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专题 01 集合及集合知识压轴型应用
题型脑图·核心考法搭建
考法深研·解题技能进阶
题型01 函数型相等集合
集合的相关概念
（1）集合元素的三个特性：互异、无序、确定性．
（2）元素与集合的两种关系：属于，记为 ；不属于，记为 ．
（3）集合的四种表示方法：列举法、描述法、韦恩图法、符号法．
思维技巧：
1.研究集合问题，要抓住元素，看元素应满足的属性。
2.研究两（多个）集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系。
3.集合相等，是所属元素相同，与顺序无关（互异性），与形式无关（数集中与表示数的范围的字母无
关）
1．（25-26高三上·湖南邵阳·期中）已知函数 （ ），若非空集合
， 且 ，则下列说法中正确的是（ ）
A．n的取值与m有关 B．n为定值
C． D．
2．（2025全国 模拟）已知函数 ，记集合 ，集合
，若 ，且都不是空集，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26高三·北京·阶段检测）已知 且满足 ， ， 互不相同，集合
，集合 ，则满足 的集合 的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2025·全国 模拟测试）设函数 的定义域与值域都是Ｒ，且单调递增，
，则( )A． B． C．A=B D．
题型02 集合元素个数求参
集合中元素个数判断：
1.若集合是点集，则多是图像交点。
2.若集合是数集，多涉及到一元二次方程的根，以及不等式的解集。
1．（2026·江西·模拟预测）已知集合 ，若 ，则 （ ）
A．10或18 B． 或 C．18 D．
2．（2025山西·模拟预测）已知函数 ，集合 中恰有3个
元素，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三全国 专题练习）用 表示非空集合A中元素的个数，定义
，已知集合 ， ，且
，设实数a的所有可能取值构成集合S，则 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．（2025·北京模拟测试）已知集合 ，集合 ， ， 满足.
①每个集合都恰有5个元素
②
集合 中元素的最大值与最小值之和称为集合 的特征数，记为 ，则 的值不可能
为
A． B． C． D．
题型03 子集与真子集求参
元素与集合以及集合与集合子集关系的判断，解题的关键是正确理解所给的定义及熟练运用分类讨论
的思想进行列举
公式法求有限集合的子集个数
(1)含n个元素的集合有2n个子集．
(2)含n个元素的集合有(2n－1)个真子集．
(3)含n个元素的集合有(2n－1)个非空子集．
(4)含n个元素的集合有(2n－2)个非空真子集．
集合子集求参题型，往往存在着思维和计算的一个“坑”，即若有 ，则要讨论集合B 是否是空集。
所以思考子集，要有“从空集开始到自身结束”这个“顺序感”：
子集是从“从空集开始，到自身结束”
1．（2026·北京朝阳·一模）已知集合 .设集合 满足 ，且对
任意的 ， ， （ ），存在 ，使得 ，则 的最大值为
（ ）A．50 B．51 C．52 D．53
2．（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）对于集合 ， ，定义 且 ，则对于集合
， ， 且 ，以下说法正确的是
（ ）
A．若在横线上填入“ ”，则C的真子集有 个．
B．若在横线上填入“ ”，则C中元素个数大于450．
C．若在横线上填入“\”，则C的非空真子集有 个．
D．若在横线上填入“ ”，则 中元素个数为13．
3．（25-26高三上·江苏·阶段检测）已知集合 ，若集合 ， ， ， 是集合M的k个
不同子集，且 ，则k的最大值是（ ）
A．15 B．16 C．31 D．32
4．（25-26高三·江苏连云港·阶段检测）设集合 ，若 的所有子集中的所有元素之和为
32，则 （ ）
A．0 B． C．1 D．2
题型04 交集型最值与求参
交集：
1．（25-26高二上·北京·期中）集合 ，集合 ，若
中有8个元素，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26高三上海·阶段检测）已知集合
，其中 为实数，现有两个结
论：① 若 ，则 ；② 存在实数 ，使得 ，则下列判断中
正确的是（ ）
A．①和②都正确
B．①和②都错误
C．①正确，②错误
D．①错误，②正确
3．（25-26高三·上海·阶段检测）已知集合 ，则实数
的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
4．（25-26高四·天津河北·阶段检测）设集合 ，集合 ，若 .则 的取值范围是____．
题型05 并集型求参与最值
并集：
集合并集运算的一些基本性质：
(1)在进行集合运算时，若条件中出现A∪B＝B，应转化为A⊆B，然后用集合间的关系解决问题，并注
意A＝∅的情况．
(2)集合运算常用的性质：
A∪B＝B⇔A⊆B；
1．（2023·上海普陀·一模）设 、 、 、 、 是均含有 个元素的集合，且 ，
，记 ，则 中元素个数的最小值是（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26高三·全国·阶段检测）已知 ， ，且 ，其中
，若 ， ，且 的所有元素之和为56，求 （ ）
A．8 B．6 C．7 D．4
3．（24-25高三·湖南 阶段检测）已知 表示不超过 的最大整数，例如 ， ，方程
的解集为 ，集合 ，且 ，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
4．（24-25高三上·吉林长春·阶段检测）对于集合M，定义函数 对于两个集合M，
N，定义集合 ，已知 ， .用 表示有
限集合M所含元素的个数，则 的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
题型06 全集与并集型应用求参
全集与补集运算的性质：1．（25-26高三河南·阶段检测）复数集 ，集合
，则集合 在复平面上表示区域面积为______
2．（25-26高三·湖南长沙·阶段检测）设 ， ，
，则实数 的取值范围是__________.
3．（25-26高三·北京·阶段检测）已知集合 ， ，其中 ．
①集合 __________；
②若 ，都有 或 ，则c的取值范围是__________．
4．（25-26高三·全国·课后作业）设已知集合 ， ，若
，则实数 的取值范围为______.
题型07 集合整数元素个数
1．（25-26高三·河南新乡·阶段检测）已知集合 ，关于 的不等式 的解
集为 ，若 中恰有三个正整数，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26高三·全国·阶段检测）已知集合 ，若集合
中恰好只有两个整数，则实数 的取值范围是 （ ）
A． B．
C． D．
3．（25-26高一上·四川成都·阶段检测）若集合 ， ，
且 仅有一个整数解，则 的值不可能为（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高一上·上海·期末）已知函数 ， 为高斯函数，表示不超过实数 的最大整
数，例如 ， .记 ， ，则集合 ，的关系是（ ）
A． B．
C． D．
题型08 韦恩图应用
韦恩图：
（1）表示集合的Venn图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆，也可以是其他封闭曲线．
（2）Venn图表示集合时，能够直观地表示集合间的关系，但集合元素的公共特征不明显．
1．（24-25高三·上海·阶段检测）定义集合运算 ；将 称为
集合A与集合 的对称差，命题甲： ；命题乙：
则下列说法正确的是（ ）
A．甲乙都是真命题 B．只有甲是真命题
C．只有乙是真命题 D．甲乙都不是真命题
2．（25-26高一下·贵州贵阳·阶段检测）若全集 ， 是 的定义域，则下
列韦恩图表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（25-26高三上·福建漳州·期末）设全集 ，若集合 ， ，则图中
阴影部分表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
4．（25-26高一上·山东德州·阶段检测）广州奥林匹克中学第5届（总第35届）学校运动会于2024年11
月7日至8日在车陂路校区和智谷校区同时举行，本届校运会，初中新增射击比赛项目，初一某班共有28
名学生参加比赛，其中有15人参加田赛比赛，有14人参加径赛比赛，有8人参加射击比赛，同时参加田
赛和射击比赛的有3人，同时参加田赛和径赛比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，只参加一项比赛
的有（ ）人.
A．10 B．12 C．14 D．19
题型09 新定义压轴大题：基础概念理解型解新定义题型的步骤：
（1）理解“新定义”，明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.
（2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”
提供的分类情况.
（3）类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.
1．（2024高三全国·专题练习）若集合A满足对任意 ， ，都有 ，则称A为“S集”．若 ，
， ， 为四个S集，且 ，则正整数 的最大可能值为（ ）
A．43 B．44 C．45 D．46
2．（2026·北京·三模）对非空有限数集S，定义其“绝对交错和”如下：设 ， ，其中
，则S的“绝对交错和”为 ；当 时，S的“绝对交错和”为
．若数集 ，则T的所有非空子集的“绝对交错和”的总和为（ ）
A．5040 B．4920 C．4856 D．4832
3．（25-26高二下·北京·期中）已知集合 ．设集合 满足 ，
且对任意的 ，存在 ，使得 ，则 的最大值为（ ）
A．51 B．52 C．53 D．54
4．（25-26高三·河北 阶段检测）设集合 的最大元素为 ，最小元素为 ，记 的特征值为
，若集合中只有一个元素，规定其特征值为0.已知 是集合 的元素个数均不相
同的非空真子集，且 ，则 的最大值为（ ）
A．11 B．10 C．9 D．8
题型10 新定义压轴大题：最值型
“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决
问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本
质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制
胜法宝.
新定义题型，多涉及到“韦恩图”来释义。韦恩图思考时，要从四种位置关系来保证思考的“完备性”
1．（2026·北京大兴·三模）给定整数 ，由 元实数集合 定义其相伴数集 且
，如果 ，则称集合 为一个 元规范数集，并定义 的范数 为其中所有元素绝对值之和.
(1)判断 是不是规范数集；（结论不要求说明理由）
(2)任取一个 元规范数集 ，求证： ；
(3)当 取遍所有2026元规范数集时，求范数 的最小值.
注： 分别表示数集 中的最小数与最大数.
2．（2026·北京东城·二模）已知集合 ， .将M中的 个不同元素排成一列，得到序列： ，其中 称为该序列的第 项 ，若该
序列的相邻项满足 ，则称该序列为 序列.若 序列中的项
满足 或 ，则称该项 具有性质 .
(1)已知 ， ， ， 为 序列，写出x，y，z，w的值；
(2)求证： 序列中存在具有性质 的项；
(3)求证： 序列中具有性质 的项的个数不少于10.
3．（24-25高二下·北京怀柔·期末）已知n是正整数，集合 ，
对集合A中的任意元素 ，记
．
(1)当 时，若 ，求 和 的值；
(2)当 时，若 ，且 ，求β；
(3)设集合 ，若集合C的所有元素之和不小于 ，求n的最小值．
4．（25-26高三下·北京·阶段检测）已知正实数数列 ： ，对任意的 ，记
，令集合 ， ；记集合 ．
(1)若 ：1， ， ，直接写出 和 ；
(2)若 ，且满足 ，求集合 的元素个数的最小可能值；
(3)若 ，证明：集合 中至少含有46个元素．
题型11 新定义压轴大题：数列型不等式
集合为背景的新定义题型：以集合新定义为外壳，结合数列、不等式、整数性质、分类讨
论、反证法、放缩证明综合考查，属于高中数学压轴难度题型。
1.先给出全新集合概念（理想集、好子集、相容集、差集类定义等），搭配集合运算、元
素约束条件，
2.结合数列项、项数、大小关系、求和、最值设置问题。
3.一道题多为，由浅入深：判断集合类型，求值或者求范围；设置不等式证明，要注意最
值与等号条件探究。
4这类题型所给的集合元素多为正整数、非负整数，常附加元素互异、有序排列、元素和
与 差满足特定规则。
1．（2026·山东·模拟预测）对于集合 ，定义 ，若 ，则称 为理想
集．例如， 不是理想集，而 是理想集．
(1)判断下列集合是否为理想集，不需要说明理由；
① ；② ；③ ．
(2)若存在 个非空理想集 ， ，…， ，且 ，使得
，则称 是 可分的，记 ．
（i）证明： ；（ii）证明： ．
2．（25-26高一下·北京顺义·阶段检测）已知集合 （ 且 ）， ，且
．若对任意 ， ，当 时，存在 使得 ，则
称A是S的m元好子集．
(1)判断下列集合是否是 的3元好子集：① ；② ；（直接写出结
果，不需要说明理由）
(2)若 是 的4元好子集，求 的最小值；
(3)若 是 （ 且 ）的m元好子集．求证： ，
并指出等号成立的条件．
3．（25-26高三·北京·模拟预测）对任意正整数 ，记集合 均为非负整数，
且 ，集合 均为非负整数，且 ．设
， ，若对任意 都有 ，则称 ．
(1)写出集合 和 ；
(2)取 ， ，写出两个 中的元素 、 ，使得 ；
(3)证明：对任意 ，存在 ，使得 ．
4．（2026·山东济南·二模）给定正整数n，数集 满足对于任意 ，都存在 ，
使得 ．
(1)若 ， ，且 ，求 ；
(2)证明：对于任意 ，都有 ；
(3)若 ， ，且 ，求数集 中所有元素的和．（用含有 的式子表示）
题型12 新定义压轴大题：随机变量型
随机变量分布列型压轴题，是高考考察的一个题型，它以集合、子集、新定义概念为外在
载体，以古典概型、随机变量、分布列、数学期望为核心考点，属于高考压轴综合题。试
题一般先给出集合规则、新型关系、特殊集合名称（友好元素、差异度、规范集、序列
等），再设置随机选取元素、子集、函数、序列等方面的抽取规则，依托抽取结果构造随
机变量，分层设问。
1、等价转化：把陌生的集合新定义、新运算，转化为熟悉的计数、概率、函数问题；
2、分类讨论：多约束、多取值、多类子集 / 序列必须分类，是解题基础；
3、整体与局部结合：分析集合整体性质的同时，拆分单个元素、单个子集简化计数与概率
计算；
4、构造思想：证明存在性、求最值时，构造符合新定义的集合、子集、序列。
1．（2026·湖南长沙·三模）知随机变量 ， 的取值集合为 的子集 且 ，记
，定义 与 的差异度为 ．(1)当 时， ， ， 且 ， ， ，求 ；
(2)设数列 ， ， ， 满足 ，证明： ，并指出等号成立时
的取值条件；
(3)记 ， 的数学期望分别为 ， ，若 ，求 的最小值关于 的表达式，
并写出此时能够取得该最小值的一组 与 的分布列．
2．（2026·湖南长沙·三模）已知r是给定的正整数，设G是以满足下列条件①②③的函数 为元素构成
的集合：
①定义域为 ；
② ；
③ ，其中
对给定的整数m，n（其中 记
(1)当 时，求集合
(2)若 且 不是3的倍数，证明： ；
(3)从集合G中随机取出一个函数 ，证明：对任意 随机事件“ ”发生的概
率都不超过
3．（2026·湖北襄阳·一模）集合 ， ，
对T中的两个不同元素 和 ，
若存在一个函数f： 满足：
① ，
② ，
③ ，
则称：X与Y是T中的一对“友好元素”．
(1)当 时，若 ，写出X对应的一个“友好元素”；
(2)若 和 是T中的一对“友好元素”，且满足 ，
规定：随机变量 服从分布 ，当 时，试写出 的分布列及其对应
的一对“友好元素”X与Y；
(3)当 时，若 且满足 ，证明：若存在B使得A与B是T
中的一对“友好元素”，则A中有且仅有 个0．
4．（2026·湖南长沙·三模）已知集合 含有 个元素，其中 ，先后两次随机、独立地选取集合 的
两个子集，记为 与 ．设 为集合 中元素的个数，
(1)若 ，且 ，请列举所有满足条件的 和 ；
(2)求随机变量 的数学期望 ；
(3)设 在 处取得最大值，试建立 与 的关系．
