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专题 01 一网打尽高中函数
题型脑图·核心考法搭建
考法深研·解题技能进阶
题型01 函数基础：指数与对数函数对应关系
指数函数与对数函数，要遵循以下函数图像生成过程，便于学生理解并记忆：
1.
2.还要通过代入“同一真数比高低”来转对比函数图像高低。
3.代值时候，要注意，可以通过 这个优美简洁的计算来达到快速“出图”的
目的。
4.对数或者指数“变异”型，要遵循“左加右减上加下减，翻折对称”等图像规律技巧。1．（2026·安徽·模拟预测）已知 ,则 x +x =（ ）
1 2
A．40 B．32 C．72 D．64
2．（25-26高三·全国·一轮复习）设平行于 轴的直线 分别与函数 和 的图象相交于点 ， ，
若函数 的图象上存在点 ，使得 为等边三角形，则这样的直线 （ ）
A．不存在 B．有且只有一条 C．至少有两条 D．有无数条
3．（2026·山西晋中·三模）已知 且 ，若函数 的值域为 ，则 的取
值范围为（ ）
A． B． C． D．[2,+∞)
4．（2026·江西·三模）已知 ，且 ，则
（ ）
A． B．
C． D．a<b<c
题型02 函数基础：幂函数的图像“区域分类”幂函数的图像，要从两方面建立：
1.函数在第一象限永远有图像，所以图像的“根”在第一象限，恒过（1,1）点。
2.第二、三是否有图像，要结合函数的奇偶性来判断推导确认。
1．（2026·湖南常德·二模）已知实数 满足： ，则（ ）
A． B．y≥1
C． D．
2．（25-26高三下·湖北孝感·开学考试）若 ，则下列不等关系一定不成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26高一上·四川达州·期末）已知函数 的图象分别与函数 和 的图象
交于 ， 两点，设两交点的横坐标分别为x ，x ，则 的值为（ ）
1 2
A． B． C． D．
4．（25-26高三上·江苏苏州·阶段检测）已知幂函数 的图象关于y轴对称，且在
上单调递减，则满足 的实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
题型03 三大补充函数：对勾函数对勾函数
对勾函数： 图像特征
形如 称为对勾函数
1.有“渐近线”：y=ax（倾斜）,x=0（竖直）两条渐近线
“拐点”：解方程
2. （即第一象限均值不等式取等处）
“对勾”函数核心型函数：类二次函数：
1.偶函数；2.右边是增函数；
1．（25-26高三·浙江·阶段检测）已知定义在 上的函数 满足 ，则函数
的最大值为（ ）
A． B．-2❑√2 C．2 D．
2．（25-26高三上·陕西榆林·阶段检测）已知函数 ，则关于 的不等式
的解集为（ ）
A． B．
C． D．
3．（25-26高三·江苏无锡·阶段练习）已知函数 ，若实数a，b满足 且
，则 的值为（ ）
A．10 B．6 C．8 D．4
4．（25-26高三上·河北保定·阶段检测）已知函数 ，则关于 的不等式
的解集为（ ）
A． B．
C． D．
题型04 三大补充函数：双刀函数双曲函数（双刀函数）:可以理解为“双沟函数改变一个符号”
1.有“渐近线”：y=ax与y=-ax
“零点”：解方程
2. （即方程等0处）
类三次函数
1．（2025·广东肇庆·一模）已知 ，若 成立，则x的取值范围是（ ）
A． B．(1,+∞) C． D．
2．（25-26高三·浙江 阶段练习）已知函数 ，若对任意的正实数 、 ，满足
，则 的最小值为（ ）
5 9
A． B． C． D．
4 4
3．（25-26高三上·上海嘉定·期中）已知函数 ，则不等式 的解
集为（ ）.
A． B．
C． D．
4．（24-25高三·广西·阶段练习）已知函数 ，则不等式 的解集
是（ ）A． B．
C． D．
题型05 三大补充函数：复合反比例型
反比例与分式型函数
解分式不等式，一般是移项（一侧为零），通分，化商为积，化为一元二次求解，或者高次不等式，再
用穿线法求解
反比例与分式型函数
方法一：分离常数，左加右减上加下减
方法二：中心对称法，如下
·形如： 。对称中心为P ，其中
1．（24-25高一下·云南昭通·开学考试）已知函数 ，若对任意的
恒成立，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26高三·全国·一轮复习）函数 ，则下列结论错误的是（ ）
A．函数f(x)在定义域 上为奇函数
B．函数f(x)在区间 上单调递增
C．函数f(x)的值域为
3
D．函数f(x)的图像与直线y= x有且只有两个交点
4
3．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数 是奇函数， ，且f(x)与 的图像
的交点为(x ,y )，(x ,y )，⋯， ，则
1 1 2 2
A．0 B．6 C．12 D．18
4．（24-25高三·重庆·阶段检测）设函数 是奇函数，函数 的图像与 的图
像有2022个交点，则这些交点的横，纵坐标之和等于（ ）
A． B． C．10110 D．5050题型06 对数函数的“反比例性质（积定）”
对数绝对值型函数的反比例定值性质：xy=1
对于 ， 若有两个零点，则满足
1.
2.
3.要注意上述结论在对称轴作用下的“变与不变”
1．（25-26高三·湖南长沙·阶段检测）已知函数 ，若关于 的方程 （
k∈R）有四个不同的根，它们从小到大依次记为x ，x ， ，x ，则下列选项正确的是（ ）
1 2 4
A． B．
C． D．函数 有8个零点
2．（25-26高一上·湖北孝感·期末）已知函数 ，若 有四个零点x ，x ，
1 2
，x ，且满足 ，则 的取值范围是（ ）
4
A． B． C． D．
3．（25-26高三·安徽安庆·阶段检测）已知函数 ，若 ，且
，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．[0,1]
4．（25-26高三·浙江衢州·阶段练习）已知函数 ，若方程 有四
个不同的解 ，且 ，则 的取值范围是（ ）A． B．
C． D．
题型07“取整”函数与“去整” 函数
取整函数（高斯函数） 表示不超过 的最大整数，又叫做“高斯函数”.如右图。“去整”函数
如右下图。注意函数两段端点的“开闭”
1．（25-26高三·全国·一轮复习）对于任意实数 ,符号 表示“不超过 的最大整数”，如 ，
， ，定义函数 ．给出下列四个结论：
① 函数 的值域是[-1,1]；
② 函数 是奇函数；
③ 函数 是周期函数，且最小正周期为4；
④ 函数 的图像与直线 有三个不同的公共点．
其中错误结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（24-25高三·山西大同·阶段练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”
的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为设 ，用 表示
不超过 的最大整数，则 称为高斯函数，例如 ， ，已知函数 ，
，则下列叙述正确的是（ ）
A． 是偶函数 B．f(x)在 上是增函数
C．f(x)的值域是 D． 的值域是
3．（24-25高三·黑龙江·阶段检测）符号 表示不超过 的最大整数，如 ， ， ，
定义函数 则下列说法正确的个数是（ ）
①函数 的定义域为R
②函数 的值域为[0,1]
③函数 是增函数
④函数 是奇函数
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．（24-25高三·江苏徐州·阶段检测）符号 表示不超过 的最大整数，如 ， ，定义函
数 ，那么下列说法正确的个数是（ ）
函数 的定义域为 R ，值域为 1, 0
②方程 有无数多个解
③对任意的 ，都有 成立
④函数 是单调减函数
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
题型08 保值函数与保值放缩函数
一般地，若 的定义域为 ，值域为 ，则称 为 的“ 倍跟随区间”；特别地，
若 的定义域为 ，值域也为 ，则称 为 的“跟随区间”，
把函数 存在区间 ，使得函数 为 上的 倍域函数，结合函数的单调性，转化为
是解答的关键.
1．（24-25高三上·河南郑州·阶段练习）对于函数 ，若存在区间 ，当 时的值域为
，则称 为k倍值函数.若 是k倍值函数，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26高一上·上海杨浦·期末）对于函数 ，常数 ，若自变量 在区间 上变化时，函
数值 的取值范围恰为 ，则称区间 是函数 的k倍值区间，区间长度为 .已知定
义域为 的函数y=g(x)的表达式为 ，给出下列结论：
① 函数y=g(x)恰有2个1倍值区间；
② 函数y=g(x)的所有 倍区间长度之和为 .
下列说法正确的是（ ）
A．结论①成立，结论②不成立 B．结论①不成立，结论②成立
C．两个结论都成立 D．两个结论都不成立
3．（2026·上海·高考真题）对于函数 ， ，设 .对于点集 ，若
存在 ，使得任取 ，总有 ，则称 为“最低点”.对于函数 和
y=g(x)，以下说法中正确的是（ ）
A．若 和y=g(x)都有最小值，则 有最低点；
B．若 有最低点，则 和y=g(x)都有最小值；
C．若 或y=g(x)有最小值，则 有最低点；
D．若 有最低点，则 或y=g(x)有最小值.
4．（2026·全国一卷·高考真题）已知函数 的定义域为 ，且当x<0时， ．对任意 ，定义集合 ．
(1)若当 时， ，求 ；
(2)若 是奇函数， ，且 ，证明： ；
(3)设 满足：①若 ，则 ；②当 时， ．
（i）证明： ；
（ii）证明：f(x)在区间 单调递增．
题型09 中心对称函数：三次函数
一元三次函数：主要性质是中心对称，具有对称中心
遇到一元三次函数，首先要想它的对称中心。
所有的三次函数 都有“拐点”，且该“拐点”也是函数 的图像的对称
中心，
设 是函数 的导数， 是 的导数，若方程 有实数解 ，则称点
为函数 的“拐点”．
1.（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数 f (x)=ax3+3x2+1，若至少存在两个实数 m，使得 f (-m)，
f (1)，f (m+2) 成等差数列，则过坐标原点作曲线 y=f (x) 的切线可以作 ()
A. 3 条 B. 2 条 C. 1 条 D. 0 条
2．（24-25河南洛阳·阶段练习）设 是函数 的导数， 是 的导数，若方程f″ (x)=0
有实数解 ，则称点(x ,f(x ))为函数 的“拐点”.已知：任何三次函数既有拐点，又有对称中心，
0 0
且拐点就是对称中心．设 ，数列 的通项公式为 ，则
（ ）
A．2017 B．2018 C．8068 D．4034
3．（24-25高三上·甘肃兰州·阶段检测）三次函数有如下性质：①设 是函数 的导数，
是 的导数，若方程f″ (x)=0有实数解 ，则称点 为函数 的“拐点”；②任何一个三
次函数都有“拐点”，且“拐点”就是该函数图象的对称中心．若直线 过函数 图象
的对称中心，则 的最小值为（ ）
❑√2
A． B． C． D．
2
4．(多选）（24-25高三·辽宁大连·阶段练习）直线 与曲线 ： 交于
， ， ， ，曲线 在 ， 处的切线总是平行的，则下列命题正确的
是（ ）A． ，
B．曲线 对称中心是
C．经过点 作曲线 的切线有两条
D．设 ，则
题型10 中心对称函数：对数嵌套反比例
实战解题巧法：对称中心必然是定义域的“对称中点”处，可以借助这个特性来
直接解出参数值
1．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知函数 ， ，
， ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高三下·甘肃白银·阶段检测）若函数 ，则不等式 的解
集为（ ）
A． B．
C． D．∅
3．（24-25高一上·北京·期中）关于函数 的性质，下列说法正确的是（ ）
A． 在 上是增函数，且曲线 存在对称轴
B． 在 上是增函数，且曲线 存在对称中心
C． 在 上是减函数，且曲线 存在对称轴
D． 在 上是减函数，且曲线 存在对称中心
4．（2025·河北沧州·模拟预测）已知 ，且 为奇函数，则（ ）A． B．
C． D．
题型11 中心对称函数:对数嵌套绝对值型
实战解题巧法：对称中心必然是定义域的“对称中点”处，可以借助这个特性来
直接解出参数值
1．（北京市丰台区2024-2025学年高三学期考试数学试题）已知函数 ，则
（ ）
A．是偶函数，且在区间 上单调递增B．是奇函数，且在区间(-1,1)上单调递减
C．是偶函数，且在区间(-∞,-1)上单调递增 D．是奇函数，且在区间(-∞,-1)上单调递减
2．（24-25高三下·山西大同·期末）若 是奇函数，则（ ）
1
A．a= ， B． ，
2
C． ，b=0 D． ，b=0
3．（2025·全国·模拟预测）若函数 （ ）为奇函数，则 （ ）
A． B．1 C． D．2
4．（24-25高三下·浙江宁波·阶段检测）已知函数 为偶函数，则 （ ）
1 1
A． B．- C． D．
4 4
题型12 中心对称函数：指数分式中心型1．（24-25高三·广东揭阳·阶段练习）若命题 为奇函数， 为
偶函数，则 是 成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2025·四川泸州·模拟预测）已知 是奇函数，则 （ ）
A．2 B． C．1 D．
3．（24-25高二下·浙江·阶段检测）已知函数 ，若对任意 ，都有
，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025高三·全国·专题练习）已知函数 ， ，则函数
的图象与x，y轴围成的封闭图形的面积是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
题型13 中心对称函数：对数嵌套无理型对称中心横坐标如果相同，可以叠加纵坐标为合成中心
1．（25-26高二下·黑龙江大庆·阶段检测）已知函数 ，若正实数a，b满足
，则 的最小值为（ ）
5
A． B． C． D．
4
2．（25-26高三上·四川内江·阶段检测）已知函数 ，若等差数列 的前 项和
为 ，且 ， ，则 （ ）
A． B．0 C．2026 D．4052
3．（25-26高三·山西运城·阶段检测）设函数 ，若任意 使不等式
成立，则实数 的取值范围是（ ）
(1 )
A． B． C． ,+∞ D．(-1,+∞)
2
4．（25-26高一上·湖北武汉·阶段检测）已知函数 ，若
，则（ ）
A． B．
C． D．
题型14 对称轴型：对数嵌套指数型对数-指数复合反比例型：
对数-指数复合反比例型原理：
1．（25-26高三上·黑龙江·阶段检测）设函数 ，令 ， ，
，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
2．（25-26高二上·贵州遵义·期末）已知函数 ，若 成立，则
实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·河北·模拟预测）已知函数 ，则 是（ ）
A．偶函数，有最小值 B．偶函数，有最大值
C．奇函数，在 上单调递增 D．奇函数，在 上单调递减
4．（24-25高三上·贵州铜仁·期末）已知函数 是偶函数，则（ ）
A． B．
C． D．
Jieshu
