文档文本内容
专题7.1 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积（举一反三讲
义）
【全国通用】
【题型1 基本立体图形的结构特征】......................................................................................................................5
【题型2 斜二测画法及其应用】..............................................................................................................................6
【题型3 立体图形的展开图】..................................................................................................................................7
【题型4 最短路径问题】..........................................................................................................................................8
【题型5 多面体的表面积】......................................................................................................................................9
【题型6 旋转体的表面积】....................................................................................................................................10
【题型7 空间几何体的体积】................................................................................................................................10
【题型8 空间几何体的截面问题】........................................................................................................................11
1、基本立体图形、简单几何体的表面积与体积
考点要求
真题统计
考情分析
(1)认识柱、锥、台、球及
简单组合体的结构特征，能
运简单物体的结构
(2)知道球、棱(圆)柱、棱
(圆)锥、棱(圆)台的表面积
和体积的计算公式，并能解
决简单的实际问题
(3)能用斜二测画法画出简
单空间图形的直观图
2023 年新高考I 卷：第12 题，5
分
2023 年新高考
卷
Ⅱ
：第14 题，
12 分
2023 年全国乙卷（理数）：第8
题，5 分
2024 年新高考I 卷：第5 题，5
分
2024 年全国甲卷（文数）：第14
题，5 分、（理数）：第14 题，
5 分
2025 年全国二卷：第14 题，5 分
2025 年上海卷：第7 题，5 分、
第18 题，14 分
立体几何是高考的重点、热点内
容.空间几何体的结构特征与斜二测
画法是立体几何的基础，空间几何体
的表面积和体积是高考的重点与热
点，主要以选择题、填空题的形式考
查，难度较易；有时作为解答题的一
个构成部分考查几何体的表面积与体
积，难度中等；在复习时，要加强几
何体表面积和体积的解题训练.
知识点
1
空间几何体的结构特征
1．多面体的结构特征
棱柱
棱锥
棱台
定
义
有两个面互相平行，其余各
面都是四边形，并且相邻两
个四边形的公共边都互相平
行，由这些面所围成的多面
体叫做棱柱.
有一个面是多边形，其
余各面都是有一个公共
顶点的三角形，由这些
面所围成的多面体叫做
棱锥.
用一个平行于棱锥底面
的平面去截棱锥，底面
和截面之间那部分多面
体叫做棱台.
图
形
及
表
示
棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F'
(或六棱柱AD').
棱锥S-ABCD(或四棱锥
S - A C )
棱台ABCD-A'B'C'D'
结
构
特
征
(1)底面互相平行且全等；
(2)侧面都是平行四边形；
(3)侧棱都相等，且互相平行.
(1)底面是多边形；
(2)侧面都是三角形；
(3)侧面有一个公共顶点.
(1)上、下底面互相平
行，且是相似图形；
(2)各侧棱的延长线交于
一点；
(3)各侧面为梯形.
分
类
棱柱的底面是几边形就叫几
棱柱，例如，三棱柱、四棱
柱……
棱锥的底面是几边形就
叫几棱锥，例如，三棱
锥、四棱锥……
由几棱锥截得的就叫几
棱台，例如，由三棱锥
截得的棱台叫三棱台.
2．旋转体的结构特征
圆柱
圆锥
圆台
球
定
义
以矩形的一边所在直
线为旋转轴，其余三
边旋转一周形成的面
所围成的旋转体叫做
圆柱.
以直角三角形的一条
直角边所在直线为旋
转轴，其余两边旋转
一周形成的面所围成
的旋转体 叫做圆锥.
用平行于圆锥底面的
平面去截圆锥，底面
与截面之间的部分叫
做圆台.
半圆以它的直径所在直
线为旋转轴，旋转一周
形成的曲面叫做球面，
球面所围成的旋转体叫
做球体，简称球.
图
形
及
表
示
圆柱OO'
圆锥SO
圆台OO'
球O
结
构
特
征
(1)圆柱两个底面是圆
面而不是圆.
(2)圆柱有无数条母
线，圆柱的任意两条
母线互相平行(与轴平
行)且相等.
(3)平行于底面的截面
是与底面大小相同的
圆面，过轴的截面(轴
截面)是全等的矩形.
(1)底面是圆面.
(2)有无数条母线，长
度相等且交于顶点.
(3)平行于底面的截面
是与底面大小不同的
圆面，过轴的截面
(轴截面)是全等的等
腰三角形.
(1)上、下底面是互相
平行且不相等的圆面.
(2)有无数条母线，等
长且延长线交于一点.
(3)平行于底面的截面
是与两底面大小都不
等的圆面，过轴的截
面(轴截面)是全等的
等腰梯形.
(1)球的表面叫做球面，
所以球面是旋转形成的
曲面.另外，球面也可看
成空间中，到定点(球
心)的距离等于定长(半
径)的所有点的集合.
(2)球的截面都是圆面.
棱柱与圆柱统称为柱体，棱锥与圆锥统称为锥体，棱台与圆台统称为台体.
3．空间几何体结构特征的判断技巧
(1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况
下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定.
(2)通过反例对结构特征进行辨析，即要说明个命题是错误的，只要举出一个反例即可.
知识点
2
斜二测画法和展开图的常用结论
1．斜二测画法的常用结论：
(1)在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段.“平行于x 轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y 轴的
线段平行性不变，长度减半.”
(2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：
.
2．几何体的表面展开图的常用结论：
几何体的表面展开图可以有不同的形状，应多实践，观察并大胆想象立体图形与表面展开图的关系，一定
先观察立体图形的每一个面的形状.
知识点
3
简单几何体的表面积与体积
1．多面体的侧面积、表面积和体积
多面体
图形
侧面积与表面积
体积
棱柱
直棱柱的侧面展开图是矩形，
S 直棱柱侧=Ch(C 为底面周长，h 为
高)，
S 直棱柱表=S 直棱柱+2S 底(S 底为底面面积)
V 柱= S 底h ( S 底为底面面
积，h 为高)
棱锥
正棱锥的侧面展开图是一些全等的
等腰三角形，S 正棱锥侧=
Ch' (C 为底
面周长，h'为斜高)，S 正棱锥表=S 正棱锥侧
+S 底(S 底为底面面积)
( S 底为底面面积，h 为
高)
棱台
正棱台的侧面展开图是一些全等的
等腰梯形，S 正棱台侧=
(C+C')h'(C'、
C 分别为上、下底面的周长，h'为斜
高)，S 正棱台表=S 正棱台侧+S+S′(S′、S 分
别为上、下底面面积)
(S'、S 分别为上、下底面
面积，h 为棱台的高)
2．旋转体的侧面积、表面积和体积
旋转体
图形
侧面积与表面积
体积
圆柱
圆柱的侧面展开图是矩形，S 圆柱侧
=2πrl，表面积S=2πr2+2πrl=2πr(r+l)
体积V= S 底h ( S 底为底面面
积，h 为高)
圆锥
圆锥的侧面展开图是扇形，S 圆锥侧
=πrl，表面积S=πr2+πrl=πr(r+l)
体积V=
S 底h ( S 底为底面面
积，h 为高)
圆台
圆台的侧面展开图是扇环，S 圆台侧
=π(r1+r2)l，
表面积
体积
(S'、S 分别为上、下底面面
积，h 为圆台的高)
球
半径为R 的球的表面积S=4πR2
半径为R 的球的体积
知识点
4
最短路径问题
1．最短路径问题的解题策略
(1)解题思想：化曲为直，化折为直，立体展开成平面.
(2)方法总结：解决空间几何体表面最短路径问题关键是把立体图形平面化，即把立体图形沿着某一条直线
展开，转化为平面问题之后，借助“两点之间，线段最短”，构造三角形，借助解三角形的方法求解.
知识点
5
空间几何体表面积与体积的常见求法
1．常见的求几何体体积的方法
(1)公式法：直接代入公式求解.
(2)等体积法：四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面面积和高都易求出的形式即可.
(3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，三棱柱补成四棱柱等.
(4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积.
2．求组合体的表面积与体积的方法
求组合体的表面积的问题，首先应弄清它的组成部分，其表面有哪些底面和侧面，各个面的面积应该怎样
求，然后根据公式求出各个面的面积，最后相加或相减.求体积时也要先弄清各组成部分，求出各简单几何
体的体积，再相加或相减.
【方法技巧与总结】
1．与体积有关的几个结论
(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差.
(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等(祖暅原理).
2．直观图与原平面图形面积间的关系：
，
.
【题型1 基本立体图形的结构特征】
【例1】（2025·安徽马鞍山·二模）在三棱柱ABC −A1B1C1中，截去三棱锥C1−ABC后，剩余的部分是
（ ）
A．五棱锥
B．四棱锥
C．三棱柱
D．三棱台
【变式1-1】（2025·贵州黔南·二模）某学生为制作圆台形容器，利用如图所示的半圆环（其中小圆和大圆
的半径分别是2cm和4cm）铁皮材料，通过卷曲使得AB边与DC边对接制成圆台形容器的侧面，则该圆台
的高为（ ）
A．
❑√3
2 cm
B．1cm
C．❑√3cm
D．3 ❑√3
2
cm
【变式1-2】（2025·云南昆明·模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．四棱柱的所有面均为平行四边形
B．球面上四个不同的点一定不在同一平面内
C．在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线
D．在正方体的所有顶点中取4 个点，则由这4 个顶点可以构成三个面是直角三角形，一个面是等边三
角形的四面体
【变式1-3】（2025·湖北黄冈·三模）将一个棱长为10cm的正方体铁块磨制成一个零件，能够磨制成的零
件可以是（ ）
A．底面半径为8cm，高为10cm的圆柱体B．底面直径为8cm，高为8cm的圆锥体
C．半径为6cm的球体
D．各棱长均为15cm的四面体
【题型2 斜二测画法及其应用】
【例2】（24-25 高一下·福建莆田·期中）如图所示，梯形A
′ B
′C
′ D
′是平面图形ABCD用斜二测画法得到
的直观图，A
′ D
′ =2，B
′C
′ = A
′ B
′ =1，则平面图形ABCD中对角线AC的长度为（ ）
A．❑√5
B．❑√3
C．❑√2
D．2
【变式2-1】（24-25 高一下·广西防城港·期中）用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图，如图
所示，C
′ B
′⊥x
′轴，C
′ D
′∥y
′轴，C
′ B
′ = ❑√2, A
′ B
′ =5，则△A
′ B
′C
′的原图形的面积为（ ）
A．5
B．10
C．10 ❑√2
D．5 ❑√2
【变式2-2】（24-25 高一下·天津·期中）如图，用斜二测画法画水平放置的四边形ABCD，其直观图为等
腰梯形A
′ B
′C
′ D
′，若A
′ B
′ =6，C
′ D
′ = 4，则下列说法正确的是（ ）
A．A
′ D
′ =2❑√2
B．AB =3
C．四边形ABCD 的周长为10+ ❑√6+ ❑√2
D．四边形ABCD 的面积为10 ❑√2
【变式2-3】（2025·四川成都·模拟预测）如图，△O
′ A
′ B
′是水平放置的△OAB用斜二测画法画出的直观
图（图中虚线分别与x
′轴和y
′轴平行），O
′ B
′ =2O
′ D
′ =6，O
′C
′ =8，则△OAB的面积为（ ）
A．8 ❑√2
B．12❑√2
C．24
D．48
【题型3 立体图形的展开图】
【例3】（2025·浙江金华·二模）如图，AB，CD是棱长为2 的正方体展开图中的两条线段，则原正方体
中几何体ABCD的表面积为（ ）
A．6+ 4 ❑√2
B．6+2❑√3
C．2+2❑√2+ 4 ❑√3
D．2+ 4 ❑√2+ 4 ❑√3
【变式3-1】（2025·陕西·模拟预测）已知一个圆锥的底面圆半径为2，其侧面展开图是一个圆心角为2π
3
的扇形，则该圆锥的体积为（ ）
A．2❑√2π
B．2π
3
C．16 ❑√2π
3
D．4 ❑√35π
3
【变式3-2】（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知一个圆台母线长为2，侧面展开图是一个圆心角为2π
3
的扇
环，则圆台上下底面圆周长之差的绝对值为（ ）
A．4π
3
B．2π
C．3π
D．4π
【变式3-3】（2025·河南新乡·一模）“蝠”与“福”发音相同，在中国文化中，蝙蝠图案经常寓意福气临
门．某商家设计的折叠储物凳是正三棱台形状，如图，其侧面展开图形似蝙蝠．每个侧面梯形的上底长为
❑√3分米，下底长为2❑√3分米，梯形的腰长为❑√13分米，忽略储物凳的表面厚度，则该正三棱台储物凳的
储物容积为（ ）
A．7 ❑√3
2
立方分米
B．7 ❑√3立方分米 C．7 立方分米
D．21
2
立
方分米
【题型4 最短路径问题】
【例4】（24-25 高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知在圆锥SO 中，底面圆O 的直径AB =2，圆锥SO 的
体积为2❑√2
3
π，点M 在母线SB 上，且⃗SM = 1
3⃗SB，一只蚂蚁若从A 点出发，沿圆锥侧面爬行到达M
点，则它爬行的最短距离为（ ）
A．❑√7
B．❑√13
C．❑√19
D．3 ❑√3
【变式4-1】（2025·安徽·一模）在正四棱柱ABCD−A1B1C1 D1中，AB = 4 , A A1=5，E , F ,G分别为侧
棱B B1,C C1, D D1上一点，则AE + EF + FG+G A1的最小值为（ ）
A．❑√281
B．❑√283
C．❑√285
D．14
【变式4-2】（24-25 高二上·上海·期中）如图，一圆柱体的底面周长为24cm，高BC为9cm，AB是底面的
直径.一只昆虫从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则昆虫爬行的最短距离是
cm.
【变式4-3】（2025·海南海口·二模）素描是使用单一色彩表现明暗变化的一种绘画方法，素描水平反映了
绘画者的空间造型能力．“十字贯穿体”是学习素描时常用的几何体实物模型，图1 是某同学绘制的“十
字贯穿体”的素描作品．“十字贯穿体”是由两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成的多面体，其中
一个四棱柱的每一条侧棱分别垂直于另一个四棱柱的每一条侧棱，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于
两点，另外两条相对的侧棱交于一点（该点为所在棱的中点）．若该同学绘制的“十字贯穿体”由两个底
面边长为4，高为6 ❑√2的正四棱柱构成（图2），则一只蚂蚁从该“十字贯穿体”的点C出发，沿表面到达
点D的最短路线长为
．
【题型5 多面体的表面积】
【例5】（2025·陕西西安·一模）正三棱锥S−ABC侧棱长为1，E，F 分别是SA，SC 上的动点，当△BEF
周长的最小值为❑√2时，三棱锥的侧面积为（ ）
A．3
4
B．1
C．5
4
D．2
【变式5-1】（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，在正三棱柱ABC −A1B1C1中，D为B B1上一点，
AB = B B1，2BD = B1 D，平面ACD将三棱柱截为两部分，则这两部分几何体的表面积之比为（ ）
A．3 ❑√3+ ❑√31+32
3 ❑√3+ ❑√31+ 4
B．3 ❑√3+ ❑√31+32
3 ❑√3+ ❑√31+2
C．8
D．9
【变式5-2】（2024·安徽池州·模拟预测）如图所示的“升”是我国古代测量粮食的一种容器，从形状上可
抽象成一个正四棱台．现有一个上、下底面边长分别为20cm和10cm的“升”，侧棱长为15cm，要做成
一个该“升”的几何体，其侧面所需板材的最小面积为 cm
2．
【变式5-3】（2025·陕西汉中·三模）如图，将棱长为2 的正方体六个面的中心连线，可得到八面体
E−ABCD−F，则该八面体的表面积为
.
【题型6 旋转体的表面积】
【例6】（2025·海南·模拟预测）已知一个圆锥的母线长为❑√5，高为2，则该圆锥的表面积为（ ）
A．5❑√5π
B．(❑√5+1)π
C．2❑√5π
D．(2❑√5+1)π
【变式6-1】（2025·山东临沂·三模）一圆台的上、下底面半径分别为2、4，体积为56 ❑√3
3
π，则该圆台
的侧面积为（ ）
A．12π
B．18π
C．24π
D．36π
【变式6-2】（2025·海南海口·模拟预测）已知圆锥的母线长等于底面的圆半径的2 倍，那么该圆锥的表面
积与圆锥的内切球表面积之比为（ ）
A．3
2
B．9
4
C．3 ❑√6
4
D．27
8
【变式6-3】（2025·黑龙江哈尔滨·三模）已知一个等腰梯形的下底边长是上底边长的3 倍，两腰与下底边
所成角为π
3
，面积为8 ❑√3．若该等腰梯形是一个圆台的轴截面，则该圆台的侧面积为（ ）
A．16π
B．26π
C．16 ❑√3π
D．32π
【题型7 空间几何体的体积】
【例7】（2025·湖北武汉·三模）如图，如图1 的“方斗”古时候常作为一种容器，有如图2 的方斗杯，其
形状是一个上大下小的正四棱台，AB =10，A1B1=2，现往该方斗杯里加水，当水的高度是方斗杯高度
的3
4
时，水的体积为84，则该方斗杯可盛水的总体积为（ ）
A．112
B．496
3
C．1850
9
D．496
【变式7-1】（2025·安徽·模拟预测）已知圆台的上、下底面半径分别为1 和2，其侧面积等于上、下底面
积之和，则该圆台的体积为（ ）
A．4π
3
B．28π
9
C．4π
D．28π
3
【变式7-2】（2025·北京大兴·三模）《九章算术》是我国古代的一部数学名著，书中记载了一类名为“羡
除”的五面体．如图，在羡除ABCDEF中，底面ABCD是正方形，EF
平面
∥
ABCD，EF =2，其余棱长
都为1，则这个几何体的体积为（ ）
A．2❑√2
B．❑√2
C．2❑√2
3
D．
❑√2
3
【变式7-3】（2025·湖南邵阳·模拟预测）在正方体ABCD−A1B1C1 D1中，E，F，G 分别是C1 D1，AD
，C C1的中点，过E，F，G 三点的截面把正方体分成两部分，则体积较大的部分与正方体体积之比为
（ ）
A．13
16
B．59
72
C．119
144
D．49
72
【题型8 空间几何体的截面问题】
【例8】（2025·青海海东·二模）如图，在正方体ABCD−A1B1C1 D1中，AB = 4，E，F分别是棱CD，
A1 D1的中点，则正方体ABCD−A1B1C1 D1被平面AEF所截得的截面周长是（ ）
A．4 ❑√5+ 4 ❑√2
B．5 ❑√5+ ❑√17
C．4 ❑√5+2❑√2+ 4
D．6 ❑√5+2
【变式8-1】（2025·全国·模拟预测）已知正方体ABCD−A1B1C1 D1中，点E是线段B B1上靠近B1的三
等分点，点F是线段D1C1上靠近D1的三等分点，则平面AEF 截正方体ABCD−A1B1C1 D1形成的截面图
形为（ ）
A．三角形
B．四边形
C．五边形
D．六边形
【变式8-2】（2025·安徽合肥·三模）已知正四棱锥P−ABCD的所有棱长都等于3，点G是△PAC的重
心，过点G作平面α，若平面α//平面PCD，则平面α截正四棱锥P−ABCD的截面面积为（ ）
A．5 ❑√3
4
B．5 ❑√15
8
C．2❑√3
D．2❑√15
【变式8-3】（2025·河北秦皇岛·一模）在《通用技术》课上，某同学设计了如图所示的多面体
ABCDEFKLHMNG，已知平面LMH //平面ABCDEF，平面AKF //平面CDGHMN，平面BCN //
平面EFKLHG，平面DEG //平面ABNMLK，AB =CD = EF = KL= MN = HG =2，且
△LMH ,△AKF ,△BCN ,△DEG均为边长为1 的正三角形，该同学欲过LK的中点P作该几何体的截面α
，若LK ⊥α，则截面α的面积为（ ）
A．4 ❑√2
B．15 ❑√2
4
C．7 ❑√2
2
D．3 ❑√2
一、单选题
1．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知正四棱台ABCD−A1B1C1 D1的体积为7
6
❑√2，且AB =2 A1B1=2，
则正四棱台的高为（ ）
A．
❑√2
2
B．❑√2
C．2
D．❑√6
2．（2025·贵州贵阳·模拟预测）半径为1 的球O 内切于正三棱柱ABC −A1B1C1，则该正三棱柱的体积为
（ ）
A．2❑√3
B．4 ❑√3
C．6 ❑√3
D．8 ❑√3
3．（24-25 高一下·安徽合肥·期中）从几何体的某一顶点开始，沿着棱不间断，不重复地画完所有棱的画
法称为“一笔画”.下列几何体可以“一笔画”的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·湖北·模拟预测）用斜二测画法画出的水平放置的△ABC的直观图如图所示，其中D
′是B
′C
′的
中点，且A
′ D
′ // y
′轴， B
′C
′ // x
′轴， A
′ D
′ = B
′C
′ =2，那么S△ABC =（ ）
A．❑√2
B．2
C．2❑√2
D．4
5．（2025·湖北黄冈·模拟预测）如图，一个沙漏模型正好放进一个棱长为2 的正方体中，使得沙漏底面与
正方体底面位于同一平面内，且其底面所在的圆是正方体底面的内切圆，则该沙漏的体积是（ ）
A．2π
3
B．π
C．4π
3
D．2π
6．（2025·福建泉州·模拟预测）如图茶杯的形状是一个上宽下窄的正四棱台，上底面边长为下底面边长的
2 倍，容积为28ml，厚度忽略不计.当倒入14ml 茶水时，茶水的高度与茶杯的高度之比为（ ）
A．3√
1
2
B．1
2
C．3√
9
2 −1
2
D．3√
9
2 −1
7．（2025·宁夏吴忠·二模）已知矩形ABCD中，AB =2❑√3，BC =2，以AC所在直线为旋转轴，将矩形
ABCD旋转一周形成一个几何体Ω，则Ω的体积为（ ）
A．28
9 π
B．28
3 π
C．56
9 π
D．56
3 π
8．（2025·山东枣庄·二模）如图，有一正方体形状的木块，A 为顶点，B ,C分别为棱的中点，则过点
A ,B ,C的平面截该木块所得截面的形状为（ ）
A．等腰三角形
B．等腰梯形
C．五边形
D．六边形
二、多选题
9．（2025·陕西西安·二模）如图，四边形ABCD的斜二测画法的直观图为等腰梯形A
′ B
′C
′ D
′，已知
A
′ B
′ = 4，C
′ D
′ =2，则下列说法正确的是（ ）
A．A
′ D
′ =2❑√2
B．AB = 4
C．四边形ABCD的面积为6 ❑√2
D．四边形ABCD的周长为6+ ❑√6+ ❑√2
10．（2025·河北衡水·三模）如图，该几何体是高相等的正四棱柱和正四棱锥组成的几何体，若该几何体
底面边长和上面正四棱锥的侧棱长均为10cm，则下列选项中正确的是（ ）
A．正四棱锥的高为5 ❑√2cm
B．该几何体的表面积为(100 ❑√3+200 ❑√2)cm
2
C．该几何体的体积为2000 ❑√2
3
cm
3
D．一只小蚂蚁从点E 爬行到点S，它所经过的最短路程为❑√150+50 ❑√6cm
11．（2025·山东·模拟预测）在棱长为3 的正四面体ABCD中，已知点M , N分别在线段AB ,CD上运动
（不含端点），则（ ）
A．M , N两点距离的最小值为3 ❑√2
2
B．直线CM与直线AN有可能平行
C．当MN最小时，以线段MN为直径的球与正四面体的棱恰有6 个公共点
D．当MN最小时，与MN垂直的平面截正四面体得到的截面为矩形
三、填空题
12．（2025·上海·高考真题）如图，在正四棱柱ABCD−A1B1C1 D1
中，BD = 4 ❑√2, D B1=9，则该正四
棱柱的体积为
．
13．（2025·全国二卷·高考真题）一个底面半径为4cm，高为9cm的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不
计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为
cm．
14．（2025·全国·模拟预测）已知正三棱锥的各顶点都在体积为36π的球面上，正三棱锥体积最大时，该
正三棱锥的高为
.
四、解答题
15．（24-25 高一下·辽宁·期末）如图所示，梯形A
' B
'C
' D
'是水平放置的四边形ABCD根据斜二测画法得
到的直观图，其中A
' D
' //O
' y
'，A
' B
' //C
' D
'，A
' B
' = 2
3 C
' D
' =2，A
' D
' =O
' D
' =1．
(1)画出原四边形ABCD；
(2)分别求出原四边形ABCD与梯形A
' B
'C
' D
'的面积．
16．（2025·江苏泰州·二模）在正三棱台ABC −A1B1C1中，AB =2，AB> A1B1，侧棱A A1与底面ABC
所成角的正切值为❑√2．若存在球O与正三棱台ABC −A1B1C1的5 个面同时相切，求：
(1)正三棱台ABC −A1B1C1的体积；
(2)正三棱台ABC −A1B1C1的表面积．
17．（2025·全国·模拟预测）已知在正四面体ABCD中，棱AB , AC , DB , DC的中点分别为E , F ,G , H．
(1)若EF = 4，求△AGH的面积；
(2)平面EFGH将正四面体ABCD划分成两部分，求这两部分的体积之比．
18．（2025·上海·高考真题）如图，P 是圆锥的顶点，O 是底面圆心，AB 是底面直径，且AB =2．
(1)若直线PA 与圆锥底面的所成角为π
3
，求圆锥的侧面积；
(2)已知Q 是母线PA 的中点，点C、D 在底面圆周上，且弧AC 的长为π
3
，CD∥AB．设点M 在线段OC
上，证明：直线QM ∥平面PBD．
19．（24-25 高一下·广东广州·期中）某工厂生产出一种机械零件，如图所示，零件的几何结构为圆台
O1O2，在轴截面ABCD中，AB = AD = BC = 4cm ,CD =2 AB．
(1)求圆台O1O2的高；
(2)求圆台O1O2轴截面的面积；
(3)若一只蚂蚁从点C沿着该圆台的侧面爬行到AD的中点，求所经过的最短路程．
