专题6.5 数列求和（举一反三讲义）
【全国通用】
【题型1 公式法求和】..............................................................................................................................................3
【题型2 错位相减法求和】......................................................................................................................................3
【题型3 裂项相消法求和】......................................................................................................................................5
【题型4 分组（并项）法求和】..............................................................................................................................6
【题型5 倒序相加法求和】......................................................................................................................................7
【题型6 含有（-1）n的类型求和】.........................................................................................................................8
【题型7 奇偶项问题讨论求和】..............................................................................................................................9
【题型8 先放缩再裂项求和】................................................................................................................................10
【题型9 新定义、新情景下的数列求和】............................................................................................................11
1、数列求和
考点要求
真题统计
考情分析
(1)熟练掌握等差、等比
数列的前n 项和公式
(2)掌握非等差数列、非
等比数列求和的几种常
用方法
2023 年新高考I 卷：第20 题，12 分
2023 年新高考
卷
Ⅱ
：第18 题，12
分
2023 年全国甲卷（理数）：第17
题，12 分
2024 年新高考
卷
Ⅱ
：第12 题，5 分
2024 年全国甲卷（文数）：第17
题，12 分
2024 年全国甲卷（理数）：第18
题，12 分
2025 年全国一卷：第16 题，15 分
2025 年全国二卷：第7 题，5 分
2025 年天津卷：第19 题，15 分
数列求和是高考的重点、热点内
容，命题形式多种多样，大小均有，属
于高考的必考内容之一.从近几年的高考
情况来看，数列求和在选择、填空题中
考查较少，难度不大；数列求和往往以
解答题的形式考查，难度中等或稍难，
往往在解决数列基本问题后考查数列求
和，数列求和问题有时会与不等式、函
数、导数等问题综合，此时难度较大，
数列求和方法多种多样，需要灵活求解.
近年高考压轴题中出现数列的新定
义、新情景题，综合性强，难度大，需
要灵活求解.
知识点
1
数列求和的几种常用方法
1．公式法
直接利用等差数列、等比数列的前n 项和公式求和.
①等差数列的前n 项和公式：
.
②等比数列的前n 项和公式：
=
.
2．分组求和法与并项求和法
(1)分组求和法
若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后
相加减.
(2)并项求和法
一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如
类型，可采用两项合并
求解.
3．错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一 个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即
可用此法来求，如等比数列的前n 项和公式就是用此法推导的.
4．裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.
常见的裂项技巧：
(1)
.
(2)
.
(3)
.
(4)
.
(5)
.
5．倒序相加法
如果一个数列{an}的前n 项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列
的前n 项和即可用倒序相加法求解.
知识点
2
特殊数列求和
1．奇偶项讨论求和
通项公式分奇、偶项有不同表达式；例如：
.
角度1：求
的前2n 项和T2n；
角度2：求
的前n 项和Tn.
2．通项含有(-1)n的数列求和
通项含有(-1)n的类型；例如：
.
【方法技巧与总结】
常用求和公式：
(1)
.
(2)
.
(3)
.
(4)
.
【题型1 公式法求和】
【例1】（2025·全国二卷·高考真题）记Sn
为等差数列{an)的前n 项和，若S3=6,S5=−5,则S6=（ ）
A．−20
B．−15
C．−10
D．−5
【变式1-1】（2025·黑龙江吉林·模拟预测）等比数列{an)的前n项和为Sn
，且a1+a3= 4，a2+a4=8，则
S5=（ ）
A．93
5
B．20
C．124
5
D．134
5
【变式1-2】（2025·河北·模拟预测）等比数列{an)的公比为2，且满足a12−a2=8，则{an)的前10 项和为
（ ）
A．4
B．32
C．84
D．128
【变式1-3】（2025·山东泰安·模拟预测）已知等差数列{an)的公差为2，a2
，a3
，a6
成等比数列，则{an)的
前n项和为（ ）
A．n(n−2)
B．n(n−1)
C．n
2−2
D．n(n+1)
【题型2 错位相减法求和】
【例2】（2025·云南昭通·模拟预测）已知数列{an)是等差数列，且a2n=2an+1，数列{bn)的前n项和为T n
，且T n=2
n−1，a2=2b2−1．
(1)求{an)和{bn)的通项公式；
(2)求数列{
an
bn)
的前n项和Qn．
【变式2-1】（2025·海南·模拟预测）已知数列{an)的前n项和Sn=13n−n
2，数列{bn)是首项为−2的等比数
列，且有a3+b3=0．
(1)求数列{an), {bn)的通项公式；
(2)设cn=an⋅bn
求数列{|cn))的前n项和T n
．
【变式2-2】（2025·辽宁盘锦·三模）已知数列{an)的前n项和为Sn，其中a3=3，Sn= 1
2 n
2+ λn．
(1)求λ的值以及数列{an)的通项公式；
(2)若bn=a5n−4⋅3
n，求数列{bn)的前n项和T n
．
【变式2-3】（2025·海南·模拟预测）已知各项均为正数的等差数列{an)的前n项和为Sn
，
(an+1)(an+1+1)= 4(Sn+n)(n∈N
*)，数列{bn)为等比数列，首项b1=3,b2=a5．
(1)求数列{an)和{bn)的通项公式；
(2)设cn=an⋅bn
，求数列{cn)的前n项和T n
．
【题型3 裂项相消法求和】
【例3】（2025·四川成都·模拟预测）已知数列{an)的首项a1=3，且满足an+1=2an−1(n∈N
∗)．
(1)求证：数列{an−1)为等比数列；
(2)记bn=log2(an−1)，数列{
1
bnbn+1)
的前n 项和Sn
，证明：Sn<1．
【变式3-1】（2025·辽宁鞍山·一模）设{an)是各项都为正数的递增数列，已知a1=1且an
满足关系式
an+1
2
−2an+1+an
2−2an+1=2anan+1
，n∈N+
．
(1)求a2,a3
及数列{an)的通项公式；
(2)令bn=
❑√an+3
❑√an⋅an+7 an+15n+9
，求数列{bn)的前n项和Sn
．
【变式3-2】（2025·河南驻马店·模拟预测）已知数列{an)的前n项和为Sn,an≠0,a1= 1
2 ,Sn=anan+1．
(1)求{an)的通项公式；
(2)若b1=1，且bn+1+bn= 4 an+1
2
，求数列{bn)的通项公式；
(3)在（2）的条件下，若en= (1−n)⋅2
n−1
bn
，求{en)的前n项和T n
．
【变式3-3】（2025·四川绵阳·模拟预测）已知数列{an)的首项为2，前n项和为Sn
，且Sn+1+2=an+3n+ Sn
．
(1)求数列{an)的通项公式；
(2)已知bn=
1
6an+6n−20，记数列{bn)的前n项和为T n，求证：−1
2 ≤T n<−1
3．
【题型4 分组（并项）法求和】
【例4】（24-25 高二下·重庆·期末）数列{an)中，a1=−2，满足an+1+3an= 4 n+1.
(1)证明：数列{an−n)为等比数列；
(2)求数列{an)的前n 项和Sn
.
【变式4-1】（2025·河南·模拟预测）已知数列{an)和{bn)满足a1=2,a2=5,b1=2,b2=3,{an+bn)是等比数
列，{an−bn)是等差数列.
(1)求{an+bn)和{an−bn)的通项公式；
(2)求{an)和{bn)的通项公式；
(3)求{an)的前n项和Sn
.
【变式4-2】（2025·贵州黔东南·三模）已知等差数列{an)的前n 项和为Sn
，等比数列{bn)的首项为2，且
a2+a6=10,S5=3a4，b4−a5=3 S3．
(1)求{an),{bn)的通项公式；
(2)设cn=(−1)
nan+ 1
bn
，求数列{cn)的前2n项的和T 2n．
【变式4-3】（2025·陕西安康·模拟预测）已知等差数列{an)的前n 项和为Sn
，且a3=7，S8=92．
(1)求数列{an)的通项公式以及Sn
；
(2)记数列{
1
anan+1)
的前n项和为T n
，求满足T n> 7
22
的n的最小值；
(3)若数列{bn)满足：bn={
m,n=am
3
m,am<n<am+1)
，求数列{bn)的前14 项和．
【题型5 倒序相加法求和】
【例5】（24-25 高二上·全国·课后作业）已知数列{an)中，an= 2n−98
2n−99
，则S =a1+a2+⋯+a97+a98=
（ ）
A．96
B．97
C．98
D．99
【变式5-1】（2025·四川成都·模拟预测）已知f ( x)= x
3−3 x
2，则f(
1
2023)+ f(
2
2023)+⋯+ f(
4046
2023)=
（ ）
A．-8088
B．-8090
C．-8092
D．-8094
【变式5-2】（2024·上海·模拟预测）已知f (x)= 1
2 x❑
2+ 1
2 x，数列{an)的前n项和为Sn，点
(n,Sn)(n∈N
*)均在函数y = f (x)的图象上.
(1)求数列{an)的通项公式；
(2)若g(x)=
4❑
x
4❑
x+2
，令bn= g(
an
2025)(n∈N
*)，求数列{bn)的前2024 项和T 2024
.
【变式5-3】（24-25 高二下·四川成都·阶段练习）已知数列{an)满足：
a1
2 + a2
2
2 + a3
2
3 +⋅⋅⋅+ an
2
n =n(n∈N
∗)，数列{bn)满足bn=
1
an+2
50
.
(1)求数列{an)的通项公式；
(2)求bn+b100−n的值；
(3)求b1+b2+b3+⋅⋅⋅+b99的值.
【题型6 含有（-1）n的类型求和】
【例6】（2025·湖北武汉·模拟预测）数列{(−1)
n−1⋅n)(n∈N
∗)的前2025 项和为（ ）
A．1012
B．−1012
C．1013
D．−1013
【变式6-1】（2025·河北衡水·模拟预测）已知数列{an)满足an=(−1)
nn
2，某同学将其前20 项中某一项正
负号写错，得其前20 项和为82，则写错之前这个数为（ ）
A．64
B．−81
C．100
D．−121
【变式6-2】（2025·广东佛山·三模）已知数列{an)，{bn)满足a1＝1，且−an,an＋1
是关于x的方程
x
2−2 x−bn＝0的两个根．
(1)求an；
(2)设cn＝2
bn
+(−1)
nan，求数列{cn)的前21 项和S21．
【变式6-3】（2025·河南·模拟预测）已知数列{an)的首项为1，其前n项和为Sn
，等比数列{bn)是首项为1
的递增数列，若3nan+1−6 Sn=n(n+1)(n+2),8b2+2b4=b6.
(1)求证：数列{
an
n )
是等差数列；
(2)求数列{(−1)
n⋅2an)的前n项和；
(3)求使得an≥bn成立的最大整数n.
【题型7 奇偶项问题讨论求和】
【例7】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知{an)是等差数列，{bn)是各项都为正数的等比数列，且a1=1
，b1=2，a3−b2=1，5+a2=b3.
(1)求{an)，{bn)的通项公式；
(2)若cn={
an,n 为奇数
bn,n 为偶数)
，求数列{cn)的前2n项和S2n
.
【变式7-1】（2025·云南玉溪·模拟预测）设{an)是等差数列，{bn)是等比数列，a1=b1=1，且
a2−b2=a3−b3=1.
(1)求{an)与{bn)的通项公式；
(2)设cn={
an,n=2k −1,k ∈N
∗
1
log2bnlog2bn+2
,n=2k ,k ∈N
∗)
，求{cn)的前2n项和T 2n．
【变式7-2】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知数列{an)满足a1=1，an+1={
an+2,n 为奇数
2an,n 为偶数)
，T n
是数
列{an)的前n项和，记bn=a2n
．
(1)求证：数列{bn+2)是等比数列；
(2)求数列{bn)的通项公式；
(3)求T 20．
【变式7-3】（2025·天津·一模）已知等差数列{an)满足a2+a5=16,a4=3a1
，记数列{an)的前n 项和为Sn
．
(1)求数列{an)的通项公式；
(2)在数列的每相邻两项间插入这两项的和，而形成新的数列，这样的过程叫做该数列的一阶“H 拓展”．
例如，对于数列1,2,3，一阶“H 拓展”得到数列1,3,2,5,3；二阶“H 拓展”得到数列1,4,3,5,2,7,5,8,3
；
设
……
n 阶“H 拓展”得到数列1, x1, x2,⋯, xm,3(m∈N
∗)，设bn=1+ x1+ x2+⋯+ xm+3，则
b1=1+3+2+5+3=14，b2=1+ 4 +3+5+2+7+5+8+3=38．
（i）求数列{bn)的通项公式；
（ii）设数列{cn)满足cn={
an(bn−2),n=2k −1,
12(4 n+5)
(n+1)(n−1)(bn−2)
,n=2k ,)
求数列{cn)的前2n项和T 2n．
【题型8 先放缩再裂项求和】
【例8】（2024·福建厦门·二模）已知数列{an)满足a1=2，an+1= 2an−1
an
.
（1）证明：数列{
1
an−1)
是等差数列；
（2）令bn=
1
a1a2⋯an
，证明：b1
2+b2
2+⋯+bn
2<1.
【变式8-1】（24-25 高三上·陕西咸阳·阶段练习）已知数列{an)的前n 项和为Sn
，a1=1，an+1=
an
an+ 4
．
（1）求证：{
1
an
+ 1
3)
为等比数列；
（2）求证：Sn< 3
2
．
【变式8-2】（24-25 高一下·四川眉山·期末）已知数列{an)满足a1=1，2an+1an+an+1−an=0，令bn= 1
an
，设数列{bn)前n 项和为Sn
．
(1)求证：数列{bn)为等差数列；
(2)若存在n∈N
+，使不等式a1a2+a2a3+⋅⋅⋅+anan+1≥(n+18)λ成立，求实数λ的取值范围；
(3)设正项数列{cn)满足cn
2=1+ 2
Sn+1
，求证：c1+c2+⋅⋅⋅+cn<n+1−
1
n+1．
【变式8-3】（2024·广东惠州·一模）约数，又称因数．它的定义如下：若整数a除以整数m(m≠0)除得的
商正好是整数而没有余数，我们就称a为m的倍数，称m为a的约数．设正整数a共有k个正约数，记为a1，
a2，
，
…
ak −1，ak（a1<a2<⋅⋅⋅<ak）．
(1)当k = 4时，若正整数a的k个正约数构成等比数列，请写出一个a的值；
(2)当k ≥4时，若a2−a1
，a3−a2
，
，
…
ak−ak −1
构成等比数列，求证：a=a2
k −1(k ≥4)；
(3)记A =a1a2+a2a3+⋯+ak −1ak，求证：A <a
2．
【题型9 新定义、新情景下的数列求和】
【例9】（2025·湖北·模拟预测）已知{an)是无穷正整数数列，定义操作D (k ,s)为删除数列{an)中除以k余
数为s的项，剩下的项按原先后顺序不变得到新数列{bn).若an=3
n−1，n∈N
∗，进行操作D (3,1)后剩余项
组成新数列{bn)，设数列{log3(an+bn))的前n项和为Sn.
(1)求Sn；
(2)设数列{cn)满足cn= log3b2n−1
，求数列{
1
cncn+1)
的前n项和.
【变式9-1】（2025·河北·模拟预测）设t >1，n≥1，n∈N，若各项均为正数的数列{an)满足
1
t an<an+1<an，则称数列{an)具有性质“P(t )”．
(1)已知数列{an)的前n 项和为Sn
，且Sn=1−an(n∈N
*)，试判断数列{an)是否具有性质“P(4)”，并说
明理由；
(2)若数列{an)满足a1= 2
3
，且an+1=ln(e
an−1)−lnan(n∈N
*)．
（i）证明：数列{an)具有性质“P(3)”；
（ii）记数列{an)的前n 项和为T n，证明：T n≥1−1
3
n (n∈N
*)．
【变式9-2】（2025·河南·二模）定义：在数列{an)中，随着n(n≥3)的增大，{an)的个数按照一定的规律逐
渐增加，则称{an)为“个数发散数列”.记数列{an)的前n 项和为Sn
，a1=1，a2=3，
Sn+1
2
−Sn−1
2
−2(an+1+an)(Sn+1)=0，n≥2.
(1)当n=3，4，5 时，求{an)，并验证{an)是否为“个数发散数列”；
(2)当n=5时，在所有{an)中随机抽取3 个数列，记S5=1的{an)的个数为X，求X 的分布列及E ( X )；
(3)当n≥3，an+ 4=an时，求Sn.
【变式9-3】（2025·湖北·三模）已知数列A :a1,a2,⋯,an(n≥4)，其中a1,a2,⋯,an∈Z，且
a1<a2<⋯<an.若数列B:b1,b2,⋯,bn满足b1=a1,bn=an，当i=2,3,⋯,n−1时，bi=ai−1+1或ai+1−1，
则称数列B:b1,b2,⋯,bn为数列A的“调节数列”.例如，数列A :1,3,5,7的所有“调节数列”为1,2,4,7；
或者1,2,6,7；或者1,4,4,7；或者1,4,6,7.
(1)直接写出数列A :1,3,6,7,8的所有“调节数列”B；
(2)若数列A满足通项an=2n(n∈N
*)，将数列A的“调节数列”中的递增数列记为Bk
，数列Bk
中的各项
和为Sk，求所有Sk的和；
(3)已知数列A满足：a1=1,an=2025，若数列A的所有“调节数列”B均为递增数列，求所有符合条件的
数列A的个数.
一、单选题
1．（2025·江苏泰州·模拟预测）设Sn
是等差数列{an)的前n 项和，T n
是数列{
Sn
n )
的前n 项和.若
S4=12，S8= 40，则T 12等于（ ）
A．49
B．50
C．51
D．52
2．（2025·北京海淀·三模）等差数列{an)的首项为1，公差不为0，若a2,a6,a22
成等比数列，则{an)的前6
项和为（ ）
A．51
B．66
C．−39
D．6
3．（2025·陕西咸阳·模拟预测）若{an+n)是等比数列，且a1=2,a2= 4，则数列{an)的前8 项和为（ ）
A．689
B．716
C．729
D．1597
4．（2025·海南·模拟预测）已知{an)为各项均为整数的等比数列，且a2a4=16,a2+2a3=6，记Sn
为{an)的
前n项和，则S7=（ ）
A．43
B．85
C．110
D．127
5．（2025·江西·模拟预测）已知数列{an)满足：a1=2，an+1=a1+2a2+3a3+⋯+nan
，令
bn=
n+3
an+1+an+2+an+3
，数列{bn)的前n项和Sn，则S2025=（ ）
A．1
8 −
1
2029!
B．1
6 −
1
2028!
C．1
4 −
1
2027!
D．1
2 −
1
2026!
6．（2025·河北·模拟预测）在数列{an)中，已知a1=1, an
an+1
=an+1，设bn=(−1)
n(2n+1)anan+1
，则数列
{bn)的前n项和T n=（ ）
A．−1
2 + (−1)
n
n+1
B．1
2 −(−1)
n
n+1
C．−1+ (−1)
n
n+1
D．−1−(−1)
n
n+1
7．（2025·江苏·三模）设cn=an+bn
，数列{bn)为等比数列，数列{an)是公差不为零的等差数列，且
a1=b1=1，a2=b2
，a4=b3
，则数列{cn)的前10项和为（ ）
A．1078
B．1077
C．567
D．550
8．（24-25 高二下·湖北武汉·阶段练习）在数列{an)中，a1= 4，an+1=5an+2×5
n，n∈N
∗，前n项和为
T n，则下列说法中不正确的是（ ）
A．an=2（n+1)⋅5
n−1
B．T n=( 1
2 n+ 3
8 )⋅5
n−3
8
C．an+1
an
= 5n+10
n+1
D．8T n=10an−3
二、多选题
9．（2025·江西·三模）已知数列{an)的前n项和为Sn
，数列{an+3)的前n项积为T n,a1=1，an+1−an=2
n+1
，则（ ）
A．a3=12
B．an=2
n+1−3
C．S5=109
D．T n=2
n(n+3)
2
10．（2025·宁夏石嘴山·三模）已知数列{an)满足a1+2a2+⋯+2
n−1an=n⋅2
n,an
的前n项和为Sn
，则
（ ）
A．a1=2
B．an+an+2=2an+1
C．Sn,S2n,S3n构成等差数列
D．数列{
1
an⋅an+1
}前100 项和为25
51
11．（2025·四川成都·三模）已知公差为1 的等差数列{an)满足a1,a3,a7
成等比数列，则（ ）
A．a1=2
B．{an)的前n项和为n(n+3)
2
C．{
1
anan+1)
的前8 项和为7
18
D．{(−1)
n−1an)的前50 项和为−25
三、填空题
12．（2025·江苏苏州·三模）已知数列{an)的前n项和为Sn
，a1=3，an+1+an=2n−1，则S7=
．
13．（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知数列{an)的前n项和为Sn，an= 2n+1
n(n+1) cosnπ，则S2025=
．
14．（2025·重庆·三模）数列{an)满足an+1+(−1)
nan=3n+1，则{an)的前100 项和S100=
．
四、解答题
15．（2025·全国一卷·高考真题）已知数列{an)中，a1=3，an+1
n = an
n+1 +
1
n(n+1).
(1)证明：数列{nan)为等差数列；
(2)给定正整数m，设函数f ( x)=a1 x +a2 x
2+⋯+am x
m，求f
′(−2)．
16．（2025·安徽合肥·模拟预测）记Sn
为数列{an)的前n 项和，已知a1=2，an+1= Sn+n.
(1)求{an)的通项公式；
(2)设递增的等差数列{bn)满足b1=2，且a1+b1，a2+b2，a3+ 1
2 b3
成等比数列.设T n= 1
b1
2 + 1
b2
2 +⋅⋅⋅+ 1
bn
2
，证明：T n< 3
4
.
17．（2025·云南昆明·模拟预测）设Sn
为数列{an)的前n 项和，当n≥2时，Sn+2=5 Sn+1−8 Sn+ 4 Sn−1
，已
知a1=1，a2= 4，a3=12．
(1)证明：数列{an+1−2an)为等比数列；
(2)求数列{an)的通项公式；
(3)求Sn．
18．（2025·辽宁大连·模拟预测）若数列{an)和{bn)满足：a1=1，b1=7，且{
an+1=bn−2an
bn+1=3bn−4 an)
(1)设cn=an−bn
，证明：{cn)是等比数列；
(2)设dn={
an−bn,n 为奇数
4 an−bn,n 为偶数)
，试求{dn)的前n 项和Sn
．
19．（2025·天津·高考真题）已知数列{an)是等差数列，{bn)是等比数列，a1=b1=2,a2=b2+1,a3=b3
．
(1)求{an)，{bn)的通项公式；
(2)∀n∈N
∗，I ∈{0,1)，有
T n={p1a1b1+ p2a2b2+...+ pn−1an−1bn−1+ pnanbn| p1, p2,..., pn−1, pn∈I )，
（i）求证：对任意实数t ∈T n，均有t <an+1bn+1;
（ii）求T n所有元素之和．
