专题6.1 数列的概念与简单表示法（举一反三讲义）
【全国通用】
【题型1 由an与Sn的关系求通项或项】.................................................................................................................4
【题型2 累加法求通项公式】..................................................................................................................................4
【题型3 累乘法求通项公式】..................................................................................................................................5
【题型4 构造法求通项公式】..................................................................................................................................5
【题型5 数列的周期性】..........................................................................................................................................6
【题型6 数列的单调性】..........................................................................................................................................6
【题型7 数列的最大（小）项】..............................................................................................................................7
【题型8 数列中的规律问题】..................................................................................................................................7
【题型9 递推数列问题】..........................................................................................................................................9
1、数列的概念与简单表示法
考点要求
真题统计
考情分析
(1)了解数列的概念和几种
简单的表示方法(列表、图
象、通项公式)
(2)了解数列是自变量为正
整数的一类特殊函数
2023 年北京卷：第10 题，4
分
数列是高考的热点内容，属于高考
的必考内容.从近几年的高考情况来
看，高考中对数列的概念的考查相对较
少，考查题型以选择题、填空题为主，
难度不大，重点是考查数列的单调性、
周期性与最值等内容.
知识点
1
数列的概念与基本知识
1．数列的定义
一般地，把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列的第一个位
置上的数叫做这个数列的第1 项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2 项，用a2表示
⋯⋯第n 个位置上的数叫做这个数列的第n 项，用an表示.其中第1 项也叫做首项.
2．数列的分类
分类标准
名称
含义
举例
按项的个数
有穷数列
项数有限的数列
1,2,3,…,n
无穷数列
项数无限的数列
1,0,1,0,1,0,…
按项的变化趋势
递增数列
从第2 项起，每一项都大于它的前一
项的数列
3,4,5,6,…,n+2
递减数列
从第2 项起，每一项都小于它的前一
项的数列
-1,-2,-3,…,-n
常数列
各项相等的数列
0,0,0,0,…
摆动数列
从第2 项起，有些项大于它的前一
项，有些项小于它的前一项的数列
1,-2,3,-4,…
3．数列的通项公式
如果数列{an}的第n 项an与它的序号n 之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数
列的通项公式.
4．数列的递推公式
(1)递推公式的概念
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推
公式.
(2)对数列递推公式的理解
①与
不一定所有数列都有通项公式
一样，并不是所有的数列都有递推公式
“
”
.
②递推公式是给出数列的一种方法.事实上，递推公式和通项公式一样，都是关于项的序号n 的恒等式.如果
用符合要求的正整数依次去替换n，就可以求出数列的各项.
③用递推公式求出一个数列，必须给出：
基础
数列
——
{an}的第1 项(或前几项)；
递推关系
数列
——
{an}的任意一项an与它的前一项an-1 (
)(或前几项)间的关系，并且这个关系可以用
等式来表示.
5．数列表示方法及其比较
优点
缺点
通项
公
式法
便于求出数列中任意指定的一项，
利于对数列性质进行研究
一些数列用通项公式表示比较
困难
列
表法
内容具体、方法简单，给定项的序
号，易得相应项
确切表示一个无穷数列或项数
比较多的有穷数列时比较困难
图象法
能直观形象地表示出随着序号的变
化，相应项的变化趋势
数列项数较多时用图象表示比
较困难
递推公式法
可以揭示数列的一些性质，如前后
几项之间的关系
不容易了解数列的全貌，计算
也不方便
6．数列的前n 项和
数列{an}从第1 项起到第n 项止的各项之和，称为数列{an}的前n 项和，记作
，即
.
如果数列{an}的前n 项和Sn与它的序号n 之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个
数列的前n 项和公式.
=
.
知识点
2
数列的通项公式的求解策略
1．由an与Sn的关系求通项：
(1)已知Sn求an的常用方法是利用
=
转化为关于an的关系式，再求通项公式.
(2) Sn与an关系问题的求解思路
方向1：利用an= Sn -Sn-1(n≥2)转化为只含 Sn，Sn-1的关系式，再求解.
方向2：利用Sn -Sn-1= an(n≥2)转化为只含an，an-1的关系式，再求解.
2．由数列的递推关系求通项公式：
(1)累加法：形如an+1=an+f(n)的递推关系式利用累加法求和，特别注意能消去多少项，保留多少项.
(2) 累乘法：形如an+1=an·f(n) 的递推关系式可化为
的形式，可用累乘法，也可用
代入求出通项.
(3)构造法：
①形如an+1=pan+q 的递推关系式可以化为(an+1+x)=p(an+x)的形式，构成新的等比数列，求出通项公式，求变
量x 是关键.
②形如
(A,B,C 为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解.
知识点
3
数列的性质有关问题的解题策略
1．数列周期性问题的解题策略：
解决数列周期性问题，根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求出有关
项的值或前n 项和.
2．求数列最大项与最小项的常用方法
(1)函数法：利用相关的函数求最值.若借助通项的表达式观察出单调性，直接确定最大 (小)项，否则，利
用作差法.
(2)利用
确定最大项，利用
确定最小项.
【方法技巧与总结】
1．若数列{an}的前n 项和为Sn，通项公式为an，则
.
2．在数列{an}中，若an最大，则
；若an最小，则
.
【题型1 由an与Sn的关系求通项或项】
【例1】（2025·北京丰台·二模）已知数列{an)的前n项和为Sn
，且满足a1=0,an+1+2Sn=n，则a5=（ ）
A．−1
B．0
C．1
D．2
【变式1-1】（2025·浙江宁波·三模）已知数列{an)中，a2=1，记Sn
为{an)的前n项和，2Sn=nan
，则a2025
的值为（ ）
A．2023
B．2024
C．2025
D．2026
【变式1-2】（2025·贵州遵义·二模）已知数列{an)的前n项和Sn=n
2+n−1，则a1+a9=（ ）
A．16
B．17
C．18
D．19
【变式1-3】（2024·福建漳州·一模）已知各项均不为0 的数列{an)的前n项和为Sn
，若3 Sn=an+1，则a8
a7
=
（ ）
A．−1
2
B．−1
3
C．1
2
D．1
3
【题型2 累加法求通项公式】
【例2】（2025 高三·全国·专题练习）已知数列an满足a1=3，an+1=an+ 1
n −
1
n+1
，则an=（ ）
A．4+ 1
n
B．4−1
n
C．2+ 1
n
D．2−1
n
【变式2-1】（24-25 高二上·山东枣庄·阶段练习）已知数列{an)满足a1=3，an+1=an+
1
n(n+1)，则an=
（ ）
A．4+ 1
n
B．4−1
n
C．2+ 1
n
D．2−1
n
【变式2-2】（2025·天津和平·三模）定义新运算：|
a
b
c
d)=ad −bc，已知数列{an)(n∈N
*)满足
a1=−14，|
an+1
1
2an
2)=10n，则a10=（ ）
A．239
B．225
C．211
D．261
【变式2-3】（24-25 高二上·江苏连云港·期中）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法⋅
商功》中，后人称为
三角垛
“
”.
三角垛
的最上层有
“
”
1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，⋅⋅⋅，
设各层球数构成一个数列{an)，则a21=（ ）
A．58
B．225
C．210
D．231
【题型3 累乘法求通项公式】
【例3】（24-25 高二下·广东深圳·阶段练习）在数列{an)中，a1=1，an= n−1
n
an−1，n≥2,n∈N，则数
列{an)的通项公式为（ ）
A．
1
2n−1
B．
2
n(n+1)
C．1
n
D．2
n+1
【变式3-1】（24-25 高二下·河南南阳·阶段练习）已知数列{an)的项满足an+1=
n
n+2 an，而a1=1，则an=
（ ）
A．
2
(n+1)
2
B．
2
n(n+1)
C．
1
2
n−1
D．
1
2n−1
【变式3-2】（24-25 高二上·重庆九龙坡·期末）已知a1=2，an=n(an+1−an)，则数列{an)的通项公式是
an=（ ）
A．n
B．n+1
C．2n
D．(
n+1
n )
n
【变式3-3】（24-25 高二上·河南鹤壁·阶段练习）设数列{an)的前n 项和为Sn
，且a1=1,{Sn+nan)为常数
列，则an=（ ）
A．1
3
n−1
B．
2
n(n+1)
C．
2
(n+1)(n+2)
D．5−2n
3
【题型4 构造法求通项公式】
【例4】（2024·广东茂名·一模）已知T n
为正项数列{an)的前n项的乘积，且a1=2,T n
2=an
n+1，则a5=（ ）
A．16
B．32
C．64
D．128
【变式4-1】（2025 高二·全国·专题练习）已知数列{an)满足an+1= 2
3 an+ 4，且a1=1，则{an)的通项公式为
（ ）
A．an=12−(
2
3)
n−1
B．an=(
2
3)
n+2
C．an=12−11×(
2
3)
n−1
D．an=8+(
2
3)
n−1
【变式4-2】（24-25 高二上·陕西西安·期中）已知数列{an)满足a1=1，an+1=
an
4 an+1
，(n∈N
∗)，则an=
（ ）
A．an= 1
n
B．an=
1
2n−1
C．an= 2n−1
4 n−3
D．an=
1
4 n−3
【变式4-3】（24-25 高二下·山西晋中·阶段练习）若数列{an)的首项a1=1，且满足an+1=2an+1，则数列
{an)的通项公式为（ ）
A．an=2
n−1
B．an=2
n−1−1
C．an=2
n+1−1
D．an=2
n−2
【题型5 数列的周期性】
【例5】（2025·河南·模拟预测）已知数列{a)满足a1=−1，a2=−8，且对任意n∈N
∗，
anan+1+2an+1=an+m，则a2025=（ ）
A．−8
B．−1
C．3
2
D．5
2
【变式5-1】（2025·天津南开·二模）若数列{an)满足a1=2,a2=1，且an+2={
an+1−an,
an+1≥an,
an−an+1,
an+1<an,)
则{an)
的前2025 项的和为（ ）
A．1350
B．1352
C．2025
D．2026
【变式5-2】（2025·湖南·模拟预测）在数列{an)中，a1=3，且an+1= 1+an
1−an
，则a2025=（ ）
A．3
B．-2
C．−1
3
D．1
2
【变式5-3】（2025·湖北·二模）若数列{an)满足a1=2，an+1= 1+an
1−an
(n∈N
∗)，则该数列的前2 025 项的
乘积是（ ）
A．−2
B．−1
C．2
D．1
【题型6 数列的单调性】
【例6】（2025·天津·二模）已知{an)是一个无穷数列，“a2>a1
是
”
“{an)为递增数列
的（
”
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【变式6-1】（2024·贵州·模拟预测）已知数列{an)满足an= n+ k −1
n
(k ∈R)，则
数列
“
{an)是递增数列”
的充要条件是（ ）
A．k <0
B．k <1
C．k >0
D．k >1
【变式6-2】（2025·湖南永州·模拟预测）已知数列{an)满足an+1= an
2 + 1
an
，则下列说法正确的是（ ）
A．若an>0，则{an)所有项恒大于等于❑√2
B．若a1=1，则{an)是单调递增数列
C．若{an)是常数列，则a1=± ❑√2
D．若a1=2，则{an+1+ an
2 )
是单调递增数列
【变式6-3】（2024·天津南开·二模）设数列{an)的通项公式为an=n
2+bn，若数列{an)是单调递增数列，则
实数b 的取值范围为（ ）
A．(−3,+ ∞)
B．(−2,+∞)
C．[−2,+∞)
D．[−3,+∞)
【题型7 数列的最大（小）项】
【例7】（2025·云南昭通·模拟预测）已知数列{an)的通项公式为an={
7
2n−7 ,n≤5
1
7 n
2−1
7
(a−1)n,n≥6)
，若a7是
{an)中唯一的最小项，则实数a的取值范围是（ ）
A．(14,16)
B．(15,16)
C．[15,16)
D．(14,16)
【变式7-1】（2025·上海·三模）已知数列{an)的通项公式为an=(
3
4)
n−1
[(
3
4)
n−1
−1)
，n∈N
*，则关于数
列{an)的最值叙述正确的是（）
A．既有最大项也有最小项
B．只有最大项没有最小项
C．没有最大项只有最小项
D．没有最大项也没有最小项
【变式7-2】（2025·四川绵阳·二模）已知数列{an)的前n 项和为Sn
，且Sn= 3
n−2
3
n
，则下列说法正确的是
（ ）
A．an<an+1
B．Sn>Sn+1
C．2an+ Sn=1
D．0<an≤4
9
【变式7-3】（2024·北京海淀·三模）已知数列{an)的通项公式为an= 2n−7
2n−15
，前n 项和为Sn，前n 项积为
T n.则下列结论正确的个数为（ ）
①an既有最小值，又有最大值，
②满足anan+1an+2<0的n 的值共有6 个；
③使Sn取得最小值的n 为7；
④T n有最小值，无最大值；
A．1
B．2
C．3
D．4
【题型8 数列中的规律问题】
【例8】（2024·辽宁·二模）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传
大衍之数五十
的推论，主要用于解
“
”
释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总
和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.大衍数列的前10 项依次是0，2，4，8，12，
18，24，32，40，50，则此数列的第30 项为（ ）
A．366
B．422
C．450
D．600
【变式8-1】（2025·吉林·三模）以
冰雪同梦亚洲同心
为主题的第九届亚冬会于
“
”
2025 年2 月7 日在哈尔
滨盛大开幕，场馆上方悬挂的120 万朵小雪花片装置，让观众仿佛置身于冰雪童话之中．理论上，一片雪
花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作
雪花曲线
，又称
科赫曲线
．它可以这样画：如图，画
“
”
“
”
一个边长为1 的正三角形P1，第一步，把每一边三等分；第二步，取三等分后的一边中间的一段，以此为
边向外作正三角形，并把这中间的一段擦掉，形成雪花曲线P2；重复上述两步，形成雪花曲线
P3, P4,…, Pn，记雪花曲线Pn的周长为Ln，则数列{(
1
3)
n
log 4
3
Ln
3 )
的最大项为（ ）
A．1
3
B．1
9
C．2
27
D．1
27
【变式8-2】（2024·全国·模拟预测）据中国古代数学名著《周髀算经》记载：
勾股各自乘，并而开方除
“
之（得弦）．
意即
勾
”
“
”a、
股
“
”b与
弦
“
”c之间的关系为a
2+b
2=c
2（其中a≤b）．当a,b,c∈N
∗
时，有如下勾股弦数组序列：(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25)，(9,40,41),⋯，则在这个序列中，第10 个
勾股弦数组中的
弦
等于（
“
”
）
A．145
B．181
C．221
D．265
【变式8-3】（2025·全国·模拟预测）公元前6 世纪，希腊的毕达哥拉斯学派研究数的概念时，常常把数描
绘成沙滩上的小石子，用它们进行各式各样的排列和分类，叫作
形数
．用
“
”
3 颗石子可以摆成一个正三
角形，同样用6 颗石子或者10 颗石子可以摆成更大的三角形．毕达哥拉斯学派把1，3,6,10等叫作
三角
“
数
或
三角形数
．同时他们还摆出了正方形数、五边形数、六边形数和其他多边形数．如图所示即摆
”
“
”
出的六边形数，那么第20 个六边形数为（ ）
A．778
B．779
C．780
D．781
【题型9 递推数列问题】
【例9】（2025·江苏苏州·三模）已知数列{an)满足a1=1, an+1
an
=1−1
2 an
，则（ ）
A．an+1>an
B．an> 1
2
C．1013a2025<1
D．2025a2025<1
【变式9-1】（2025·北京昌平·二模）在数列{an)中，an+1=an
2−2an(n=1,2,⋯)，则（ ）
A．当a1=3时，对于任意的正整数n,an+1>an
B．当a1=1时，存在正整数N，当n> N时，an+1>an
C．当a1∈(2,3)时，对于任意的正整数n,an≤3
D．当a1∈(3,4)时，存在正整数N，当n> N时，an<3
【变式9-2】（2024·湖南长沙·三模）已知数列{an)中，a1= ❑√2，an+1=[an]+
1
〈an 〉（其中[an)表示an的整
数部分，⟨an)表示an
的小数部分），则[a2024)=（ ）
A．2024
B．2025
C．4046
D．4047
【变式9-3】（2024·上海嘉定·一模）已知数列{an)满足an+1=r an(1−an)(n=1,2,3,⋯),a1∈(0,1)，给出
以下四个结论：
①当r =2时，存在有限个a1，使得对任意正整数n，都有an+1>an
②当r =2时，存在a1和正整数P，当n> P时，an+1−an<
1
2025
③当r =3时，存在a1和正整数P，当n> P时，an+1=an
当
④
r =−3时，不存在a1，使得对任意正整数n，且n≥3，都有an>0
其中正确结论是（ ）
A．①②
B．②③
C．③④
D．②④
一、单选题
1．（2025·湖北十堰·模拟预测）已知数列{an)的前n项和Sn=3
n−n，则a5=（ ）
A．153
B．161
C．163
D．238
2．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）已知数列{an)满足a1=−1，an+1= an−7
an+2
，则a30=（ ）
A．−8
B．−1
C．3
2
D．5
2
3．（2025·湖北黄冈·三模）已知数列{an}的前n 项和Sn满足：Sn+ Sm= Sn+m，且a1＝2，那么a10＝（ ）
A．2
B．10
C．11
D．56
4．（2025·四川乐山·三模）已知数列{an)的通项公式为an=3n+(−1)
n，则下列不是数列{an)的项的是
（ ）
A．2
B．13
C．39
D．49
5．（2025·贵州黔南·三模）数列{cn)满足cn={
a
n−1,n>2,
(3−a)n+2,n≤2
(n∈N
*))
，若数列{cn)单调递增，则实数
a的取值范围为（ ）
A．[2,3)
B．(1,3)
C．(1,2)
D．(2,3)
6．（2025·新疆喀什·模拟预测）已知数列{an)中，a1=1,an+3≤an+3,an+2≥an+2，则（ ）
A．a2025>2025
B．a2025=2025
C．a2025<2025
D．无法判断a2025大小
7．（2025·福建南平·三模）已知数列{an)的前n项和为Sn
，若Sn=an
2−10n，且对任意的n∈N
∗，都有
S3≤Sn成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．[
1
3 , 2)
B．(
10
7 , 2)
C．(
5
4 , 5
2)
D．[
10
7 , 2)
8．（2025·江西·模拟预测）若数列{an)满足an+1= logman(m>1且m∈Z )，则称数列{an)为
对数
“
m底数
列”.已知正项数列{an)是
对数
“
2 底数列
且
”
a5=1，则当n⩾2且n∈N
∗时，4
a2+a3+⋯+an
a2
2·…·an−1
2
=（ ）
A．2
12
B．2
16
C．2
32
D．2
64
二、多选题
9．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知Sn
为数列{an)的前n项和，且满足Sn=(−1)
nan−2
−n，则下列结论正
确的有（ ）
A．a1= 1
4
B．当n为偶数时，an= 1
2
n
C．当n为奇数时，an=−1
2
n+1
D．S5+ S6=−1
32
10．（2025·陕西宝鸡·二模）近年来，宝鸡市教育局致力于构建
学好上、上好学、学得好
的
宝鸡好
“
”
“
教育
品牌体系．在关注学生身体健康的同时，也高度重视学生的心理健康，为此特别推出了
和风计
”
“
划
．某校积极响应
和风计划
，为了缓解学生的学习压力，面向
”
“
”
1630 名高三学生开展了团建活动．如
果将所有参加活动的学生依次按照1，2，3，4，5，6，7，
编上号，并按图所示的顺序排队，我们将
…
2，
3，5，7，10，
位置称为
拐角
，因为指向它的箭头与离开它时的箭头方向发生了改变，那么下面说法
…
“
”
正确的有（ ）
A．站在第20 拐角的学生是111 号
B．站在第23 拐角的学生是137 号
C．第133 号同学站在拐角位置
D．站在拐角位置的同学共有79 名
11．（2025·辽宁·三模）已知数列{an)满足a1=m(0<m<1),an+1=an+ an
2
2024 ,n∈N
∗，则（ ）
A．当m= 1
3
时，a2025<1
B．当m= 1
2
时，a2025>1
C．当m= 2
3
时，a2025<1
D．当m= 3
4
时，a2025>1
三、填空题
12．（2025·安徽·模拟预测）已知数列{an)满足an+2=3an
，a1=1，则a9=
.
13．（2025·宁夏银川·模拟预测）已知数列{an)满足a1+2a2+⋯+2
n−1an=n⋅2
n，则数列{an)的通项公式
为
.
14．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知各项均不为零的数列{an)，其前n项和是Sn
，且
Sn=2anan+1(n=1,2,⋯)．若{an)为递增数列，a1=a，则a的取值范围是
．
四、解答题
15．（2025 高二·全国·专题练习）写出下列数列的一个通项公式，使它的前4 项分别是下列各数：
(1)2
2−1
3
，4
2−2
9
，6
2−3
27
，8
2−4
81
；
(2)−1，7，−13，19；
(3)0.7，0.77，0.777，0.7777；
(4)1，8
5
，15
7
，24
9
．
16．（2025·云南红河·三模）已知Sn
为数列{an)的前n项和，2Sn=3n
2+n.
(1)求{an)的通项公式；
(2)若bn=(26−an)⋅2
n，求bn
取得最大值时n的值.
17．（2025·山西朔州·模拟预测）已知数列{an)的前n项和Sn
满足Sn=2
n+1+1.
(1)求{an)的通项公式；
(2)若∀n∈N
∗，a2n> λn⋅3
n恒成立，求实数λ的取值范围.
18．（2025·全国·一模）设数列{an)满足a1=1,a2=2, an+2
an
= an+1
2
+1
an
2+1
.
(1)求a3并证明：an+1=an+ 1
an
；
(2)证明：63<a2025<78
19．（2025·广东佛山·二模）对于数列{an)，若∃d ∈R，使得∀n∈N
*，都有an+2+2an+1+an=d成
立，则称{an)为
三和定值数列
．已知
“
”
{an)为
三和定值数列
，且
“
”
a1=2，a2= 4，d =8．
(1)求a3，a4，a5；
(2)已知Sn
为数列{an)的前n项和，求S2025
．
