专题6.4 数列的通项公式的求法（举一反三讲义）
【全国通用】
【题型1 观察法】......................................................................................................................................................3
【题型2 由an与Sn的关系求通项】.........................................................................................................................3
【题型3 累加法】......................................................................................................................................................4
【题型4 累乘法】......................................................................................................................................................5
【题型5 构造法】......................................................................................................................................................6
【题型6 由等差数列的通项公式求数列通项】.....................................................................................................7
【题型7 由等比数列的通项公式求数列通项】.....................................................................................................7
【题型8 倒数法】......................................................................................................................................................9
【题型9 正负、奇偶讨论型求通项】....................................................................................................................10
【题型10 利用数列前n 项积求通项】..................................................................................................................10
【题型11 双数列的通项问题】..............................................................................................................................11
1、数列的通项公式的求法
考点要求
真题统计
考情分析
(1)了解数列的通项公式和
递推关系
(2)掌握求数列的通项公式
的常用方法
2023 年新高考I 卷：第20 题，
12 分
2023 年新高考
卷
Ⅱ
：第18 题，
12 分
2023 年全国甲卷（理数）：第
17 题，12 分
2024 年全国甲卷（文数）：第
17 题，12 分
2024 年全国甲卷（理数）：第
18 题，12 分
2025 年全国二卷：第9 题，6 分
数列是高考的重点、热点内容.从
近几年的高考情况来看，数列的通项公
式的求解是高考考查的热点，主要以解
答题的形式考查，一般出现在第一小问
中，难度不大；有时也会出现在选择
题、填空题中，与数列的基本量、数列
的求和等内容综合考查；数列的通项公
式的求法多种多样，需要灵活求解，一
轮复习时要加强此方面的训练.
知识点
1
数列的通项公式
1．数列的通项公式
如果数列{an}的第n 项an与它的序号n 之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数
列的通项公式.
2．数列的递推公式
(1)递推公式的概念
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推
公式.
(2)对数列递推公式的理解
①与
不一定所有数列都有通项公式
一样，并不是所有的数列都有递推公式
“
”
.
②递推公式是给出数列的一种方法.事实上，递推公式和通项公式一样，都是关于项的序号n 的恒等式.如果
用符合要求的正整数依次去替换n，就可以求出数列的各项.
③用递推公式求出一个数列，必须给出：
基础
数列
——
{an}的第1 项(或前几项)；
递推关系
数列
——
{an}的任意一项an与它的前一项an-1 (
)(或前几项)间的关系，并且这个关系可以用
等式来表示.
知识点
2
数列的通项公式的常见求法
1．观察法：
已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列
的一个通项.
2．定义法：
已知数列的通项公式的类型，对于含参的通项公式，根据数列的定义结合已知条件，求出通项公式中的参
数，从而得到此数列的通项.
3．公式法：
由an与Sn的关系求通项：
(1)已知Sn求an的常用方法是利用
=
转化为关于an的关系式，再求通项公式.
(2) Sn与an关系问题的求解思路
方向1：利用an= Sn -Sn-1(n≥2)转化为只含 Sn，Sn-1的关系式，再求解.
方向2：利用Sn -Sn-1= an(n≥2)转化为只含an，an-1的关系式，再求解.
4．累加法：
形如an+1=an+f(n)的递推关系式利用累加法求和，特别注意能消去多少项，保留多少项.
5．累乘法：
形如an+1=an·f(n) 的递推关系式可化为
的形式，可用累乘法，也可用
代入求出通项.
6．构造法：
①形如an+1=pan+q 的递推关系式可以化为(an+1+x)=p(an+x)的形式，构成新的等比数列，求出通项公式，求变
量x 是关键.
②形如an+1=pan+qn+c 的数列，引入参数x，y，构造新的等比数列{
}.
③形如an+1=pan+qn的数列，两边同除以qn+1，构造新的数列{
}.
④倒数法：形如
(A,B,C 为不为0 的常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列
求解.
7．等差数列的通项公式法：
(1)如果给定的数列是等差数列，求出首项和公差，直接利用等差数列的通项公式求解；
(2)如果给定的数列可以构造出等差数列，先求出构造的等差数列的通项公式，在通过递推关系式进行变形
转化，得到所求数列的通项公式.
8．等比数列的通项公式法：
(1)如果给定的数列是等比数列，求出首项和公比，直接利用等比数列的通项公式求解；
(2)如果给定的数列可以构造出等比数列，先求出构造的等比数列的通项公式，在通过递推关系式进行变形
转化，得到所求数列的通项公式.
【题型1 观察法】
【例1】（2025·贵州黔南·二模）n∈N
*，数列1，−3，7，−15，31，⋅⋅⋅的一个通项公式为（ ）
A．an=(2
n−1)cosnπ
B．an=(1−2
n)sin nπ
2
C．an=2
n−1
D．an=(−1)
n(1−2
n)
【变式1-1】（24-25 高二下·江西景德镇·期末）若数列{an)的前4 项依次为20，11，2，−7，则数列{an)的
一个通项公式为（ ）
A．an=(−1)
n+1⋅2n
B．an=−9n+29
C．an=9n+11
D．an=9n−18
【变式1-2】（2025·全国·模拟预测）公元前6 世纪，希腊的毕达哥拉斯学派研究数的概念时，常常把数描
绘成沙滩上的小石子，用它们进行各式各样的排列和分类，叫作
形数
．用
“
”
3 颗石子可以摆成一个正三
角形，同样用6 颗石子或者10 颗石子可以摆成更大的三角形．毕达哥拉斯学派把1，3,6,10等叫作
三角
“
数
或
三角形数
．同时他们还摆出了正方形数、五边形数、六边形数和其他多边形数．如图所示即摆
”
“
”
出的六边形数，那么第20 个六边形数为（ ）
A．778
B．779
C．780
D．781
【变式1-3】（24-25 高二下·陕西渭南·阶段练习）数列−1,3,−5,7,−9,⋯的通项公式an为（ ）
(n∈N +).
A．−2n+1
B．(−1)
n⋅2n+1
C．(−1)
n⋅(2n+1)
D．(−1)
n⋅(2n−1)
【题型2 由an与Sn的关系求通项】
【例2】（2025·四川·模拟预测）已知数列{an)的前n项和为Sn，若Sn=2
n−1−1
2
，则数列{an)的通项公式为
（ ）
A．an=¿
B．an=2
n−1
C．an=(−2)
n−2
D．an=2
n−2
【变式2-1】（2025·云南·一模）已知数列{an)的前n项和Sn
满足Sn=2an−1(n∈N
*)，若数列{bn)满足
b1=2，bn+1=an+bn
，则数列{bn)的通项公式为（ ）
A．bn=2
n−1+1
B．bn=2
n+1
C．bn=2
n−1−1 D．bn=2
n−1
【变式2-2】（2025·福建福州·模拟预测）已知数列{an)的前n 项和为Sn
，且Sn=2an−n，n∈N
∗.
(1)求数列{an)的通项公式；
(2)设bn=n(an+1)，求数列{bn)的前n 项和T n
.
【变式2-3】（2025·河南许昌·模拟预测）已知各项均为正数的数列{an)的前n 项和为Sn
，且
2Sn=(an+2)(an−1).
(1)求{an)的通项公式；
(2)若bn= an
3
an
，求数列{bn)的前n 项和T n
.
【题型3 累加法】
【例3】（2025·四川·模拟预测）已知数列{an)中，a1=1，an=an−1+3n−2（n∈N
*，且n≥2），则通
项公式an=（ ）
A．3n
2−n+2
2
B．3n
2−3n+2
2
C．n(3n−1)
2
D．(n−1)(3n+2)
2
【变式3-1】（2025 高三·全国·专题练习）已知数列an满足a1=3，an+1=an+ 1
n −
1
n+1
，则an=（ ）
A．4+ 1
n
B．4−1
n
C．2+ 1
n
D．2−1
n
【变式3-2】（2025·四川绵阳·模拟预测）已知数列{an)的首项为2，前n项和为Sn
，且Sn+1+2=an+3n+ Sn
．
(1)求数列{an)的通项公式；
(2)已知bn=
1
6an+6n−20，记数列{bn)的前n项和为T n，求证：−1
2 ≤T n<−1
3．
【变式3-3】（2025·甘肃白银·模拟预测）已知首项为1 的正项数列{an)满足an+1
2
−an
2=8n．
(1)求{an)的通项公式；
(2)令bn= 1
2(
an+1
an
+ an
an+1)
（n∈N
*），求数列{bn)的前n项和Sn．
【题型4 累乘法】
【例4】（24-25 高二下·广东深圳·阶段练习）在数列{an)中，a1=1，an= n−1
n
an−1，n≥2,n∈N，则数
列{an)的通项公式为（ ）
A．
1
2n−1
B．
2
n(n+1)
C．1
n
D．2
n+1
【变式4-1】（2024·四川泸州·三模）已知Sn
是数列{an)的前n项和，a1=1，nan+1=(n+2)Sn
，则an=
.
【变式4-2】（24-25 高三上·山东日照·开学考试）已知数列{an)满足a1=2，an+1
an
= n+1
n
.
(1)求数列{an)的通项公式；
(2)设bn=
4
an⋅an+2
，求数列{bn)的前n项和Sn.
【变式4-3】（24-25 高三下·江苏南通·阶段练习）已知数列{an)的前n项和为
Sn,a1= 4,2Sn=(n+1)an,n∈N
*.
(1)求数列{an)的通项公式；
(2)设bn= an
3
n
，数列{bn)的前n项和为T n
，证明：T n<3．
【题型5 构造法】
【例5】（24-25 高二下·山西晋中·阶段练习）若数列{an)的首项a1=1，且满足an+1=2an+1，则数列{an)
的通项公式为（ ）
A．an=2
n−1
B．an=2
n−1−1
C．an=2
n+1−1
D．an=2
n−2
【变式5-1】（2025 高二·全国·专题练习）已知数列{an)满足an+1= 2
3 an+ 4，且a1=1，则{an)的通项公式为
（ ）
A．an=12−(
2
3)
n−1
B．an=(
2
3)
n+2
C．an=12−11×(
2
3)
n−1
D．an=8+(
2
3)
n−1
【变式5-2】（2025·福建龙岩·二模）已知数列{an)的前n项和为Sn
，且满足n Sn+1−(n+1)Sn=n(n+1)，
n∈N
∗，a1=1．
(1)求数列{an)的通项公式；
(2)若bn=(−1)
n⋅2an+2
anan+1
，求数列{bn)的前n项和T n
．
【变式5-3】（2024·全国·模拟预测）已知数列{an)的前n 项和Sn=2an−n．
(1)求{an)的通项公式；
(2)证明：a1+1
a2
+ a2+1
a4
+ a3+1
a6
+⋯+ an+1
a2n
< 5
4
．
【题型6 由等差数列的通项公式求数列通项】
【例6】（2025·辽宁·二模）已知数列{an)满足a1=3，an+1=an+ 4 ❑√an+1+ 4，则an=（ ）
A．an=2n+1
B．an=2n
C．an= 4 n
2−1
D．an= ❑√4 n+1
【变式6-1】（2025·广东惠州·模拟预测）已知等差数列{an)的首项a1=2，公差d =12，在{an)中每相邻两
项之间都插入3 个数，组成一个新的等差数列{bn)，则bn=（ ）
A．4 n−2
B．3n−1
C．3n
D．2n+1
【变式6-2】（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）已知等差数列{an)满足公差d >0,a3+a8= 4 ,a4a7=−5．
(1)求an；
(2)记数列{an)的前n项和为Sn
，若bn= Sn
nan
，求数列{bn)中的最小项．
【变式6-3】（2025·广东佛山·三模）已知数列{an)，{bn)满足a1＝1，且−an,an＋1
是关于x的方程
x
2−2 x −bn＝0的两个根．
(1)求an；
(2)设cn＝2
bn
+(−1)
nan，求数列{cn)的前21 项和S21．
【题型7 由等比数列的通项公式求数列通项】
【例7】（2025·江西·模拟预测）已知数列{an)的首项a1=2,an+1=3an+2(n∈N
∗).
(1)求数列{an)的通项公式；
(2)若n≤t (an+1)(n∈N
∗)恒成立，求实数t的取值范围.
【变式7-1】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知数列{an)满足a1=1，an+1={
an+2,n 为奇数
2an,n 为偶数)
，T n
是数
列{an)的前n项和，记bn=a2n
．
(1)求证：数列{bn+2)是等比数列；
(2)求数列{bn)的通项公式；
(3)求T 20．
【变式7-2】（2025·海南·模拟预测）已知数列{an)的前n 项和为Sn
，且Sn=2an−n，n∈N
∗，
(1)求数列{an)的通项公式；
(2)设cn=
1
log2(an+1)⋅log2(an+1+1)
，记数列{cn)的前n项和为M n
，证明：1
2 ≤M n<1．
【变式7-3】（2025·新疆喀什·三模）记数列{an)的前n 项和为Sn，已知an+ Sn=2n+ 5
2
(1)证明:数列{an−2)是等比数列；
(2)求数列{an)的通项公式；
【题型8 倒数法】
【例8】（2025 高二下·全国·专题练习）在数列{an}中，a1=1，an+1= 2an
2+an
，n∈N +
，则an=（ ）
A．an=
2
n+1
B．an= 2n
n+1
C．an= n+1
2n
D．an= n+2
2n+1
【变式8-1】（24-25 高二上·江苏南通·期中）已知数列{an)中，a1=1且an+1= 3an
an+3 (n∈N
∗)，则a16
为
（ ）
A．1
6
B．1
4
C．1
3
D．1
2
【变式8-2】（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知数列{an)满足a1= 1
3
，an+1=
an
3an+1
.
(1)求{an)的通项公式；
(2)求数列{anan+1)的前n项和Sn
.
【变式8-3】（2025·山西·模拟预测）已知数列{an)中，a1=1，an+1=
an
an+2 (n∈N
∗).
(1)求an；
(2)数列{bn)满足bn= 2nan
an+1
，设T n
为数列{bn)的前n项和，证明：T n<4.
(3)设cn= 4−T n
n+2
，证明：数列{cn)中任意不同的三项都不能构成等差数列.
【题型9 正负、奇偶讨论型求通项】
【例9】（2025·重庆·三模）数列{an)满足an+3=an+an+1−an+2(n≥1，n∈N )，又
a1=1，a2=1，a3=2，则（ ）
A．a2024=−1011
B．a2024=−1012
C．a2025=1013
D．a2025=1014
【变式9-1】（2025·陕西汉中·模拟预测）设正项数列{an)的前n项和为Sn
，且anan+1= 4 Sn−1(n∈N
*)，
a1=1．
(1)求数列{an)的通项公式；
(2)已知bn= an
2
n
，求数列{bn)的前n项和的取值范围．
【变式9-2】（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知数列{an)的前n项和为Sn,a1=3且
Sn+ Sn+1=2n
2+6n+3,n∈N
*．
(1)求S9的值；
(2)求数列{an)的通项公式．
【变式9-3】（2024·河北沧州·三模）已知数列{an)满足anan+1
2
= 4
n，a1=2，n∈N
∗.
(1)求数列{an)的通项公式；
(2)设bn= an−1
an+1
，数列{bn)的前n项和为Sn
，求证：n−2<Sn<n.
【题型10 利用数列前n 项积求通项】
【例10】（2025 高三·全国·专题练习）设T n为数列{an)的前n 项积，且T n≠0，a1= 1
3
，an=(2n−1)⋅T n
，则an=（ ）
A．2n+1
2n−1
B．2n−1
2n+1
C．2n
2n−1
D．2n
2n+1
【变式10-1】（2025·宁夏石嘴山·一模）已知an为数列{bn)的前n 项积，若1
bn
−2
an
=1，则数列{an)的通项
公式an=（ ）
A．3−2n
B．−3+2n
C．3−4 n
D．1−2n
【变式10-2】（24-25 高二下·贵州遵义·阶段练习）已知数列{an)的前n 项积Gn=3
n(n−1)
2
（n∈N
∗），等差
数列{bn)中，b1=2，b3+b5=16.
(1)求数列{an)、{bn)的通项公式；
(2)令cn=log3an+2
bn，求数列{cn)的前n 项和Sn
.
【变式10-3】（2025·河南·二模）记T n
为正项数列{an)的前n项积，且a1=2，a2= 4，T nT n+2=2T n+1
2
.
(1)求数列{an)的通项公式；
(2)[x)表示不超过x的最大整数，如[2.1)=2，[−1.5)=−2，设bn=[
an
3 )
，求数列{bn)的前2n项和.
【题型11 双数列的通项问题】
【例11】（2025·海南·模拟预测）已知数列{an)的前n项和Sn=13n−n
2，数列{bn)是首项为−2的等比数
列，且有a3+b3=0．
(1)求数列{an), {bn)的通项公式；
(2)设cn=an⋅bn
求数列{|cn))的前n项和T n
．
【变式11-1】（2025·重庆·模拟预测）已知数列 {an) 的前 n 项和 Sn
满足 Sn=2n
2+2n ；等比数列
{bn) 满足 a1b5=a8b2=64 .
(1)求 {an) 和 {bn) 的通项公式；
(2)若 k ∈N
∗,ak
2<2025<bk +1
，求 b1+b2+⋯+bk
.
【变式11-2】（2025·广东广州·三模）已知数列{an)满足a1=1，a3=6，且对任意的n≥2，n∈N
*，都有
an+1+an−1=2an+3.
(1)设bn=an+1−an
，求证：数列{bn)是等差数列，并求出其的通项公式；
(2)求数列{an)的通项公式；
(3)若cn= 2
3 an+ 13
3 n−2，求{
1
cn)
的前n 项和T n
.
【变式11-3】（2025·湖南·三模）已知数列{an)满足a1=3,an+1=2an+1，数列{bn)满足b1=1，且
bn+1
2n+1 =
bn
2n−1
.
(1)求{an)的通项公式；
(2)求{bn)的通项公式；
(3)将{bn)中的项按从小到大的顺序插入{an)中，且在任意的ak ,ak +1
之间插入(2k −1)项，从而构成一个新
数列{cn)，设{cn)的前n项和为T n
，求T 100
.
一、单选题
1．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知等比数列{an)的前n项和为Sn
，且an+1=2Sn+2，则an=（ ）
A．2×3
n−1
B．3×2
n−1
C．3
n
D．2
n
2．（2025·江西新余·模拟预测）已知数列{an)满足3
an+1−3
an=2
n，且a1=1，则数列{an)的通项公式为
（ ）
A．an=2
n−1
B．an=log32
n−1+1
C．an=log3(2
n+1)
D．an=log3(2
n+1−1)
3．（2025·海南·模拟预测）已知数列{an)满足an+1an+2+an+1an=2anan+2，且a1=1,a2= 1
4
，则a2025=
（ ）
A．
1
2024
B．
1
2025
C．
1
6075
D．
1
6073
4．（2025·湖北·模拟预测）已知数列{an)前n项和为Sn
，a1=1，an+1−Sn=1，bn= 4 n
2
an
，则bn
的最大值为
（ ）
A．4
B．9
C．10
D．12
5．（2025·天津和平·三模）定义新运算：|
a
b
c
d)=ad −bc，已知数列{an)(n∈N
*)满足a1=−14，
|
an+1
1
2an
2)=10n，则a10=（ ）
A．239
B．225
C．211
D．261
6．（2025·河南信阳·模拟预测）已知等比数列{an)的公比q≠1，前n项和为Sn
，若S3=14，3a1,a2,−a3
成
等差数列，则an=（ ）
A．2×3
n−1
B．3
n
C．2×(−3)
n−1
D．
(−3)
n
7．（2025·山东济南·模拟预测）将数列{2n−1}与数列{3n−2}的公共项从小到大排列得到新数列{an}，
则∑
k =1
10
1
ak ak +1
=（ ）
A．10
61
B．60
61
C．1
6
D．5
6
8．（2025·重庆·二模）设等差数列{an)的前n项和为Sn
，且an>0,4 Sn=an+1
2
−2an+1+1，将数列{an)与数列
{n
2−1)的公共项从小到大排列得到新数列{cn)，则∑
i=1
20 2
ci
=（ ）
A．40
41
B．80
41
C．20
21
D．40
21
二、多选题
9．（2025·全国二卷·高考真题）记Sn
为等比数列{an)的前n 项和，q为{an)的公比，q>0，若S3=7,a3=1
，则（ ）
A．q = 1
2
B．a5= 1
9
C．S5=8
D．an+Sn=8
10．（2025·江西·三模）已知数列{an)的前n项和为Sn
，数列{an+3)的前n项积为T n,a1=1，an+1−an=2
n+1
，则（ ）
A．a3=12
B．an=2
n+1−3
C．S5=109
D．T n=2
n(n+3)
2
11．（2025·河北石家庄·三模）已知数列{an)的前n 项和为Sn=−n
2+11n，则下列说法正确的是（ ）
A．数列{
Sn
n )
为递减数列
B．当且仅当n=5时，Sn取得最大值
C．an=−2n+12
D．{2
an)是等比数列
三、填空题
12．（24-25 高二下·四川遂宁·期中）已知数列{an)的前n项和Sn
满足Sn=n
2+2，则{an)的通项公式为
.
13．（2025·宁夏银川·模拟预测）已知数列{an)满足a1+2a2+⋯+2
n−1an=n⋅2
n，则数列{an)的通项公式
为
.
14．（2025·山东济南·二模）已知数列{an)的前n项和为Sn
，且满足a1=1,❑√Sn+1−❑√Sn=1(n∈N
*)，则
an=
.
四、解答题
15．（2025·安徽合肥·模拟预测）记Sn
为数列{an)的前n 项和，已知a1=2，an+1= Sn+n.
(1)求{an)的通项公式；
(2)设递增的等差数列{bn)满足b1=2，且a1+b1，a2+b2，a3+ 1
2 b3
成等比数列.设T n= 1
b1
2 + 1
b2
2 +⋅⋅⋅+ 1
bn
2
，证明：T n< 3
4
.
16．（2025·海南·模拟预测）已知各项均为正数的等差数列{an)的前n项和为Sn
，
(an+1)(an+1+1)= 4(Sn+n)(n∈N
*)，数列{bn)为等比数列，首项b1=3,b2=a5．
(1)求数列{an)和{bn)的通项公式；
(2)设cn=an⋅bn
，求数列{cn)的前n项和T n
．
17．（2025·福建泉州·模拟预测）已知数列{an)为等差数列，且满足a2n=2an+1(n∈N
*)．
(1)若a1=1，求数列{
1
anan+1)
的前n项和Sn
；
(2)若数列{bn)满足b1=2，且数列{an⋅bn)的前n项和T n=(3n−4)⋅2
n+1+8，求数列{bn)的通项公式．
18．（2025·河南驻马店·模拟预测）已知数列{an)的前n项和为Sn,an≠0,a1= 1
2 ,Sn=anan+1．
(1)求{an)的通项公式；
(2)若b1=1，且bn+1+bn= 4 an+1
2
，求数列{bn)的通项公式；
(3)在（2）的条件下，若en= (1−n)⋅2
n−1
bn
，求{en)的前n项和T n
．
19．（2025·云南·模拟预测）已知数列{an)的前n 项积为T n
，满足T n=1×3×5×⋯×(2n−1)，其中
n∈N
∗．
(1)求{an)的通项公式；
(2)已知{an)的前n 项和为Sn
，数列{bn)是公比大于1 的等比数列，且b1=a1
，b3= S5
，cn=(❑√2)
an+1−λbn+1
，若数列{cn)是递减数列，求实数λ的取值范围．
