专题6.2 等差数列及其前n 项和（举一反三讲义）
【全国通用】
【题型1 等差数列的基本量计算】..........................................................................................................................3
【题型2 等差数列的判定与证明】..........................................................................................................................4
【题型3 等差数列的性质及应用】..........................................................................................................................5
【题型4 等差数列的通项公式】..............................................................................................................................5
【题型5 等差数列前n 项和的性质】......................................................................................................................6
【题型6 等差数列的前n 项和的最值】..................................................................................................................6
【题型7 等差数列的简单应用】..............................................................................................................................7
【题型8 等差数列的奇偶项讨论问题】..................................................................................................................7
【题型9 含绝对值的等差数列问题】......................................................................................................................9
【题型10 等差数列中的恒成立问题】....................................................................................................................9
【题型11 与等差数列有关的新定义、新情景问题】.........................................................................................10
1、等差数列及其前n 项和
考点要求
真题统计
考情分析
(1)理解等差数列的概念和
通项公式的意义
(2)探索并掌握等差数列的
前n 项和公式，理解等差
数列的通项公式与前n 项
和公式的关系
(3)能在具体问题情境中，
发现数列的等差关系，并
解决相应的问题
(4)体会等差数列与一元函
数的关系
2023 年新高考I 卷：第7 题，5 分
2023 年新高考
卷
Ⅱ
：第18 题，12
分
2024 年新高考I 卷：第19 题，17 分
2024 年新高考
卷
Ⅱ
：第12 题，5 分
2025 年全国一卷：第16 题，15 分
2025 年全国二卷：第7 题，5 分
2025 年北京卷：第5 题，4 分
2025 年天津卷：第19 题，15 分
2025 年上海卷：第3 题，4 分
等差数列是高考的重点、热点内
容，属于高考的常考内容之一.从近几
年的高考情况来看，等差数列的基本
量计算和基本性质、等差数列的中项
性质、判定是高考考查的热点，主要
以选择题、填空题的形式考查，难度
较易；等差数列的证明、求和及综合
应用是高考考查的重点，一般出现在
解答题中，难度中等.
近年高考压轴题中也会出现数列
的新定义、新情景题，难度较大，需
要灵活求解.
知识点
1
等差数列的概念
1．等差数列的概念
一般地，如果一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等
差数列，这个常数叫做等差数列的公差，常用字母d 表示.
2．等差中项
由三个数a,A,b 组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时A 叫做a 与b 的等差中项，则有
2A=a+b.反之，若2A=a+b，则a,A,b 三个数成等差数列.
3．等差数列的通项公式
等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d 为公差.
4．等差数列的单调性
由等差数列的通项公式和一次函数的关系可知等差数列的单调性受公差
d 影响.
①当d>0 时，数列为递增数列，如图①所示；
②当d<0 时，数列为递减数列，如图②所示；
③当d=0 时，数列为常数列，如图③所示.
因此，无论公差为何值，等差数列都不会是摆动数列.
5．等差数列的性质
设{an}为等差数列，公差为d，则
(1)若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*)，则am+an=ap+aq.
(2)数列{λan+b}(λ,b 是常数)是公差为λ d 的等差数列.
(3)若{bn}是公差为d'的等差数列，{an}与{bn}的项数一致，则数列
(
为常数)是公差为
λ1d+λ2d'的等差数列.
(4)下标成等差数列且公差为m 的项
(k,m∈N*)组成公差为md 的等差数列.
(5)在等差数列{an}中，若an=m，am=n，m≠n，则有am+n=0.
知识点
2
等差数列的基本运算的解题策略
1．等差数列的基本运算的两大求解思路：
(1)等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体
现了用方程的思想来解决问题.
(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d 是等差数列的两个基本量，用它
们表示已知和未知是常用方法.
知识点
3
等差数列的判定的方法与结论
1．证明数列是等差数列的主要方法：
(1)定义法：对于n≥2 的任意自然数，验证an-an-1为同一常数.即作差法，将关于an-1的an代入an-an-1，在化
简得到定值.
(2)等差中项法：验证2an-1=an+an-2（n≥3，n∈N*）都成立.
2．判定一个数列是等差数列还常用到的结论：
(1)通项公式：an=pn+q（p,q 为常数）
是等差数列.
(2)前n 项和公式：Sn=An2+Bn（A,B 为常数）
是等差数列.
问题的最终判定还是利用定义.
知识点
4
等差数列及其前
n 项和的性质及应用
1．项的性质：
在等差数列an中，若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*)，则am+an=ap+aq.
2．和的性质：
在等差数列an中，Sn为其前n 项和，则
(1)S2n=n(a1+a2n)=…=n(an+an+1)；
(2)S2n-1=(2n-1)an；
(3)依次k 项和成等差数列，即Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…成等差数列.
3．求等差数列前n 项和的最值的常用方法：
(1)邻项变号法：利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和
的最值；
(2)二次函数法：利用公差不为零的等差数列的前n 项和Sn=An2+Bn（A,B 为常数，A≠0）为二次函数，通
过二次函数的性质求最值.
(3)不等式组法：借助当Sn最大时，有
，解此不等式组确定n 的范围，进而确
定n 的值和对应Sn的值(即Sn最大值)，类似可求Sn的最小值.
【方法技巧与总结】
1．已知数列{an}的通项公式是an= pn+q(其中p，q 为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p.
2．在等差数列{an}中，a1>0， d<0，则Sn存在最大值；若a1<0， d>0，则Sn存在最小值.
3．等差数列{an}的单调性：当d>0 时，{an}是递增数列；当d<0 时，{an}是递减数列；当d=0 时，{an}是常
数列.
4．数列{an}是等差数列
( A, B 为常数).
【题型1 等差数列的基本量计算】
【例1】（2025·山西吕梁·三模）已知等差数列{an)的公差d >0,a1=1,a2
2−a3=9，则d =（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
【变式1-1】（2025·全国二卷·高考真题）记Sn
为等差数列{an)的前n 项和，若S3=6,S5=−5,则S6=（ ）
A．−20
B．−15
C．−10
D．−5
【变式1-2】（2025·山东·一模）已知数列{an)是公差不为0 的等差数列，若a1a2=a3
2，a5=2，则a1=
（ ）
A．−1
B．−1
2
C．1
2
D．1
【变式1-3】（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知等差数列{an)的前n项和为Sn
，若S5=2S3,a1+a8=10，
则公差d为（ ）
A．1
4
B．1
2
C．2
3
D．1
【题型2 等差数列的判定与证明】
【例2】（2025·浙江宁波·模拟预测）已知数列{an)，则“an−2+an+2=2an(n≥3,n∈N
*)
是
数列
”
“
{an)
是等差数列
的（
”
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【变式2-1】（24-25 高二下·广东茂名·阶段练习）已知数列{an)和数列{bn)满足an=bn+1−bn
，
an−1
an
=−2bn，则下列数列为等差数列的是（ ）
A．{an+ 1
an)
B．{an−1
an)
C．{
❑√bn)
D．{bn
2)
【变式2-2】（2025·河北·模拟预测）已知数列{an)满足a1= 1
2
，an+1=
an
2an+1 (n∈N
*)．
(1)求证：{
1
an)
是等差数列；
(2)若bn=anan+1(n∈N
*)，求数列{bn)的前n项和T n
．
【变式2-3】（2025·江西新余·模拟预测）已知数列{an)的前n项和为Sn，an+1+3 Sn⋅Sn+1=0，a1= 1
3
．
(1)证明：数列{
1
Sn)
为等差数列；
(2)求{an)的通项；
(3)求{
1
an)
的最大值．
【题型3 等差数列的性质及应用】
【例3】（2025·辽宁·二模）已知等差数列{an)满足a2+a4+a6=3，a3+a5+a7=9，则a1+a8=（ ）
A．1
B．3
2
C．4
D．8
【变式3-1】（2025·重庆·二模）已知等差数列{an)的前4 项为a，3b，2，5b，则a9=（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
【变式3-2】（2025·广东·模拟预测）在等差数列{an)中，若a5+a7+a9=27，则2a8−a9
的值为（ ）
A．18
B．15
C．12
D．9
【变式3-3】（2025·山东日照·一模）已知等差数列{an)中，a2+a4=6，则a1+a3+a5=（ ）
A．15
B．9
C．3 ❑√6
D．5 ❑√6
【题型4 等差数列的通项公式】
【例4】（2025·北京通州·一模）已知等差数列{an)满足：a5−2a3=1，且a2=0，则a2025=（ ）
A．2026
B．2025
C．2024
D．2023
【变式4-1】（2025·辽宁·二模）已知数列{an)满足a1=3，an+1=an+ 4 ❑√an+1+ 4，则an=（ ）
A．an=2n+1
B．an=2n
C．an= 4 n
2−1
D．an= ❑√4 n+1
【变式4-2】（24-25 高二下·四川广安·期中）等差数列{an)中，a7= 4，a19=2a9
，n∈N
∗．
(1)求{an)的通项公式；
(2)设bn=
1
(n+3)an
，求数列{bn)的前n项和Sn．
【变式4-3】（24-25 高二下·安徽芜湖·期末）已知数列{an)是等差数列，且a2= 4，a4=10．
(1)求{an)的通项公式；
(2)设数列{
1
anan+1)
的前n 项和为T n
，证明：T n< 1
3
．
【题型5 等差数列前n 项和的性质】
【例5】（2025·四川乐山·一模）设等差数列{an)的前n项和Sn
，若S3=9，S6=36，则a7+a8+a9=（ ）
A．18
B．27
C．45
D．63
【变式5-1】（2025·湖北黄冈·模拟预测）设等差数列{an)的前n项和为Sn
，若Sm=−3,Sm+1=0,Sm+2= 4，
则m=（ ）
A．8
B．7
C．6
D．5
【变式5-2】（2024·重庆·模拟预测）已知等差数列{an)和{bn)的前n项和分别为Sn，T n
，若Sn
T n
= 3n+1
5n−7
，
则
a2+a8
b1+b2+b6
=（ ）
A．28
9
B．14
9
C．28
D．28
27
【变式5-3】（2024·河南周口·模拟预测）设Sn
为等差数列{an)的前n项和，已知S3= 4 ,S6=10，则
a16+a17+a18=（ ）
A．12
B．14
C．16
D．18
【题型6 等差数列的前n 项和的最值】
【例6】（2025·广西南宁·三模）设等差数列{an)的前n 项和为Sn
，若a5=2，a3+a8=12−a7
，则Sn
的最小
值为（ ）
A．−14
B．−49
4
C．−12
D．−10
【变式6-1】（2025·河北衡水·模拟预测）记Sn
为等差数列{an)的前n项和，已知a5=1，S11=−11，则Sn
的
最大值为（ ）
A．16
B．18
C．23
D．25
【变式6-2】（2025·江苏盐城·模拟预测）设等差数列{an)的前n项和为Sn
，若a1<0，S9= S19
，则当Sn
取最
小值时n的值为（ ）
A．12
B．13
C．14
D．25
【变式6-3】（2025·浙江·模拟预测）设等差数列{an)的前n项和是Sn
，前n项积是T n
，若S6=3，S3=6，则
（ ）
A．Sn无最大值，T n无最小值
B．Sn有最大值，T n无最小值
C．Sn无最大值，T n有最小值
D．Sn有最大值，T n有最小值
【题型7 等差数列的简单应用】
【例7】（2025·山东青岛·三模）《九章算术》是中国古代的数学名著，书中有
分钱问题
：现有
“
”
5 个人
分5 钱，5 人分得钱数依次成等差数列，前两人分得钱数之和等于后三人分得钱数之和，则分得钱数最少
的一人钱数为（ ）
A．1
3
B．1
2
C．2
3
D．5
6
【变式7-1】（2025·江苏宿迁·模拟预测）《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大
寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这十二个节气，其日影长依次成等差数
列，若小寒、雨水、清明日影长之和为36 尺，前八个节气日影长之和为92 尺，则谷雨日影长为（ ）
A．15
B．16
C．17
D．18
【变式7-2】（2025·陕西汉中·模拟预测）鬼工球，又称同心球，要求制作者使用一整块完整的材料，将其
雕成每层均同球心的数层可自由转动的空心球，空心球的球面厚度不计.为保证鬼工球的每一层均可以自由
转动，要求其从最内层起，每层与其外一层球面的间距构成首项为1mm 公差为
､
4 mm的等差数列，若一个
鬼工球最外层与最内层的半径之差为190 mm，则该鬼工球的层数为（ ）
A．9
B．10
C．11
D．12
【变式7-3】（2024·广东广州·模拟预测）元代数学家朱世杰编著的《算法启蒙》中记载了有关数列的计算
问题：
今有竹七节，下两节容米四升，上两节容米二升，各节欲均容，问逐节各容几升？
其大意为：
“
”
现有一根七节的竹子，最下面两节可装米四升，最上面两节可装米二升，如果竹子装米量逐节等量减少，
问竹子各节各装米多少升？以此计算，这根竹子的装米量为（ ）
A．9升
B．10.5升
C．12升
D．13.5升
【题型8 等差数列的奇偶项讨论问题】
【例8】（2025·山东威海·一模）已知数列{an)的各项均为正数，记Sn
为{an)的前n 项和，且2Sn=an
2+an
.
(1)求数列{an)的通项公式；
(2)记cn=(−1)
nanan+1
，求数列{cn)的前n 项和T n
.
【变式8-1】（2025·黑龙江大庆·模拟预测）设Sn
为数列{an)的前n项和，已知an>0,4 Sn=an
2+2an+1，数
列{bn)满足bn={
an+1+an,n 为奇数,
an+1−an,n 为偶数,)
(1)求数列{an)的通项公式；
(2)记数列{bn)的前n项和为T n
，若对于任意n∈N
*,T n≥10n+ λ恒成立，求实数λ的取值范围.
【变式8-2】（2024·湖北·模拟预测）数列{an)中，a1=1，a2=9，且an+2+an=2an+1+8，
(1)求数列{an)的通项公式；
(2)数列{bn)的前n项和为Sn
，且满足bn
2=an
，bnbn+1<0，求Sn
．
【变式8-3】（2024·全国·模拟预测）已知数列{an)的前n项积为T n,an≠0,an=
T n
T n−2
．
(1)求证：数列{T n)是等差数列，并求数列{an)的通项公式；
(2)令bn=(−1)
n−1(an+1)(an+1−1)，求数列{bn)的前n项和Sn
．
【题型9 含绝对值的等差数列问题】
【例9】（2025·贵州贵阳·模拟预测）已知数列{an)是公差为2 的等差数列，且a4=3a7
，则数列{|an))的前
20 项之和为（ ）
A．80
B．208
C．680
D．780
【变式9-1】（2024·内蒙古包头·一模）已知等差数列{an)中，a1=9，a4=3，设
T n=|a1|+|a2|+⋅⋅⋅+|an|，则T 21=（ ）
A．245
B．263
C．281
D．290
【变式9-2】（2025·福建漳州·模拟预测）已知数列{an)为等差数列，a5=9,a3+a6+a9=33．
(1)求数列{an)的通项公式．
(2)若bn+an=19，求数列{|bn))的前n 项和Sn
．
【变式9-3】（2024·辽宁·模拟预测）等差数列{an)的前n项和为Sn
，已知a6=0，S12=6.
(1)求数列{an)的通项公式；
(2)求数列{|an))的前n项和T n
.
【题型10 等差数列中的恒成立问题】
【例10】（2024·湖北·二模）已知等差数列{an)的前n 项和为Sn
，且Sn=n
2+m，n∈N
*，若对于任意的
a∈[0,1]，不等式an
n < x
2−(1+a) x−2a
2−a+2恒成立，则实数x 可能为（ ）
A．−2
B．0
C．1
D．2
【变式10-1】（2024·陕西西安·二模）已知数列{an)满足a1=3，an+1−an=2，bn=(−1)
n+1(
1
an
+ 1
an+1)
，
若数列{bn)的前n项和为T n，不等式T n< 4
3 λ(3−5 λ)(n∈N
∗)恒成立，则λ的取值范围为（ ）
A．(
1
10 ,+∞)
B．(
1
5 ,+ ∞)
C．(
1
10 , 1
2)
D．(
1
5 , 2
5)
【变式10-2】（2024·贵州六盘水·三模）已知{an)为等差数列，且a5＝3a1
，a1+a5+a14＝a10+24．
(1)求{an)的通项公式；
(2)若2
n⋅λ≥a1+a2+⋯+an
恒成立，求实数λ 的取值范围．
【变式10-3】（2024·全国·模拟预测）数列{an)的前n项和为Sn
，2Sn
2−2an Sn+an=0(n≥2,n∈N
∗)，且
a1=1.
(1)证明：{
1
Sn)
为等差数列；
(2)对于任意n∈N
*，不等式2
nan+1+
λ
2n−1 <0恒成立，求实数λ的取值范围.
【题型11 与等差数列有关的新定义、新情景问题】
【例11】（2025·内蒙古呼和浩特·二模）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中讨论过高阶等差数列，高
阶等差数列是指逐项差数之差或者高次差相等的数列，例如数列1，3，6，10，15，…的逐项差，
a2−a1=2，a3−a2=3，a4−a3= 4，a5−a4=5，…构成一个等差数列，则数列1，3，6，10，15，…是一
个高阶等差数列（二阶等差数列），现有一个高阶等差数列，其前5 项为2，3，6，11，18，则其第8 项
是（ ）
A．38
B．51
C．66
D．83
【变式11-1】（2025·上海杨浦·模拟预测）已知{an)是一个公差不为0的等差数列，其前n项和为Sn
.若存在
正整数p,q(其中p<q)使得S p+ Sq=0，则称{an)具有性质Γ，称有序数对( p,q)是{an)的一组“Γ数对
，
”
记由{an)的全体“Γ数对
所组成的集合为
”
Ω{an)
.关于命题①
若
“
{an)具有性质Γ且(1,4)∈Ω{an)
，则
Ω{an)={(1,4))
与命题②
”
f 存在具有性质Γ的{an)及互不相同的正整数n1,n2,m(其中n1<m且n2<m)，使得
(n1,m)∈Ω{an)
且(n2,m)∈Ω{an)
，下列说法正确的是（ ）.
A．①是真命题，②是真命题
B．①是真命题，②是假命题
C．①是假命题，②是真命题
D．①是假命题，②是假命题
【变式11-2】（2025·广西·模拟预测）我们把公差不为0 的等差数列{an)(n∈N
*)称为
一阶等差数列
，
“
”
若数列{an+1−an)是
一阶等差数列
，则称数列
“
”
{an)是
二阶等差数列
“
”.例如：1，3，7，13，21，
31…，后项与前项的差值：2，4，6，8，10，…，这些差值构成的数列是公差为2 的等差数列，则称数列
1，3，7，13，21，31….为
二阶等差数列
“
”.
(1)若数列{an)的通项公式为an=n
2，试判断数列{an)是否为
二阶等差数列
，并说明理由；
“
”
(2)若数列{an)为
二阶等差数列
，且
“
”
a1=1，对应的
一阶等差数列
首项为
“
”
1，公差为3，求an
；
【变式11-3】（2025·山东临沂·三模）定义：若数列{an)满足|an−n)>|an−1−(n−1))(n≥2,n∈N
*)，则
称数列{an)为
数项增数列
“
”.
(1)若an=1−3n，bn=2
n−3，判断数列{an)，{bn)是否为
数项增数列
？
“
”
(2)若等差数列{cn)为
数项增数列
，且
“
”
c1=2，求{cn)的公差d的取值范围；
(3)若数列{dn)为共4 项的
数项增数列
，满足
“
”
di∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9)(i=1,2,3,4)，求所有满足条件的
数列{dn)的个数.
一、单选题
1．（2025·四川成都·一模）在等差数列{an)中，a3=3，a4+a6=2，则a7=（ ）
A．−2
B．−1
C．1
D．2
2．（2025·广西柳州·模拟预测）设等差数列{an)的前n项和为Sn
，若S4−S1=9,a1+a4=5，则{an)的公差
为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
3．（2025·北京·高考真题）已知{an)是公差不为零的等差数列，a1=−2，若a3,a4,a6
成等比数列，则a10=
（ ）
A．−20
B．−18
C．16
D．18
4．（2025·江苏南通·模拟预测）设{an)为等差数列，且a1+a2+a3=3,a2+a3+a4=9，则a6+a7=（ ）
A．16
B．18
C．20
D．22
5．（2025·江苏泰州·模拟预测）设Sn
是等差数列{an)的前n 项和，T n
是数列{
Sn
n )
的前n 项和.若
S4=12，S8= 40，则T 12等于（ ）
A．49
B．50
C．51
D．52
6．（2025·广东惠州·模拟预测）已知等差数列{an)的首项a1=2，公差d =12，在{an)中每相邻两项之间都
插入3 个数，组成一个新的等差数列{bn)，则bn=（ ）
A．4 n−2
B．3n−1
C．3n
D．2n+1
7．（2025·江西·模拟预测）记Sn
为等差数列{an)的前n 项和，且a2=2a1=2，则满足Sn<888的n 的最大值
为（ ）
A．40
B．41
C．42
D．43
8．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知Sn
，T n
分别是等差数列{an)，{bn)的前n 项和，且
Sn
T n
= 2n+1
4 n−2 (n∈N
∗)，则
a3
b4+b7
+
a8
b5+b6
=（ ）
A．7
10
B．11
18
C．21
38
D．17
30
二、多选题
9．（2025·海南三亚·一模）数列{an)为等差数列，Sn
为其前n项和，已知a3=−6,a11=2，则（ ）
A．a7=−2
B．d =1
C．S5=30
D．当n=8或n=9时，Sn最大
10．（2025·安徽·模拟预测）已知等差数列{an)的首项为a1
，公差为d，前n项和为Sn
，且
S5= 4 a4−1,{
2Sn
an )
是以1 为公差的等差数列，则下列结论正确的是（ ）
A．d =1
B．S5=15
C．an=n
D．Sn= n(n−1)
2
11．（2025·四川成都·一模）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称
为
三角垛
“
”.“三角垛
的最上层有
”
1 个球，第二层有3 个球，第三层有6 个球，第四层有10 个球……设
第n层有an个球，则（ ）
A．a5=15
B．{an+1−an)是等差数列
C．a2025为偶数
D．1≤1
a1
+ 1
a2
+⋯+ 1
an
<2
三、填空题
12．（2025·上海·高考真题）已知等差数列{an)的首项a1=−3，公差d =2，则该数列的前6 项和为
．
13．（2025·新疆喀什·模拟预测）已知Sn
是等差数列{an)的前n项和，若S4=12,S8= 40，则S12=
．
14．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知数列{an)中，a1=10，an=an−1−4 (n≥2)，则数列{an)的前n 项和的
最大值等于
．
四、解答题
15．（2025·江苏南通·模拟预测）已知数列{an)的前n项和为Sn，{ Sn
n }是首项和公差均为1 的等差数列.
(1)求数列{an)的通项公式；
(2)若bn=2
n−5an
，求bn
的最小值.
16．（2025·河南许昌·三模）在数列{an)中，a1=0,a2= 4，且an+2=2an+1−an+2．
(1)证明：{an+1−an)是等差数列；
(2)求数列{
1
an+2)
的前n项和Sn
，并比较Sn
与log2
❑√5的大小．
17．（2025·全国一卷·高考真题）已知数列{an)中，a1=3，an+1
n = an
n+1 +
1
n(n+1).
(1)证明：数列{nan)为等差数列；
(2)给定正整数m，设函数f ( x)=a1 x +a2 x
2+⋯+am x
m，求f
′(−2)．
18．（2025·广东梅州·一模）在公差不为0 的等差数列{an)中，已知a1
，a2
，a5
成等比数列，
a2n=2an+1(n∈N
∗)
(1)求数列{an)的通项公式；
(2)若数列{bn)满足bn=sin(
π
2 an+1)+cos(πan)，求数列{bn)的前2n 项和T 2n．
19．（2025·天津·高考真题）已知数列{an)是等差数列，{bn)是等比数列，a1=b1=2,a2=b2+1,a3=b3
．
(1)求{an)，{bn)的通项公式；
(2)∀n∈N
∗，I ∈{0,1)，有
T n={p1a1b1+ p2a2b2+...+ pn−1an−1bn−1+ pnanbn| p1, p2,..., pn−1, pn∈I )，
（i）求证：对任意实数t ∈T n，均有t <an+1bn+1;
（ii）求T n所有元素之和．
