专题5.4 复数（举一反三讲义）
【全国通用】
【题型1 复数的概念】..............................................................................................................................................6
【题型2 共轭复数】..................................................................................................................................................6
【题型3 复数的几何意义】......................................................................................................................................7
【题型4 复数的四则运算】......................................................................................................................................7
【题型5 复数的相等】..............................................................................................................................................7
【题型6 复数的模】..................................................................................................................................................8
【题型7 与复数模相关的轨迹（图形）问题】.....................................................................................................8
【题型8 复数范围内解方程的根】..........................................................................................................................9
【题型9 复数的三角表示】......................................................................................................................................9
1、复数
考点要求
真题统计
考情分析
(1)通过方程的解，认识复
数
(2)理解复数的代数表示及
其几何意义，理解两个复数
相等的含义
(3)掌握复数的四则运算，
了解复数加、减运算的几何
意义
2023 年新高考I 卷：第2 题，5 分
2023 年新高考
卷
Ⅱ
：第1 题，5 分
2024 年新高考I 卷：第2 题，5 分
2024 年新高考
卷
Ⅱ
：第1 题，5 分
2024 年全国甲卷（文数）：第1
题，5 分、（理数）：第1 题，5
分
2025 年全国一卷：第1 题，5 分
2025 年全国二卷：第2 题，5 分
2025 年北京卷：第2 题，4 分
2025 年天津卷：第10 题，5 分
2025 年上海卷：第10 题，5 分
复数是高考的热点内容，是每年
高考的必考内容之一.从近几年的高考
情况来看，高考对复数的考查比较稳
定，往往以单选题、填空题的形式考
查，考查内容、难度变化不大，主要
考查复数的概念、复数的模、复数的
运算及其几何意义，属于简单题.预测
明年高考复数依旧以单选题、填空题
形式呈现，比较简单.
知识点
1
复数的概念
1．复数的概念
(1)复数的概念
我们把形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位.全体复数构成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫做复
数集.这样，方程x2+1=0 在复数集C 中就有解x=i 了.
(2)复数的表示
复数通常用字母z 表示，即z=a+bi(a,b∈R).以后不作特殊说明时，复数z=a+bi 都有a,b∈R，其中的a 与b
分别叫做复数z 的实部与虚部.
(3)复数的分类
对于复数a+bi，当且仅当b=0 时，它是实数；当且仅当a=b=0 时，它是实数0；当b≠0 时，它叫做虚数；
当a=0 且b≠0 时，它叫做纯虚数.
显然，实数集R 是复数集C 的真子集，即
.
复数z=a+bi 可以分类如下：复数
.
2．复数相等
在复数集C={a+bi|a,b∈R}中任取两个数a+bi，c+di(a,b,c,d∈R)，我们规定：a+bi 与c+di 相等当且仅当a=c
且b=d，即当且仅当两个复数的实部与实部相等、虚部与虚部相等时，两个复数才相等.
知识点
2
复数的几何意义
1．复数的几何意义
(1)复平面
根据复数相等的定义，可得复数z=a+bi
有序实数对(a,b)，而有序实数对(a,b)
平面直角
坐标系中的点，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系.
如图所示，点Z 的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi 可用点Z(a,b)表示，这个建立了直角坐标系来表示
复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴.
(2)复数的几何意义——与点对应
由上可知，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一
个复数和它对应.复数集C 中的数和复平面内的点是一一对应的，即复数z=a+bi
复平面内的点
Z(a,b)，这是复数的一种几何意义.
(3) 复数的几何意义
与
——
向量对应
在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应
的.这样就可以用平面向量来表示复数.
如图所示，设复平面内的点Z 表示复数z=a+bi，连接OZ，显然向量
由点Z 唯一确定；反过来，点Z(相
对于原点来说)也可以由向量
唯一确定.
因此，复数集C 中的数与复平面内以原点为起点的向量是一一对应的(实数0 与零向量对应)，即复数
z=a+bi
平面向量
，这是复数的另一种几何意义.
2．复数的模
向量
的模r 叫做复数z=a+bi 的模或绝对值，记作|z|或|a+bi|.如果b=0，那么z=a+bi 是一个实数a，它的
模等于|a|(就是a 的绝对值).由模的定义可知，|z|=|a+bi|=r=
(r
0,r∈R).
3．共轭复数
(1)定义
一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0 的两
个共轭复数也复数z 的共轭复数用
表示，即若z=a+bi，则
=a-bi.特别地，实数a 的共轭复数仍是a 本身.
(2)几何意义
互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称(如图).特别地，实数和它的共轭复数在复平
面内所对应的点重合，且在实轴上.
(3)性质
①
=z.
②实数的共轭复数是它本身，即z=
z∈R，利用这个性质可证明一个复数为实数.
4．复数的模的几何意义
(1)复数z=a+bi(a,b∈R)的模|z|就是复数z=a+bi 在复平面内对应的点Z(a,b)到坐标原点的距离，这是复数的模
的几何意义.
(2)复数z 在复平面内对应的点为Z，r 表示一个大于0 的常数，则满足条件|z|=r 的点Z 组成的集合是以原点
为圆心，r 为半径的圆，|z|<r 表示圆的内部，|z|>r 表示圆的外部.
知识点
3
复数的运算
1．复数的四则运算
(1)复数的加法法则
设z1=a+bi，z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.
(2)复数的减法法则
类比实数减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足(c+di)+(x+yi)=a+bi 的复数
x+yi(x,y∈R)叫做复数a+bi(a,b∈R)减去复数c+di(c,d∈R)的差，记作(a+bi)-(c+di).
根据复数相等的定义，有c+x=a，d+y=b，因此x=a-c，y=b-d，所以x+yi=(a-c)+(b-d)i，即(a+bi) -(c+di)
=(a-c)+(b-d)i.这就是复数的减法法则.
(3)复数的乘法法则
设z1=a+bi，z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2=(ac-bd)+
(ad+bc)i.
可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i2换成-1，并且把实部与虚部
分别合并即可.
(4)复数的除法法则
(a+bi)÷(c+di)
(a,b,c,d∈R，
且c+di≠0).
由此可见，两个复数相除(除数不为0)，所得的商是一个确定的复数.
2．复数加法、减法的几何意义
(1)复数加法的几何意义
在复平面内，设z1=a+bi，z2=c+di(a,b,c,d∈R)对应的向量分别为
，
，则
=(a,b)，
=(c,d).以
，
对应的线段为邻边作平行四边形
(如图所示)，则由平面向量的坐标运算，可得
=(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)，即z=(a+c)+(b+d)i，即对角线OZ 对应的向量就是与复数(a+c)+(b+d)i 对
应的向量.
(2)复数减法的几何意义
两个复数z1=a+bi，z2=c+di(a,b,c,d∈R)在复平面内对应的向量分别是
，
，那么这两个复数的差z1-z2
对应的向量是
，即向量
.
如果作
，那么点Z 对应的复数就是z1-z2(如图所示).
这说明两个向量
与
的差
就是与复数(a-c)+(b-d)i 对应的向量.因此，复数的减法可以按照向量的
减法来进行，这是复数减法的几何意义.
3．复数运算的常用技巧
(1)复数常见运算小结论
①
；
②
；
③
；
④
；
⑤
.
(2)常用公式
；
；
.
知识点
4
复数有关问题的解题策略
1．复数的概念的有关问题的解题策略
(1)复数z=a+bi(a,b∈R)，其中a，b 分别是它的实部和虚部.若z 为实数，则虚部b=0，与实部a 无关；若z
为虚数，则虚部b≠0，与实部a 无关；若z 为纯虚数，当且仅当a=0 且b≠0.
(2)复数z=a+bi(a,b∈R)的模记作
或
，即
.
(3)复数z=a+bi(a,b∈R)的共轭复数为
，则
，即
，若
，则
.
2．复数的运算的解题策略
(1)复数的乘法类似于多项式的乘法运算；
(2)复数的除法关键是分子分母同乘以分母的共轮复数.
3．复数的几何意义的解题策略
由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此解题时可运用数形结合的方法，把复数、向量与解
析几何联系在一起，使问题的解决更加直观.
4．复数的方程的解题策略
(1)对实系数二次方程来说，求根公式、韦达定理、判别式的功能没有变化，仍然适用.
(2)对复系数(至少有一个系数为虚数)方程，判别式判断根的功能失去了，其他仍适用.
【方法技巧与总结】
1．(1±i)2=±2i；
；
.
2．
.
3．
.
4．复数z 的方程在复平面上表示的图形
(1)a≤|z|≤b 表示以原点O 为圆心，以a 和b 为半径的两圆所夹的圆环；
(2)|z-(a+bi)|=r(r>0)表示以(a,b)为圆心，r 为半径的圆.
【题型1 复数的概念】
【例1】（2025·全国一卷·高考真题）(1+5i)i的虚部为（ ）
A．−1
B．0
C．1
D．6
【变式1-1】（2025·吉林·模拟预测）已知复数z =m
2−1+(m+1)i为纯虚数，则实数m的值为（ ）
A．−1
B．1
C．−1或1
D．2
【变式1-2】（2025·贵州遵义·模拟预测）复数z =2−i的虚部是（ ）
A．i
B．1
C．−1
D．−i
【变式1-3】（2025·云南曲靖·二模）已知复数z =(a+2)+(a
2−a−6)i(a∈R)，若z>0，则实数a的值为
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．6
【题型2 共轭复数】
【例2】（2025·广东惠州·模拟预测）已知复数z满足i⋅z =3+i（其中i 为虚数单位），则z =（ ）
A．1−3i
B．1+3i
C．3−i
D．3+i
【变式2-1】（2025·甘肃白银·二模）复数z = 3−i
2025
1+2i
的共轭复数为（ ）
A．−1
5 −7
5 i
B．1
5 + 7
5 i
C．−5
3 −7
3 i
D．5
3 + 7
3 i
【变式2-2】（2025·山东泰安·模拟预测）复数z满足(3−❑√2i) z =11，i为虚数单位，则复数z的虚部为
（ ）
A．❑√2i
B．❑√2
C．−❑√2i
D．−❑√2
【变式2-3】（2025·湖南岳阳·三模）若复数z满足z +i
z−1 =1+i，则在复平面内，z对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【题型3 复数的几何意义】
【例3】（2025·天津河北·模拟预测）i 是虚数单位，复数4 +3i在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【变式3-1】（2025·云南·模拟预测）在复平面内，复数z1=−1+i与复数z2对应的点关于实轴对称，则
|z2)=（ ）
A．1
B．❑√2
C．❑√3
D．2
【变式3-2】（2025·宁夏陕西·模拟预测）“a<0
是
复数
”
“
2+(2−a)i在复平面内对应的点在第一象限”
的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【变式3-3】（2025·湖南长沙·二模）在复平面内，O 为坐标原点，复数1−i，−1+2i对应的向量分别是⃗
OM，⃗ON，则⃗MN对应的复数为（ ）
A．−2+3i
B．i
C．2−3i
D．−i
【题型4 复数的四则运算】
【例4】（2025·江苏连云港·模拟预测）已知z1=1+2i，z2=3−4i，若1
z = 1
z1
+ 1
z2
，则z =（ ）
A．4−3i
B．2−3
2 i
C．2+ 3
2 i
D．4+3i
【变式4-1】（2025·全国二卷·高考真题）已知z =1+i，则1
z−1 =（ ）
A．−i
B．i
C．−1
D．1
【变式4-2】（2025·河南信阳·模拟预测）已知复数z = 1+3i
i
，则z−z =（ ）
A．−2i
B．2
C．0
D．2i
【变式4-3】（2025·宁夏银川·三模）已知复数z =
2
−1+i ,i为虚数单位，则下列说法正确的是（ ）
A．|z)=2
B．z的虚部为−i
C．z对应的点位于复平面的第三象限
D．z⋅z =2
【题型5 复数的相等】
【例5】（2025·云南红河·三模）若1−2i=a+bi（i为虚数单位），其中a，b为实数，则a+b的值为
（ ）
A．1
B．3
C．−1
D．−3
【变式5-1】（2025·山东·模拟预测）若复数z满足2(z + z)+2i= 4 + z−z，则z =（ ）
A．1+i
B．1−i
C．−1+i
D．−1−i
【变式5-2】（2025·辽宁辽阳·一模）已知(1−2i)a+(3+ 4i)b=2+6i，其中a,b为实数，则（ ）
A．a=1,b=−1
B．a=−1,b=1
C．a=−1,b=−1
D．a=1,b=1
【变式5-3】（2025·安徽六安·模拟预测）已知复数z1=m+(4−m
2)i(m∈R),
z2=2cosθ+( λ+3sinθ)i( λ ,θ∈R)，并且z1= z2，则λ的取值范围是（ ）
A．[−9
16 ,+ ∞)
B．[−9
16 ,7)
C．(−∞,7)
D．[−16
9 ,7)
【题型6 复数的模】
【例6】（2025·山东·模拟预测）已知z为复数，z−2为纯虚数，z +i为实数，则|z)=（ ）
A．2
B．❑√5
C．2❑√2
D．3
【变式6-1】（2025·湖北宜昌·二模）设复数z满足(3+ 4i) z =5i，则|z)=（ ）
A．1
25
B．1
5
C．1
D．5
【变式6-2】（2025·青海西宁·二模）若a与b均为实数，且b−3i= 4 +ai，则|a+bi)=（ ）
A．3
B．4
C．5
D．7
【变式6-3】（2025·广西柳州·三模）在复平面内，复数z对应的向量⃗OZ =(1,2)，则|z−3)=（ ）
A．2❑√2
B．❑√5
C．❑√3
D．❑√2
【题型7 与复数模相关的轨迹（图形）问题】
【例7】（2025·山东·模拟预测）若复数z满足|z−4 +3i)=2，则|z)的最小值为（ ）
A．2
B．3
C．6
D．7
【变式7-1】（2025·黑龙江大庆·模拟预测）设z∈C，在复平面内对应的点为Z，则满足1≤|z−1)≤2的
点Z的集合形成的图形的面积为（ ）
A．π
B．2π
C．3π
D．4π
【变式7-2】（2025·新疆乌鲁木齐·三模）已知复数z满足|z−1)=2，则|z)的取值范围是（ ）
A．(0,1)
B．(0,3)
C．（1,3）
D．[1,3)
【变式7-3】（2025·辽宁·模拟预测）已知复数z1, z2
分别满足|z1)=1，|i z2+3+ 4i)=2，则|z1−z2)的最
大值为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
【题型8 复数范围内解方程的根】
【例8】（2025·山东青岛·三模）若1+2i是关于x的实系数方程x
2+bx +c =0的一个复数根，则b，c的值
分别为（ ）
A．b=−2，c =5
B．b=2，c =5
C．b=−2，c =−5
D．b=2，c =−5
【变式8-1】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知1−i是关于x的实系数方程x
2+mx +n=0的一个根（i
为虚数单位），则n=（ ）
A．3
B．2
C．-2
D．-3
【变式8-2】（2025·山东济宁·二模）已知1−2i是关于x的方程x
2+ax +b=0(a,b∈R)的一个根，则
|a+bi)=（ ）
A．2
B．3
C．5
D．❑√29
【变式8-3】（2025·江西·二模）已知2−2i（i是虚数单位）是实系数一元二次方程x
2+bx +c =0的一个
根，则（ ）
A．b= 4，c =8
B．b= 4，c =−8
C．b=−4，c =8
D．b=−4，c =−8
【题型9 复数的三角表示】
【例9】（2024·河南信阳·模拟预测）在复平面内，把复数3−❑√3i对应的向量⃗a按顺时针方向旋转π
3
，所
得向量在⃗a上的投影向量对应复数是（ ）
A．2❑√3−3i
B．3−2❑√3i
C．
❑√3−3i
2
D．3−❑√3i
2
【变式9-1】（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知e
iθ=cosθ+isinθ，则在下列表达式中表示sinθ的是
（ ）
A． e
iθ−e
−iθ
2i
B．e
iθ+e
−iθ
2i
C． e
−iθ−e
iθ
2i
D．−e
iθ+e
−iθ
2i
【变式9-2】（2025·内蒙古赤峰·一模）棣莫弗公式(cos x +i⋅sin x)
n=cos(nx)+i⋅sin(nx)（其中i 为
虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数
(cosπ
3 +i⋅sinπ
3 )
2
在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【变式9-3】（2024·陕西商洛·模拟预测）法国数学家棣莫弗（1667-1754 年）发现了棣莫弗定理：设两个
复数z1=r1(cosθ1+isinθ1)，z2=r2(cosθ2+isinθ2)(r1,r2>0)，则
z1 z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)).设z =−1
2 −
❑√3
2 i，则z
2024的虚部为（ ）
A．−
❑√3
2
B．
❑√3
2
C．1
D．0
一、单选题
1．（2025·湖北武汉·模拟预测）若复数z =3+i−2i
3，则|z)=（ ）
A．❑√5
B．❑√6
C．❑√10
D．3 ❑√2
2．（2025·河北邢台·三模）若a+i=b+2−ai(a,b∈R)，则a+b=（ ）
A．2
B．4
C．−4
D．−2
3．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知复数z满足| z−3−4i|=5（i为虚数单位），则复数z在复平面上
不可能位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
4．（2025·江苏泰州·模拟预测）若z = 2+ 4i
2−i
，其中i 是虚数单位，则复数z 的共轭复数z的模为（ ）
A．❑√5
B．2
C．2❑√5
D．4
5．（2025·全国·二模）已知复数z满足z (1+i)=2−3i，则z在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
6．（2025·海南·模拟预测）已知复数z =cosπ
6 +sinπ
6 i（i为虚数单位），则z
3等于（ ）
A．1
B．−1
C．i
D．−i
7．（2025·广东佛山·三模）复平面上A ，B两点对应的复数分别是1＋3i，−2＋i，向量⃗AB对应的复
数为z，则|z)＝（ ）
A．17
B．❑√17
C．13
D．❑√13
8．（2025·北京海淀·三模）在复平面内，复数，2
1+i −i
2025对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
二、多选题
9．（2025·江苏南通·模拟预测）设z1, z2为复数，则（ ）
A．|z1⋅z2)=|z1)⋅|z2)
B．|z1+ z2)=|z1)+|z2)
C．|z1−z2)=|z1+ z2)
D．|z1−z2)=|z1−z2)
10．（2025·贵州贵阳·模拟预测）已知复数z =m
2−4 +(m−2)i(m∈R)，则（ ）
A．若复数z 为实数，则z =0
B．若复数z 为纯虚数，则m=±2
C．当m=1时，| z|= ❑√10
D．复数z 在复平面内对应的点不可能在第二象限
11．（2025·江苏泰州·模拟预测）已知复数z1=1+i，z2= x + y i( x , y ∈R)，则下列说法正确的是（ ）
A．(z1−1)
2025=i
B．z2
2=|z2)
2
C．若z1
z2
=1−i，则z2
为纯虚数
D．若z1，z2为实系数方程x
2−ax +b=0的两虚根，则a=b=2
三、填空题
12．（2025·天津·高考真题）已知i 是虚数单位，则|
3+i
i )= ．
13．（2025·天津红桥·模拟预测）已知i 是虚数单位，若复数z = m+i
1+2i (m∈R)是实数，则m= .
14．（2025·上海·高考真题）已知复数z 满足z
2=( z)
2,| z|≤1，则| z−2−3i|的最小值是 ．
四、解答题
15．（24-25 高一下·上海青浦·期末）已知i为虚数单位，m∈R，复数z =(m
2−8m+15)+(m
2−4 m+3)i
．
(1)若z是实数，求m的值；
(2)若z是纯虚数，求m的值．
16．（24-25 高一下·天津·期末）已知i 是虚数单位，复数z =(m
2−2m−3)+(m+1)i,m∈R．
(1)当m= 4时，求z 的共轭复数z；
(2)若z 是纯虚数，求m 的值：
(3)若z 在复平面内对应的点位于第四象限，求m 的取值范围，
17．（24-25 高一下·广东梅州·期末）已知1−2i是关于x的方程x
2+ px +q =0的一个根，其中p,q∈R，.
(1)求p、q的值；
(2)在复数范围内，求该方程的另一根.
18．（24-25 高一下·辽宁·期末）已知复数z1=2−i, z2=a+ 4i(a∈R)，且z2
z1
是纯虚数.
(1)求z2；
(2)若复数z = z2+(m
2−7m+10)i在复平面内对应的点在第四象限，求实数m的取值范围.
19．（24-25 高一下·安徽安庆·期末）定义：复数z =a+bi（a,b∈R）的三角形式为z =r (cosθ+isinθ)
，其中r =
❑√a
2+b
2，cosθ = a
r ,sinθ = b
r
，r是复数z的模，θ是复数z的辐角，规定0≤θ<2π范围内的辐角
θ的值为辐角的主值，记作arg z.
(1)求出方程x
2+6 x +12=0的所有复数根，并求这些根的辐角的主值；
(2)已知z1=5(cos50°+icos320°)，z2=3(sin130°+icos 490°)，求arg(z1⋅z2).
