文档文本内容
第05 讲 一元二次不等式与其他常见不等式解法
目录
01
考情解码・命题预警
2
02 体系构建·思维可视.........................................................................................3
03 核心突破·靶向攻坚.........................................................................................3
知能解码..........................................................................................................3
知识点1 一元二次不等式..........................................................................................3
知识点2 简单分式不等式..........................................................................................4
知识点3 绝对值不等式...............................................................................................4
知识点4 高次不等式...................................................................................................5
题型破译..........................................................................................................5
题型1 解不含参数的一元二次不等式
............................................................6
题型2 解分式不等式、高次不等式.......................................................................6
题型3 解绝对值不等式...............................................................................................6
题型4 解含参数的一元二次不等式
.................................................................7
【方法技巧】分类讨论技巧
题型5 由一元二次不等式的解集求参数
........................................................8
题型6 由一元二次不等式解集中的整数个数求参数
................................8
题型7 一元二次不等式的实际问题..........................................................................9
题型8 一元二次不等式的恒（能）成立问题
...........................................10
【方法技巧】恒（能）成立的处理方法
题型9 一元二次方程根的分布问题.....................................................................11
04 真题溯源・考向感知.....................................................................................12
05 课本典例·高考素材.......................................................................................13
考点要求
考察形式
2025 年
2024 年
2023 年
（1）会从实际生活或
数学问题中抽象出一元
二次不等式模型；
（2）能结合二次函数
图象，判断一元二次方
程根的个数，并依据图
象特征求解一元二次不
等式；
（3）掌握分式不等式
和绝对值不等式的基本
解法
单选题
多选题
填空题
解答题
上海卷T2 （4
分）
天津卷T15 （5
分）
/
全国 I 卷T1（5 分）
考情分析：
新高考卷中，该专题属于基础核心考点，常与集合运算、函数定义域、导数求单调区间等综合考查，单独命
题较少。命题侧重对“三个二次”关系的理解，强调通过函数图像分析根的分布及不等式解集。备考需重点掌握
分式与绝对值不等式转化技巧，以及恒成立问题中参数范围的求解策略。
复习目标：
1.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关
系；
2.会从实际情境中抽象出一元二次不等式，了解一元二次不等式的现实意义；
3.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集，类比求解高次不等式、
分式不等式和绝对值不等式
知识点1 一元二次不等式
1．三个“二次”之间的关系
判别式
的图象
一元二次方程
的根
有两相异实根
有两相等实根
没有实数根
一元二次不等式
的解集
________
解集为
一元二次不等式
的解集
________
________
2．不等式恒成立问题
（1）
恒成立的充要条件是：
或________
（2）
恒成立的充要条件是：________或
自主检测1．不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．若命题“
，
”是假命题，则实数
的取值范围是
知识点2 简单分式不等式
（1）
；（2）
________
（3）
左移，通分变成（1）；（4）
左移，通分变成（2）
自主检测不等式
的解集为 ．
知识点3 绝对值不等式
1．绝对值不等式的概念
一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式．
2．
和
型不等式的解法
（1）
；
（2）
________
3．
和
型不等式的解法
①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；解含有两个绝对值形如
的
不等式，常用零点讨论法和数形结合法.注意小分类求交大综合求并.
自主检测已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
知识点4 高次不等式
1．高次不等式的概念
不等式最高次项的次数高于2，这样的不等式称为高次不等式.
2．________的步骤：
①将
最高次项系数化为正数；
②将
分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式的积；
③将每一个一次因式的根标在数轴上，自上而下，从右向左依次通过每一点画曲线(注意重根情况，偶
次方根穿而不过，奇次方根穿过)；
④观察曲线显现出的
的值的符号变化规律，写出不等式的解集．
自主检测（多选）下列结论正确的是（ ）
A．不等式
的解集为
或
B．不等式
的解集为
或
C．不等式
的解集为
或
D．不等式
的解集为
或
题型1 解不含参数的一元二次不等式
例1-1 已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
例1-2 已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-1】已知集合
，若
，则实数
的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-2】解关于
的不等式组：
题型2 解分式不等式、高次不等式
例2-1（2025·上海浦东新·三模）设
为实数，则不等式
的解集是 .
例2-2 不等式
的解集为 ．
【变式2-1】若集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
或
D．
【变式2-2】已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-3】若“
”是“
”的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-4】不等式
的解集为 .
题型3 解绝对值不等式
例3-1（2025·浙江·二模）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
例3-2 不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3-1】不等式
成立的一个必要不充分条件是（ ）
A．
或
B．
C．
或
D．
【变式3-2】不等式
的解集是 .
【变式3-3·变题型】对任意实数
，
的最小值为 ．
题型4 解含参数的一元二次不等式
例4-1 对于给定的实数
，关于实数
的一元二次不等式
的解集可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
例4-2 求下列关于
的不等式的解集：
．
方法
技巧
分类讨论技巧
解含参数的一元二次不等式：
（1）若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0 与小于0 进行讨论；
（2）若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式
进行讨论；
（3）若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．
【变式4-1】已知集合
，
，若
⫋
，则实数
的取值范
围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4-2】解关于x 的不等式
．
【变式4-3】解关于
的不等式：
．
【变式4-4】设
．
(1)若
，求
的最小值；
(2)解关于
的不等式
.
题型5 由一元二次不等式的解集求参数
例5-1 已知不等式
的解集为
或
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
例5-2 已知二次函数
，若不等式
的解集为
，则函数
图像为
（ ）
A．开口向上，对称轴为
的抛物线B．开口向上，对称轴为
的抛物线
C．开口向下，对称轴为
的抛物线D．开口向下，对称轴为
的抛物线
【变式5-1】若关于
的不等式
的解集是
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5-2】若关于x 的不等式
的解集为空集，则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5-3】已知函数
的定义域
是关于x 的不等式
的解集的
子集，则实数a 的取值范围是 .
题型6 由一元二次不等式解集中的整数个数求参数
例6-1 关于x 的不等式
的解集中恰有4 个整数，则实数m 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
例6-2 若关于
的不等式
的解集中恰有两个整数，则实数
的取值范围是 ．
【变式6-1】若关于
的不等式
的解集中恰有3 个整数，则正数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式6-2】若函数
的定义域中恰有
个整数，则
的取值范围是 .
【变式6-3】
已知
，关于
的不等式
的解集中有且仅有个整数
，
，
，则
，
的取值范围为 ．
题型7 一元二次不等式的实际问题
例7-1 常熟“叫花鸡”，又称“富贵鸡”，既是常熟的特产，也是闻名四海的佳肴，以其鲜美、香喷、酥
嫩著称.双十一购物节来临，某店铺制作了300 只“叫花鸡”，若每只“叫花鸡”的定价是40 元，则均可
被卖出；若每只“叫花鸡”在定价40 元的基础上提高
（
）元，则被卖出的“叫花鸡”会减少
只.要使该店铺的“叫花鸡”销售收入超过12495 元，则该店铺的“叫花鸡”每只定价应为（ ）
A．48 元
B．49 元
C．51 元
D．50 元
例7-2 如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东
方向
处的热带风暴中心正在以
的
速度向正北方向移动，距风暴中心
以内的地区都将受到影响．以上预报估计，该码头将受到热带风
暴的影响时长大约为 h．
【变式7-1】在一个限速
的弯道上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对同时刹车，但还是相碰了.
事故后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过
，乙车的刹车距离略超过
，又知甲、乙两种车型的刹
车距离
与车速
之间分别有如下关系：
.则可判断甲、乙
两车的超速现象是（ ）
A．甲车超速
B．甲车不超速
C．乙车超速
D．乙车不超速
【变式7-2】将进货单价为80 元的商品按90 元一个售出时，能卖出400 个，每涨价1 元，其销售量就减少
20 个，为了使商家利润有所增加（只考虑涨价的情况），售价
的取值范围应是 .
【变式7-3】数字经济是以数据资源为关键要素，以现代信息网络为主要载体，通过信息通信技术的融合
应用推动全要素数字化转型的新经济形态，在技术层面，包括大数据、云计算、物联网、区块链、人工智
能、5G 通信等新兴技术；在应用层面，包括“新零售”、“新制造”、工业互联网、元宇宙、无人驾驶
等.现有一人工智能企业生产制造人形机器人，每月的成本t（单位：万元）由两部分构成：①固定成本：
1000 万元；②材料成本：
万元，x 为每月生产人形机器人的个数.
(1)该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为多少万元？
(2)若每个人形机器人的售价为
万元，假设生产出来的每个人形机器人都能够售出，则该企业应如
何制订生产计划，才能确保每月的利润不低于400 万元？附：利润＝售价×销量－成本.
题型8 一元二次不等式的恒（能）成立问题
例8-1 若不等式
对任意实数
均成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
例8-2 已知
为实数，集合
.
(1)若命题“
”是假命题，求实数
的取值范围；
(2)若
恒成立，求实数
的取值范围.
方法
技巧
恒（能）成立的处理方法
（1）一元二次不等式在
上恒（能）成立：一般用画出图象，结合根的个数和开口方向进行列不等式即
可；
（2）分离参数法：一元二次不等式在区间上恒（能）成立，若能够分离参数成
或
形
式，则可以转化为函数值域求解．
举例：若
的最大值为
，最小值为
.
①
恒成立⇔
，
恒成立⇔
②
恒成立⇔
，
恒成立⇔
.
③
能成立⇔
，
能成立⇔
④
能成立⇔
，
能成立⇔
.
【变式8-1】（2025·山东·二模）已知不等式
对任意的
恒成立，则实数a 的
最小值为 ．
【变式8-2】已知命题
，
为真命题，求实数
的取值范围.
【变式8-3·变题型】已知
，若关于x 的不等式
在区间
上恒成立，
则
的最小值是（ ）
A．2
B．
C．3
D．
【变式8-4·变载体】已知关于
的方程
在
上有解，则实数
的取值范围为
．
题型9 一元二次方程根的分布问题
例9-1 若关于x 的方程
的两个根
都在区间
上，则a 的值可以为（ ）
A．
B．
C．
D．
例9-2 已知函数
在区间
内有零点，求实数
的取值范围是 .
【变式9-1】已知方程
有一正根一负根，且正根绝对值大于负根绝对值，求实数
的取值范围．
【变式9-2】若关于x 的一元二次方程
两根都小于1，求实数m 的取值范围．
【变式9-3】已知集合
，集合
，
.
(1)若
，求实数
的值；
(2)若
，求实数
的取值范围.
1．（2023·新课标
卷
Ⅰ
·高考真题）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2020·山东·高考真题）已知二次函数
的图像如图所示，则不等式
的解集
是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·天津·高考真题）若
，对
，均有
恒成立，则
的
最小值为
4．（2025·上海·高考真题）不等式
的解集为 ．
1．求下列不等式的解集：
（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
.
2．已知
，
，求
，
.
3．当k 取什么值时，一元二次不等式
对一切实数x 都成立.
4．一名同学以初速度
竖直上抛一排球，排球能够在抛出点2m 以上的位置最多停留多长时间
（精确到0.01s）？若不计空气阻力，则竖直上抛的物体距离抛出点的高度h 与时间t 满足关系满足关系
，其中
5.100．
5．如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD 和EFGH
构成的面积为
的十字形地域，计划在正方形MNPQ 上建一座花坛，造价为4200 元/
；在四个相同
的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210 元/
；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草
坪，造价为80 元/
.设总造价为S（单位：元），AD 长为x（单位：m）.当x 为何值时，S 最小？并求出
这个最小值.
