专题7.3 空间直线、平面的平行（举一反三讲义）
【全国通用】
【题型1 有关平行命题的判断】..............................................................................................................................4
【题型2 证明线线平行】..........................................................................................................................................5
【题型3 线面平行的判定】......................................................................................................................................6
【题型4 线面平行的性质定理的应用】..................................................................................................................7
【题型5 面面平行的判定】......................................................................................................................................9
【题型6 面面平行的性质定理的应用】................................................................................................................11
【题型7 平行关系的综合应用】............................................................................................................................12
【题型8 平行关系的探索性问题】........................................................................................................................14
1、空间直线、平面的平行
考点要求
真题统计
考情分析
(1)理解空间中直线与直线、
直线与平面、平面与平面的平
行关系，并加以证明
(2)掌握直线与平面、平面与
平面平行的判定与性质，并会
简单应用
2023 年新高考I 卷：第18 题，
12 分
2024 年新高考I 卷：第17 题，
15 分
2024 年北京卷：第17 题，14 分
2025 年全国一卷：第9 题，6 分
2025 年全国二卷：第17 题，15
分
2025 年北京卷：第17 题，14 分
2025 年上海卷：第18 题，14 分
空间直线、平面的平行是高考的
重点、热点内容，属于高考的常考内
容之一.从近几年的高考情况来看，主
要分两方面进行考查，一是空间中线
面平行关系的命题的真假判断，常以
选择题、填空题的形式考查，难度较
易；二是空间线线、线面、面面平行
的证明，一般以解答题的其中一小问
的形式考查，难度中等；解题时要灵
活运用直线、平面的平行的判定与性
质，复习时要加强这方面的训练.
知识点
1 线面平行、面面平行的判定定理和性质定理
1．线面平行的判定定理和性质定理
(1)判定定理
①自然语言
如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.
②图形语言
③符号语言
.
该定理可简记为“若线线平行，则线面平行”.
(2)性质定理
①自然语言
一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行.
②图形语言
③符号语言
.
该定理可简记为“若线面平行，则线线平行”.
(3)性质定理的作用
①作为证明线线平行的依据.当证明线线平行时，可以证明其中一条直线平行于一个平面，另一条直线是过
第一条直线的平面与已知平面的交线，从而得到两条直线平行.
②作为画一条与已知直线平行的直线的依据.如果一条直线平行于一个平面，要在平面内画一条直线与已知
直线平行，可以过已知直线作一个平面与已知平面相交，交线就是所要画的直线.
2．面面平行的判定定理和性质定理
(1)判定定理
①自然语言
如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行.
②图形语言
③符号语售
.
该定理可简记为“若线面平行，则面面平行”.
(2)判定定理的推论
①自然语言
如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行.
②图形语言
③符号语言
.
(3)性质定理
①自然语言
两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行.
②图形语言
③符号语言
.
该定理可简记为“若面面平行，则线线平行”.
(4)两个平面平行的其他性质
①两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面.
②平行直线被两个平行平面所截的线段长度相等.
③经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.
④两条直线同时被三个平行平面所截，截得的线段对应成比例.
⑤如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行.
知识点
2 空间中的平行关系的判定方法
1．线线平行的证明方法
(1)定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点；
(2)利用平面图形的有关平行的性质，如三角形中位线，梯形，平行四边形等关于平行的性质；
(3)利用基本事实4：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行；
(4)利用线面平行与面面平行的性质定理来判定线线平行.
2．线面平行的判定方法
(1)利用线面平行的定义：直线与平面没有公共点；
(2)利用线面平行的判定定理：如果平面外有一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平
行(简记为“线线平行—线面平行”)；
(3)利用面面平行的性质定理：如果两个平面平行，那么在一个平面内所有直线都平行于另一个平面.(简记
为“面面平行—线面平行”).
3．面面平行的判定方法
(1)面面平行的定义：两个平面没有公共点，常与反证法结合(不常用)；
(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行(主
要方法)；
(3)垂直于同一条直线的两个平面平行(选择、填空题可用)；
(4)平行于同一个平面的两个平面平行(选择、填空题可用).
【方法技巧与总结】
1．垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α//β.
2．平行于同一个平面的两个平面平行，即若α//β，β//γ，则α//γ.
3．垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a//b.
4．若α//β，a
α，则a//β.
【题型1 有关平行命题的判断】
【例1】（2025·河北唐山·二模）已知m为平面α外的一条直线，则下列命题中正确的是（ ）
A．存在直线n，使得n⊥m，n⊥α
B．存在直线n，使得n⊥m，n//α
C．存在直线n，使得n//m，n//α
D．存在直线n，使得n//m，n⊥α
【变式1-1】（2025·广东深圳·一模）已知直线a,b分别在两个不同的平面α , β内，则“直线a和直线b平
行”是“平面α和平面β平行”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【变式1-2】（24-25 高一下·福建龙岩·期中）已知直线a，b，c是三条不同的直线，平面α，β，γ是三个
不同的平面，下列命题正确的是（ ）
A．若a//α，b//α，则a//b
B．若a//b，a//α，则b//α
C．若a⊂α，b⊂α，且a// β，b// β，则α // β
D．α，β，γ三个平面最多可将空间分割成8个部分
【变式1-3】（24-25 高一下·安徽合肥·期中）已知l，m，n是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平
面，则下列命题一定正确的是（ ）
A．若m//α，n// β，α // β，则m//n
B．若m⊂α，n⊂α，m// β，n// β，则α // β
C．若l //α，l⊂β，α ∩β =m，则l //m
D．若m⊂α，n⊂α，l⊂β，且m// β，n//l，则α // β
【题型2 证明线线平行】
【例2】（24-25 高一下·全国·课堂例题）如图所示，在三棱锥S−MNP中，E，F，G，H分别是棱SN，
SP，MN，MP的中点，则EF与HG的位置关系是（ ）
A．平行
B．相交
C．异面
D．平行或异面
【变式2-1】（24-25 高一·全国·课后作业）在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F 分别是侧面AA1D1D，侧面
CC1D1D 的中心，G，H 分别是线段AB，BC 的中点，则直线EF 与直线GH 的位置关系是（ ）
A．相交
B．异面
C．平行
D．垂直
【变式2-2】（24-25 高一下·全国·课堂例题）已知正方体ABCD−A1B1C1 D1中，E，F分别是A A1，
C C1的中点．求证：BF // E D1．
【变式2-3】（24-25 高二上·云南大理·期末）如图，在棱长为3 的正方体ABCD−A1B1C1 D1中，P ,Q分
别为棱BC ,C C1的中点．
(1)证明：A D1// PQ；
(2)求三棱锥A −B1QP的体积．
【题型3 线面平行的判定】
【例3】（2025·山西晋城·模拟预测）如图，在四棱柱ABCD−A1B1C1 D1中，底面ABCD为平行四边
形，点M是线段B1 D1上的一个动点，E、F分别是BC、CM的中点.
(1)求证：EF //平面BD D1B1；
(2)若四棱柱ABCD−A1B1C1 D1的体积为24，求三棱锥C −BDF的体积V 的值.
【变式3-1】（2025·宁夏石嘴山·模拟预测）如图，在正方体A1B1C1 D1−ABCD中，E是D D1的中点．
(1)求证：A1C1//平面ACE；
(2)若B D1=6，求点B到平面AEC的距离.
【变式3-2】（2024·四川·三模）正方体ABCD−A1B1C1 D1的棱长为2，E , F ,G分别是C C1,BC , AD的
中点.
(1)求证：CG //面D1 EF；
(2)求点G到平面D1 EF的距离.
【变式3-3】（2025·陕西渭南·三模）如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD 是平行四边形，PA ⊥平
面ABCD，4 PA = 4 AB =3 AD =12，⃗BA ⋅⃗AD =0，且M，N 分别为PD，AC 的中点．
(1)求证：MN //平面PBC；
(2)求三棱锥M −ACD的体积．
【题型4 线面平行的性质定理的应用】
【例4】（2025 高三·全国·专题练习）如图，已知四棱锥P−ABCD的底面是平行四边形，E为AD的中
点，F在PA上，且⃗AP = λ⃗AF，PC //平面BEF，则λ的值为（ ）
A．1
B．3
2
C．2
D．3
【变式4-1】（24-25 高一下·山东济南·期中）如图，在四棱锥P−ABCE中，四边形ABCE是梯形，
AB //CE ,且AB =3CE ,点F 在棱PA上，且EF ∥平面PBC，则PF
FA
=（ ）
A．1
3
B．1
2
C．2
3
D．3
4
【变式4-2】（2024·河南·模拟预测）如图，三棱柱ABC −A1B1C1各棱长均相等，M为棱AC上一点，Q
为棱B B1的中点，AQ //平面C1BM．
(1)求AM
MC
的值；
(2)若平面A1 M B1将三棱柱ABC −A1B1C1分为两部分，较小部分的体积为V 1，较大部分的体积为V 2，
求V 1
V 2
的值．
【变式4-3】（2024·宁夏吴忠·模拟预测）如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2 的正方
形，PD⊥底面ABCD，PD = λCD，点E在棱PC上，PA //平面EBD.
(1)试确定点E的位置，并说明理由；
(2)是否存在实数λ，使三棱锥E−BPD体积为4
3
，若存在，请求出具体值，若不存在，请说明理由.
【题型5 面面平行的判定】
【例5】（2025 高三·全国·专题练习）如图，正四棱锥P−ABCD的底面为平行四边形．M、N、Q分别
为PC、CD、AB的中点．求证：平面MNQ //平面PAD．
【变式5-1】（24-25 高一下·福建龙岩·期中）如图，梯形ABCD是圆台O1O2的轴截面，E，F 分别在底面
圆O1，O2的圆周上，EF 为圆台的母线，∠DO1 E =60°，已知CD = 4，AB =8，G，H 分别为O2B，BF
的中点.
(1)证明：平面CGH //平面O1O2 FE.
(2)若三棱锥C −GBH的体积为5 ❑√3
3
，求圆台O1O2的侧面积.
【变式5-2】（2025·陕西安康·模拟预测）如图，在圆锥PO中，P为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，
四边形ABCD是底面的内接正方形，E , F分别为PD , PA的中点，过点E , F ,O的平面为α.
(1)证明：平面α ∥平面PBC；
(2)若圆锥的底面圆半径为2，高为❑√3，设点M在线段EF上运动，求三棱锥P−MBC的体积.
【变式5-3】（24-25 高一下·广东中山·阶段练习）如图，正四棱锥P−ABCD的底面为平行四边形．M、
N、Q分别为PC、CD、AB的中点，设平面PAD与平面PBC的交线为l．
(1)求证：平面MNQ //平面PAD；
(2)求证：BC //l；
(3)若PA =5，AB = 4 ❑√2，求四棱锥P−ABCD的体积．
【题型6 面面平行的性质定理的应用】
【例6】（24-25 高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，四棱柱ABCD−A1B1C1 D1中，四边形ABCD为平
行四边形，E , F分别在线段DB , D D1上，且DE
EB = DF
F D1
= 1
2 ,G在C C1上且平面AEF ∥平面B D1G，则
CG
C C1
=（ ）
A．1
2
B．1
3
C．2
3
D．1
4
【变式6-1】（24-25 高一下·全国·课后作业）如图，四棱柱ABCD−A1B1C1 D1中，四边形ABCD 为平行
四边形，E，F 分别在线段DB，D D1上，DE
EB = 1
2，G 在C C1上且平面AEF //平面B D1G，则CG
C C1
=
（ ）
A．1
2
B．1
3
C．2
3
D．1
4
【变式6-2】（2025 高三·全国·专题练习）如图，在三棱锥P−ABC中，E，F，G，H 分别是PB，PC，
AE，BF 的中点．证明：直线GH //平面ABC．
【变式6-3】（24-25 高一下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，四棱锥P−ABCD的底面为平行四边形.设平面
PAD 与平面PBC 的交线为l，M、N、Q 分别为PC、CD、AB 的中点.
(1)求证：MQ //平面PAD；
(2)求证：BC //l.
【题型7 平行关系的综合应用】
【例7】（24-25 高一下·陕西汉中·期末）由正方体ABCD−A1B1C1 D1截去三棱锥C1−B1C D1后得到的
几何体如图所示，O为AC 与BD 的交点.
(1)求证：A1O//平面B1C D1；
(2)求证：平面A1BD //平面B1C D1.
【变式7-1】（24-25 高一下·江西上饶·期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一
点.已知M，N分别是PC，AB的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于HG.
(1)求证：MN //平面PAD；
(2)求证：AP// HG.
【变式7-2】（24-25 高一下·吉林长春·期中）如图，在正方体ABCD−A1B1C1 D1中AB =2，M 为D D1的
中点．
(1)求证：B D1//平面AMC；
(2)若N 为C C1的中点，求证：平面AMC //平面BN D1；
(3)求三棱锥M −ABC与正方体ABCD−A1B1C1 D1的外接球半径之比．
【变式7-3】（24-25 高一下·河南驻马店·阶段练习）如图，在正方体ABCD−A B1C1 D1中，E为D D1的
中点．
(1)求证：B D1//平面AEC；
(2)取C C1中点F，求证：平面AEC //平面BF D1；
(3)求异面直线AE与D1B所成角的余弦值．
【题型8 平行关系的探索性问题】
【例8】（24-25 高一下·青海海南·期末）如图，在长方体ABCD−A1B1C1 D1中，E , F ,G分别是棱
AB ,B B1, A1B1的中点.
(1)证明：C1G //平面CEF.
(2)在棱A A1
上是否存在点H，使得平面C1GH //平面CEF？若存在，求出A1 H
A1 A
的值；若不存在，请说
明理由.
【变式8-1】（2025 高一·全国·专题练习）如图，在四棱锥P−ABCD中，底面四边形ABCD是平行四边
形，E是侧棱PC上一点，且PE =2 EC．
(1)试确定侧棱PC上一点Q的位置，使AQ //平面BDE．
(2)在侧棱PB上是否存在一点R，使AR //平面BDE？若存在，求出PR
RB
的值；若不存在，请说明理由．
【变式8-2】（24-25 高一下·甘肃白银·期末）如图，已知在正方体ABCD−A1B1C1 D1中，P，Q 分别为
对角线BD，C D1上的点，CQ
Q D1
= BP
PD = λ(0< λ<1).
(1)求证：PQ //平面BC C1B1.
(2)若R 是AB上的点，当AR
AB
的值为多少时（用λ表示），能使平面PQR∥平面A1 D1 DA?请给出证明.
【变式8-3】（24-25 高一下·四川绵阳·阶段练习）如图所示正四棱锥S−ABCD，SA = SB = SC = SD = 4，
AB =2❑√2，P 为侧棱SD 上的点，且SP =3 PD，求：
(1)正四棱锥S−ABCD的外接球表面积；
(2)若M 为SA 的中点，求证：SC //平面BMD；
(3)侧棱SC 上是否存在一点E，使得BE //平面PAC．若存在，求SE
EC
的值；若不存在，试说明理由．
一、单选题
1．（2025·福建宁德·三模）设α , β是两个不同平面，m,n是平面β内的两条不同直线.甲：m // α ,n //
α，乙：α // β，则（ ）
A．甲是乙的充分不必要条件
B．甲是乙的必要不充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲是乙的既不充分也不必要条件
2．（24-25 高二下·北京·期中）已知直线a,b，平面α，给出下列四个命题：
①若a // b,b⊂α，则a // α；
②若a // α ,b // α，则a // b；
③若a // b,b // α，则a // α；
④若a // α ,b⊂α，则a // b.
其中正确命题的个数是（ ）
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
3．（2024·全国·模拟预测）设m,n是两条相交直线，α , β是两个互相平行的平面，且n// β，则“m//α
”是“m// β”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．（2025·海南·模拟预测）如图，在三棱柱ABC −A1B1C1中，点D在棱B B1上，且BD = 2
3 B B1, M , E
分别是棱A1B1, A A1的中点，点N在棱C C1上，若MN //平面CDE，则C1 N
CN =（ ）
A．5
7
B．7
5
C．2
3
D．3
2
5．（2024·山东·一模）如图所示，在四棱锥P−ABCD中，M , N分别为PC , AC上的点，且MN //平面
PAD，则下列说法正确的是（ ）
A．MN // PD
B．MN // PA
C．MN // AD
D．以上均有可能
6．（2025·河南·二模）如图，已知正方体ABCD−A1B1C1 D1的棱长为2，E，F分别是棱AD，B1C1的
中点，若P为侧面AD D1 A1内（含边界）的动点，且B1 P//平面BEF，则B1 P的最小值为（ ）
A．8 ❑√2
5
B．2❑√30
5
C．❑√5
D．2❑√2
7．（2025·福建福州·模拟预测）如图，点A ､B､C ､M ､N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图
中，不满足直线MN ∥平面ABC的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（24-25 高一下·海南·期末）如图所示是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中以下四个命题中，
真命题的序号是（ ）
①BM //平面ADE；
②CN //平面ABF；
③平面BDM //平面AFN；
④平面BDE //平面NCF.
A．①②③④
B．①②③
C．①②④
D．②③④
二、多选题
9．（2025·全国一卷·高考真题）在正三棱柱ABC −A1B1C1中，D 为BC 的中点，则（ ）
A．AD⊥A1C
B．B1C1⊥平面A A1 D
C．AD // A1B1
D．C C1//平面A A1 D
10．（2024·江苏徐州·模拟预测）如图，点A ,B ,C , M , N是正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中
满足MN //平面ABC的是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（2025·浙江温州·二模）在四棱锥P−ABCD中，E，F分别是AP，BC上的点，AE
EP = BF
FC
，则下
列条件可以确定EF //平面PCD的是（ ）
A．AD // BC
B．AB//CD
C．BC //平面PAD
D．CD //平面PAB
三、填空题
12．（2024·上海徐汇·一模）已知m,n为空间中两条不同的直线，α , β为两个不同的平面，若
m⊂α ,α ∩β =n，则m//n是m// β的 条件.（填：“充分非必要” “必要非充分”、“充
､
要”、“既非充分又非必要”中的一个）
13．（24-25 高二上·上海浦东新·阶段练习）如图，已知点P在平行四边形ABCD所在平面外，E 为线段
AD上靠近A 的三等分点，F 为线段PC上一点，当PA //平面EBF时，PC
PF = .
14．（2025·山西吕梁·一模）如图所示，在棱长为4 的正方体ABCD−A1B1C1 D1中，点E , F分别是棱
BC ,C C1的中点，P是侧面BC C1B1内一点，若A1 P//平面AEF，则线段A1 P长度的取值范围是
.
四、解答题
15．（2025·海南·模拟预测）如图，在三棱台ABC −A1B1C1中，A A1⊥底面A1B1C1，△ABC与
△A1B1C1都是等腰直角三角形，∠BAC =90° , AB =2, A A1= A1B1= 4，E、F分别为A A1、B1C1的
中点．
(1)证明：EF //平面A B1C；
(2)求异面直线EF与B B1夹角的余弦值．
16．（24-25 高一下·广东深圳·期中）如图，在三棱柱ABC −A1B1C1中，侧棱A A1⊥底面ABC，
AB⊥BC，D为AC的中点，A A1= AB =2，BC =3．
(1)求证：A B1//平面BC1 D．
(2)求三棱柱ABC −A1B1C1的表面积；
17．（2025·北京·高考真题）如图，在四棱锥P−ABCD中，△ADC与△BAC均为等腰直角三角形，
∠ADC =90°，∠BAC =90°，E 为BC 的中点．
(1)若F ,G分别为PD , PE的中点，求证：FG//平面PAB；
(2)若PA ⊥平面ABCD，PA = AC，求直线AB 与平面PCD 所成角的正弦值．
18．（2025·上海·高考真题）如图，P 是圆锥的顶点，O 是底面圆心，AB 是底面直径，且AB =2．
(1)若直线PA 与圆锥底面的所成角为π
3
，求圆锥的侧面积；
(2)已知Q 是母线PA 的中点，点C、D 在底面圆周上，且弧AC 的长为π
3
，CD∥AB．设点M 在线段OC
上，证明：直线QM ∥平面PBD．
19．（2025·全国二卷·高考真题）如图，在四边形ABCD中，AB //CD ,∠DAB =90°，F 为CD 的中
点，点E 在AB 上，EF // AD，AB =3 AD ,CD =2 AD.将四边形EFDA沿EF翻折至四边形EF D
′ A
′，
使得面EF D
′ A
′与面EFCB 所成的二面角为60°．
(1)证明：A
′ B //平面C D
′ F；
(2)求面BC D
′与面EF D
′ A
′所成的二面角的正弦值．
