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专题04 等式与不等式性质、一元二次不等式
（核心考点精讲精练）
【备考策略】1.梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质
2.能够利用不等式的性质解决有关问题
3.会结合一元二次函数的图象,判断一元二次方程实根的存在性及根的个数
4.能借助一元二次函数求解一元二次不等式:并能用集合和区间表示
5.借助一元二次函数的图象,了解一元二次不等式与相应函数方程的联系
知识讲解
1. 等式的性质
性质1 如果
，那么
；
性质2 如果
，
，那么
；
性质3 如果
，那么
；
性质4 如果
，那么
；
性质5 如果
，
，那么
；
1
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2. 作差法比较大小关系
3. 不等式的性质
性质1 对称性
性质2 传递性
性质3 可加性
性质4 可乘性
性质5 同向可加性
性质6 同向同正可乘性
性质7 可乘方性
性质8 可开方性
若a＞b＞0，m＞0，则＜；＞，(b－m＞0)；＞；＜，(b－m＞0)．
4. 二次函数的图象与性质
函数图象
开口方向
向上
向下
对称轴方程
最值
5. 一元二次方程求根公式及韦达定理
一元二次方程求根公式
的根为：
韦达定理（根与系数的关系）
2
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的两根为
，
；则
6. 解一元二次不等式
“三个二次”：一元二次不等式与一元二次方程及二次函数的联系
判别式
一元二次方程
的根
有两个不等实根
，
（设
）
有两个相等实根
无实数根
二次函数
的图象
的解集
的解集
∅
∅
ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立的充要条件是：a＞0 且b2－4ac＜0(x∈R)．
ax2＋bx＋c＜0(a≠0)恒成立的充要条件是：a＜0 且b2－4ac＜0(x∈R)．
7. 解分式不等式
①
②
③
④
例题：
3
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8. 解单绝对值不等式
或
的解集为：
考点一、由不等式性质判断式子大小关系
1．（2023·山东枣庄·统考模拟预测）若
，
，
，且
，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2023·辽宁葫芦岛·统考一模）若a，b，c 为实数，且
，
，则下列不等关系一定成立的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
1．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）下列不等式正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，
，则
4
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D．若
，
，
，且
，则
2．（2023·广东广州·广州市第二中学校考模拟预测）若
，则下列结论中不正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2023·湖南永州·统考三模）已知
，下列命题为真命题的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
4．（2023·吉林·统考模拟预测）已知实数
满足
，则下列不等式一定成立的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
考点
二
、由不等式范围求解不等式范围
1．（2023·江苏南通·模拟预测）已知
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
1．（2023·全国·高三专题练习）已知
，
，且满足
，则
的取值范围是？
考点三、
作差法或作商法比较式子大小关系
1．（2023·全国·高三专题练习）比较
与
的大小．
5
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1．（2023·全国·高三专题练习）设
，比较
与
的大小
2．（2023·全国·高三专题练习）已知
，
，试比较
与
的值的大小.
考点
四
、由不等式性质证明不等式
1．（2023·全国·高三专题练习）已知
，求证
.
1．（2023·全国·高三专题练习）证明命题：“若在
中
分别为角
所对的边长，则
”
考点
五
、解不含参的一元二次不等式
及分式不等式
1．（2023·全国·高三专题练习）求下列不等式的解集：
（1）
；
（2）
1．（2023·全国·高三专题练习）解下列不等式：
(1)
(2)
(3)
(4)
2．（2023·全国·高三专题练习）解关于
的不等式
．
考点
六
、解含参的一元二次不等式
6
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1．（2023·全国·高三专题练习）解关于x 的不等式
.
1．（2023·全国·高三专题练习）解关于
的不等式
.
2．（2023·全国·高三专题练习）解下列关于
的不等式
．
考点
七
、一元二次不等式在对应区间的恒成立和有解问题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知关于
的不等式
.若不等式对于
恒成立，求
实数x 的取值范围
2．（2023·全国·高三专题练习）已知
.
（1）不等式
恒成立，求实数a 的取值范围；
（2）若不等式
有解，求实数a 的取值范围.
1．（2023·全国·高三专题练习）当
时，不等式
恒成立，求
的取值范围．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
.
（1）若对于任意
恒成立，求实数
的取值范围；
（2）若对于任意
恒成立，求实数
的取值范围；
（3）若对于任意
成立，求实数
的取值范围.
考点
八
、多选题综合
1．（2023·全国·高三专题练习）已知关于x 的一元二次不等式
的解集中有且仅有2 个整数，
则实数m 的值可以是（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
2．（2023·全国·模拟预测）已知实数
，则下列不等式正确的是（ ）
7
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A．
B．
C．
D．
1．（2023·全国·高三专题练习）已知关于x 的不等式
的解集为
，则（ ）
A．
B．不等式
的解集是
C．
D．不等式
的解集为
2．（2023·山东·校联考二模）已知实数
满足
，且
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2023·全国·高三专题练习）若
对任意
恒成立，其中
，
是整数，则
的可能取值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【基础过关】
1．（2023·辽宁丹东·统考二模）不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
或
，
2．（2023·山东枣庄·统考模拟预测）若
，
，
，且
，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2023·辽宁鞍山·鞍山一中校考二模）若对任意的
恒成立，则m 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）下列不等式正确的是（ ）
A．若
，则
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B．若
，则
C．若
，
，则
D．若
，
，
，且
，则
5．（2023·辽宁沈阳·统考三模）不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2023·辽宁·朝阳市第一高级中学校联考三模）命题“
，
”为真命题的一个必要
不充分条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2023·山东潍坊·统考一模）“
”是“
，
成立”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
二、多选题
8．（2023·河北·统考模拟预测）已知
，则下列不等式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（2023·山东·校联考二模）已知实数
满足
，且
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2023·湖南长沙·长郡中学校考二模）已知实数
满足
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【能力提升】
1．（2023·海南海口·海南中学校考二模）设
，则“
且
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．（2023·广东广州·广州市培正中学校考模拟预测）已知
，则
是
的（ ）
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
9
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C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
3．（2023·湖北·校联考模拟预测）已知
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
二、多选题
4．（2023·山西·校联考模拟预测）已知
，
，则下列不等式成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2023·湖南永州·统考三模）已知
，下列命题为真命题的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
6．（2023·吉林·统考模拟预测）已知实数
满足
，则下列不等式一定成立的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2023·河北衡水·模拟预测）已知
，则下列不等式一定成立的有（ ）
A．
B．
C．
D．
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