第03 讲 等式与不等式的性质
内容导航
命题透视·考情前瞻
01
命题透视·考情前瞻
对标素养，研判高考命题趋势
02
思维建模·脉络梳理
搭建知识框架，构建系统思维
03
知识精讲·靶向突破
拆解核心知识，归纳题型技巧
知识解构
知识点1 等式的基本性质 知识点2 不等式的基本性质
知识点3 比较大小的常用方法 知识点4 不等式常用推论
题型破译 (含超链接）
题型
1
不等式性质
的
正误判断
【方法技巧】不等式性质的快速判断
【易错分析】忽略前提条件
题型
2 比较大小
【方法技巧】比较大小的解题策略
【易错分析】方法选择不当
题型
3
求代数式的取值范围
【方法技巧】求代数式范围的规范步骤
【易错分析】范围扩大问题
题型
4
不等式的
基础
证明
【方法技巧】不等式证明的基础方法
【易错分析】逻辑不严谨
04
真题溯源·考向感知
溯源真题逻辑，感知高考考向
05
课本典例·高考素材
立足课本典例，挖掘高考素材
对标素养，研判高考命题趋势
——
考
核心
点
2026 年
2025 年
2024 年
本
不等式的基
性质
——
——
——
比较大小
——
全国一卷T8（5 分）
——
利用不等式性质求范
围
全国一卷T10（4 分）
全国二卷T10（4 分）
全国一卷T10（4 分）
全国甲卷（文理） T3
（5 分）
全国Ⅰ卷T8（5 分）
全国Ⅰ卷T18（4 分）
不等式的推论与应用
全国一卷T14（5 分）
全国一卷T17（8 分）
全国一卷T19（10 分）
全国二卷T19（13 分）
全国一卷T19（10
分）
全国二卷T19（6 分）
全国甲卷（理） T21
（6 分）
全国甲卷（文理）
T23（12 分）
全国Ⅰ卷T19（4 分）
考情分析
等式与不等式的性质是高中数学的基础工具，新教材强化了其与函数、数列、导
数的融合考查，删除了繁琐的不等式证明技巧，侧重性质的直接应用与逻辑推
理。题型以选择题第 2-4 题为主，分值固定5 分，整体难度中等偏下，属于必
得分板块。
考查方向：
1. 不等式基本性质的正误判断（核心高频）；
2. 作差法、作商法、中间量法比较大小；
3. 利用不等式性质求代数式的取值范围；
4. 结合函数单调性、指数对数运算考查不等式应用；
常结合指数函数、对数函数、幂函数的单调性，以及数列、立体几何中的不等关
系考查，侧重数学运算与逻辑推理核心素养，强调变形的等价性。
复习目标
1. 掌握等式的基本性质，理解其作为代数变形的基础地位。
2. 熟练掌握不等式的8 条基本性质，能准确判断不等式变形的等价性。
3. 掌握作差法、作商法、中间量法三种比较大小的核心方法。
4. 能利用不等式性质求代数式的取值范围，掌握 同向不等式相加 的边界控制
“
”
技巧。
5. 理解不等式的常用推论，能结合函数单调性解决综合不等问题。
思维建模·脉络梳理
搭建知识框架，构建系统思维
——
知识精讲·靶向突破
拆解核心知识，归纳题型技巧
——
知识解构
●
●
●
知识点1
本
等式的基
性质
1.
对称性：若a=b，则b=a ；
2.
传递性：若a=b 且b=c，则a=c；
3.
可加性：若a=b，则a+c=b+c ；
4.
可乘性：若a=b，则ac=bc；若a=b 且c≠0，则
。
自主检测（2026·陕西西安中学·模拟）已知cosα +2sin β =1，且α，β ∈(0,π
2 )，则
M =2cosα -cos2 β的取值范围是（ ）
A．(0,1)
B．(- 1
2 ,1)
C．(-1,1)
D．(- 1
2 ,0)
知识点2
本
不等式的基
性质
性质名称
具体内容
注意事项
对称性
a>b⇔b<a
双向等价
传递性
a>b,b>c⇒a>c
单向推导
可加性
a>b⇔a+c>b+c
双向等价，移项的依据
同向可加性
a>b,c>d⇒a+c>b+d
单向，可推广到 n 个同向不等式
可乘性
a>b,c>0⇒ ac>bc
a>b,c<0⇒ac<bc
乘负数不等号方向
同向同正可乘性
a>b>0,c>d>0⇒ac>bd
必须同时满足 "同向"和"正数"
乘方性
a>b>0⇒
>
(n∈N,n≥2)
仅对 成立
开方性
a>b>0⇒
(n∈N,n≥2)
仅对 成立
自主检测（多选题）若a>0，b>0，a+b= 4，则（ ）
A．a- 4
b ≥0
B．1
a + 1
b ≥1
C．❑√a+ ❑√b≤2❑√2
D．12<a
2+3b
2<48
知识点3
方法
比较大小的常用
1.
作差法（通用）：
2.
作商法（适用于同号两数）：若a,b>0，则
;
;
。
3.
中间量法：找 0、1 等中间量，通过传递性比较大小。
自主检测设a=2
0.3×0.3
2，b=0.3
0.3×2
2，c =2
0.3×2
2，则（ ）
A．a<b<c
B．b<a<c
C．c<a<b
D．a<c<b
知识点4 不等式的常用结论
1.
倒数法则：a＞b,ab＞0⇒
；
2.
分数性质：若a>b>0,m>0，则 （真分数性质） ；
3.
绝对值不等式： ||a|-|b||≤|a±b| ≤ |a|+|b|。
自主检测（2026·山东济宁·模拟）（多选题）已知a，b，c为实数，则（ ）
A．若ac
2>bc
2，则a>b
B．若a>b，ab≠0，则1
a < 1
b
C．若a>b>c>0，则b+c
a+c > b
a
D．若a>0，b>0，a+b=1，则1
a + 1
b ≥4
题型破译
●
●
●
题型1 不等式性质的正误判断
例1-1（2026·湖南株洲四中·学考模拟二）若实数a，b满足a>b，则（ ）
A．a+1>b+1
B．a+1<b+1
C．3a<3b
D．a-b<0
例1-2（2026·四川绵阳南山中学实验学校·高考冲刺）已知a,b∈R，且0<|a|<b<1，则（ ）
A．a
2>b
2
B．1
a > 1
b
C．1
a+1 >
1
b+1
D．cosa<cosb
方法技巧 不等式性质的快速判断
1、特殊值法：代入 0、1、-1 等特殊值排除错误选项；
2、性质法：严格依据 8 条基本性质判断变形的等价性；
3、函数法：将不等式转化为函数单调性问题。
易错分析 忽略前提条件
1、忽略可乘性中 "c 的符号" 对不等号方向的影响；
2、忽略乘方、开方性质中 "a,b>0" 的前提；
3、混淆同向可加性与同向可乘性的条件。
【变式训练1-1】（25-26 高三下·江苏G4·4 月联考）已知实数a>0,b>0，则“a+b<1 是
”
“ab< 1
4 的
”
（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要
条件
【变式训练1-2】（多选题）（2026·芜湖安师大附中·适应性检测）若非零实数a,b满足a
2+b
2= 4，则下列
结论一定成立的是（ ）
A．1
a + 1
b ≥1
B．a+b≤2❑√2
C．ab≤2
D．3a+ 4 b≤10
【变式训练1-3】（多选题）（2026·河南名校·模拟）下列说法正确的是（ ）
A．若c
2
a > c
2
b ，则a<b
B．若a ❑√a>b ❑√b，则a>b
C．若a<b<0，则a- 1
a >b- 1
b
D．若-2<a<3，1<b<2，则- 4<a-b<2
【变式训练1-4】（多选题）（2026·黔西南顶兴中学·二模）已知实数a，b满足❑√a-1>❑√b-1，则（ ）
A．a>b
B．1
a < 1
b
C．(a-b)(a+b-2)<0
D．2
a-2
b>3
-a-3
-b
【变式训练1-5】（多选题）已知a>0,b>0，则下列说法正确的是（ ）
A．若a>b,c<0，则ac>bc
B．若a>b,m>0，则 a
b > a+m
b+m
C．若3a+b=2，则 1
a + 1
b 的最小值为4+2❑√3D．若a+b=2，则 ❑√a+ ❑√b的最大值为2
【变式训练1-6·变载体】（多选题）（2026·河北雄安新区·预测）已知4 个正数a，b，c，d成等比数列
（公比q≠1），则（ ）
A．ad >bc
B．d -b>c -a
C．a
2+d
2>2bc
D．若a≤1，bc = 4，则a+d的最小值为5
【变式训练1-7·变考法】（多选题）已知实数a,b,c≠0，且|a|
2b|c|, b
|ac|,|c|+2|a|
2b|a| 成等差数列，则下列说
法正确的是（ ）
A．2b
2≤a
2+c
2
B．a
2≤b
2≤c
2
C．b
2≥|ac|
D．a
2b
2+b
2c
2≥2a
2c
2
题型2 比较大小
例2-1（2026·辽宁名校联盟·模拟）已知实数x , y , z满足x> y > z，则（ ）
A．(x - y)( y - z)<0
B．xz> yz
C．1
x < 1
y
D．1
x - z <
1
y - z
例2-2【新考法】（2026·天津河东·二模）明数理数学兴趣小组在综合实践过程中为某公司的一款明星科
“
”
技产品提供涨价方案，经过小组成员分析讨论形成如下四个方案：
方案甲：第一次提价m %，第二次提价n %；方案乙：第一次提价n %，第二次提价m %；
方案丙：第一次和第二次均提价(
m+n
2 )%；
方案丁：第一次提价(2m+2n)%，第二次降价(m+n)%；
其中0<n<m<50，则四个方案中提价最多的方案为（ ）
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
方法技巧 比较大小的解题策略
1.
指数对数式：优先找中间量 0 或 1，再结合函数单调性 ；
2.
同结构代数式：作差法变形为因式乘积形式判号 ；
3.
同号幂形式：作商法与 1 比较大小 ；
4.
复杂形式：构造函数，利用导数判断单调性。
易错分析 方法选择不当
1.
作商法比较大小时忽略分母符号 ；
2.
构造函数时定义域判断错误 ；
3.
指数函数与对数函数单调性混淆。
【变式训练2-1·变载体】（2026·长沙铁一中·模拟）甲和乙有相同的两台燃油车，甲每次加油都是加200
元，乙每次都是加满油箱，若第一次加油甲乙两人都是x 元/升，第二次加油都是y 元/升（x≠y），两次
加油后，请问谁的加油方式单价低?（ ）
A．乙
B．不能确定
C．一样
D．甲
【变式训练2-2·】（2026·河北部分高中·一模）已知某圆锥与圆柱的底面半径均为r，高分别为h₁，h₂，且
该圆锥与圆柱的表面积相等，若 h1+h2=4r，则圆锥的体积V₁ 与圆柱的体积V₂ 的大小关系为（ ）
A．V 1>V 2
B．V 1=V 2
C．V 1<V 2
D．不确定
【变式训练2-3】已知5
7>3
10，4
10>7
7.设a= log47，b=2log72+ log73，c = log925，则（ ）
A．a<b<c
B．c<a<b
C．b<c<a
D．b<a<c
【变式训练2-4】（2026·西宁大通二中·仿真模拟）（多选题）下列不等式中成立的是（ ）
A．若a>b>0，则ac
2>bc
2
B．若a>b>0，则a
2>b
2
C．若a<b<0，则a
2<ab<b
2
D．若a<b<0，则1
b < 1
a
【变式训练2-5】（2026·江西重点中学协作体·第二次联考）（多选题）已知a>b>0,c<0，则下列不等式
成立的是（ ）
A．c
a > c
b
B．b
a > b-c
a-c
C．a
c>b
c
D．(a+ 1
c)(
1
a +c)≤0
【变式训练2-6】（多选题）已知m>n>0，则下列说法正确的是（ ）
A．lnm>lnn
B．cosm<cosn
C．若c>0，则mc>nc
D．(
1
2)
m
>(
1
2)
n
【变式训练2-7·变考法】（2026·武汉武昌·五月供题）（多选题）已知随机事件A，B满足0< P( A)<1，
0< P(B)<1，记T = P( A) P(B)，S = P( A ∪B)，若A，B互斥，则（ ）
A．P( AB)≠0
B．S>2T
C．当S = 1
2时，T的最大值为1
16
D．若T = 1
4 ，则S =1
题型3 求代数式的取值范围
例3-1（25-26 高三下·安徽滁州来安中学·考前预测）已知正实数x，y 满足ln(2 x)+ln y = x +2 y -2，则
x
y - y
x=（ ）
A．
❑√2
4
B．1
2
C．
❑√2
2
D．1
例3-2（2026·四川广安友谊中学·模拟）（多选题）已知F1，F2两点的坐标分别为(-c ,0)，(c ,0)(c>0)，
曲线C上任意一点P(x , y)满足|P F1|⋅|P F2|=a
2(a>0)，则（ ）
A．曲线C关于原点对称
B．|x|≤
❑√a
2+c
2，|y|≤a
2
2c
C．若a>c，则曲线C与圆：x
2+ y
2=3a
2有交点
D．若a=c，直线y =kx与曲线C有3 个交点，则k的取值范围为(-1,1)
方法技巧 求代数式范围的规范步骤
1.
设所求代数式为已知代数式的线性组合，用待定系数法求系数 ；
2.
利用同向不等式的可加性，分别求出各部分的范围 ；
3.
合并得到最终范围，注意边界值的验证。
易错分析 范围扩大问题
1.
多次使用同向不等式相加，导致边界扩大 ；
2.
忽略变量之间的相互制约关系 ；
3.
端点值无法同时取到，错误包含端点。
【变式训练3-1】（多选题）已知不相等的实数a，b满足ab=a+b+3，则下面说法正确的是（ ）
A．存在实数t使得a，b是方程x
2-tx +t +3=0的两根
B．若a,b>0，则ab的取值范围是(9,+ ∞)
C．a+b的取值范围是(6,+ ∞)
D．a
2+b
2的取值范围是(2,+∞)
【变式训练3-2·变考法】（25-26 高三下·安徽A10 联盟·阶段检测）已知函数f (x)=ln(2 x +1)+ln(2 x -1)，
在点(i ,f (i))(i∈N
*)处作曲线y = f (x)的切线li，其纵截距记为bi，若∑
i=1
n
f (i)≤∑
i=1
n
bi+ λn对n∈N
*恒成立，
则实数λ的取值范围为___________．
【变式训练3-3·变载体】（2026·广东·华侨港澳台联考适应性(二)）记△ABC的内角A，B，C 的对边分别
为a，b，c，若a，b，c 成公差为d (d >0)的等差数列，且b=1．
(1)求d 的取值范围；
(2)求cos A +cos B+cosC的取值范围．
【变式训练3-4】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(c -2b)cos A + a
2+b
2-c
2
2b
=0．
(1)若a= 4，b+c =8，求△ABC的面积；
(2)若角C为钝角，求a
b的取值范围．
【变式训练3-5·变载体】（2026·陕西宝鸡中学·冲刺一）已知函数f ( x)的定义域为I，点
A( x1,f ( x1)),B( x2,f ( x2))是曲线y = f ( x)上不同的两点，记A ,B两点连线的斜率为k AB，若|k AB|存在
最大值，且最大值为λ，则称曲线y = f ( x)为“λ上界斜率曲线．
”
(1)已知函数f ( x)= x
2+3 x，x∈[1,4 ]，判断曲线y = f ( x)是否为“λ上界斜率曲线，并说明理由；
”
(2)已知函数g( x)的定义域为闭区间I，且曲线y = g( x)是“λ上界斜率曲线，证明：曲线
”
y = g(ax +b)（
a,b∈R，且a>0）是“aλ上界斜率曲线；
”
(3)已知函数h( x)的定义域与值域均为[0,1]，若曲线y =h( x)为“λ上界斜率曲线，且
”
0< λ≤1，求h( 1
2 )的
值．
题型4 不等式的基础证明
例4-1（25-26 高三上·浙江金丽衢十二校·第一次联考）对实数x , y，则“|x|>|y| 是
”
“x
2|x|> y
2|y| 的
”
（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
例4-2（2026·云南保山·二模）（多选题）已知实数a，b，c，d，则下列命题是真命题的是（ ）
A．若a>b>0，则ac
2>bc
2
B．若a>b，c>d，则a-d >b-c
C．若a<b<0，则1
a > 1
b
D．若0<b<a且c>0，则b
a < b+c
a+c
方法技巧 不等式证明的基础方法
1.
综合法：从已知条件出发，利用不等式性质逐步推导结论 ；
2.
分析法：从结论出发，逐步寻找使结论成立的充分条件 ；
3.
作差法：通过作差变形，证明差大于等于 0。
易错分析 逻辑不严谨
1.
证明过程中使用未证明的结论 ；
2.
忽略不等式性质的前提条件 ；
3.
循环论证 。
【变式训练4-1】（多选题）下列说法正确的有（ ）
A．对任意实数x都有|x
2-1|≥0
B．若2<a<5,3<b<10，则-18<a-2b<-1
C．当x>1时，x +
1
x -1的最小值是2
D．若p:∃n∈N ,n
2>2
n，则¬ p:∃n∈N ,n
2≤2
n
【变式训练4-2·变考法】（2026·山东青岛·二模）若数列{xn}满足：xn-1+ xn+1>2 xn(n≥2,n∈N
*)，则称
{xn}为“L- L数列．
”
(1)已知yn=n
3，判断数列{yn}是否为“L- L数列；
”
(2)已知数列{zn}为“L- L数列，若任意不相等的正整数
”
m, p,q满足m+q =2 p．证明：zm+ zq>2 z p；
(3)若数列{wn}为“L- L数列，
”
wn≥0，且满足∑
i=1
n
wi<1(n∈N
*)．证明：0≤wn-wn+1< 2
n
2 (n∈N
*)．
【变式训练4-3·变载体】（2026·广东江门·适应性考试）已知圆C的圆心在第一象限且圆C与两坐标轴均相
切，抛物线Γ : y
2=2 px( p>0)经过圆心C．
(1)求圆C的标准方程．
(2)设Γ与圆C交于A，B两点，证明：A，B两点到x轴的距离均不小于3 p
4 ．
(3)O为坐标原点，过圆心C的直线l交Γ于另一点P，Γ的焦点为F，求
|OC |
2+|OP|
2- |CF |
2-| PF |
2的最小值．
真题溯源·考向感知
溯源真题逻辑，感知高考考向
——
一、单选题
1．（2024·上海·春季高考）a，b，c∈R，b>c，下列不等式恒成立的是（ ）
A．a+b
2>a+c
2
B．a
2+b>a
2+c
C．ab
2>ac
2
D．a
2b>a
2c
2．（2018·全国卷III·高考）设a= log0.20.3，b= log20.3，则
A．a+b<ab<0
B．ab<a+b<0
C．a+b<0<ab
D．ab<0<a+b
3．（2017·山东·高考）若a>b>0，且ab=1，则下列不等式成立的是
A．a+ 1
b < b
2
a <log2(a+b)
B． b
2
a <log2(a+b)<a+ 1
b
C． a+ 1
b <log2(a+b)< b
2
a
D． log2(a+b)<a+ 1
b < b
2
a
4．（2016·全国卷I·高考）若a>b>1，0<c<1，则
A．a
c<b
c
B．ab
c<ba
c
C．a logbc<b logac
D．logac<logbc
二、填空题
5．（2017·北京·高考）能够说明设
“
a,b,c是任意实数,若a>b>c,则a+b>c 是假命题的一组整数
”
a,b,c的
值依次为__________.
课本典例·高考素材
立足课本典例，挖掘高考素材
——
一、填空题
1．（高一上·人教A 版·单元测试）用不等号“>”或“<”填空：
（1）若a>b，且1
a > 1
b ，则ab_____________0；
（2）若c>a>b>0，则a
c -a_________ b
c -b ；
（3）若a>b>c>0，则a
b__________a+c
b+c .
2．（高一上·人教A 版·2.1 等式性质与不等式性质）用不等号“>”或“<”填空:
(1)如果a>b,c<d,那么a-c______b-d;
(2)如果a>b>0,c<d <0,那么ac____bd;
(3)如果a>b>0,那么1
a
2____ 1
b
2;
(4)如果a>b>c>0,那么c
a____c
b .
二、解答题
3．（高一上·人教A 版·单元测试）证明：圆的面积大于与它具有相同周长的正方形的面积，并据此说明，
人们通常把自来水管的横截面制成圆形，而不是正方形的原因.
4．（高一上·人教A 版·单元测试）比较下列各组中两个代数式的大小：
（1）x
2+5 x +6与2 x
2+5 x +9；
（2）( x -3)
2与( x -2)( x - 4)；
（3）当x>1时，x
2与x
2- x +1；
（4）x
2+ y
2+1与2( x + y -1).
5．（高一上·人教A 版·单元测试）两次购买同一种物品，可以用两种不同的策略，第一种是不考虑物品价
格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱
数一定.哪种购物方式比较经济？你能把所得结论作一些推广吗？
6．（高一上·人教A 版·单元测试）一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板
面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好.
（1）若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为220m
2，则这所公寓的窗户面积至少为多少平方米？
（2）若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果是变好了还是变坏了？
7．（高一上·人教A 版·2.1 等式性质与不等式性质）已知a>b>0，c<0，求证：c
a > c
b .
