专题1.3 等式性质与不等式性质（举一反三讲义）
【全国通用】
【题型1 不等式性质的应用】..................................................................................................................................3
【题型2 用不等式表示不等关系】..........................................................................................................................3
【题型3 比较数（式）的大小】..............................................................................................................................4
【题型4 利用不等式的性质证明不等式】..............................................................................................................4
【题型5 利用不等式的性质求目标式的取值范围】.............................................................................................5
【题型6 不等式的综合问题】..................................................................................................................................6
【题型7 糖水不等式】..............................................................................................................................................7
1、不等关系与不等式性质
考点要求
真题统计
考情分析
(1)等式性质
(2)比较两个数的大小
(3)理解不等式的性质，并
能简单应用
2022 年
卷
Ⅱ
：第12 题，5 分
高考对不等式的性质的考查比较稳定，
一般以选择题、填空题为主，主要考查
不等式的性质及其应用、比较大小；单
独考查的题目虽然不多，但不等式的相
关知识往往可以渗透到高考的各个知识
领域，作为解题工具与函数、向量、解
析几何、数列等知识相结合，在知识的
交汇处命题，是进行不等式变形、证明
以及解不等式的依据，是高考考查的一
个重点内容.
知识点
等式性质与不等式性质
1．等式的基本性质
性质1 对称性：如果a＝b，那么b＝a；
性质2 传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c；
性质3 可加（减）性：如果a＝b，那么a±c＝b±c；
性质4 可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc；
性质5 可除性：如果a＝b，c≠0，那么＝.
2．不等式的性质
(1)对称性：如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔b<a.
(2)传递性：如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c⇒a>c.
(3)可加性：如果a>b，那么a＋c>b＋c.
(4)可乘性：如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc.
(5)同向可加性：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.
(6)同向同正可乘性：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.
(7)同正可乘方性：如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)．
3．不等式的两类常用性质
(1)倒数性质
①a>b，ab>0⇒
；
②a<b<0⇒
；
③a>b>0，0<c<d⇒
；
④0<a<x<b 或a<x<b<0⇒
．
(2)有关分数的性质
若a>b>0，m>0，则
①真分数的性质
；
②假分数的性质
.
4．比较大小的基本方法
关系
方法
作
差
法
与0 比较
作
商
法
与1 比较
a>b
a−b>0
a
b >1(a ，b>0)
或
a
b <1(a，b<0)
a=b
a−b=0
a
b=1(b≠0)
a<b
a−b=0
a
b <1(a ，b>0)
或
a
b >1(a，b<0)
【方法技巧与总结】
1．应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，特别提醒的是在解决有关不等式的判断题
时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率.
2．比较数（式）的大小常用的方法有作差法、作商法.、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用
函数的单调性，需要灵活运用方法求解.
【题型1 不等式性质的应用】
【例1】（2025·天津南开·一模）设x , y ∈R，则“x
2+ y
2>0
是
”
“xy >0
的（
”
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【变式1-1】（2024·河南驻马店·二模）已知a>b>c>0，则下列说法一定正确的是（ ）
A．a>b+c
B．a
2<bc
C．ac>b
2
D．ab+bc>b
2+ac
【变式1-2】（2025·河北石家庄·一模）如果ab>0，那么“a>b
是
”
“1
a < 1
b
的（
”
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【变式1-3】（2025·山东·二模）若a<b<0，则下列不等式成立的是（ ）
A．a
2<b
2
B．a+b<b+c
C．1
a < 1
b
D．1
|a) < 1
|b)
【题型2 用不等式表示不等关系】
【例2】（24-25 高一上·广东深圳·阶段练习）公司运输一批木材，总重600 吨，车队有两种货车，A 型货
车载重量30 吨，B型货车载重量24 吨，设派出A 型货车x辆，B型货车y辆，则运输方案应满足的关系式
是（ ）
A．5 x + 4 y <100
B．5 x + 4 y ≥100
C．5 x + 4 y >100
D．5 x + 4 y ≤100
【变式2-1】（2024·江西抚州·模拟预测）2021 年是中国共产党成立100 周年，为了庆祝建党100 周年，学
校计划购买一些气球来布置会场，已知购买的气球一共有红黄蓝绿四种颜色，红色多于蓝色，蓝色多
､
､
､
于绿色，绿色多于黄色，黄色的两倍多于红色，则购买的气球最少有（ ）个
A．20
B．22
C．24
D．26
【变式2-2】（2025·山西·二模）从坐标平面的四个象限中取若干点，这些点中横坐标为正数的点比横坐标
为负数的点多，纵坐标为正数的点比纵坐标为负数的点少，则下列对这些点的判断一定正确的是（ ）
A．第一象限点比第二象限点多
B．第二象限点比第三象限点多
C．第一象限点比第三象限点少
D．第二象限点比第四象限点少
【变式2-3】（2024·浙江金华·一模）某高中高三（15）班打算下周开展辩论赛活动，现有辩题A、B 可供
选择，每位学生都需根据自己的兴趣选取其中一个作为自己的辩题进行资料准备，已知该班的女生人数多
于男生人数，经过统计，选辩题A 的人数多于选辩题B 的人数，则（ ）
A．选辩题A 的女生人数多于选辩题B 的男生人数
B．选辩题A 的男生人数多于选辩题B 的男生人数
C．选辩题A 的女生人数多于选辩题A 的男生人数
D．选辩题A 的男生人数多于选辩题B 的女生人数
【题型3 比较数（式）的大小】
【例3】（2025·云南昆明·一模）已知x>0，x
2−2 xy + z
2=0，x
2< yz，则（ ）
A．y > z> x
B．x> y > z
C．y > x> z
D．z> x> y
【变式3-1】（2024·全国·模拟预测）已知x> y，则下列不等式正确的是（ ）
A．1−x<1−y
B．x
2> y
2
C．| x
y |>1
D．xz> yz
【变式3-2】（2024·浙江金华·模拟预测）设a,b,c的平均数为M,a与b的平均数为N,N与c的平均数为P.
若a>b>c,则（ ）
A．N < P
B．P< M
C．N < M
D．M + N <2 P
【变式3-3】（2025·广西来宾·模拟预测）黄金不仅可以制成精美的首饰佩戴，还因其价值高，并且是一种
稀少的资源，长久以来也是一种投资工具.小李计划投资黄金，根据自身实际情况，他决定分两次进行购
买，并且制定了两种不同的方案：方案一是每次购入一定数量的黄金：方案二是每次购入一定金额的黄金.
已知黄金价格并不稳定，所以他预设两次购入的单价不同.现假设他两次购入的单价分别为a1,a2，且
a1≠a2，则下列说法正确的是（ ）
A．当且仅当a1>a2时，方案一的平均购买成本比方案二更低
B．当且仅当a1>a2时，方案二的平均购买成本比方案一更低
C．无论a1,a2的大小关系如何，方案一的平均购买成本比方案二更低
D．无论a1,a2的大小关系如何，方案二的平均购买成本比方案一更低
【题型4 利用不等式的性质证明不等式】
【例4】（2024·全国·模拟预测）已知a，b，c 为三角形的三边．
(1)求证：❑√a
2+b
2+ab+
❑√b
2+c
2+bc>2c
；
(2)若c≥b≥a，求证：3√a
3+b
3+
3√c
3+a
3<a+b+c
．
【变式4-1】（24-25 高一上·全国·课后作业）设x>0，y >0，z>0，证明：1<
x
x + y +
y
y + z +
z
z + x <2．
【变式4-2】（24-25 高一上·海南省直辖县级单位·期中）已知a>b>1，d <c<−2．
(1)求证：(a−1)(b−1)(c +2)(d +2)>0；
(2)求证：ac+bd >bc+ad．
【变式4-3】（24-25 高一上·上海·课堂例题）（1）已知c>a>b>0，求证：
a
c−a >
b
c−b
；
（2）已知a>b，e>f ，c>0，求证：f −ac<e−bc．
【题型5 利用不等式的性质求目标式的取值范围】
【例5】（2025·吉林长春·模拟预测）已知π
4 <α < β <π
2
，则2α −2 β的取值范围是（ ）
A．(−π
2 ,π
2 )
B．(−π
2 ,0)
C．(−π,π)
D．(−π,0)
【变式5-1】（2025·河北沧州·模拟预测）已知2<a≤4，−1<b≤0，则2a−b的取值范围（ ）
A．[4,9)
B．(4,9)
C．(5,8)
D．(5,8)
【变式5-2】（2024·江苏南通·模拟预测）设x , y为实数，满足3≤x y
2≤8,4≤x
2
y ≤9，则x
3
y
4
的最大值为
（ ）
A．27
B．24
C．12
D．32
【变式5-3】（2025·浙江·模拟预测）若负实数t满足：对于任意a∈[−4 ,t )，总存在b,c∈[−4 ,t )，使得
ab+c =1，则t的范围是（ ）
A．[−4 ,−5
4)
B．[−5
4 ,−1
3)
C．[−❑√5,−1
3)
D．[−❑√5,−4)
【题型6 不等式的综合问题】
【例6】（24-25 高一上·云南·期中）回答下列问题
(1)已知a,b都是正实数，比较a
2
b + b
2
a
与a+b的大小；
(2)已知1<a+b<3，−2<a−b<2，求2a+3b的取值范围.
【变式6-1】（24-25 高一上·上海宝山·阶段练习）（1）已知x∈R，比较2 x
2+3 x−1与7 x−3的大小；
（2）已知a>0，b>0，若a+b>4，求证：a
b+2
和b
a+2
中至少有一个大于1
2
.
【变式6-2】（24-25 高一上·四川南充·阶段练习）（1）已知−1≤x + y ≤4,2≤x−y <3，求x +2 y的取值
范围；
（2）若a>b>0,c<d <0,e<0，求证：e
(a−c)
2 >e
(b−d )
2.
【变式6-3】（24-25 高一上·上海黄浦·期中）设a，b，c，d是四个正数．
(1)已知a>b，比较2a+b
a+2b
与a
b
的值的大小；
(2)若(a+1)(b+1)(c +1)(d +1)<16，求证：a，b，c，d中至少有一个小于1．
【题型7 糖水不等式】
【例7】（24-25 高一上·贵州六盘水·期末）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把
“=
作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用
”
“<
和
”
“>
符号，并逐渐被数学界接受，不等
”
号的引入对不等式的发展影响深远.如糖水在日常生活中经常见到，可以说大部分人都喝过糖水.如果a克糖
水中含有b克糖（a>b>0），再添加n克糖（n>0）（假设全部溶解），糖水变甜了，将这一事实表示为
不等式正确的是（ ）
A．b+n
a+n > b
a
B．b
a+n > b
a
C．b+n
a+n ≥b
a
D．a+n
b+n > a
b
【变式7-1】（24-25 高一上·福建莆田·期末）a克糖水中含有b克糖，糖的质量与糖水的质量比为b
a
，这个
质量比决定了糖水的甜度，如果再添加m克糖（假设全部溶解），生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的
不等式为b+m
a+m > b
a
(a>b>0, m>0)，这个不等式趣称为糖水不等式．根据糖水不等式，下列不等式正确
的是（ ）
A．
❑√7
❑√11 <
❑√7−2
❑√11−2
B．
❑√5
❑√3 <
❑√5+2
❑√3+2
C．log85<log1610
D．lg7
1+lg7 +
lg11
1+lg11 <
lg7+lg11
1+lg7+lg11
【变式7-2】（2025 高二·全国·专题练习）下列关于糖水浓度的问题，能提炼出怎样的不等关系呢？写出式
子并证明.
(1)如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了；
(2)把原来的糖水（淡）与加糖后的糖水（浓）混合到一起，得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡；
(3)如果向一杯糖水里加水，糖水变淡了.
【变式7-3】（24-25 高一上·黑龙江黑河·阶段练习）已知b 克糖水中有a 克糖(b>a>0)，往糖水中加入m
克糖(m>0)，（假设全部溶解）糖水更甜了．
(1)请将这个事实表示为一个不等式，并证明这个不等式；
(2)利用（1）的结论比较M = 20192020
20232024 , N = 20192017
20232021
的大小；
(3)证明命题：设x>0, y >0, z>0，证明：1<
x
x + y +
y
y + z +
z
z + x <2．
一、单选题
1．（2024·青海西宁·一模）下列命题中，正确的是（ ）
A．若ab≠0且a<b，则1
a > 1
b
B．若a>b，则a
2>b
2
C．若a>b，c>d，则ac>bd
D．若a>b，则a+c>b+c
2．（2025·福建三明·三模）已知a，b∈R，则“|a)+|b)≤1
是
”
“a
2+b
2≤1
的（
”
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．（2025·北京海淀·二模）设a、b、c∈R，abc≠0，且a>b>c，则（ ）
A．a
b + b
c >2
B．b
a + c
b <2
C．2a>b+c
D．a+b>c
4．（2025·全国·模拟预测）已知x，y为实数，p: x< y，q:|x)< y，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．（2025·山西临汾·二模）若3≤a≤5,−2≤b≤1，则2a−b的范围是（ ）
A．[8,9)
B．[4,8)
C．[5,8)
D．[5,12)
6．（2025·重庆·模拟预测）设 a，b，c 为均不为零的实数，且 |a−c|<|b| ，则（ ）
A．a−c<b
B．a+b>c
C．|a|<|b|+|c|
D．|a|+|c|<|b|
7．（2025·云南玉溪·二模）已知x>0，x
2−2 xy + z
2=0，x
2< yz，则（ ）
A．y > z> x
B．x> y > z
C．y > x> z
D．z> x> y
8．（2025·安徽淮北·二模）已知a,b∈R，下列命题正确的是（ ）
A．若ab=1，则a+b≥2
B．若1
a < 1
b
，则a>b
C．若a>b，则ln(a−b)>0
D．若a>b>0，则a+ 1
b >b+ 1
a
二、多选题
9．（2025·山东临沂·二模）已知a>b>c，则下列不等式正确的是（ ）
A．
1
a−c <
1
a−b
B．ab
2>c b
2
C．a+b>c
D．a
2+c
2>b
2
10．（2025·广东茂名·一模）下列命题正确的是（ ）
A．若a>b，则a
2>b
2
B．若a<b<0，则b
2<ab<a
2
C．若a>b>0, b
a > b+m
a+m
，则m<0
D．若2<a+b<3,−1<a−b<2，则3<3a+b<8
11．（2025·湖南长沙·二模）设a，b，c，d 为实数，且a>b>0>c>d，则下列不等式正确的有（ ）
A．c
2<cd
B．a−c<b−d
C．ac<bd
D．c
a −d
b >0
三、填空题
12．（2025·吉林长春·二模）正整数a,b满足3<a<b<9，则a+b
ab
的最大值为
．
13．（2024·河北石家庄·二模）若实数x , y , z≥0，且x + y + z = 4,2 x−y + z =5，则M = 4 x +3 y +5 z的取
值范围是
.
14．（2025·河北邯郸·三模）记min{x , y , z }表示x，y，z 中最小的数．设a>0，b>0，则
min{a, 1
b , 1
a +3b)的最大值为
．
四、解答题
15．（24-25 高一·全国·随堂练习）判断下列命题的真假，并说明理由：
(1)若a>b，则ac
2>bc
2；
(2)若ac
2>bc
2，则a>b；
(3)若a>b，c>d，则ac>bd；
(4)若a>b，则1
a < 1
b
．
16．（2025 高三·全国·专题练习）已知−1≤x + y ≤2，−2≤x−y ≤1，求x−2 y的取值范围.
17．（24-25 高一下·河北保定·阶段练习）（1）已知x ≤1，比较3 x
3与3 x
2−x +1的大小．
（2）比较2 x
2+5 x +3与x
2+ 4 x +2的大小．
18．（24-25 高一上·山西晋中·期末）为衡量房屋的采光效果，行业一般采用窗地面积比（房间窗洞口面积
与该房间地面面积的比值）作为标准，民用住宅的窗地面积比应不小于10%，且不超过50%，而且这个比
值越大，采光效果越好.设某住宅的窗洞口面积与地面面积分别为am
2，bm
2.
(1)若这所住宅的地面面积为100m
2，求这所住宅的窗洞口面积的范围；
(2)若窗洞口面积和地面面积在原来的基础上都增加了xm
2，判断这所住宅的采光效果是否变好了，并说明
理由.
19．（24-25 高一上·北京西城·期末）已知实数a，b满足−1<a<1，−1<b<1．
(1)求a+b和ab的取值范围；
(2)证明：1+ab>a+b．
