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第三章 一元函数的导数及其应用（综合训练）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知函数 ，则曲线 在点 处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】曲线 的导数 ，则在 的切线斜率为 ，
由点斜式求得切线方程为 ，
化成一般式为 .
2．如图，直线 和圆 ，当 从 开始在平面上按顺时针方向绕点 匀速转动（转动角度不超过 ）时，
它扫过的圆内阴影部分的面积 是时间 的函数．这个函数的图象大致是（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【详解】根据题意，可得面积 随着 的增大而增加，所以函数 为单调递增函数，
且增长趋势先慢后快，过圆心后逐渐变慢，即函数图象的变化率先变大在变小，
结合选项，可得选项D复合题意.
故选：D.
3．已知 ，则函数 的单调递增区间为（ ）
A． B．R C． D．
【答案】B
【详解】令 ，则 ，得 ，即 ，
则函数定义域为R且 ，所以函数 在R上单调递增.
函数 的单调递增区间为R.
故选：B.
4．已知函数 ，则 的值为（ ）
A． B．5 C． D．
【答案】C
【详解】 ，
故 ，
所以 ．
5．（ 2026·江苏南京·三模）已知 ，则 的解是（ ）
A． B．
C． D．【答案】B
【详解】 分情况讨论不等式 的解：
当 时， ，不等式 ，
与前提 矛盾，故此时不等式无解；
当 时， ，对其求导得 .
当 时， ，即 在 上单调递增.
又 ，
因此 .
综上， 的解为 .
将 代入得 ，解得 ，即 .
6．已知函数 的极小值点为3，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】因为 ，
所以 ，
令 ，解得 或 ，
当 时， ，
此时当 时， ；当 时， ；
当 时， ；
所以函数在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，
所以函数在 处取极小值，不满足题意；
当 时， ，
函数在R上单调递增，不存在极小值，不满足题意；
当 时， ，当 时， ；当 时， ；
当 时， ；
所以函数在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，
且函数的极小值点为3，所以 ，
所以 ，
所以函数在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，
又 ， ，
所以 的解集为 .
7．已知函数 ， ，若 ，使得 成立，则实数
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意， 在 上的最大值不大于 在 上的最大值.
对 ：因为 ，所以 ，
由 ，
所以函数 在 上单调递增，
又 ，所以 在 上单调递增，所以 在 上的最大值为 .
对 ：当 时， ，因为 ，故 满足题意；当 时，因为 的对称轴为 ，所以 在 上单调递增，所以 在 上的最大值为
，
由 .所以 ；
当 时， 在 上单调递减，所以 在 上的最大值为 ，
由 ，结合 得 .
综上可知，实数 的取值范围为 .
8．【新考法】已知函数 为指数函数，且满足以下条件：① 且x≠y，都有
；②函数 的图象关于直线 对称，且方程 有且仅有两
个实数解.则函数 的解 析式可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】选项A： 且 ，都有 ，
则可说明 为R上的单调递增函数，由于 在R上单调递减，不符合题意，排除；
选项B： 不是指数函数（指数函数要求指数为自变量 、定义域为 ），且 时函数单调递
减，不满足条件①，排除；
选项CD中函数均为R上的单调递增函数，
由于 互为反函数，它们的图象关于直线 对称，
故若 的图象有交点，则交点必在直线 上，
选项C：对于 ，令 ，则 ，该函数在R上单调递增，
由 ，得 ，
当 时， ， 在 上单调递减，
当 时， ， 在 上单调递增，
则 ，则 无零点，即 无实数解，不符合题意，C错误；
选项D：对于 ，令 ，则 ，该函数在R上单调递增，
由 ，得 ，
当 时， ， 在 上单调递减，
当 时， ， 在 上单调递增，
则 ，
当 时， ，当 时， ，
则 有两个零点，即 有且仅有两个实数解，符合题意，D正确.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 的极值点为
B． 的极值点为1
C．直线 是曲线 的一条切线
D． 有两个零点
【答案】BC
【详解】对A：因为 ，所以 ，
令 ，得 ；令 ，得 ，
所以 在 上单调递减；在 上单调递增.
可知 在 处取得唯一极小值，也是 的最小值，
所以 的极值点为 ，故A错误，B正确；
对C：因为 ， ，
所以 在 处的切线方程为 ，即 ，故C正确．
对D：因为 ， ，结合 在 上的单调性，
可知 是 在 上的唯一零点；
当 时， 恒成立，故 恒成立，
所以 在 上没有零点；
综上： 只有一个零点，故D错误．
故选：BC.
10．已知函数 ，则（ ）
A．当 时，函数 有最大值
B．若函数 图象的对称中心为 ，则
C．函数 在 上一定存在减区间
D．函数 可能有2个零点
【答案】BC
【详解】对于A，当 时， ，
当 时， 在 上单调递增，
当 无限趋于正无穷大时， 也无限趋于正无穷大，所以 没有最大值，故A错误；
对于B，法一： ，令 ，则 ，
结合三次函数对称性可知， ，所以 ，故B正确；
法二：若函数 图象的对称中心为 ，则对任意实数 ，恒有 ，
代入化简得 ，解得 ，故B正确；
对于C， ，令 ，
解得 或 ，
当 时 ，所以 在 上单调递减，故C正
确；
对于D， ，令 ，又 ，
所以 有两个不为0的根，所以 有3个零点，故D错误.
11．【新定义】若m，n分别是函数 ， 的零点，且 ，则称 与 互为“零点相邻
函数”.已知 与 互为“零点相邻函数”，则a的取值可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【详解】 定义域为 ， ，
则 在 上单调递增，注意到 ，则 有唯一零点1.
定义域为R，由“零点相邻函数”定义，
存在 ，使 ，且 为 零点.
若 ， ，这显然不可能.
则 ， .
令 ， .
令 ， ，
则 在 上单调递增，在 上单调递减，从而 ，
且当 时， ，
故 时，可满足题意.则选项ABC满足题意.
故选：ABC
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知0不是函数 （ 为常数）的极值点，则 ___________．
【答案】
【详解】由题设 ，
令 ，
因为0不是函数 （ 为常数）的极值点，
故 在 的左侧附近， ,在 的右侧附近， .故 ，所以 ，
此时 ，
当 时， ， ，故 ，则 ，
当 时， ， ，故 ，则 ，
满足0不是函数 （ 为常数）的极值点，
综上， .
13．（ 2026·江苏无锡·三模）已知函数 ，其中 是自然对数的底数，若
，则实数 的取值范围是__________.
【答案】
【详解】函数 的定义域为 ，关于原点对称，
因为 ，
所以 是 上的偶函数，
因为，当 时， ，
由于 时 ，
所以 ，即 在 上单调递增；
结合偶函数性质， 在 上单调递减，且满足
因为 ，
所以 等价于 ，
因为 在 上单调递增，
所以 等价于 ，
当 时，不等式化为 ，即 ，
其判别式 ，不等式恒成立，故 ；
当 时，不等式化为 ，即 ，
因式分解得 ，解得 或 .
综上，实数 的取值范围是
14．【新角度】已知球 的表面积为 ，直四棱柱 的顶点均在球 的球面上，则该直四棱柱的体积的最大值为______．
【答案】1
【详解】设球 的半径为 ，四边形 外接圆的半径为 ，直四棱柱的高为 ，连接 ， ，
设 与 的交点为 ， ，
则四边形 的面积
，
当且仅当 且 ，即四边形 为正方形时等号成立，
此时直四棱柱 的体积为 ．
由 ，得 ，所以 ．
令 ， ，
则 ，
则当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
所以 ．
即直四棱柱 的体积的最大值为1．
故答案为：1
【点睛】关键点点睛：本题考查外接球问题，利用等面积确定四边形 的面积达到最大值时为正方形
是解决本题的关键.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）已知函数 ．(1)若 为函数 的极值点，求 的值；
(2)若 在定义域上不单调，求 的取值范围．
【详解】（1）由题意得 ，.................................................................................................1分
因为 为函数 的极值点，所以 ，解得 ，..............................................3分
经检验，当 时， 为函数 的极值点，所以 ．..............................................................4分
（2）因为 的定义域为 ， ，
设 在 单调，....................................................................................................................................5分
①函数 在 上单调递增，则 在 上恒成立，......................................................6分
即 在 上恒成立，
在 上恒成立，.........................................................................................................................8分
又当 时， ，当且仅当 时等号成立，
所以 ，.......................................................................................................................................................10分
②函数 在 上单调递减，则 在 上恒成立，....................................................11分
即 在 上恒成立，矛盾
所以若 在 单调，则 ，
故若 在定义域上不单调，则 的取值范围为 ．.....................................................................13分
16．（15分）已知函数 ．
(1)若函数 在 上单调递增，且 ，求角 的值；
(2)若 ，且 ，使得 ，求实数 的取值范围．
【详解】（1）对 求导得， .........1分
因为函数 在 上单调递增，所以 在 上恒成立，................................................3分
又当 时， ，所以 在 上恒成立，即 ．.................5分
因为 ， ，所以 ．又 ，所以 ．..........................................................................................................................6分
（2）当 时， ，则 ，
若 ，使得 ，即 ，使得 成立，
也即 ，使得 成立......................................................................................................8分
令 ， ，则需 ， 即可.
，
令 ， ，则 ...............................................................................10分
因为 ，所以 ，所以 在 上单调递增，
所以 ，即 ，所以 在 上单调递增，
所以 ，......................................................................................13分
因此 .
故实数 的取值范围是 ．......................................................................................................15分
17．（15分）已知函数 ．
(1)已知曲线 在 处的切线方程为 ，求 和 的值；
(2)求证： 不是函数 的极值点；
(3)设 ， ，是否存在 ，使得函数 的最小值为2？若存在，求出 的值；若不存
在，说明理由．
【详解】（1） ，由题意 ，
解得 ，.........................................................................................................................................................1分
，解得 ．.......................................................................................3分
(2) ，且 ，
①当 时， ，令 ，求导得 ，........................................4分
时， ， 单调递减； 时， ， 单调递增；
故 在 处取得最小值 ，即 恒成立，
因此 不是极值点；.....................................................................................................................................6分②当 时， ，不可能是极值点；
综上， 不是函数 的极值点．...........................................................................................................8分
（3） ， ，求导 ，
① ，此时 恒成立， 在 上单调递减，
最小值在 处，即 ，
令 ，得 ，与 矛盾，舍去；.....................................................................................10分
② ，即 ，此时 在 上为负， 单调递减；
在 上为正， 单调递增，
最小值在 处，即 ，
令 ，得 ，满足 ，成立；...................................................................................................13分
③ ，即 此时 在 上恒成立， 单调递减，
最小值在 处，即 ，
令 ，得 ，与 矛盾，舍去；
综上，存在 ，使得 在 上的最小值为2．............................................................................15分
18．（17分）已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 既存在极大值，又存在极小值，求实数 的取值范围；
(3)当 时，直线 与曲线 有三个交点，设 的取值集合为 ，求 的取值范围.
【详解】（1） ，所以 ，
又 ，所以 ，.....................................................................................................2分
所以切线方程为 ，
即 ..................................................................................................................................................................3分
（2）当 或 时， 只有一个零点， 不可能有两个极值点；...................................................4分
当 时，令 ，得 或 ，........................................................................................5分
当 时， 与 的变化情况如下表：
0
+ 0 - 0 +
极大
极小值
值
..............................................................................................................................................................................7分
当 时， 与 的变化情况如下表：
0
+ 0 - 0 +
极小
极大值
值
..............................................................................................................................................................................9分
综上： 的取值范围为 ...........................................................................................................10分
（3）由（2）可得 ， ，.............................................12分
令 ， ，
令 ，则 在 恒成立，
所以 在 单调递增，即 在 单调递增，..........................................................................15分
， 单调递减，又 时， ， 时， .
所以 的取值范围为 .....................................................................................................................17分
19．（17分）已知函数 （ 且 ）.
(1)当 时，求 的极小值点与极小值；
(2)讨论函数 的单调性；(3)若函数 有两个零点 ， （ ），且 ，证明： .
【详解】（1）当 时， ，其定义域为 ，
对 求导，可得 ，....................................................................2分
令 ，即 ，因为 ，所以 ，解得 ，
当 时， ， ， ，则 ， 单调递减；
当 时， ， ， ，则 ， 单调递增，..........................................................4分
所以 是 的极小值点，极小值为 ........................................................................5分
（2） 的定义域为 ．
当 时， 恒成立，所以 在 上单调递减；.............................................................6分
当 时， ；
当 时， ，所以 单调递减；
在 上， ，所以 单调递增； .........................................................................8分
综上所得，当 时， 在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增................................................................9分
(3)证明：当 时， ；
由（2）知， 在 上单调递减，在 上单调递增；
由题意可得 ，
由 及 ，得 ；..................................................................................11分
欲证 ，只要 ，
注意到 在 上单调递减，且 ，只要证明 即可；
由 ，得 ；..................................................................................................13分
所以，.................................................................................................15分
令 ，
则 ，
则 在 上是单调递增的，
因此 ，即 ；
综上， ．.........................................................................................................................................17分
