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专题 02 二次函数与一元二次方程、不等式
目录
01理·思维导图：呈现教材知识结构，构建学科知识体系。
02盘·基础知识：甄选核心知识逐项分解，基础不丢分。
【知能解读01】等式性质与不等式性质
【知能解读02】三个“二次”之间的关系
【知能解读03】基本不等式
03 破·重点难点：突破重难点，冲刺高分。
【重难点突破01】利用基本不等式求最值
【重难点突破02】不等式恒成立与能成立问题
【重难点突破03】含参一元二次不等式的解法
04 辨·易混易错：辨析易混易错知识点，夯实基础。
【易混易错01】忽视不等式性质成立的条件致错
【易混易错02】忽视基本不等式应用的条件致错
【易混易错03】连续使用基本不等式忽略等号同时成立致错
【易混易错04】解分式不等式忽略分母不为零致错
05 点·方法技巧：点拨解题方法，练一题通一类
【方法技巧01】比较两数（式）的大小
【方法技巧02】利用不等式的性质求数（式）的范围
【方法技巧03】解一元二次不等式的步骤
【方法技巧04】基本不等式的实际应用
【方法技巧05】证明不等式01 等式性质与不等式性质
1、等式的性质
性
文字表述 性质内容 注意
质
1 对称性 可逆
2 传递性 同向
3 可加、减性 可逆
4 可乘性 同向
5 可除性 同向
2、不等式的性质
性质 别名 性质内容 注意
1 对称性 a>b b<a 可逆
2 传递性 a>b，b>c a>c 同向
⇔
3 可加性 a>b a＋c>b＋c 可逆
⇒
a>b， ⇔c>0 ac>bc
4 可乘性 c的符号
a>b，c<0 ac<bc
⇒
5 同向可加性 a>b，c>d a⇒ ＋c>b＋d 同向
6 正数同向可乘性 a>b>0，c>d>0 ac>bd 同向
⇒
7 正数乘方性 a>b>0 an>bn(n∈N，n≥2) 同正
⇒
【真题实战】（2025·北京丰台·一模）已知 ， ，则下列不等式恒成立的是（ ）
⇒
A． B． C． D．【答案】C
【解析】选项A：
举反例：取 ， ， ， ，则 ， ，
显然 不成立，因此A不恒成立；
选项B：
举反例：取 ， ， ， ，则 ， ，
显然 不成立，故B不恒成立；
选项C：
由于指数函数 是严格递增函数， 和 分别推出 和 ，
因此 恒成立，因此C恒成立；
选项D：
举反例：取 ， ， ， ，则 ， ，
显然 不成立，因此D不恒成立.故选：C.
02 三个“二次”之间的关系
判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c
(a>0)的图象
方程ax2＋bx＋c＝0
有两相异实根x，x(x<x) 有两相等实根x＝x＝－ 没有实数根
1 2 1 2 1 2
(a>0)的根
ax2＋bx＋c>0
{x|x<x 或x>x} {x|x∈R}
1 2
(a>0)的解集
ax2＋bx＋c<0
{x|x< x<x} ∅ ∅
1 2
(a>0)的解集
【真题实战】（2025·湖北黄冈·三模）已知集合 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C【解析】对于集合 ， ，进一步化简为 ，
所以 或 .
对于集合 ，因式分解得 ，
所以 或 .
所以 或 .故选：C
03 基本不等式
1、重要不等式： ,（当且仅当 时取 号）.
变形公式：
2、基本不等式：
（1）基本不等式成立的条件：
（2）等号成立的条件：当且仅当 时取等号．
（3）算术平均数与几何平均数
设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为 ，几何平均数为 ，
基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
3、利用基本不等式求最值
已知x>0，y>0，则
（1）如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2.(简记：积定和最小)
（2）如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值.(简记：和定积最大)．
【真题实战】（2025·北京·高考真题）已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】对于A,当 时， ，故A错误；
对于BD，取 ，此时 ，，故BD错误；
对于C，由基本不等式可得 ，故C正确.故选：C.
01 利用基本不等式求最值
法一、直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系．
法二、配凑法：凑出“和为定值”或“积为定值”，直接使用基本不等式．
法三、代换法：代换法适用于条件最值中，出现分式的情况．
类型1：分母为单项式，利用“1”的代换运算，也称乘“1”法；
类型2：分母为多项式时
方法1：观察法 适合与简单型，可以让两个分母相加看是否与给的分子型成倍数关系；
方法2：待定系数法，适用于所有的形式，
3a4b a3b a2b
如分母为 与 ，分子为 ，
a2b3a4ba3b3a43b
设
1
5
31 2
432 5
∴ ，解得：
法四、消元法：当题目中的变元比较多的时候，可以考虑削减变元，转化为双变量或者单变量问题．
法五、构造不等式法：寻找条件和问题之间的关系，通过重新分配，使用基本不等式得到含有问题代数式
的不等式，通过解不等式得出范围，从而求得最值．
【典例1】（2025·河北保定·二模）已知x，y是非零实数，则 的最小值为（ ）
A．6 B．12 C．2 D．4
【答案】A
【解析】 ，
当且仅当 ，即 ，等号成立，
所以 的最小值为6，故选：A【典例2】（2025·湖北·模拟预测）已知实数 ， 满足 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，所以 ，
因为 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，故 的最大值为 .故选：B
【典例3】（2025·安徽合肥·三模）已知正数 、 满足 ，则 的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．9
【答案】D
【解析】由题意得 ，
当且仅当 时，即 时， 取得最小值9．故选：D.
【典例4】（2025·山东济宁·模拟预测）已知 ， ，且 ，则 的最大值
（ ）
A．12 B． C．36 D．
【答案】D
【解析】由 ，得 ，则 ，
因为 ， ，所以当且仅当 ， 时等号成立，
所以 的最大值为 ，故选：D.
【典例5】（2025·云南昆明·模拟预测）已知 ， ，且 ，则 的最小值为
（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
【答案】C
【解析】由题意可知 ，当 时等号成立，即 ，
令 ，则 解得 或 舍
即 ，
当且仅当 时，等号成立．故选：C.
02 不等式恒成立与能成立问题
一般利用参变分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
1、 ，
2、 ，
3、 ，
4、 ，
【典例1】（2025·甘肃威武·一模）若关于 的不等式 在区间 上有解，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当 时，由 可得 ，
又关于 的不等式 在区间 上有解，则 ，令 ，易知 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
又 时， ， 时， ，所以 ，故选：D.
【典例2】（24-25高三上·四川德阳·月考）已知正数 满足 ，若 恒成立，则实数
的取值范围为 .
【答案】
【解析】因为 且 ，所以
，当且仅当 时取等号．
因为不等式 恒成立，
所以 ，解得 ．
故答案为： .
03 含参一元二次不等式的解法
对求含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有：
（1）根据二次项系数为正、负及零进行分类；
（2）根据判别式与0的关系判断根的个数；
（3）有两个根式，有时还需根据两根的大小进行讨论．
【典例1】若 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． 或
C． 或 D．
【答案】D
【解析】当 时， ，
所以不等式的解集为 .故选：D.【典例2】（2025·陕西渭南·二模）若关于 的不等式 有且只有一个整数解，则实数 的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】当 时，解得： ，不满足条件；
故 ，关于 的不等式 可得 ，
所以 ，即 ，
方程 的两根为 ，
当 时，不等式可化为 ， ，
解集为： ，不满足条件；
当 时，不等式可化为 ，
当 时，则 ，即 ，不等式的解集为： ，
要使不等式有且只有一个整数解，则 ，又因为 ，不满足条件；
当 时，则 ，即 ，不等式的解集为空集，
当 时，则 ，即 ，不等式的解集为 ，
要使不等式有且只有一个整数解，则 ，解得： ，
故实数 的取值范围是： .故选：B.
01 忽视不等式性质成立的条件致错
辨析：在使用不等式的基本性质进行推理论证时一定要注意前提条件，如不等式两端同时乘以或同时除以
一个数、式，两个不等式相乘、一个不等式两端同时n次方时，一定要注意使其能够这样做的条件．【典例1】（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·开学考试）若 为实数，且 ，则下列结论正确的是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】对于A，当 时， ，故A错误；
对于B，因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，即 ，故B正确；
对于C，当 ，符合 ，但 ，故C错误；
对于D，因为 ，所以 ，当 时， ，
当 时， ，故D错误.故选：B.
【典例2】（2025·北京房山·一模）已知 ，且 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】对于A选项：举反例 可知不成立；
对于B选项： 举反例 可知不成立；
对于C选项： ，
因为 ，所以 ，而 且不同时为0，
故 ，即 ，正确；
对于D选项： 举反例 可知不成立；故选：C．
02 忽视基本不等式应用的条件致错辨析：（1）利用基本不等式 以及变式 等求函数的最值时，务必注意a，b为
正数(或a，b非负)，特别要注意等号成立的条件．
（2）对形如 的函数，在应用基本不等式求函数最值时，一定要注意 ， 同号．
【典例1】（24-25高三下·广东深圳·月考）若 ，则 的最大值为 .
【答案】
【解析】因为 ， ，
由基本不等式得 ，当且仅当 ，即 时，等号成立.
故 .
【典例2】（24-25高三上·北京石景山·期末）已知a， ，且 ，则下列不等关系中正确的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】对于A，因为 ，所以 ，错误；
对于B，因为 ，所以 ，所以 ，
当且仅当 即 时，等号成立，又 ，所以 ，正确；
对于C，因为 ，所以 ， ，所以 ，错误；
对于D，因为 ，所以 ，所以 ，
又 ，所以 即 ，错误；故选：B.03 连续使用基本不等式忽略等号同时成立致错
辨析：连续使用均值不等式求最值或范围,要注意判断每个等号成立的条件，检验等号能否同时成立．
【典例1】（24-25高三下·北京·强基计划）已知正数 满足 ，则 最小值为 ．
【答案】
【解析】由题意 ，
等号成立当且仅当 ，
所以 最小值为 .
【典例2】（24-25高三上·广东深圳·期末）已知
的最小值为 .
【答案】
【解析】由 ，得到 ，所以 ，
则 ，
又 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
又 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以 的最小值为 .04 解分数不等式忽略分母不为零致错
辨析：解含有分数的不等式,在去分母时要注意分母不为零的限制条件，防止出现增解，如
．
【典例1】（2025·全国二卷·高考真题）不等式 的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】 即为 即 ，故 ，
故解集为 .故选：C.
【典例2】（2025·上海杨浦·三模）不等式 的解集为 ．
【答案】 或 .
【解析】 等价于 ，即 ，解得 或 ，
即原不等式的解集为： 或 .
01 比较两数（式）的大小
1、作差法：
（1）原理：设 ，则 ； ； ；
（2）步骤：作差并变形 判断差与0的大小 得出结论。
（3）注意：利用通分、因式分解、配方等方法向有利于判断差的符号的方向变形．
2、作商法：
（1）原理：设 ，则 ； ；（2）步骤：作商并变形 判断商与1的大小 得出结论。
（3）注意：作商时各式的符号应相同，如果 均小于0，所得结果与“原理”中的结论
相反，变形方法有分母（分子）有理化，指、对数恒等变形．
【典例1】（25-26高三上·河北衡水·月考）已知 ，则 与 大小关系是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，所以 .故选：C.
【典例2】（24-25高三下·海南海口·月考）已知 克糖水中含有 克糖（ ），再添加 克糖（
，假设全部溶解），糖水变甜了，将这一事实表示为一个不等式（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】这一事实表示为一个不等式为 ．
证明： ，
又 ， ，
， 即 ，
即 .故选：
02 利用不等式的性质求数（式）的范围
利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，解决的方法是先利用待定系数法建立所求范围的整体与已
知范围的整体的等量关系，再利用不等式的性质求解，具体步骤如下：
已知 ， ，求 的取值范围
第一步：设 ；
第二步：经过恒等变形，求得待定系数 ；第三步：再根据不等式的同向可加性即可求得 的取值范围．
【典例1】（2025·山西临汾·二模）若 ，则 的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 可得 ，
故 ，故选：D
【典例2】（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知 ， ，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，又 ， ，
所以 的取值范围是 ．故选：C．
03 解一元二次不等式的步骤
第一步：先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数；
第二步：写出相应的方程 ax2 bxc0 (a 0) ，计算判别式：
0 x、x x x
① 时，求出两根 1 2，且 1 2（注意灵活运用因式分解和配方法）；
b
x x
② 0 时，求根 1 2 2a；
0
③ 时，方程无解
第三步：根据不等式，写出解集．
【典例1】（24-25高三上·重庆·月考）不等式 的解集为（ ）
A． 或 B． 或
C． D．
【答案】A
【解析】 的解为 或 ，
故解集为： 或 ，故选：A.【典例2】（24-25高三上·内蒙古包头·月考）若不等式 的解集是 ，则
的解集是（ ）
A． 或 B． 或
C． D．
【答案】D
【解析】由不等式 的解集为 ，
得 ，且 是 的两个根，
则有 ，即 ，
则不等式 可转化为 ，
即 ，解得： ，
则不等式 的解集为 .故选：D.
04 基本不等式的实际应用
解实际应用题的三个注意点：
1、设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数；
2、根据实际问题抽象很出有关式关系式后，只需利用基本不等式求得函数的最值；
3、在求函数的最值时，一定要在定义域（使实际问题有意义的自变量的取值范围）内求解．
【典例1】（2025·广西·一模）现使用一架两臂不等长的天平称中药，操作方法如下：先将100g的砝码放
在天平左盘中，取出一些中药放在天平右盘中，使得天平平衡；再将100g的砝码放在天平右盘中，再取出
一些中药放在天平左盘中，使得天平平衡.则两次实际称得的药品总重量（ ）
A．等于200g B．大于200g C．小于200g D．以上都有可能
【答案】B
【解析】设天平左臂长为 ，右臂长为 ， 且 ，
左盘放的药品为 克，右盘放的药品为 克，则 ，解得 ，
，
当且仅当 时，取到等号，而 ，所以 .故选：B
【典例2】（24-25高三上·湖北·一模）某公司引进新的生产设备投入生产，新设备生产的产品可获得的总
利润 （单位：百万元）与新设备运行的时间 （单位：年， ）满足 ，当新设
备生产的产品可获得的年平均利润最大时，新设备运行的时间 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，新设备生产的产品可获得的年平均利润 ，
当 时， ，当且仅当 时，等号成立，
则 ，
所以当 时， 取得最大值，且最大值为 ，
当 时， ，
所以函数在 上单调递减，
所以当 时， 取得最大值，且最大值为 ，
故当新设备生产的产品可获得的年平均利润最大时，新设备运行的时间 .故选： .
05 证明不等式
1、无附加条件的不等式证明：证明时要根据其结构特征，合理地构造并正确选用基本不等式或其变形形
式，这也是证明轮换对称结构的不等式（把b换a，a换c，c换b后，代数式不变的式子叫做轮换对称性，
其特征是a，b，c的地位一样）的常用思路．
2、有附加条件的不等式的证明：应先观察已知条件和所证不等式之间的联系，当已知条件中含有“1”时，
要注意“1”的代换．另外，解题时要时刻注意等号能否取到．
【典例1】（2025高三·全国·专题练习）已知 、 、 、 为正实数．(1)证明： ；
(2)请利用（1）的结论，证明： .
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析
【解析】（1）因为 、 、 、 为正实数，
所以 ， ，当且仅当 ， 时等号成立，
所以 当且仅当 ， 时等号成立.
所以 ，当且仅当 时等号成立，
所以 ，当且仅当 时等号成立；
（2）由于 ，当且仅当 时等号成立，
令 ， 得 ，
即 ，故 ，
所以 ，当且仅当 时等号成立.
【典例2】（24-25高三上·河南周口·期末）已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且
， .
(1)证明： ；
(2)证明： ；
(3)证明： .
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析
【解析】（1）因为 ，
由余弦定理可得 ，
化简得 ，整理得 ；
（2）由（1）得 ，
当且仅当 时取得等号，与 题意不符.故 ，即 .
（3）由（1）知 ，
又 ，
则 ，解得 ，
故 解得 ，
所以 .
