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专题06 等式与不等式培优归类
题型1 三个二次基础：根的分布
根的分布
根的分布，满足限制条件的不等式组：
（1）开口方向；
（2）判别式；
（3）对称轴位置；
（4）根的分布区间端点对应的函数值正负。
（5）如果是“0”分布，可以用韦达定理。
（6）特复杂的分布，分类讨论。
1．（23-24 高三 ·浙江·阶段练习）函数
的定义域为D，若满足：①在D 内是单调函数；②
区间
，使
在
上的值域是
，那么
就称为“和谐函数”，若函数
是“和谐函数”，则t 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024 高三·全国·专题练习）若在定义域内存在实数
，满足
，则称
为“有点奇
函数”，若
为定义域
上的“有点奇函数”，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
1
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3．（24-25 高三·安徽合肥·/）已知关于x 的方程
有两个大于2 的相异实数根，则实
数m 的取值范围是（）
A．
或
B．
C．
D．
或
4．（24-25 高三·湖北·阶段练习）“一元二次方程
有一个正实数根和一个负实数根”的一
个充分不必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型2 一元二次不等式整数解型
一元二次不等式整数解思维：
1. 如果能参边分离，则可以分离参数，数形结合，“水平线”相交法。
2. 不能参变分离，则用“根的分布”+分类讨论。
1．（2025·陕西渭南·二模）若关于
的不等式
有且只有一个整数解，则实数
的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高一上·江苏徐州·期中）若关于
的不等式
恰有3 个整数解，则实数
的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25 高三·安徽宣城·阶段练习）关于
的不等式
的解集中有且仅有个整数解，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（24-25 高三·天津·阶段练习）若不等式
有且只有三个整数解，则正数a 的取值
范围为（ ）
A．
B．
2
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C．
D．
题型3 一元二次“含参”解
二次函数公式
①一般式顶点式：y＝ax2＋bx＋c＝a＋.
②顶点是，对称轴是：x＝－.
③方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)求根公式：x＝
（1）一元二次不等式：一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2 的不等式，称为
一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是
或
，其中a，b，c 均为常
数，
．
（2）二次函数的零点：一般地，对于二次函数
，我们把使
的实数x 叫做二
次函数
的零点．
（3）二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
的图
象
的根
有两个不相等的实数根
有两个相等的实数根
没有实数
根
的解
集
R
的解
集
____
___
____
1．（23-24 高三安徽池州·阶段练习）若关于
的不等式
的解集为
，
则
的值可以是（ ）
A．
B．
C．2
D．1
2．（23-24 高三·浙江嘉兴·阶段练习）已知
为常数，给出关于
的不等式
，则（ ）
A．当
，
时，不等式
的解集为
B．当
时，不等式
的解集为
或
的形式，其中
3
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C．当
时，不等式
的解集为
或
的形式，其中
，
D．当
时，不等式
的解集为
的形式，其中
3．（23-24 高一上·江苏南通·阶段练习）已知关于
的不等式
的解集为
，则下列
说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．设关于
的方程
的解为
，则
4．（23-24 高一上·江苏常州·阶段练习）已知关于x 的一元二次不等式
的解集为
或
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．不等式
的解集为
C．不等式
的解集为
D．
题型4 一元二次根与系数关系含参型
1．（21-22 高三·上海浦东新·阶段练习）已知实数
，关于
的不等式
的解集为
，则实数a、b、
、
从小到大的排列是( )
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高三·陕西渭南·阶段练习）关于
的不等式
，其中
，则该不等式的解
集不可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
4
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3．（24-25 高三·广东汕头·阶段练习）对于给定实数a，关于x 的一元二次不等式
的解集
可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（24-25 高十三·河北石家庄·阶段练习）对于给定的实
，关于实数
的一元二次不等式
的解集可能为（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
题型5 一元二次恒成立型
恒成立分离参数型：
①若
在
上恒成立，则
；
②若
在
上恒成立，则
；
③若
在
上有解，则
；
④若
在
上有解，则
；
1．（24-25 高三·云南·阶段练习）已知
，不等式
对于一切实数
恒成立，又
，使
，则
的最小值为（ ）
A．1
B．
C．2
D．3
2．（24-25 高一上·山东日照·期末）已知函数
，若对任意的
，不等式
恒成立，则
的最大值为（ ）
A．8
B．9
C．32
D．36
3．（23-24 高一上·贵州铜仁·期末）当
时，不等式
恒成立，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（23-24 高三·四川达州·阶段练习）若“
，
”是假命题，则实数
的取值
范围是（ ）
5
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A．
B．
C．
D．
题型6 一元二次应用：保值函数型
1．（24-25 高三·浙江绍兴·阶段练习）设函数
，
，已知对于任意的
，
若
，
满足
，
，有
，则正实数
的最大值为（ ）
A．
B．2
C．
D．1
2．（24-25 高一上·浙江杭州·期中）已知函数
，若函数
在区间
上的值域为
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2019·河南郑州·三模）函数
的定义域为
，若
满足在
内是单调函数且存在
使
在
上的值域为
，那么就称
为“半保值函数”，若函数
，（
且
）是“半保值函数”，则正实数的取值范围是
A．
B．
C．
D．
4．（20-21 高三上·江西南昌·阶段练习）函数
的定义域为D，若满足①
在D 内是单调函数：②存
在
，使
在
上的值域为
，那么就称
为“半保值函数”，若函数
（
且
）是“半保值函数”，则t 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
6
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题型7 等式不等式性质求范围最值
不等式性质求取值范围时，要注意整题换元思维。整体换元可以减少不等式运算，增加等式运算
1．（24-25 高三上·四川成都·开学考试）已知函数
，其中
.当
时，若不等
式
恒成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（22-23 高三上·宁夏石嘴山·阶段练习）在
上可导的函数
，当
时取
得极大值.当
时取得极小值，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（22-23 高三·安徽马鞍山·阶段练习）已知对一切
，
，不等式
恒成立，
则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2022 高三·江苏·专题练习）若关于
的方程
有三不等的实数根
，且满足其中两根
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型8 性质应用：做差法比大小
最差法比较大小：
作差---变形---判断正负
其中难点在于恒等变形的方向和变形的技巧，变形的目的是为了判断正负，所以可以因式分解，或者
计算化简，或者放缩为具体值，准确计算找对变形方向是关键。
1．（24-25 高三上·宁夏银川·阶段练习）若
，
，
，则
，
，的大
小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2022·全国·模拟预测）已知
，
，
，则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．
B．
7
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C．
D．
3．（20-21 高三下·湖北·阶段练习）已知实数a，b 满足
，
，则下列判断正确
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2019·河北唐山·二模）已知
，
，
，则
，
，的大小关系是
A．
B．
C．
D．
题型9 性质应用：做商法比大小
两个正数a，b，如果
，
运用商比法，要注意两个数是正数还是负数。
1．（2025·广东广州·模拟预测）已知
，
.设
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·四川内江·模拟预测）设
，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·全国·模拟预测）若
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（22-23 高一下·四川泸州·阶段练习）设
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
题型10 抽象函数型不等式应用
8
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抽象不等式，多借助单调新，奇偶性，函数平移等来求解
1．（2025·江西南昌·二模）已知函数
满足
，
且
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高一上·全国·周测）已知函数
的图象关于
轴对称，且对于
，当
时，
恒成立，若
对任意的
恒成立，则实数
的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·山东聊城·二模）函数
定义域为
，且满足
，若
是偶函数，
则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·辽宁葫芦岛·一模）已知函数
的定义域为
，且当
时，
，则下列结论一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
结束
9
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