专题6.3 等比数列及其前n 项和（举一反三讲义）
【全国通用】
【题型1 等比数列的基本量计算】..........................................................................................................................4
【题型2 等比数列的性质及应用】..........................................................................................................................5
【题型3 等比数列的判定与证明】..........................................................................................................................5
【题型4 等比数列的通项公式】..............................................................................................................................6
【题型5 等比数列中的单调性与最值问题】.........................................................................................................6
【题型6 等比数列前n 项和的性质】......................................................................................................................7
【题型7 等比数列的简单应用】..............................................................................................................................7
【题型8 等差数列与等比数列的综合应用】.........................................................................................................8
【题型9 等比数列中的不等式恒成立问题】.......................................................................................................10
【题型10 与等比数列有关的新定义、新情景问题】.........................................................................................10
1、等比数列及其前n 项和
考点要求
真题统计
考情分析
(1)通过生活中的实例，理解
等比数列的概念和通项公式
的意义
(2)掌握等比数列前n 项和公
式，理解等比数列的通项公
式与前n 项和公式的关系
(3)能在具体问题情境中，发
现数列的等比关系，并解决
相应的问题
(4)体会等比数列与指数函数
的关系
2023 年新高考Ⅱ卷：第8 题，5
分
2023 年全国乙卷（理数）：第15
题，5 分
2023 年全国甲卷（理数）：第5
题，5 分
2024 年新高考Ⅱ卷：第19 题，
17 分
2024 年北京卷：第15 题，5 分
2025 年全国一卷：第13 题，5 分
2025 年全国二卷：第9 题，6 分
2025 年北京卷：第5 题，4 分
2025 年天津卷：第19 题，15 分
等比数列是高考的重点、热点内
容，属于高考的常考内容之一.从近几
年的高考情况来看，等比数列的基本
量计算和基本性质、等比数列的中项
性质、判定是高考考查的热点，主要
以选择题、填空题的形式考查，难度
较易；等比数列的证明、求和及综合
应用是高考考查的重点，一般出现在
解答题中，难度中等.
近年高考压轴题中也会出现数列
的新定义、新情景题，难度较大，需
要灵活求解.
知识点
1 等比数列及其前
n 项和
1．等比数列的概念
文字
语言
一般地，如果一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常
数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用
字母q 表示(q≠0)
符号
语言
在数列{an}中，如果
（或
）(q≠0)成
立，则称数列{an}为等比数列，常数q 称为等比数列的公比
递推
关系
或
2．等比中项
如果在a 与b 中间插入一个数G(G≠0)，使a,G,b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项.
若G 是a 与b 的等比中项，则
，所以G2=ab，即G=
.
3．等比数列的通项公式
若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则这个等比数列的通项公式是
(a1,q≠0).
4．等比数列的单调性
已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则
(1)当
或
时，等比数列{an}为递增数列；
(2)当
或
时，等比数列{an}为递减数列；
(3)当q=1 时，等比数列{an}为常数列(这个常数列中各项均不等于0)；
(4)当q<0 时，等比数列{an}为摆动数列(它所有的奇数项同号，所有的偶数项也同号，但是奇数项与偶数项
异号).
5．等比数列的性质
设{an}为等比数列，公比为q，则
(1)若m+n=p+q，m,n,p,q∈N*，则
.
(2)若m,n,p(m,n,p∈N*)成等差数列，则
成等比数列.
(3)数列{λan}(λ 为不等于零的常数)仍是公比为q 的等比数列；
数列{
}是公比为
的等比数列；
数列{
}是公比为
的等比数列；
若数列{bn}是公比为q'的等比数列，则数列{
}是公比为q·q'的等比数列.
(4)在数列{an}中，每隔k(k∈N*)项取出一项，按原来的顺序排列，所得数列仍为等比数列，且公比为
.
(5)在数列{an}中，连续相邻k 项的和(或积)构成公比为qk(或
)的等比数列.
(6)若数列{an}是各项都为正数的等比数列，则数列{
}(c>0 且c≠1)是公差为
的等差数列.
6．等比数列的前n 项和公式
若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则等比数列{
}的前n 项和公式为
=
.
7．等比数列前n 项和的性质
已知等比数列{an}的公比为q，前n 项和为Sn，则有如下性质：
(1)
.
(2)若
(k∈N*)均不为0，则
成等比数列，且公比为qk.
(3)若{an}共有2n(n∈N*)项，则
=q；
若{an}共有(2n+1)(n∈N*)项，则
=q.
知识点
2 等比数列的基本运算的解题策略
1．等比数列基本量的运算的求解思路：
等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以
“知三求二”，通过列方程（组）便可迎刃而解.
知识点
3 等比数列的判定方法
1．证明数列是等比数列的主要方法：
(1)定义法：
（常数）
为等比数列；
(2)中项法：
为等比数列；
(3)通项公式法：
（k，q 为常数）
为等比数列；
证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某
数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.
2．在利用递推关系判定等比数列时，要注意对n=1 的情形进行验证.
知识点
4 等比数列及其前
n 项和的性质及应用
1．等比数列的性质：
等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形；二是等比中项的变形；三是前n 项和公式的变形.根
据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.
2．等比数列的单调性与最值问题
涉及等比数列的单调性与最值的问题，一般要考虑公比与首项的符号对其的影响.
知识点
5 等比数列前
n 项和的函数特征
1．Sn与q 的关系
(1)当公比q≠1 时，等比数列的前n 项和公式是
，它可以变形为
,设
，则上式可以写成
的形式，
由此可见，数列{Sn}的图象是函数
图象上的一群孤立的点；
(2)当公比q=1 时，等比数列的前n 项和公式是
，则数列{Sn}的图象是函数
图象上的一群孤
立的点.
2．Sn与an的关系
当公比q≠1 时，等比数列的前n 项和公式是
，它可以变形为
,设
，则上式可以写成
的形式，则Sn是an的一次函数.
【方法技巧与总结】
1．等比数列{an}的通项公式可以写成
，这里c≠0，q≠0.
2．等比数列{an}的前n 项和Sn可以写成
(A≠0，q≠1,0).
3．设数列{an}是等比数列，Sn是其前n 项和.
(1)
.
(2)若
，则
成等比数列.
(3)若数列{an}的项数为2n，则
；若项数为2n+1，则
.
【题型1 等比数列的基本量计算】
【例1】（2025·安徽芜湖·模拟预测）若等比数列{an)的第3 项和第5 项分别为48 和12，则{an)的首项a1=
（ ）
A．－192
B．192
C．±192
D．－193
【变式1-1】（2025·浙江杭州·二模）若等比数列{an)满足a1+a2=2，a1−a3=3，则数列{an)的公比等于
（ ）
A．−1
2
或1
3
B．1
2
或−1
2
C．−1
2
D．1
3
【变式1-2】（2025·湖南邵阳·模拟预测）记等比数列{an)的前n项和为Sn，若a2=1，S6= 19
27 S3，则a1=
（ ）
A．3
B．2
C．−2
3
D．−3
2
【变式1-3】（2025·河南·二模）已知首项为1的等比数列{an)的前n项和为Sn
，若{Sn−an+1)也为等比数
列，则{an)的公比为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【题型2 等比数列的性质及应用】
【例2】（2025·福建泉州·模拟预测）已知{an)为等比数列，a2a7=−3，a2a5=a1a3a6
，则a6=（ ）
A．−3
B．3
C．−9
D．9
【变式2-1】（2025·云南保山·一模）若a、3、b、1成等比数列，则ab=（ ）
A．4
B．6
C．9
D．12
【变式2-2】（2025·江苏南通·三模）在等比数列{an)中，a5⋅a6⋅a7=8，a2+a6=20，则a4=（ ）
A．36
B．±6
C．−6
D．6
【变式2-3】（2025·河南·一模）若a,3,b,1成等比数列，则a⋅b=（ ）
A．4
B．6
C．9
D．12
【题型3 等比数列的判定与证明】
【例3】（2025·上海黄浦·三模）已知数列{an)各项为正，P:{an)满足am+n=aman
，m、n 是正整数，
Q:{an)是等比数列，则P 是Q 的（ ）
A．充分必要条件
B．充分非必要条件
C．必要非充分条件
D．既非充分也非必要条件．
【变式3-1】（2024·宁夏银川·二模）已知数列{an}满足a1=1，a2= 4，3an+2+an= 4 an+1，则下列是等比
数列的是（ ）
A．{an+3}
B．{an−3}
C．{an+1+an)
D．{an+1−an)
【变式3-2】（2024·全国·模拟预测）已知数列{an)的前n项和为Sn
，满足Sn=2an−n
2+2．
(1)求证：数列{an+2n+3)为等比数列；
(2)设bn= an
2
n ,{bn)
的前n项和为Bn
，求Bn
．
【变式3-3】（2025·吉林延边·一模）已知数列{an)的首项a1=1，且满足an+1=3an+2n−1.
(1)求a2，a3；
(2)证明：数列{an+n)为等比数列；
(3)求数列{an)的通项公式.
【题型4 等比数列的通项公式】
【例4】（2025·全国·一模）等比数列{an)中，|a1)=1，a5=−8a2
，a5<a2
，则an=（ ）
A．(−2)
n−1
B．−(−2)
n−1
C．(−2)
n
D．−(−2)
n
【变式4-1】（2024·海南·模拟预测）已知等比数列{an)的公比不为1，若a1=2，且3a1,a2,−a3
成等差数
列，则an=（ ）
A．2×3
n−1
B．3
n
C．2×(−3)
n−1
D．(−3)
n
【变式4-2】（2025 高三·全国·专题练习）已知递增等比数列{an)中，a1+a2=6,a3+a4=24，设
bn=
an
(an−1)(an+1−1)
．
(1)求{an)的通项公式；
(2)求{bn)的前n项和Sn
．
【变式4-3】（2024·吉林·模拟预测）已知数列{an)满足：a1=1,an+1=an+2(n∈N
*)，数列{bn)为单调递
增等比数列，b2=2，且b1,b2,b3−1成等差数列.
(1)求数列{an),{bn)的通项公式；
(2)设cn=an+log2bn
，求数列{cn)的前n项和T n
.
【题型5 等比数列中的单调性与最值问题】
【例5】（24-25 高三上·云南昆明·期中）设等比数列{an)公比为q，则“q>1”是“{an)为递增数列”的
（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．即不充分也不必要条件
【变式5-1】（2025·北京顺义·一模）设{an)为等比数列，则“存在i> j>k，使得ai<a j<ak
”是“{an)为递
减数列”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【变式5-2】（2025·上海闵行·二模）已知数列{an)为等比数列，首项a1>0，公比q∈(−1,0)，则下列叙述
不正确的是（ ）
A．数列{an)的最大项为a1
B．数列{an)的最小项为a2
C．数列{anan+1)为严格递增数列
D．数列{a2n−1+a2n)为严格递增数列
【变式5-3】（24-25 高三上·贵州黔西·阶段练习）设等比数列{an)的公比为q，其前n项和为Sn
，前n项积为
T n
，且满足条件a1>1，a2020a2021>1，(a2020−1)(a2021−1)<0，则下列选项错误的是（ ）
A．0<q<1
B．S2020+1>S2021
C．T 2020
是数列{T n)中的最大项
D．T 4041>1
【题型6 等比数列前n 项和的性质】
【例6】（2025·江西赣州·二模）设等比数列{an)的前n 项和为Sn
，若S20=21，S30= 49，则S10=（ ）
A．−7
B．7
C．63
D．7 或63
【变式6-1】（2025·江西·二模）记Sn
为等比数列{an)的前n项和，若a4+a5+a6=−3,a7+a8+a9=9，则
S15=（ ）
A．81
B．71
C．61
D．51
【变式6-2】（24-25 高二上·重庆·期中）已知等比数列{an)有2n+1项，a1=1，所有奇数项的和为85，所
有偶数项的和为42，则n=（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【变式6-3】（2024·湖南邵阳·模拟预测）记Sn
为公比小于1 的等比数列{an)的前n项和，S3=2，
S12
S6 S9
= 5
14
，则S6=（ ）
A．6
B．3
C．1
D．1
3
【题型7 等比数列的简单应用】
【例7】（2025·贵州遵义·模拟预测）公元前1650 年的埃及莱因德纸草书上载有如下问题：“十人分十斗
玉米，从第二人开始，各人所得依次比前人少八分之一，问每人各得玉米多少斗？”在上述问题中，前五
人得到的玉米总量为（ ）
A．10×8
5
8
5+7
5
斗
B．10×8
6
8
5+7
5
斗
C．10×8
5
8
5−7
5
斗
D．10×8
6
8
5−7
5
斗
【变式7-1】（2025·四川内江·一模）2024年3月12日是第46个植树节，为加快建设美丽内江、筑牢长江
上游生态屏障贡献力量，我市积极组织全民义务植树活动．现有一学校申领到若干包树苗（每包树苗数相
同），该校8个志愿小组依次领取这批树苗开展植树活动．已知第1组领取所有树苗的一半又加半包，第2
组领取所剩树苗的一半又加半包，第3组也领取所剩树苗的一半又加半包．以此类推，第8组也领取所剩树
苗的一半又加半包，此时刚好领完所有树苗．请问该校共申领了树苗多少包？（ ）
A．127
B．255
C．316
D．511
【变式7-2】（2025·四川宜宾·一模）《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣
厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.”题意是：有两只老鼠从墙
的两边打洞穿墙.大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.如果墙足
够厚，第n天后大老鼠打洞的总进度是小老鼠的4 倍，则n的值为（ ）
A．5
B．4
C．3
D．2
【变式7-3】（2024·云南昆明·一模）第七届国际数学大会（ICNE7）的会徽图案是由若干三角形组成的.如
图所示，作Rt△AOB，OA =1，∠AOB =30°，再依次作相似三角形△BOC，△COD，△DOE
，……，直至最后一个三角形的斜边OM与OA第一次重叠为止.则所作的所有三角形的面积和为（ ）
A．
❑√3
2 [(
2❑√3
3 )
11
−1)
B．
❑√3
2 [(
4
3)
11
−1)
C．
❑√3
2 [(
2❑√3
3 )
12
−1)
D．
❑√3
2 [(
4
3)
12
−1)
【题型8 等差数列与等比数列的综合应用】
【例8】（2025·河南·二模）记等差数列{an)的前n 项和为Sn
，公差d ≠0，a1=1，数列{bn)为等比数列，且
b1=a3
，b2=a7
，b3=a15
，则S8
b4
=（ ）
A．2
B．5
2
C．11
8
D．3
【变式8-1】（2025·陕西宝鸡·三模）已知数列{an)满足a1>0,an+1={
log2an
n 为奇数
2
an+2
n 为偶数)
给出下列三个命
题
①数列{a2n−1)为等比数列；
②数列{a2n)为等差数列；
③当a1=1时，a20=18.
其中真命题的个数为（ ）个
A．0
B．1
C．2
D．3
【变式8-2】（2025·湖北·三模）记Sn
为等比数列{an)的前n项和，已知S6=63，a2−a8=−126，数列{bn)
是公差为1 的等差数列，且a1b4
=a3b1
，数列{cn)满足cn=an−bn
.
(1)求数列{an)和{bn)的通项公式；
(2)求数列{cn)的最小值及取得最小值时n的值．
【变式8-3】（2025·湖南长沙·三模）已知等差数列{an)的第2 项为3，其前5 项和为25．数列{bn)是公比大
于0 的等比数列，b1= 4，b3+b2=80．
(1)求{an)和{bn)的通项公式；
(2)记cn=b2n+ 1
bn
，n∈N
*，
（ⅰ）证明{cn
2−c2n)是等比数列；
（ⅱ）证明∑
i=1
n
❑√
aiai+1
ci
2−c2i
<2❑√2，n∈N
*．
【题型9 等比数列中的不等式恒成立问题】
【例9】（2025·甘肃定西·模拟预测）已知等比数列{an)的前n项和为Sn,a1+a3=5,S4=15，若对于任意
n∈N
*，不等式an
2+64
an
>m
2+6m恒成立，则m的取值范围为（ ）
A．(−8,2)
B．(−2,8)
C．(−10,6)
D．(−6,10)
【变式9-1】（2024·江苏苏州·二模）已知数列{an)的前n项和为Sn
，2an+1=3 Sn
，若t Sn<2
n对任意的
n∈N
∗恒成立，则实数t的取值范围为（ ）
A．(−4,2)
B．[−3,2)
C．(−6,2)
D．(−3,2)
【变式9-2】（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知数列{an)满足a1=5，an+1−2an=3
n（n∈N
*），记
bn=an−3
n．
(1)求证：{bn)是等比数列；
(2)设cn= 2n+1
bn
，数列{cn)的前n 项和为Sn．若不等式(−1)
n λ<Sn+ n
2
n−1对一切n∈N
*恒成立，求实数λ
的取值范围．
【变式9-3】（2025·天津·二模）已知等差数列{an)和等比数列{bn)满足：a1=b1=1，bn∈N
*，a2+a8=18
，b2b4=81
(1)求数列{an)和{bn)的通项公式；
(2)求数列{
n
2
anan+1)
的前n项和Sn；
(3)已知cn= an
3bn
，数列{cn)的前n项和T n
，若对任意正整数n，不等式1−T n< λ
2
n
恒成立，求实数λ的取值范
围．
【题型10 与等比数列有关的新定义、新情景问题】
【例10】（24-25 高三下·重庆·阶段练习）定义：满足 an+2
an+1
: an+1
an
=q(q) 为常数，n∈N
*）的数列{an) 称
为二阶等比数列，q为二阶公比.已知二阶等比数列∣an)的二阶公比为❑√2,a1=1,a2= ❑√2，则使得an>2024
成立的最小正整数n为（ ）
A．7
B．8
C．9
D．10
【变式10-1】（24-25 高二上·北京·期末）如果数列{an)满足an+2
an+1
−an+1
an
=k（k 为常数），那么数列{an)叫
做等比差数列，k 叫做公比差．下列四个结论中所有正确结论的序号是（ ）
①若数列{an)满足an+1
an
=2n，则该数列是等比差数列；
②数列{n⋅2
n)是等比差数列；
③所有的等比数列都是等比差数列；
④存在等差数列是等比差数列．
A．①②③
B．①③④
C．①②④
D．②③④
【变式10-2】（2025 高三下·全国·专题练习）若数列{an}中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则
称{an}为“等比源数列”．
(1)已知数列{an}为4，3，1，2，数列{bn}为1，2，6，24，分别判断{an},{bn}是否为“等比源数列”，并
说明理由；
(2)已知数列{cn}的通项公式为cn=2
n−1+1，判断{cn}是否为“等比源数列”，并说明理由；
【变式10-3】（2025·山西晋城·二模）设{an)是项数为m(m≥3,m∈N
*)且各项均不相等的正项数列，满足
下列条件的数列{bn)称为{an)的“m−等比关联数列”：①数列{bn)的项数为m(m−1)
2
(m≥3,m∈N
*)；②
{an)中任意两项乘积都是{bn)中的项；③{bn)是公比大于1 的等比数列．
(1)已知数列{bn)是{an)的“3−等比关联数列”，且a1=1，a2=2，a3= 4，求数列{bn)的通项公式；
(2)已知数列{bn)是{an)的“4−等比关联数列”，且{an)的前3 项成等比数列的概率为P，求P的值；
(3)证明：{an)不存在“5−等比关联数列”{bn)．
一、单选题
1．（2025·北京·高考真题）已知{an)是公差不为零的等差数列，a1=−2，若a3,a4,a6
成等比数列，则a10=
（ ）
A．−20
B．−18
C．16
D．18
2．（2025·四川成都·一模）记Sn
为等比数列{an)的前n项和，若S9+7 S6=8 S3
，则{an)的公比为（ ）
A．2
B．1
2
C．−1
2
D．−2
3．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知等比数列{an)的前n项和为Sn
，且an+1=2Sn+2，则an=（ ）
A．2×3
n−1
B．3×2
n−1
C．3
n
D．2
n
4．（2025·云南丽江·模拟预测）已知等比数列{an)的各项均为正数，且a1⋅a6=3
675，则
log3a1+log3a2+⋯+log3a6=（ ）
A．2014
B．2024
C．2025
D．2026
5．（2025·全国·二模）设等比数列{an)的各项均为正数，其n前项和为Sn
，则“S19+ S21>2S20
”是“数列
{an)是递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
6．（2025·海南·模拟预测）数列{an)满足a1= 5
2 , an+1=2an−1
2
，对于任意的n∈N
∗, λ(2an−1)<2an−2
恒成立，则实数λ的取值范围是（ ）
A．(−∞, 3
4)
B．(−∞, 1)
C．(
3
4 , +∞)
D．(1, +∞)
7．（2025·北京东城·模拟预测）月相是指天文学中对于地球上看到的月球被太阳照亮部分的称呼．1854
年，爱尔兰学者在大英博物馆所藏的一块巴比伦泥板上发现了一个记录连续15 天月相变化的数列，记为
{an)，其将满月等分成240 份，ai
（1≤i≤15且i∈N
*）表示第i天月球被太阳照亮部分所占满月的份数．
例如，第1 天月球被太阳照亮部分占满月的5
240
，即a1=5；第15 天为满月，即a15=240．已知{an)的第1
项到第5 项是公比为q的等比数列，第5 项到第15 项是公差为d的等差数列，且q，d均为正整数，则a6=
（ ）
A．80
B．96
C．100
D．112
8．（2025·海南·模拟预测）在等比数列{an)中，已知a1+a2=−1,a1−a3=−3，则对于任意的n∈N
*，下
列不等式成立的是（ ）
A．a2n>0
B．a2n−1<0
C．a2n−1<a2n+1
D．a2n<a2n+2
二、多选题
9．（2025·全国二卷·高考真题）记Sn
为等比数列{an)的前n 项和，q为{an)的公比，q>0，若S3=7,a3=1
，则（ ）
A．q = 1
2
B．a5= 1
9
C．S5=8
D．an+Sn=8
10．（2025·陕西宝鸡·三模）已知数列{an)是公比为q的等比数列，其前n项和为
Sn,a1+a2+a3=1,a2+a3+a4=2，则（ ）
A．q =2
B．a1= 1
7
C．Sn= 2
n−1
7
D．a1+a2+a3+a2+a3+a4+a3+a4+a5+⋯+a10+a11+a12=1023
11．（2025·辽宁锦州·模拟预测）设首项为1 的数列{an)的前n项和为Sn
，已知Sn+1=2Sn+n−1，则下列结
论正确的是（ ）
A．S2=2
B．数列{Sn+n)为等比数列
C．数列{an+1)为等比数列
D．数列{Sn+1−Sn+1)为等比数列
三、填空题
12．（2025·湖南长沙·模拟预测）等比数列{an)的前n项和记为Sn
，若an>0，S3=3，S12=65 S6
，则S9=
.
13．（2025·全国一卷·高考真题）若一个等比数列的各项均为正数，且前4 项的和等于4，前8 项的和等于
68，则这个数列的公比为 .
14．（2025·浙江绍兴·二模）等比数列{an)的前n 项和为Sn，若a2a5=2a4，且a3与2a6的等差中项为5
4
，
则S4=
.
四、解答题
15．（2025·新疆喀什·三模）记数列{an)的前n 项和为Sn，已知an+ Sn=2n+ 5
2
(1)证明:数列{an−2)是等比数列；
(2)求数列{an)的通项公式；
16．（2025·四川成都·模拟预测）已知数列{an)的首项a1=3，且满足an+1=2an−1(n∈N
∗)．
(1)求证：数列{an−1)为等比数列；
(2)记bn=log2(an−1)，数列{
1
bnbn+1)
的前n 项和Sn
，证明：Sn<1．
17．（2025·海南·模拟预测）已知各项均为正数的等差数列{an)的前n项和为Sn
，
(an+1)(an+1+1)= 4(Sn+n)(n∈N
*)，数列{bn)为等比数列，首项b1=3,b2=a5．
(1)求数列{an)和{bn)的通项公式；
(2)设cn=an⋅bn
，求数列{cn)的前n项和T n
．
18．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知数列{an)是正项等比数列，满足a2a4=64，a1+a5=34，且q>1
，
(1)求数列{an)的通项公式；
(2)在an
与an+1
之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为dn
的等差数列，记数列{
1
dn)
的前n项和为T n
，求证：T n<3.
19．（2025·河北邢台·二模）已知数列{an)满足a1=1,an+1={
2an+n−1,n 为奇数
an−1
2 n,n 为偶数)
，记bn=a2n
．
(1)证明：数列{bn)为等比数列，并求出数列{an)的通项公式；
(2)设cn=log2b2n−1
bn
,Sn
为数列{cn)的前n项和，证明：1
2 ≤Sn<3．
