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专题13 一网打尽外接球、内切球与棱切球问题
【目录】
..............................................................................................................................................2
...............................................................................................................................................3
..............................................................................................................................................4
..............................................................................................................................................4
............................................................................................................................................10
考点一：正方体、长方体外接球...........................................................................................................................10
考点二：正四面体外接球......................................................................................................................................12
考点三：对棱相等的三棱锥外接球.......................................................................................................................14
考点四：直棱柱外接球..........................................................................................................................................17
考点五：直棱锥外接球..........................................................................................................................................20
考点六：正棱锥与侧棱相等模型...........................................................................................................................22
考点七：侧棱为外接球直径模型...........................................................................................................................26
考点八：共斜边拼接模型......................................................................................................................................28
考点九：垂面模型.................................................................................................................................................32
考点十：二面角模型..............................................................................................................................................34
考点十一：坐标法.................................................................................................................................................38
考点十二：圆锥圆柱圆台模型..............................................................................................................................42
考点十三：锥体内切球..........................................................................................................................................45
考点十四：棱切球.................................................................................................................................................49
纵观近几年高考对于组合体的考查，与球相关的外接与内切问题是高考命题的热点之一．高考命题小
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题综合化倾向尤为明显，要求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力，才能顺利解答．从近几年全
国高考命题来看，这部分内容以选择题、填空题为主，大题很少见，此部分是重点也是一个难点，属于中
等难度．
考点要求
考题统计
考情分析
外接球
2022 年乙卷第12 题，5 分
2022 年II 卷第7 题，5 分
2022 年I 卷第8 题，5 分
2021 年甲卷第11 题，5 分
【命题预测】
预测2024 年高考，多以小题形式出现，也
有可能会将其渗透在解答题的表达之中，
相对独立．具体估计为：
（1）以选择题或填空题形式出现，考查
学生的综合推理能力．
（2）热点是锥体内切球与棱切球问题．
内切球
2020 年III 卷第16 题，5 分
棱切球
2023 年 I 卷第1 题，5 分
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1、补成长方体
（1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1 所示．
（2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2 所示．
（3）正四面体
可以补形为正方体且正方体的棱长
，如图3 所示．
（4）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4 所示
图1 图2 图3 图4
1．（2022•乙卷）已知球
的半径为1，四棱锥的顶点为
，底面的四个顶点均在球
的球面上，则当该
四棱锥的体积最大时，其高为
A．
B．
C．
D．
【答案】
【解析】对于圆内接四边形，如图所示，
，
当且仅当
，
为圆的直径，且
时，等号成立，此时四边形
为正方形，
当该四棱锥的体积最大时，底面一定为正方形，设底面边长为
，底面所在圆的半径为
，
则
，
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该四棱锥的高
，
该四棱锥的体积
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
该四棱锥的体积最大时，其高
，
故选：
．
2．（2022•新高考Ⅱ）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为
和
，其顶点都在同一球面
上，则该球的表面积为
A．
B．
C．
D．
【答案】
【解析】当球心在台体外时，由题意得，上底面所在平面截球所得圆的半径为
，下底面所在平
面截球所得圆的半径为
，如图，
设球的半径为
，则轴截面中由几何知识可得
，解得
，
该球的表面积为
．
当球心在台体内时，如图，
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此时
，无解．
综上，该球的表面积为
．
故选：
．
3．（2022•新高考Ⅰ）已知正四棱锥的侧棱长为，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为
，且
，则该正四棱锥体积的取值范围是
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】
【解析】如图所示，正四棱锥
各顶点都在同一球面上，连接
与
交于点
，连接
，则
球心
在直线
上，连接
，
设正四棱锥的底面边长为
，高为
，
在
中，
，即
，
球
的体积为
，
球
的半径
，
在
中，
，即
，
，
，
，又
，
，
该正四棱锥体积
，
，
当
时，
，
单调递增；当
时，
，
单调递减，
（4）
，
又
，
，且
，
，
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即该正四棱锥体积的取值范围是
，
，
故选：
．
4．（2021•天津）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为
，两个圆锥
的高之比为
，则这两个圆锥的体积之和为
A．
B．
C．
D．
【答案】
【解析】如图，设球
的半径为
，由题意，
，
可得
，则球
的直径为4，
两个圆锥的高之比为
，
，
，
由直角三角形中的射影定理可得：
，即
．
这两个圆锥的体积之和为
．
故选：
．
5．（2021•甲卷）已知
，
，
是半径为1 的球
的球面上的三个点，且
，
，则三棱
锥
的体积为
A．
B．
C．
D．
【答案】
【解析】因为
，
，
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所以底面
为等腰直角三角形，
所以
所在的截面圆的圆心
为斜边
的中点，
所以
平面
，
在
中，
，则
，
在
中，
，
故三棱锥
的体积为
．
故选：
．
6．（2023•甲卷）在正方体
中，
，
为
的中点，若该正方体的棱与球
的球
面有公共点，则球
的半径的取值范围是 ．
【答案】
，
．
【解析】设球的半径为
，
当球是正方体的外接球时，恰好经过正方体的每个顶点，所求的球的半径最大，
若半径变得更大，球会包含正方体，导致球面和棱没有交点，
正方体的外接球直径
为体对角线长
，
即
，
，故
，
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分别取侧枝
，
，
，
的中点
，
，
，
，
则四边形
是边长为4 的正方形，且
为正方形
的对角线交点，
连接
，则
，
当球的一个大圆恰好是四边形
的外接圆，球的半径最小，
即
的最小值为
，
综上，球
的半径的取值范围是
，
．
故答案为：
，
．
7．（2023•甲卷）在正方体
中，
，
分别为
，
的中点，则以
为直径的球面
与正方体每条棱的交点总数为 ．
【答案】12．
【解析】在正方体
中，
，
分别为
，
的中点，
设正方体
中棱长为2，
中点为
，
取
，
中点
，
，侧面
的中心为
，
连接
，
，
，
，
，如图，
由题意得
为球心，在正方体
中，
，
，
则球心
到
的距离为
，
球
与棱
相切，球面与棱
只有一个交点，
同理，根据正方体
的对称性可知，其余各棱和球面也只有一个交点，
以
为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为12．
故答案为：12．
8．（2020•新课标Ⅲ）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为 ．
【答案】
【解析】因为圆锥内半径最大的球应该为该圆锥的内切球，
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如图，圆锥母线
，底面半径
，
则其高
，
不妨设该内切球与母线
切于点
，
令
，由
，则
，
即
，解得
，
，
故答案为：
．
考点一：正方体、长方体外接球
1、正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．
2、长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．
例1．（2023·四川·高三统考学业考试）若球的表面积为
，则顶点均在该球球面上的正方体体积为
（ ）
A．256
B．64
C．27
D．8
【答案】B
【解析】因为球的表面积为
，
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所以
，解得
，
设正方体的棱长为
，
因为正方体外接球的直径为正方体的体对角线，
所以
，即
，
所以
.
故选：B
例2．（2023·四川巴中·统考一模）已知长方体的表面积为22，过一个顶点的三条棱长之和为6，则该长方
体外接球的表面积为 .
【答案】
【解析】令长方体的长、宽、高分别为
，则
，
由
，则
，
而长方体外接球半径
，故
，其表面积
.
故答案为：
例3．（2023·重庆渝北·高三重庆市南华中学校校考阶段练习）在长方体
中，
，
，
，则长方体外接球的表面积为 ．
【答案】
【解析】由题意，根据长方体
外接球的性质，可得
，
，该长方体的外接球的表面积
.
故答案为：
.
考点二：正四面体外接球
如图，设正四面体
的的棱长为
，将其放入正方体中，则正方体的棱长为
，显然正四面体
和正方体有相同的外接球．正方体外接球半径为
，即正四面体外接球半径为
．
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例4．（2023·四川宜宾·四川省宜宾市南溪第一中学校校考模拟预测）已知正四面体
的外接球的体
积为
，则该正四面体的棱长为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设外接球半径为
，则
，解得
，
将正四面体放入正方体中，设正方体边长为
，如图所示：
则
，
，正四面体的棱长为
.
故选：C.
例5．（2023·天津北辰·统考三模）中国雕刻技艺举世闻名，雕刻技艺的代表作“鬼工球”，取鬼斧神工的
意思，制作相当繁复，成品美轮美奂．1966 年，玉石雕刻大师吴公炎将这一雕刻技艺应用到玉雕之中，他
把玉石镂成多层圆球，层次重叠，每层都可灵活自如的转动，是中国玉雕工艺的一个重大突破.今一雕刻大
师在棱长为12 的整块正方体玉石内部套雕出一个可以任意转动的球，在球内部又套雕出一个正四面体（所
有棱长均相等的三棱锥），若不计各层厚度和损失，则最内层正四面体的棱长最长为（ ）
A．
B．
C．
D．6
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【答案】A
【解析】由题意，球是正方体的内切球，且该球为正四面体的外接球时，四面体的棱长最大，
则该球半径
，如图：
可知
为外接球球心，
，
平面
，
为底面等边
的中心，
设正四面体的棱长为
，则
，
，
在
中，则
，即
，
解得
，即
．
故选：A
例6．（2023·陕西西安·校联考模拟预测）已知正四面体的各棱长均为，各顶点均在同一球面上，则该球
的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
如图，
是正四面体
的高，
是外接球球心，设外接球半径为
，
∵正四面体棱长为，∴
，
，
，
，
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由
得
，
解得
，∴
．
故选：D．
考点三：对棱相等的三棱锥外接球
四面体
中，
，
，
，这种四面体叫做对棱相等四面体，可
以通过构造长方体来解决这类问题．
如图，设长方体的长、宽、高分别为
，则
，三式相加可得
而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为
，则
，所以
．
例7．（2023·四川凉山·二模）在四面体
中，
，则
四面体
外接球表面积是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意可知，此四面体
可以看成一个长方体的一部分，长方体的长、宽、高分别为
，
，
，四面体
如图所示，
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所以此四面体
的外接球的直径为长方体的体对角线，即
,解得
.
所以四面体
外接球表面积是
.
故答案为：B.
例8．（2023·广东揭阳·高三校联考期中）在三棱锥
中，
，
，
，则该三棱锥的外接球表面积是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，
所以可以将三棱锥
如图放置于一个长方体中，如图所示：
设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，
则有
，整理得
，
则该棱锥外接球的半径即为该长方体外接球的半径，
所以有
，
所以所求的球体表面积为：
．
故选：A．
例9．（2023•五华区校级期中）如图，蹴鞠，又名“蹋鞠”、“蹴球”、“蹴圆”、“筑球”、“踢圆”
等，“跳”有用脚蹴、蹋、踢的含义，“鞠”最早系皮革外包、内实米糠的球．因而“蹴鞠”就是指古人
以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球．2006 年5 月20 日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院
批准列入第一批国家级非物质文化遗产名录．若将“鞠”的表面视为光滑的球面，已知某“鞠”表面上的
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四个点
，
，
，
满足
，
，
，则该“鞠”的表面
积为
A．
B．
C．
D．
【解析】解：因为鞠表面上的四个点
，
，
，
满足
，
，
，
所以可以把
，
，
，
四点放到长方体的四个顶点上，则该长方体的体对角线就是鞠的直径，
设该长方体的长、宽、高分别为
，
，
，鞠的半径为
，
则
，
由题意得
，
，
，
所以
，即
，
所以该鞠的表面积为
，
故选：
．
考点四：直棱柱外接球
如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角
形）
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C1
B1
A
E
F
A1
O1
O
O2
B
C
C1
B1
A
A1
O1
O
O2
B
C
C1
B1
A
E
F
A1
O1
O
O2
B
C
图1 图2 图3
第一步：确定球心
的位置，
是
的外心，则
平面
；
第二步：算出小圆
的半径
，
（
也是圆柱的高）；
第三步：勾股定理：
，解出
例10．（2023·湖南·高三校联考阶段练习）在直三棱柱
中，
为等边三角形，若三棱柱
的体积为
，则该三棱柱外接球表面积的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设直三棱柱的高为，外接球的半径为
，
外接圆的半径为，则
，
所以
，又
，令
，则
，易知
的最小值
为
，此时
，所以该三棱柱外接球表面积的最小值为
.
故选：A.
例11．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）在直三棱柱
中，
为等腰直角三角形，若三棱
柱
的体积为32，则该三棱柱外接球表面积的最小值为（ ）
A．12π
B．24π
C．48π
D．96π
【答案】C
【解析】设
为等腰直角三角形的直角边为
，三棱柱
的高为，
则
，所以
，则
，
外接圆的半径为
，
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所以棱柱外接球的半径为
，
令
，则
，则
，
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以当
时，
，
则该三棱柱外接球表面积最小值为
.
故选：C.
例12．（2023·陕西咸阳·统考一模）在直三棱柱
中，
，
，若该直三棱
柱的外接球表面积为
，则此直三棱柱的高为（ ）．
A．4
B．3
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意将直三棱柱补成长方体，则直三棱柱的外接球就是长方体的外接球，外接球的直径等于长
方体的体对角线，利用直三棱柱的外接球表面积为
，可求出外接球的半径，从而可求得直三棱柱的高
因为
，所以将直三棱柱
补成长方体
，则直三棱柱的外接球就是长
方体的外接球，外接球的直径等于长方体的体对角线，
设球的半径为
，则
，解得
，
设直三棱柱的高为，则
，即
，
解得
，所以直三棱柱的高为
，
故选：D
例13．（2023·广东·统考一模）如图，在直三棱柱
的侧面展开图中，
，
是线段
的三等
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分点，且
．若该三棱柱的外接球
的表面积为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由展开图可知，直三棱柱
的底面是边长为
的等边三角形，
其外接圆的半径满足
，所以
．
由
得
．
由球的性质可知，球心
到底面
的距离为
，
结合球和直三棱柱的对称性可知，
，
故选D．
考点五：直棱锥外接球
如图，
平面
，求外接球半径．
A
D
P
O1
O
C
B
解题步骤：
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第一步：将
画在小圆面上，
为小圆直径的一个端点，作小圆的直径
，连接
，则
必
过球心
；
第二步：
为
的外心，所以
平面
，算出小圆
的半径
(三角形的外接圆直
径算法：利用正弦定理，得
)，
；
第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①
；
②
．
例14．（2023·江西萍乡·高三统考期末）三棱锥A-BCD 中，
平面BCD，
，
，则该三棱锥的外接球表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由
平面BCD，
，知三棱锥A-BCD 可补形为以AD，DC，BD 为三条棱的长方体，
如图所示，
三棱锥的外接球即长方体的外接球，长方体的对角线是外接球的直径，设外接球的半径为R，
则
，所以该三棱锥的外接球表面积为
.
故选：C．
例15．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学统考二模）如图，四棱锥
中，
平面
，
底面
为边长为
的正方形，
，则该四棱锥的外接球表面积为（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
四边形
为边长为
的正方形，
四边形
的外接圆半径
，
又
平面
，
，
四棱锥
的外接球半径
，
四棱锥
的外接球表面积
.
故选：D.
例16．（2023·河南开封·统考三模）在三棱锥
中，
，
平面ABC，
，
，则三棱锥
外接球体积的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】根据题意三棱锥
可以补成分别以
为长、宽、高的长方体，其中
为长方体
的对角线，
则三棱锥
的外接球球心即为
的中点，要使三棱锥
的外接球的体积最小，则
最小．
设
，则
，
，
，
所以当
时，
，则有三棱锥
的外接球的球半径最小为
，
所以
．
故选：A
考点六：正棱锥与侧棱相等模型
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1、正棱锥外接球半径：
．
h
l
r
D
C
B
A
2、侧棱相等模型：
如图，
的射影是
的外心
三棱锥
的三条侧棱相等
三棱锥
的底面
在圆锥的底上，顶点
点也是圆锥的顶点．
P
A
O1
O
C
B
解题步骤：
第一步：确定球心
的位置，取
的外心
，则
三点共线；
第二步：先算出小圆
的半径
，再算出棱锥的高
（也是圆锥的高）；
第三步：勾股定理：
，解出
．
例17．（2023·重庆·高三重庆八中校考期末）已知球O 为三棱锥S﹣ABC 的外接球，
，则球O 的表面积是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
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【解析】取SC 中点M，连接AM、MB，
因为△SAC 是等边三角形，且SB＝BC，
∴AM⊥SC，MB⊥SC，
∴SC⊥平面AMB，
∴球心O 在平面AMB 上，作
⊥平面SAC，可得
为等边三角形SAC 的中心，
所以
＝
，
取AB 中点N，连接ON，∴ON⊥AB，
∴
四点共圆，AO 为这四点共圆的直径，也是三棱锥S−ABC 外接球的半径，连接
，
在△ABM 中：
，
，
∴∠MAB＝90°，
∴在直角三角形
中，
由勾股定理，得
＝
，
∴三棱锥S−ABC 外接球的半径长为AO=
=
，
．
故选：A．
例18．（2023·河北保定·高三定州市第二中学校考阶段练习）已知正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为2，
且顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 ．
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【答案】
【解析】如图设底面
的中心为
，连接
，则球心在直线
上，
由几何关系可知，
，先将三角形
转化成平面三角形，
如图：
因为
，由勾股定理可得
，设球心为
，
则
在
的延长线上，且
，则
，
由勾股定理可得
，即
，
解得
，所以球体的表面积
．
故答案为：
．
例19．（2023·福建福州·高三福建省福州屏东中学校考期末）已知正三棱锥
的顶点都在球O 的球
面上，其侧棱与底面所成角为
，且
，则球O 的表面积为
【答案】
【解析】如图，正三棱锥
中，设点Q 为
的中心，则PQ⊥平面ABC，
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∴
，∴
，PQ＝3．
球心O 在直线PQ 上，连接AO，设球O 的半径为r，
则
，
，
在
中，
，即
，解得
，
∴球O 的表面积为
．
故答案为：
.
例20．（2023·河南·模拟预测）已知正四棱锥
的底面边长为
，高为，且
，该四棱
锥的外接球的表面积为，则的取值范围为 ．
【答案】
【解析】连接
相交于点
，连接
，则
⊥平面
，
球心
在
上，连接
，则
，
，
因为正四棱锥
的底面边长为
，所以
，
在直角三角形
上，由勾股定理得
，
即
，
，解得
，
由
，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
所以
在
取得极小值，也是最小值，此时
，
又当
和
时，
，
所以
，则
.
资料来源：微信公众号 智慧学库
故答案为：
考点七：侧棱为外接球直径模型
找球心，然后作底面的垂线，构造直角三角形．
例21．（2023·江苏南通·高三海安市曲塘中学校考期末）在三棱锥P-ABC 中，已知△ABC 是边长为2 的等
边三角形，PA 为此三棱锥外接球O 的直径，PA＝4，则点P 到底面ABC 的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设点P 到底面ABC 的距离为，点
到底面ABC 的距离为
，
则
.
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连接
、
，则三棱锥
是棱长为2 的正四面体，
取
的中点
，连接
，作
，则
平面
，
即
，在正
中，
，
在
中，
，
即
，即点P 到底面ABC 的距离为
.
故选：D.
例22．（2023•云南校级月考）已知三棱锥
的所有顶点都在球
的球面上，
是边长为2 的
正三角形，
为球
的直径，且
，则此棱锥的体积为
A．
B．
C．
D．
【解析】解：因为
是边长为2 的正三角形，所以
外接圆的半径
，
所以点
到平面
的距离
，
为球
的直径，点
到平面
的距离为
，
此棱锥的体积为
，
故选：
．
例23．（2023•防城港模拟）体积为
的三棱锥
的所有顶点都在球
的球面上，已知
是边
长为1 的正三角形，
为球
的直径，则球
的表面积为
A．
B．
C．
D．
【解析】解：根据题意作出图形：
设球心为
，球的半径
．过
三点的小圆的圆心为
，则
平面
，
延长
交球于点
，则
平面
．
，
，
高
，
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是边长为1 的正三角形，
，
，
．则球
的表面积为
故选：
．
考点八：共斜边拼接模型
如图，在四面体
中，
，
，此四面体可以看成是由两个共斜边的直角三角形
拼接而形成的，
为公共的斜边，故以“共斜边拼接模型”命名之．设点
为公共斜边
的中点，根
据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的结论可知，
，即点
到
，
，
，
四点
的距离相等，故点
就是四面体
外接球的球心，公共的斜边
就是外接球的一条直径．
例24．（2023·四川德阳·统考模拟预测）已知矩形ABCD 的面积为8，当矩形ABCD 周长最小时，沿对角
线AC 把
折起，则三棱锥D-ABC 的外接球表面积等于（ ）
A．
B．
C．
D．不确定的实数
【答案】B
【解析】设矩形
的边长分别为
、
，则
，
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所以矩形周长
，
，
，当且仅当
时取等号，
矩形周长最小时，
，
，
，
因为
外接球的半径
，
外接球表面积
．
故选：B．
例25．（2023·安徽·芜湖一中高二期中）已知三棱锥
中，
，
，
，
，
，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，
，
，则
，所以
，
又因为
，
，
，则
，所以
，
由
，
，
，则
，所以
，
又由
，
，
，则
，所以
，
可得
为三棱锥
的外接球的直径，
又由
，
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所以此三棱锥的外接球半径为
，
所以球的表面积为
．
故选：C．
例26．（2023·江西赣州·高二期中）在三棱锥
中，
若该三棱锥的体积为
，则三棱锥
外球的体积
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】如图所示：
设SC 的中点为O，AB 的中点为D，连接OA、OB、OD，
因为
，
所以
，
则
，
所以O 为其外接球的球心，设球的半径为R，
因为
，
，
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所以
，
所以
，
因为
，
所以
平面AOB，
所以
，
解得
，
所以其外接球的体积为
，
故选：D
考点九：垂面模型
如图1 所示为四面体
，已知平面
平面
，其外接球问题的步骤如下：
（1）找出
和
的外接圆圆心，分别记为
和
．
（2）分别过
和
作平面
和平面
的垂线，其交点为球心，记为
．
（3）过
作
的垂线，垂足记为
，连接
，则
．
（4）在四棱锥
中，
垂直于平面
，如图2 所示，底面四边形
的四个顶
点共圆且
为该圆的直径．
图1 图2
资料来源：微信公众号 智慧学库
例27．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）在三棱锥
中、平面
平面
，
，且
，则三棱维
的外接球表面积是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意，
为直角三角形，故
在三棱维
的外接球的一个切面圆上，
为该圆
直径；
又平面
平面
，故外接球的球心
在
所在的平面内，又
，故
为等腰三角形，球心O 在BD 边中线所在直线上 ，
点到线段
的距离为
，
设外接球的半径为
，则
，
解得
，则外接球的表面积为
.
故选：C.
例28．（2023·全国·模拟预测）如图1，平面五边形
，
，
，
，
，将
沿
折起至平面
平面
，如图2，若
，则四棱锥
的
外接球体积是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由
，易得
，由题可知四边形
为等腰梯形，过点
作
，
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在
中，
，
，由三角函数知
，所以
，取
中点
，
过点
作
交
于点
，连接
，
，又因为平面
平面
，所以
平面
，
易求
，所以
为
中点，且外接球球心在平面
的垂线
上，又因为
中，
，
，所以
；同理可得
，所以在平面
内，
，即
就是外接球球心，所以半径
，所以四棱锥
外接球体积为
.
故选：A.
例29．（2023·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）已知四棱锥
的体积是
，
底面
是正方形，
是等边三角形，平面
平面
，则四棱锥
外接球表面积
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
设正方形
的边长为
，在等边三角形
中，过
点作
于E，
由于平面
平面
，∴
平面
．
由于
是等边三角形，则
，
∴
，解得
．
设四棱锥外接球的半径为
，
为正方形ABCD 中心，
为等边三角形PAB 中心，
O 为四棱锥P－ABCD 外接球球心，则易知
为矩形，
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则
，
，
，
∴外接球表面积
．
故选：C．
考点十：二面角模型
如图1 所示为四面体
，已知二面角
大小为
，其外接球问题的步骤如下：
（1）找出
和
的外接圆圆心，分别记为
和
．
（2）分别过
和
作平面
和平面
的垂线，其交点为球心，记为
．
（3）过
作
的垂线，垂足记为
，连接
，则
．
（4）在四棱锥
中，
垂直于平面
，如图2 所示，底面四边形
的四个顶
点共圆且
为该圆的直径．
例30．（2023·安徽·芜湖一中校联考模拟预测）已知在菱形
中，
，把
沿
折起到
位置，若二面角
大小为
，则四面体
的外接球体积是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设
的外接圆圆心为
，
的外接圆圆心为
，
过这两点分别作平面
、平面
的垂线，交于点O，则O 就是外接球的球心；
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取
中点E，连接
，
因为
，
，
所以
，
因为
和
是正三角形，
所以
，
由
得
，
所以
由
，即球半径为
，
所以球体积为
．
故选：C.
例31．（2023·广东·统考模拟预测）在三棱锥
中，
为等腰直角三角形，
，
为正三角形，且二面角
的平面角为
，则三棱锥
的外接球表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】如图所示，
为直角三角形，又
，
所以
，
因为
为正三角形，所以
，
连接
，
为
的中点，E 为
中点，
则
，所以
为二面角
的平面角
所以
．
因为
为直角三角形，E 为
中点，
所以点
为
的外接圆的圆心，
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设G 为
的中心，则G 为
的外接圆圆心．过E 作面
的垂线，过G 作面
的垂线，设
两垂线交于O．
则O 即为三棱锥
的外接球球心．设
与
交于点H，
，
所以
,
，
∴
．
所以
，
故选：C.
例32．（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考阶段练习）如图，在三棱锥
，
是以AC
为斜边的等腰直角三角形，且
，
，二面角
的大小为
，则三棱锥
的外接球表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
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【答案】B
【解析】根据题意，作出图形，如图所示，因为
是以AC 为斜边的等腰直角三角形，所以
的
外心在
中点，设为
，设
的外心为
，
中点为
，
，因为
，所以
必在
连线上，则
，即
，因为两平面交线为
，
为平面
所在圆面中心，
所以
，
，
又因为二面角
的大小为
，
，所以
，所以
，锥体
外接球半径
，则三棱锥
的
外接球表面积为
，
故选：B
考点十一：坐标法
对于一般多面体的外接球，可以建立空间直角坐标系，设球心坐标为
，利用球心到各顶点的
距离相等建立方程组，解出球心坐标，从而得到球的半径长．坐标的引入，使外接球问题的求解从繁琐的
定理推论中解脱出来，转化为向量的计算，大大降低了解题的难度．
例33．（2023·广东阳江·高三阳春市第一中学阶段练习）已知正方体
的棱长为2，点
是
线段
上的动点，则三棱锥
的外接球半径的取值范围为 ．
【答案】
【解析】如图，以
为原点建立空间直角坐标系，
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则
，
设
为
的中点，
为三棱锥
外接球的球心，
则
为
外接圆的圆心，
平面
，
，
设
，
则
，
所以
，
化简得
，
所以
，
所以球的半径
.
故答案为：
.
例34．（2023·浙江·高三校联考阶段练习）空间直角坐标系
中，
则四面体ABCD 外接球体积是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】取
，则
是长方体，
其对角线长为
，
∴四面体
外接球半径为
．
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，
故选：B．
例35．（2023·安徽·高三校联考阶段练习）如图，已知四棱锥
，底面
是边长为3 的正方形，
面
，
，
，
，若
，则四棱锥
外接球表面
积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】以
为坐标原点，以
，
，
所在直线分别为
，
，轴，建立空间直角坐标系，设
，
则
，
，
，
，
，
则
，
，
，
于是
，
则
，∴
，四棱锥
外接球直径为
，故其表面积为
．
故选：B.
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例36．（2023·浙江金华·模拟预测）三棱锥
中，
，
则三棱锥
的外接球表面积的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
如图，将三棱锥
画在长方体方体中，并建立空间直角坐标系
，
由
，由
面
，可知P 点在面
上，
又
，
面
，所以
为直角三角形，
故
，即P 点轨迹为以D 为圆心，半径为4，在
上的圆，
设点
，则
—①，
因为
为等腰直角三角形，所以三棱锥
的外接球的球心
在直线
上，
设点
，由
，得
—②，
联立①②得：
，
设过点
和点
的直线斜率为
，则
，
由直线与圆相切，可得
，
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则
，所以
，所以
．
故选：C
考点十二：圆锥圆柱圆台模型
1、球内接圆锥
如图，设圆锥的高为
，底面圆半径为
，球的半径为
．通常在
中，由勾股定理建立方程
来计算
．如图
，当
时，球心在圆锥内部；如图
，当
时，球心在圆锥外部．和本专
题前面的内接正四棱锥问题情形相同，图2 和图3 两种情况建立的方程是一样的，故无需提前判断．
由图
、图可知，
或
，故
，所以
．
2、球内接圆柱
如图，圆柱的底面圆半径为
，高为
，其外接球的半径为
，三者之间满足
．
3、球内接圆台
，其中
分别为圆台的上底面、下底面、高．
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例37．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）如图，在正三棱台
中，
，
，
，则正三棱台
的外接球表面积为（ ）
A．64
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设外接球球心为
，等边三角形
的外心为
，等边三角形
的外心为
，
三点共线，则
是正三棱台
的高，
设台体的高为，设外接球的半径为
，
过
作
，垂足为
，根据正棱台的性质可知
，
所以
平面
，
平面
，所以
，
设等边三角形
的外接圆半径为
，由正弦定理得
.
设等边三角形
的外接圆半径为
，由正弦定理得
.
在直角三角形
中，
，
所以
.
当球心O 在
线段上，则
，解得
，
当球心O 在
的延长线上时，则
，无解，
所以正三棱台
的外接球表面积为
.
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故选：B
例38．（2023·全国·高三专题练习）已知圆锥的顶点和底面圆周均在球
的球面上.若该圆锥的底面半径为
，高为6，则球
的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，故球心在圆锥的内部且在高上，
设球心到圆锥底面的距离为
，
则有
，解得
，则圆半径
，
表面积
.
故选：C
例39．（2023·全国·高三专题练习）已知圆台的母线长为2，母线与轴的夹角为60°，且上、下底面的面积
之比为1：4，则该圆台外接球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
圆台上、下底面的面积之比为1：4，则半径比为1：2，设圆台上、下底面半径为
，因母线与轴的夹
角为60°，可得圆台高为1，则
；
设圆台外接球的半径为
，球心到下底面的距离为
，易得圆台两底面在球心同侧，则
，
且
，
解得
，则该圆台外接球的表面积为
.
故选：C.
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例40．（2023·全国·高三专题练习）如图，半径为4 的球
中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球
的表面积与圆柱的表面积之差为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】如图.
设圆柱底面半径为，球的半径与圆柱底面夹角为
，则
，
，
圆柱的高
，
圆柱的侧面积为
，
当且仅当
时，
，圆柱的侧面积最大，为
，
球的表面积与圆柱的表面积之差为
.
故选：D．
考点十三：锥体内切球
等体积法，即
例41．（2023·浙江温州·统考一模）与圆台的上、下底面及侧面都相切的球，称为圆台的内切球，若圆台
的上下底面半径为
，
，且
，则它的内切球的体积为 .
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【答案】
【解析】由题意，画出圆台的直观图，其中
为圆台的母线长，
，
分别为上、下底面的圆心，点
为内切球的球心，点
为球
与圆台侧面相切的一个切点.
则由题意可得：
，
.
因此可得：内切球半径
，即得内切球的体积为
.
故答案为：
例42．（2023·湖南郴州·统考三模）已知三棱锥
的棱长均为4，先在三棱锥
内放入一个内
切球
，然后再放入一个球
，使得球
与球
及三棱锥
的三个侧面都相切，则球
的表面
积为 .
【答案】
/
【解析】如图所示：
依题意得
，
底面
的外接圆半径为
，
点
到平面
的距离为
，
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所以
，
所以
设球
的半径为
，所以
则
，得
设球
的半径为，则
，又
得
所以球
的表面积为
故答案为：
.
例43．（2023·四川成都·高三四川省成都列五中学校考阶段练习）已知圆锥的底面半径为2，高为
，
则该圆锥的内切球表面积为 .
【答案】
【解析】如图，作出该圆锥与其内切球的轴截面图形，
设该内切球的球心为
，内切球的半径为，
为切点，
所以，
，
由已知得
，
，
所以，在
中，
，即
，解得
，
所以，该圆锥的内切球表面积为
故答案为：
.
例44．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考模拟预测）如图，四边形
为平行四边形，
，
，
，现将
沿直线
翻折，得到三棱锥
，若
，则三棱锥
的内切
球表面积为 ．
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【答案】
/
【解析】
中，
，
，
，
由余弦定理得
，
则折成的三棱锥
中，
，
即此三棱锥的对棱相等，故此三棱锥的三组对棱是一个长方体的六个面的对角线，
设长方体从同一个顶点出发的三条棱长分别为
，
则
，解得
，
又因为三棱锥
是长方体切掉四个角的余下部分，
故三棱维
的体积为
，
又三棱锥
四个侧面是全等的，
故三棱锥
的表面积为
，
设内切球半径为
，以内切球球心为顶点，把三棱锥分割为以球心为顶点，四个面为底面的的四个小三棱
锥，四个小三棱锥体积等于大三棱锥的体积，
故
，故内切球表面积为
.
故答案为：
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考点十四：棱切球
找切点，找球心，构造直角三角形
例45．（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）已知球
的表面积为
，若球
与正四面体
的六条棱
均相切，则此四面体的体积为（ ）
A．9
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由
，
，将正四面体放到正方体中，正方体的内切球即与正四面体的六条棱
均相切，
，
正方体的棱长为，则正四面体棱长为
，高
，
，
故选:A．
例46．（2023·江西宜春·高三奉新县第一中学校考阶段练习）已知正方体的棱长为2，则与正方体的各棱
都相切的球的表面积是 ．
【答案】
【解析】过正方体的对角面作截面如图，故球的半径
，
其表面积
．
故答案为：
.
例47．（2023·全国·高三校联考阶段练习）已知三棱锥
的棱长均为
，则与其各条棱都相切的
球的体积为 .
【答案】
【解析】将三棱锥
补全为正方体，如下图所示：
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则正方体的内切球即为与三棱锥
各条棱均相切的球，
设正方体棱长为
，则
，解得：
，
所求的球的半径
，
球的体积
.
故答案为：
.
