对称点为
C．直线
关于直线
的对称直线的方程为
D．直线
关于点
的对称直线的方程为
例7-2 已知
在直线
上，则
的最小值为 ．
方法技巧
对称问题的求解策略
(1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解.
(2)中心对称问题可以利用中点坐标公式解题，两点轴对称问题可以利用垂直和中点两个条件列方程组解题.
【变式训练7-1】在等腰直角
中，
，点
是边
上异于端点的一点，光线从点
出发
经
、
边反射后又回到点
，若光线
经过
的重心，则
的面积等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练7-2】设入射光线沿直线
射向直线
，则被
反射后，反射光线所在的直线方
程是
【变式训练7-3】在平面直角坐标系xOy 中，将直线l 沿x 轴正方向平移3 个单位长度，沿y 轴正方向平移
5 个单位长度，得到直线l1.再将直线l1沿x 轴正方向平移1 个单位长度，沿y 轴负方向平移2 个单位长度，
又与直线l 重合.若直线l 与直线l1关于点（2，3）对称，则直线l 的方程是 .
1．（2024·北京·高考真题）已知
是平面直角坐标系中的点集.
设
是
中两点间距离的最大值，是
表示的图形的面积，则（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
2．（山东·高考真题）直线
关于点
对称的直线方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（新高考全国
卷
Ⅱ
·高考真题）抛物线
的焦点到直线
的距离为
，则
（ ）
A．1
B．2
C．
D．4
4．（全国·高考真题）和
夹角的平分线所在直线的方程为
，如果的方程是
(
)，那
么
的方程是( )
A．
B．
C．
D．
5．（全国乙卷·高考真题）双曲线
的右焦点到直线
的距离为 ．
1.已知点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，线段AB 的中点M 的坐标是
，求线段AB 的长．
2.分别求点
到下列直线的距离：
(1)
；
(2)
．
3.已知两条平行直线
与
间的距离为3，求C 的值．
4.判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标．
(1)
；
(2)
．
5.某地
两村在一直角坐标系下的位置分别为
，
，一条河所在直线l 的方程为
．在河边上建一座供水站
分别向
两镇供水，若要使所用管道最省，则供水站
应建在
什么地方?
6.求函数
的最大值．
7.已知直线
与圆
交于A，B 两点，过A，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C，
D 两点，若
，求
．
