专题7.2 空间点、直线、平面之间的位置关系（举一反三讲义）
【全国通用】
【题型1 平面的基本性质及推论】..........................................................................................................................4
【题型2 点（线）共面问题】..................................................................................................................................5
【题型3 点共线、线共点问题】..............................................................................................................................6
【题型4 等角定理】..................................................................................................................................................7
【题型5 平面分空间问题】......................................................................................................................................8
【题型6 异面直线的判定】......................................................................................................................................9
【题型7 异面直线所成的角】................................................................................................................................10
【题型8 空间中直线与平面、平面与平面的位置关系】...................................................................................10
【题型9 立体几何中的截面问题】........................................................................................................................11
1、空间点、直线、平面之间的位置关系
考点要求
真题统计
考情分析
(1)借助长方体，在直观认识
空间点、直线、平面的位置
关系的基础上，抽象出空间
点、直线、平面的位置关系
的定义
(2)了解四个基本事实和一个
定理，并能应用定理解决问
题
2023 年上海卷：第15 题，5 分
2025 年全国一卷：第17 题，15
分
空间点、直线、平面之间的位置
关系是高考的热点内容.从近几年的高
考情况来看，主要分两方面进行考
查，一是空间中点、线、面关系的命
题的真假判断；二是异面直线的判定
和异面直线所成角问题；常以选择
题、填空题的形式考查，难度较易；
也会以解答题的一小问考查点、线、
面的位置关系，难度中等.
知识点
1
平面的基本事实及推论
1．四个基本事实及基于基本事实1 和2 的三个推论
(1)四个基本事实及其表示
①基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面.
②基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.
③基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
④基本事实4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.
(2)四个基本事实的作用
基本事实1：①确定一个平面；②判断两个平面重合；③证明点、线共面.
基本事实2：①判断直线是否在平面内，点是否在平面内；②用直线检验平面.
基本事实3：①判断两个平面相交；②证明点共线；③证明线共点.
基本事实4：①判断两条直线平行.
(3)基本事实1 和2 的三个推论
推论
自然语言
图形语言
符号语言
推论1
经过一条直线和这条直线
外一点，有且只有一个平
面.
点A∉a⇒a 与A 共面于
平面α,且平面唯一.
推论2
经过两条相交直线，有且
只有一个平面.
a∩b=P⇒a 与b 共面于平
面α,且平面唯一.
推论3
经过两条平行直线，有且
只有一个平面.
直线a//b⇒直线a,b 共面
于平面α,且平面唯一.
2．等角定理
(1)自然语言：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
(2)符号语言：如图(1)(2)所示，在∠AOB 与∠A'O'B'中，OA∥O'A'，OB∥O'B'，则∠AOB=∠A'O'B'或
∠AOB+∠A'O'B'=
.
知识点
2
共面、共线、共点问题的证明方法
1．共面、共线、共点问题的证明
(1)证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内.
(2)证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上.
(3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点.
知识点
3
平面分空间问题
1．平面分空间问题
一个平面将空间分成两部分，那么两个平面呢?三个平面呢?
(1)两个平面有两种情形：
①当两个平面平行时，将空间分成三部分，如图(1)；
②当两个平面相交时，将空间分成四部分，如图(2).
(2)三个平面有五种情形：
①当三个平面互相平行时，将空间分成四部分，如图8(1)；
②当两个平面平行，第三个平面与它们相交时，将空间分成六部分，如图(2)；
③当三个平面相交于同一条直线时，将空间分成六部分，如图(3)；
④当三个平面相交于三条直线，且三条交线相交于同一点时，将空间分成八部分，如图(4)；
⑤当三个平面相交于三条直线，且三条交线互相平行时，将空间分成七部分，如图(5).
知识点
4
空间点、线、面之间的位置关系
1．空间中直线与直线的位置关系
(1)三种位置关系
我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.于是，空间两条直线的位置关系有三种：
(2)异面直线的画法
为了表示异面直线a,b 不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托，如图所示.
2．空间中直线与平面的位置关系
直线与平面的位置关系有且只有三种，具体如下：
位置关系
图形表示
符号表示
公共点
直线在平面内
有无数个公共点
直线与平面相交
有且只有一个公共点
直线与平面平行
没有公共点
3．空间中平面与平面的位置关系
(1)两种位置关系
两个平面之间的位置关系有且只有以下两种，具体如下：
位置关系
图形表示
符号表示
公共点
两个平面平行
没有公共点
两个平面相交
有一条公共直线
(2)平行平面的画法技巧
画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行.
4．异面直线所成的角
(1)定义：已知a，b 是两条异面直线，经过空间任意一点O 作直线a'//a，b'//b，把a'与b'所成的角叫做
异面直线a 与b 所成的角(或夹角).
(2)范围：
.
【方法技巧与总结】
1．证明点共线与线共点都需用到基本事实3.
2．两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于异面直线所成
的角，也可能等于其补角.
【题型1 平面的基本性质及推论】
【例1】（24-25 高一下·陕西西安·期末）下列命题正确的是（ ）
A．任何一个平面图形都是一个平面
B．平面就是平行四边形
C．圆心和圆上两点可确定一个平面
D．梯形可确定一个平面
【变式1-1】（24-25 高二上·上海·阶段练习）给出下面四个命题，其中错误的命题个数是（ ）
①三个不同的点确定一个平面； ②一条直线和一个点确定一个平面；
③空间两两相交的三条直线确定一个平面； ④两条平行直线确定一个平面.
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【变式1-2】（24-25 高一下·新疆哈密·期中）下列命题正确的是（ ）
A．三个点可以确定一个平面
B．一条直线和一个点可以确定一个平面
C．两条直线可以确定一个平面
D．长方体一定是直四棱柱，正四棱柱一定是长方体
【变式1-3】（24-25 高一下·河北石家庄·阶段练习）下列不是基本事实的是（ ）
A．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
B．平行于同一条直线的两条直线平行
C．如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内
D．经过两条平行直线，有且只有一个平面
【题型2 点（线）共面问题】
【例2】（24-25 高二下·河南·阶段练习）如图，在下列四个正方体中，A，B，C，D 分别为所在棱的中
点，则在这四个正方体中，A，B，C，D 四点共面的是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【变式2-1】（2025·吉林·模拟预测）在长方体ABCD−A1B1C1 D1中，直线A1C与平面A B1 D1的交点为
M ,O为线段B1 D1的中点，则下列结论错误的是（ ）
A．A , M ,O三点共线
B．M ,O , A1,B四点异不共面
C．B ,B1,O , M四点共面
D．B , D1,C , M四点共面
【变式2-2】（24-25 高一下·河北邯郸·期末）如图，在空间四边形ABCD各边AB，BC，CD，DA上分别
取点E，F，G，H，若直线EH，GF相交于点P，则下列结论错误的是（ ）
A．点P必在平面ABD内
B．点P必在平面CBD内
C．点P必在直线BD上
D．直线FG与直线BD为异面直线
【变式2-3】（24-25 高三上·河北承德·期中）如图，在下列正方体中，M，N 为正方体的两个顶点，P，Q
分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，M，N，P，Q 四点共面的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【题型3 点共线、线共点问题】
【例3】（2025·湖南·二模）如图，在三棱柱ABC −A1B1C1中，E , F ,G , H分别为
B B1,C C1, A1B1, A1C1的中点，则下列说法错误的是（ ）
A．E , F ,G , H四点共面
B．EF //GH
C．EG, FH , A A1三线共点
D．∠EG B1=∠FH C1
【变式3-1】（24-25 高一下·河南开封·期末）如图，在正方体ABCD−A1B1C1 D1中，E为棱D1C1的靠近
D1上的三等分点.设AE与平面B B1 D1 D的交点为O，则（ ）
A．三点D1,O ,B共线，且OB =2O D1
B．三点D1,O ,B共线，且OB =3O D1
C．三点D1,O ,B不共线，且OB =2O D1
D．三点D1,O ,B不共线，且OB =3O D1
【变式3-2】（24-25 高三·全国·课后作业）在空间四边形ABCD 的各边AB、BC、CD、DA 上分别取E、
F、G、H 四点，若EF∩GH＝P，则点P（ ）
A．一定在直线BD 上
B．一定在直线AC 上
C．既在直线AC 上也在直线BD 上
D．既不在直线AC 上也不在直线BD 上
【变式3-3】（24-25 高一下·河南洛阳·阶段练习）如图，在正方体ABCD−A1B1C1 D1中，P，Q 分别是
棱A A1，C C1的中点，平面D1 PQ∩平面ABCD =l，则下列结论错误的是（ ）
A．l过点B
B．l不一定过点B
C．D1 P的延长线与DA的延长线的交点在l上
D．D1Q的延长线与DC的延长线的交点在l上
【题型4 等角定理】
【例4】（24-25 高一下·全国·课后作业）若AB // A
′ B
′，BC // B
′C
′，且∠ABC = 45°，则∠A
′ B
′C
′等
于（ ）
A．45°
B．135°
C．45°或135°
D．不能确定
【变式4-1】（2025 高一下·全国·专题练习）已知角α的两边和角β的两边分别平行，且α =80°，则β =（
）
A．80°
B．100°
C．80°或100°
D．不能确定
【变式4-2】（24-25 高二·全国·课后作业）不在同一个平面内的两个三角形的三组对应边分别平行，则这
两个三角形（ ）
A．一定是全等三角形
B．一定是相似但不全等的三角形
C．一定是相似或全等的三角形
D．可能不全等或相似
【变式4-3】（24-25 高一·全国·课后作业）给出下列命题：
①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；
②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；
③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补．
其中正确的命题有（ ）
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
【题型5 平面分空间问题】
【例5】（2024·四川内江·三模）三个不互相重合的平面将空间分成n个部分，则n的最小值与最大值之和
为（ ）
A．11
B．12
C．13
D．14
【变式5-1】（24-25 高二上·四川乐山·阶段练习）三个平面将空间分成7 个部分的示意图是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5-2】（2025·广东广州·模拟预测）三个不互相重合的平面将空间分成n个部分，则n不可能是
（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【变式5-3】（24-25 高一下·广东广州·期末）空间的1 个，2 个，3 个，4 个平面最多可将空间分别分成2
个，4 个，8 个，15 个区域，则空间的5 个平面最多可将空间分成的区域个数是（ ）
A．25
B．26
C．28
D．30
【题型6 异面直线的判定】
【例6】（2025·上海·模拟预测）如图，ABCD−A1B1C1 D1是正四棱台，则下列各组直线中属于异面直
线的是（ ）
A．AB和C1 D1
B．A A1和C C1
C．B D1和B1 D
D．A1 D1和AB．
【变式6-1】（2025·上海·模拟预测）如图所示，在正方体ABCD−A1B1C1 D1中，点P为线段A1C1上的
动点，则下列直线中，始终与直线BP异面的是（ ）
A．D D1
B．AC
C．A D1
D．B1C
【变式6-2】（24-25 高一下·河北·期中）如图，这是一个正方体的平面展开图，若将其还原成正方体，下
列直线中，与直线AD是异面直线的是（ ）
A．FG
B．EH
C．EF
D．BC
【变式6-3】（24-25 高二上·上海浦东新·期末）如图所示，长方体ABCD−A1B1C1 D1中，
AB =1, AD =2, A A1=3，P 是线段A1C1上的动点，则下列直线中，始终与直线BP 异面的是（ ）
A．D D1
B．B1C
C．D1C
D．AC
【题型7 异面直线所成的角】
【例7】（2025·云南红河·三模）在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，PA ⊥平面ABCD，E为
PC的中点，AB = PA =2，若四棱锥P−ABCD的外接球半径为2，则AE与BC所成角的正弦值为（ ）
A．1
2
B．
❑√2
2
C．
❑√3
2
D．
❑√6
4
【变式7-1】（24-25 高三下·黑龙江·阶段练习）在正四面体ABCD 中，M，N 分别是棱AB，CD 的中点，则
直线AN 与CM 所成角的余弦值为（ ）
A．1
3
B．
❑√3
3
C．2
3
D．
❑√6
3
【变式7-2】（（24-25 高一下·广东深圳·期末）在长方体ABCD−A1B1C1 D1中，AB = AD =2❑√3，
A A1=2，则直线A D1与BD所成角的余弦值为（ ）
A．
❑√3
3
B．
❑√3
4
C．
❑√6
3
D．
❑√6
4
【变式7-3】（2025·内蒙古呼和浩特·二模）如图，已知正四棱锥P−ABCD的所有棱长均相等，E为棱PA
的中点，则异面直线BE与PC所成角的余弦值为（ ）
A．
❑√6
3
B．−
❑√6
3
C．
❑√3
3
D．−
❑√3
3
【题型8 空间中直线与平面、平面与平面的位置关系】
【例8】（2025·天津·一模）已知m，n 是两条直线，α是一个平面，下列命题正确的是（ ）
A．若m//α，n//α，则m//n
B．若m⊥α，m⊥n，则n//α
C．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n
D．若m//α，m⊥n，则n⊥α
【变式8-1】（2025·云南·模拟预测）设m,n是两条不同的直线，α为平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若m⊥n,n ∥ α，则m⊥α
B．若m ∥ n,n ∥ α，则m ∥ α
C．若m⊥α ,n ∥ α，则m⊥n
D．若m ∥ α ,n ∥ α，则m ∥ n
【变式8-2】（2025·安徽·模拟预测）已知α , β是两个不重合的平面，m,n是两条不同的直线，则下列命题
中错误的是（ ）
A．若m//n,n⊂α，则m//α
B．若m//α ,m// β ,α ∩β =n，则m//n
C．若m⊥α ,m⊥β，则α // β
D．若α ⊥β ,m⊥α ,n⊥β，则m⊥n
【变式8-3】（2025·天津·一模）已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列结论
正确的是（ ）
A．若m//n，m//α，则n//α
B．若m//n，α // β，m⊥α，则n⊥β
C．若α ⊥γ，β ⊥γ，则α // β
D．若α // β，m⊂α，n⊂β，则m//n
【题型9 立体几何中的截面问题】
【例9】（2025·陕西铜川·三模）在正方体ABCD−A1B1C1 D1中，E , F ,G分别为BC ,CD , D D1的中
点，若AB = 4，则平面EFG截正方体所得截面的面积为（ ）
A．6 ❑√2
B．6 ❑√3
C．12❑√2
D．12❑√3
【变式9-1】（2025·全国·模拟预测）如图，在棱长为2 的正方体ABCD−A1B1C1 D1中，E 为棱BC 的中
点，用过点A1，E，C1的平面截正方体，则截面周长为（ ）
A．3 ❑√2+2❑√5
B．9
C．2❑√2+2❑√5
D．3 ❑√2+2❑√3
【变式9-2】（2025·上海黄浦·二模）如图，已知P,Q , R分别是正方体ABCD−A1B1C1 D1的棱AB ,BC
和C1 D1的中点，由点P,Q , R确定的平面β截该正方体所得截面为（ ）
A．三角形
B．四边形
C．五边形
D．六边形
【变式9-3】（2024·辽宁·模拟预测）在正四棱柱ABCD−A1B1C1 D1中，AB = AD =2, A1 A =3, P为线
段C1 D1的中点，一质点从A点出发，沿长方体表面运动到达P点处，若沿质点A的最短运动路线截该正四
棱柱，则所得截面的面积为（ ）
A．❑√3
B．7 ❑√3
2
C．15 ❑√6
4
D．3 ❑√6
一、单选题
1．（2024·陕西商洛·模拟预测）在空间中，下列命题是真命题的是（ ）
A．三条直线最多可确定1 个平面
B．三条直线最多可确定2 个平面
C．三条直线最多可确定3 个平面
D．三条直线最多可确定4 个平面
2．（2025·安徽合肥·二模）若空间中三条不同的直线a，b，c满足a⊥c，b⊥c，则a//b是a，b，c共
面的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．（2025·安徽合肥·模拟预测）已知l ,m,n是三条不重合的直线，α , β ,γ是三个不重合的平面，则下列结
论正确的是（ ）
A．若α ⊥β , β ⊥γ，则α ∥γ
B．若l⊆α ,m⊆α ,l∥β ,m∥β，则α ∥β
C．若l∥α ,l∥β，则α ∥β
D．若l∥m,m⊆α ,l⊄α，则l∥α
4．（2025·山东济南·三模）如图，下列正方体中，M，N，P，Q 分别为所在棱的中点，则在这四个正方体
中，直线MN 和PQ 为异面直线的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）给出下列四个判断：
①若a，b为异面直线，则过空间任意一点P，总可以找到直线与a，b都相交．
②对平面α，β和直线l，若α ⊥β，l⊥β，则l∥α．
③对平面α，β和直线l，若l⊥α，l // β，则α ⊥β．
④对直线l1，l2和平面α，若l1//α，l2//l1，且l2过平面α内一点P，则l2⊂α．
其中正确的判断有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
6．（2025 高三·全国·专题练习）已知圆柱的轴截面ABCD为正方形，E为下底面圆弧´AB的中点，点F在
上底面圆弧´
CD上且与E在轴截面同侧，若´
CF = 1
3
´
CD，则异面直线AE与CF所成角为（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．75°
7．（2025·广东茂名·一模）在棱长为6 的正方体ABCD−A1B1C1 D1
中，⃗AE =2⃗E A1
，⃗CF =2⃗F C1
，过
点B , E , F的平面截该正方体所得截面的周长为（ ）
A．4 ❑√13+3 ❑√2
B．6 ❑√13+3 ❑√2
C．4 ❑√13+8 ❑√2
D．6 ❑√13+8 ❑√2
8．（2024·四川南充·三模）如图，在直三棱柱ABC −A1B1C1中，AC ⊥BC，AC = BC = A A1，E、F、
G、H 分别为AB、B B1、C C1、AC的中点，则下列说法中错误的是（ ）
A．A1C ⊥GH
B．E、F、G、H 四点共面
C．设BC =2，则平面EF C1截该三棱柱所得截面的周长为1+ ❑√3+2❑√5
D．EF、GH、A A1三线共点
二、多选题
9．（2024·吉林长春·模拟预测）下列基本事实叙述正确的是（ ）
A．经过两条相交直线，有且只有一个平面
B．经过两条平行直线，有且只有一个平面
C．经过三点，有且只有一个平面
D．经过一条直线和一个点，有且只有一个平面
10．（2025·湖南·模拟预测）已知直线m 和平面α，且m⊄α，则下列结论有可能错误的是（ ）
A．过m 存在一个平面β与α平行
B．过m 存在一个平面β与α垂直
C．在α内存在一条直线n 与m 平行
D．在α内存在一条直线n 与m 相交
11．（2025·贵州贵阳·模拟预测）已知E，F，G，H 分别是正方体ABCD−A1B1C1 D1的棱
AB ,BC ,C C1,C1 D1的中点，AB =2，则（ ）
A．直线HG与直线A1B异面
B．直线EF , HG , DC交于同一点
C．过A 、G、D1三点的平面截正方体所得截面图形的周长为3 ❑√2+2❑√5
D．动点K 在侧面A1 AD D1内（含边界），且KE = A A1，则动点K 的轨迹长度为❑√3 π
三、填空题
12．（24-25 高一下·江苏南通·阶段练习）已知m，n 是两条不同的直线，α表示平面，则下列命题中正确
的是：
（填序号）.
①若m//α，m//n，则n//α；
②若m//α，m⊥n，则n⊥α；
③若m⊥α，n⊥α，则m//n；
④若m⊥α，m⊥n，则n//α．
13．（2025·全国·模拟预测）在三棱锥P−ABC中，AC = ❑√3，BC =1，PA = PB = PC = AB =2，M为
AC的中点，则异面直线BM与PA所成角的余弦值是
．
14．（2025·河北石家庄·模拟预测）金字塔在埃及和美洲等地均有分布，现在的尼罗河下游，散布着约80
座金字塔遗迹，大小不一，其中最高大的是胡夫金字塔.如图，胡夫金字塔可以近似看做一个正四棱锥，则
该正四棱锥的5 个面所在的平面将空间分成
部分（用数字作答）．
四、解答题
15．（2024·全国·模拟预测）如图，在四棱锥P−ABCD中，AD // BC，AD =2，BC =3，E是PD的中
点，F , M分别在PC , PB上，且PF = 1
3 PC ,BM = 1
3 BP．
(1)证明：E , F , A , M四点共面；
(2)若CD⊥AD , PA ⊥平面ABCD , PA = AD =CD，求四棱锥P−AMFE的体积．
16．（24-25 高一下·河南驻马店·阶段练习）如图，已知正四面体P−ABC，M , N ,Q , R分别是棱
PA , PC , AB ,BC的中点．
(1)证明：四边形MNRQ为菱形；
(2)求异面直线BM与QR所成角的余弦值．
17．（24-25 高一下·吉林长春·期中）已知正方体ABCD−A1B1C1 D1中，AB =2，点M，N 分别是线段
C1 D1，C C1的中点．
(1)求三棱锥M −A1C1B的体积；
(2)求证：直线A1 M、BN、B1C1三线共点．
18．（24-25 高一下·黑龙江哈尔滨·期中）在一正三棱台木块ABC −A1B1C1如图所示，已知
2 AC =3 A1C1=6，A A1=2，点O在平面ABC内且为△ABC的重心.
(1)过点O将木块锯开，使截面经过A1C1平行于直线AC，在木块表面应该怎样划线，并说明理由；
(2)求该三棱台木块被问题（1）中的截面分成的两个几何体的体积之比.
19．（2025·全国一卷·高考真题）如图,在四棱锥P−ABCD中，PA ⊥底面ABCD，
AB⊥AD ,BC // AD．
(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；
(2)设PA = AB = ❑√2,BC =2, AD =1+ ❑√3，且点P，B，C，D均在球O的球面上．
（i）证明：点O在平面ABCD内；
（
）求直线
ⅱ
AC与PO所成角的余弦值．
