专题07 解析几何
6 大考点概览
考点01 直线和圆的方程
考点02 椭圆
考点03 双曲线
考点04 抛物线
考点05 曲线与方程
考点06 直线与圆锥曲线
1．（2025·四川德阳·一模）点P是函数f (x)={
−x + 4
x , x>0
f (−x), x<0)
的图象上在y轴右侧任意一点，过P
作直线y =−x的垂线，垂足为M，过P作y轴的垂线与f (x)的图象交于另一点N，则⃗PM ⋅⃗PN =
.
2．（2026·四川遂宁·一模）求以抛物线x
2= 4 y的焦点F为圆心，F到直线x−y +3=0的距离为半
径的圆的标准方程为（ ）
A．x
2+( y −1)
2=2
B．(x −1)
2+ y
2=2
C．(x −1)
2+ y
2=8
D．x
2+( y −1)
2=8
3．（2025·四川凉山·一模）已知曲线C :( x −4)
2+ y
2=r
2(r >0)上存在点与P(−1,3)关于直线
l:(3m+2)x +(m−3) y −3m+9=0对称，则r 的取值范围为（ ）
A．[3,6)
B．[3,5)
C．[4,6)
D．[4,5)
4．（2025·四川达州·一模）已知圆O: x
2+ y
2= 4，若过点P(1,m)有且仅有两条直线被圆O所截得
的弦长为❑√11，则m的取值范围是（ ）
A．(−1
2 , 1
2 )
B．(−∞,−1
2 )∪( 1
2 ,+∞)
C．(−1,1)
D．(−∞,−1)∪(1,+∞)
5．（2026·四川巴中·一模）若直线x
a + y
b =1(a>0，b>0)是圆x
2+ y
2−2 x−2 y −7 =0的一条对
称轴，则4 a+b的最小值是 .
6．（2026·四川广安·一模）直线ax−2 y + ❑√5=0与圆x
2+ y
2=2相交于A ,B两点，且∠AOB =90
∘
考点1
直线和圆的方程
（O为坐标原点），则a= ．
7．（2025·四川成都·一模）已知直线2 x−y +5=0与圆x
2+ y
2=9相交于A，B两点，则线段AB中
点的坐标为 .
1．（2026·四川巴中·一模）已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F (❑√3,0)，离心率等于
❑√3
2
，则C
的方程是（ ）
A．x
2
3 + y
2
4 =1
B．x
2+ y
2
4 =1
C．x
2
4 + y
2
3 =1
D．x
2
4 + y
2=1
2．（2026·四川广安·一模）已知F1，F2
分别是椭圆C ：x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的左、右焦点，P是
椭圆C上一点．若P F2⊥F1 F2
，|P F1)=2|P F2)，则椭圆C的离心率为（ ）
A．
❑√2
2
B．
❑√3
3
C．1
2
D．1
3
3．（2026·四川内江·一模）已知P 为椭圆C : x
2
4 + y
2
b
2 =1(a>b>0)上的动点，A(−1,0),B(1,0)，
且| PA |+| PB|= 4，则b
2=（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
4．（2026·四川雅安·一模）（多选）已知椭圆 C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0) 的左、右焦点分别为
F1, F2，点P为C上异于长轴的顶点的一点，则下列说法正确的是（ ）
A．当 |P F1)+|P F2)
|F1 F2)
=2 时，椭圆C的离心率为1
2
；
B．当△P F1 F2的面积的最大值为2时，椭圆C的长轴长的最小值为4；
C．已知 A(a,0),B(0,b),O(0,0)，当点P位于第一象限时，四边形OAPB的面积的最大值
为
❑√2
2 ab；
考点2
椭圆
D．已知 B(0,b), E(0,−b)，则直线PB与直线PE的斜率之积为b
2
a
2
.
5．（2026·四川遂宁·一模）（多选）已知圆O: x
2+ y
2=2经过椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的左、
右两个焦点F1, F2．A为C的右顶点，B为O与C在x轴上方的公共点，且△B F1 F2的面积为2，点
P为C上与点A ,B不重合的动点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，则（ ）
A．椭圆C的离心率为
❑√3
3
B．坐标原点O 到直线AB 的距离为2❑√3
3
C．△F1 AP面积的最大值为1+ ❑√2
D．|AN )⋅|BM )= 4 ❑√2
6．（2025·四川成都·一模）已知椭圆C：x
2
a
2 + y
2
b
2 =1（a>b>0）的右顶点为(5,0)，离心率为4
5
，
左、右焦点分别为F1、F2，P为椭圆C上不同于左、右顶点的任意一点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)求⃗P F1⋅⃗P F2
的取值范围.
1．（2026·四川攀枝花·一模）若双曲线C : x
2−y
2
b
2 =1(b>0)的一条渐近线平行于直线y =2 x−1，
则双曲线C的焦距为（ ）
A．2
B．4
C．❑√5
D．2❑√5
2．（2026·四川雅安·一模）已知方程x
2
m −
y
2
m+1 =1表示焦点在x 轴上的双曲线，则其离心率的取
值范围为（ ）
A．(1,2)
B．(1,❑√2)
C．(❑√2,+∞)
D．(2,+∞)
考点3
双曲线
3．（2025·四川达州·一模）已知双曲线x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的一条渐近线与直线bx +ay +a=0
垂直，则其离心率为（ ）
A．❑√2
B．❑√3
C．2
D．❑√5
4．（2025·四川眉山·一模）设双曲线C : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的左､右焦点分别为F1, F2
，过F2
的直线与C的右支相交于A，B两点，若|AB)= 4 a,∠F1 AB =90
∘，则C的离心率为（ ）
A．
❑√10
2
B．
❑√5
2
C．2
D．3
5．（2026·四川巴中·一模）（多选）已知双曲线 x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0) 的两条渐近线分别为
l1,l2, P 为双曲线上一点，则（ ）
A．b
a
越大，则双曲线的离心率越大
B．过点P与双曲线仅有一个交点的直线只有一条
C．点P到两渐近线的距离之积为定值
D．过点P作双曲线的切线交渐近线于M , N两点，则P为MN的中点
6．（2025·四川成都·一模）（多选）已知点P为双曲线C : x
2−y
2
3 =1右支上一点，F1, F2分别为其
左、右焦点，l1，l2为双曲线C的两条渐近线，过点P分别作PA ⊥l1，PB⊥l2，垂足依次为A ,B，
过点P作PM //l2交l1于点M，过点P作PN //l1交l2于点N ,O为坐标原点，则下列结论正确的是
（ ）
A．|P F1)
|P F2)
的最大值为3
B．Δ F1 P F2的内心I到y轴的距离为1
C．|PM )⋅|PN )= 3
4
D．|MN )≥❑√3
7．（2025·四川凉山·一模）设双曲线C : x
2
4 −y
2
4 =1的右焦点为F，过F 作C 的一条渐近线的垂线，
垂足为H，则|FH )= ．
8．（2025·四川德阳·一模）椭圆的长轴顶点是双曲线的焦点且椭圆的焦点是双曲线的顶点，椭圆
的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，则2e1+e2的最小值是 .
1．（2025·四川成都·一模）已知O为坐标原点，F是抛物线C : y
2=8 x的焦点，P为C上一点，若
∠PFO =π
2
，则|PF )=（ ）
A．8
B．6
C．4
D．2
1．（2025·四川达州·一模）（多选）已知点P(x , y)为曲线C : x
2+ y
2=e
x上一动点，A (1,0)，下列
说法正确的是（ ）
A．曲线C关于x轴对称
B．曲线C与x轴有且仅有一个交点
C．O为坐标原点，|OP)≥1
D．以PA为直径且与y轴相切的圆有4 个
2．（2026·四川巴中·一模）（多选）中国结是一种传统的民间手工编织工艺品，带有浓厚的中华
民族文化特色，它隐藏着复杂、优美、奇妙的曲线．用数学的思维可以将其还原成单纯的二维线条．
在平面直角坐标系中，把到两个定点F1(−a,0)，F2(a,0)距离之积等于a
2（a>0）动点轨迹称为
双纽线C．双纽线像数字“8”，不仅体现了数学的对称、和谐、简洁、统一美，同时也具有艺术美，
是形成其他一些常见漂亮图案的基石，也是许多设计者设计作品时采用的主要几何元素．已知点
“
”
P(x0, y0)在双纽线C上，则下列结论正确的是（ ）．
A．双纽线C方程：(x
2+ y
2)
2=2a
2(x
2−y
2)
B．−a
2 ≤y0≤a
2
C．双纽线C上满足|P F1)=|P F2)的点P有两个
D．|PO)的最大值为❑√2a
3．（2025·四川眉山·一模）卡西尼卵形线是由到两个定点（叫做焦点）距离之积为常数的所有点
连接形成的图形，设一条卡西尼卵形线R方程为y
2=
❑√4 x
3+1−x
3−1
，其两焦点直角坐标系坐标
考点4
抛物线
考点5
曲线与方程
为F1(1,0)和F2(−1,0)，动点P是R上一点，则| P F1|+| P F2|最小值为 .
4．（2026·四川雅安·一模）在数学史上，平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称为卡
西尼卵形线，如图所示的曲线C为卡西尼卵形线且过坐标原点O，其中两定点为F1(−2,0)，
F2(2,0)，曲线C上点P在第一象限内且满足△P F1 F2的面积为2，则|P F1)
2−|P F2)
2=
5．（2026·四川广安·一模）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)
的曼哈顿距离定义为
“
”
||PQ))=|x1−x2)+|y1−y2)．满足||OP))=2的动点P的轨迹围成的图形面积
为 ；已知点M在直线y =e x−1上，点N在函数y =e
x的图象上，||MN ))的最小值为
．
1．（2026·四川巴中·一模）两直线 y =kx 和 y =−1
k x 分别与抛物线 y
2= 4 x 相交于不同于原
点的 A ,B 两点， 则直线 AB 恒过的点是（ ）
A．(1,0)
B．(2,0)
C．(3,0)
D．(4,0)
2．（2025·四川成都·一模）已知椭圆E: x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的离心率为❑√3
2
，左、右顶点分别为
A1
，A2
，且|A1 A2)= 4.
(1)求椭圆E的方程；
(2)若直线l: x−2 y −1=0与E相交于P，Q两点，求⃗A1 P⋅⃗A1Q的值.
考点6
直线与圆锥曲线
3．（2025·四川达州·一模）已知抛物线C : x
2=2 py ( p>0)在点A(m, m
2
2 p)(m>0)处的切线为l，当
m=2时，l的斜率为1．
(1)求抛物线C的方程；
(2)点A关于y轴对称点为A
′，抛物线C的焦点为F，过F且平行于l的直线与抛物线C交于B , D两点，
直线A
′ B与A
′ D的斜率和是否为定值．若是，求出该值；若不是，请说明理由．
4．（2026·四川宜宾·一模）已知双曲线C : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的离心率为❑√2，左､右焦点分别
为F1､F2，焦点F2到渐近线的距离为1.经过点F1且倾斜角为θ的直线l与双曲线C的左支交于A､B 两
点（其中点A 在x 轴上方）.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)将平面xOy沿x 轴折叠，记y 轴正半轴和x 轴所确定的半平面（平面A F1 F2）与y 轴负半轴和x
轴所确定的半平面（平面B F1 F2）所成的二面角为α.
（i）如图1，当α =π
2 ,θ =π
3
时，求折叠后|A F1)+|B F1)−|AB)的值；
（ii）如图2，当α =π
3
时，求折叠后的线段AB长度的取值范围.
5．（2026·四川巴中·一模）已知动点 C (x , y) 与定点 F (2,0) 的距离和 C 到定直线 l: x = 4 的
距离之比是常数
❑√2
2
.
(1)求点 C 的轨迹 E ；
(2)M 、 N 为轨迹 E 上不同的两点，
若直线
①
MN 斜率存在且过点 P(1,0) ， A (−2❑√2,0) ，直线 x =1 分别与直线 AM ， AN
交于点 B , D ,|PB)⋅|PD) 是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由.
若
②
OM ⊥ON ，求
1
|OM ) +
1
|ON ) 的最大值与最小值.
6．（2026·四川雅安·一模）已知曲线C上的动点Q满足⃗AQ⋅⃗BQ =0，其中A (−1,0)，B (1,0)，抛
物线E: y
2=2 px ( p>0)的焦点为F，点M在抛物线E的准线l上，线段MF与抛物线E交于点N，
|MN )= ❑√2|NF)，|MF)=2❑√2.
(1)求曲线C的方程和抛物线E的方程；
(2)点P(x0, y0)(x0>1)是抛物线E上的动点，过点P作曲线C的两条切线分别与l交于S ,T两点，求
△PST的面积的最小值及此时点P的坐标.
7．（2026·四川巴中·一模）若点A，B是曲线C上相异的两点，且直线AB的斜率为k，则称点A，
B是C (k )斜率相关的．已知抛物线C：x
2=2 py（p>0），点P1(−2,1)在抛物线上，点Pn(xn, yn)
与点Qn(an,bn)是C (k )斜率相关的，点Qn
与点Pn+1
是C (−k )斜率相关的，其中k为常数且k >0，记
直线Pn Pn+1的斜率为kn．
(1)设O为坐标原点，若k =1，求△O P1Q1的面积．
(2)对任意的正整数n，an
kn
是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
(3)设Sn
为数列{
1
knkn+1)
的前n项和，若对任意的正整数n，都有Sn> 1
4
，求实数k的取值范围．
8．（2025·四川凉山·一模）法国数学家加斯帕尔·蒙日被称为画法几何的创始人，他发现：与椭
“
”
圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，我们通常称这个圆为该椭
圆的蒙日圆，已知椭圆C1: x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的蒙日圆半径为❑√7，离心率为1
2
．
(1)求椭圆C1的标准方程．
(2)已知点P 是抛物线C2: y
2= 4 x的准线上任意一点，过P 作C2
的两条切线PA，PB，其中A，B 为
切点．
（
）证明：直线
ⅰ
AB 过定点；
（
）若直线
ⅱ
AB 与C1
交于C，D 两点，记S1
，S2
分别是△PAB，△PCD的面积，求S1
S2
+ S2
S1
的取
值范围．
9．（2026·四川遂宁·一模）已知双曲线C : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0), F1, F2
分别是C的左、右焦点．
F1
在直线x−4 y + 4 =0上，且F1
到其中一条渐近线的距离为2❑√3.抛物线E：y
2=2 px( p>0)上的
一个动点H到D (0,4)的距离与点H到E的准线的距离之和的最小值为4 ❑√2.
(1)求C的方程和E的方程；
(2)若过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A ,B两点，与E交于P ,Q两点.问是否存在常数λ，使
得3
|AB) −2 λ
|PQ)为定值？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．
