第03
讲
式
式的
等
与不等
性质
目 录
模拟·基础演练.......................................................................................................................................2
题型01 不等式性质正误判断.............................................................................................2
题型02 比较大小
............................................................................................................3
题型04 不等式的基本证明.................................................................................................7
重难·创新演练...................................................................................................................................10
真题·实战演练.....................................................................................................................................12
模拟·基础演练
考查重点：不等式性质
题型01
式
不等
性质正误判断
一、单选题
1．（2026·海口·5 月自测）已知函数f ( x)= loga x +e
b（a>0，a≠1，b>0）的图象如图所示，则下列关
系式一定不成立的是（ ）
A．a>1
B．0<b<1
C．b
a>a
b
D．ab≤1
2．已知a,b,c∈R，且a>b，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．1
a < 1
b
B．a
2>b
2
C．a
3>b
3
D．ac
2>bc
2
3．已知实数a，b，c，d 满足：a>b>c>d，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．a+c>b+d
B．a-c<b-d
C．ab>cd
D．ac>bd
4．（2026·北京昌平·二模）设-1< x<0< y <1，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．log2|x|- log2|y|<0
B．( 1
2 )
x
-( 1
2 )
y
<0
C．x
2- y
2<0
D．sin x -sin y <0
5．已知实数a，b满足a>b，且1
a > 1
b
，则（ ）
A．ab>0
B．a+b>0
C．a+b<0
D．ab<0
6．(25-26 高三·青海湟川中学·二模)已知a>b>0>c，则下列不等式一定正确的是（ ）
A．ac>bc
B．a(a+c)>b(b+c)C．a(b-c)>b(a-c) D．1
a-b >
b
b-c
7．已知a<b<c，则（ ）
A．ac<bc
B．ac<b
2
C．2a+b<2b+c
D．b-a<c -b
二、多选题
8．若a>b>c，且a+2b+c =0，则下列结论一定成立的是（ ）
A．a>0
B．b<0
C．ac<bc
D．a-b<b-c
【新角度】9．（2026·河南开封·二模）已知a+ ln(a-1)=b+ ln(b+1)=c + ln c，则（ ）
A．a+b>2
B．a-b<2
C．a>b
D．a+b>2c
10．如果a,b,c ,d ∈R ,ab≠0，则下列说法正确的是（ ）
A．若a>b，则1
a < 1
b
B．若ac
2>bc
2，则a>b
C．若a>b,c>d，则ac>bd
D．若b>a>0,c>0，则b+c
a+c < b
a
11．下列说法正确的是（ ）
A．∃x∈R，x
2+3 x +2≤0
B．若x∈R，则“x> 2
3
是
”
“2
x <3 的充要条件
”
C．x
2+
9
x
2+3
的最小值为3
D．若
a
c
2-1
>
b
c
2-1
，则a>b
12．若a>0，b>0，a+b= 4，则（ ）
A．a- 4
b ≥0
B．1
a + 1
b ≥1
C．❑√a+ ❑√b≤2❑√2
D．12≤a
2+3b
2<48
题型02 比较大小
一、单选题
1．(25-26 高三下·黑龙江哈尔滨第九中学校·三模)下列各式大小比较中正确的是（ ）
A．❑√7 - ❑√5>❑√5- ❑√3
B．tanπ
5 <sinπ
5
C．2ln3<3 ln2
D．log 1
5
1
2 <(
1
2)
1
5
2．已知正数a,b,c满足logac>logbc>0，则下列说法正确的是（ ）
A．c>1
B．a<b
C．a
c>b
c
D．c
b>c
a
3．(25-26 高三下·广东揭阳·)已知a，b，c∈R，且a>b，则下列说法正确的是（ ）
A．1
a < 1
b
B．ac
2>bc
2
C．a
2>b
2
D．e
a>e
b
4．(25-26 高三下·四川泸州高级中学校·)下列命题为真命题的是（ ）
A．若a>b>1，则e
1
a >e
1
b；
B．若a>b>1，则a
ln b > b
ln a
；
C．若a<b<0，则a
2<ab<b
2；
D．若a<b<0，则cosa<tan b.
5．已知a，b∈R，且0<|a|<b<1，则（ ）
A．a
2>b
2
B．1
a > 1
b
C．a
a+1 <
b
b+1
D．cosa<cosb
6．（2026·云南昆明一中·5 月诊断）设a>0，b>0，则下列结论正确的是（ ）
A．a
2+b
2≥2(a+b)
B．a
2+b
2
a+b ≥ab
C．b
a + 2a
a+b ≥2❑√2
D．
a+b
a
2+b
2+2
≤1
2
7．（2026·河北雄安新区·预测）若实数x，y满足y =lg(3
x+7
x)，对于以下各式：①x> y >1；②y > x>1；
③x< y <1；④y < x<1，其中不可能成立的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
8．（2026·广东·华侨港澳台联考适应性(二)）已知数列{an}对任意正整数k，数列{an+k -an}均为单调递增
数列，记数列{an}前n 项和为Sn
，则下列说法错误的是（ ）
A．若a1<a2
，则{an}为单调递增数列
B．an+an+2<2an+1
对任意n∈N
*恒成立
C．若a1=1，a2026=2026，则a1013<1013D．S2026<1013(a1+a2026)
9．若c>b>a>0，则（ ）
A．a
bb
c>a
cb
b
B．2lnb<lna+lnc
C．a- c
a >b- c
b
D．logac>logbc
10．若a=2
0.4,b=3
0.25,c =log0.70.5，则a,b,c的大小关系为（ ）
A．a<b<c
B．b<a<c
C．b<c<a
D．c<a<b
11．已知a=2e
❑√π，b=e
e，c =e
2
ln2
，试比较a，b，c 的大小关系为（ ）
A．b>c>a
B．b>a>c
C．c>a>b
D．c>b>a
二、解答题
12．（1）求证：当x ≥0时，1- 1
2 x
2≤cos x ≤1- 1
2 x
2+ 1
24 x
4；
（2）利用（1）的结论，比较6
7
，cos 1
2
，3 π
10
的大小.
题型03 求代数式的取值范围
一、单选题
1．（25-26 高三下·江苏如皋中学·培优）已知三个不相同的正整数的平均数是11，且最大数与最小数的差
为6，则中间的数为（ ）
A．9
B．11
C．13
D．15
【新思维】2．对于任意的x∈[
3
2 ,4]，都有a x
2+(b-1)x + 4 a≥0和a x
2+(b-5)x + 4 a≤0恒成立，其
中a，b 为实数．则|a|+|2a+b+20|的取值范围是（ ）
A．[17,37]
B．[25,35]
C．[17,45]
D．[21,45]
3．当0< x ≤1
3
时，满足8
x<loga x(a>0,a≠1)，则a的取值范围是（ ）
A．(0,
❑√3
3 )
B．(
❑√3
3 ,1)
C．(1,❑√3)
D．(❑√3,3)
4．已知θ∈[0,π
2 )，则2(1-sinθ)
2
cos2θ+1
的最大值是（ ）
A．1
B．❑√2
C．2
D．4
5．已知点P(-5,0)，Q1
，Q2∈{(x , y)||x|≤1,|y|≤1}，则⃗PQ1⋅⃗PQ2
的取值范围是（ ）
A．[15,36]
B．[15,37]
C．[16,36]
D．[16,37]
6．(25-26 高三上·浙江杭州·)《算经十书》是中国古代数学典籍的合集.书中记载（用现代文表达）：今有
牛､羊､猪各数头（各有至少1 头），已知猪的数量多于羊，羊的数量多于牛，牛的数量的3 倍多于猪､羊数
量之和，则牛､羊､猪的总头数至少为（ ）
A．12
B．15
C．18
D．21
二、多选题
【新考法】7．(25-26 高三·四川德阳·)已知关于x 的方程：|(x +1)e
x -1|=mx +m( x >-1)有两个根
x1, x2(x1< x2)，则下列说法正确的有（ ）
A．-1< x1<0< x2
B．x1+ x2<0
C．x1+1< 1
m
D．ln m< x2<em
8．已知3<a<10，5<b<30，则下列结论正确的有（ ）
A．2< b
a <10
B．11<2a+b<50
C．2<b-a<20
D．23
10 < a
2+2b
b
<22
三、填空题
9．已知loga4 + log2a<3，则a的取值范围为______
10．(25-26 高三上·福建多校·)若对任意的x∈[1,2]，不等式|2a x
2+(3a+2b)x - 4 a
x |≤x恒成立，则
2b- 4 a的取值范围为__________.
11．已知实数a,b,c满足a+b+c =1,a
2+b
2+c
2=1，则bc
a
2+1
的取值范围是__________..
12．已知2<a+b<3，-2<a-b<-1，则a+2b的取值范围为______.
【新思维】13．(25-26 高三上·浙江强基联盟·)已知0<α , β ,γ <π
2
，且α + β + γ =π
2
，若不等式
sinα sin β cosγ +sinα cos β sin γ +cosα sin β sin γ ≥λsinα sin β sin γ恒成立，则实数λ的最大值
为______．
题型04
式的基
不等
本证明
一、单选题
1．(24-25 高三上·浙江金华·一模)某高中高三（15）班打算下周开展辩论赛活动，现有辩题A、B 可供选择，
每位学生都需根据自己的兴趣选取其中一个作为自己的辩题进行资料准备，已知该班的女生人数多于男生
人数，经过统计，选辩题A 的人数多于选辩题B 的人数，则（ ）
A．选辩题A 的女生人数多于选辩题B 的男生人数
B．选辩题A 的男生人数多于选辩题B 的男生人数
C．选辩题A 的女生人数多于选辩题A 的男生人数
D．选辩题A 的男生人数多于选辩题B 的女生人数
2．对∀x∈[1,+ ∞），不等式((lnax)
2-1)(e
x -b)≥0恒成立，则（ ）
A．若a∈(0, 1
e)，则b≤e
B．若a∈(0, 1
e)，则b>e
C．若a∈[
1
e ,e)，则a
b=e
e
D．若a∈[
1
e ,e)，则b
a=e
e
二、多选题
3．下列命题正确的是（ ）
A．若a>b，c>d，则a+c>b+d
B．若ab=3，则a
2+b
2≥6
C．若a>b，则ac
2>bc
2
D．若a>b>0，c>d >0，则b+c
a+c > b+d
a+d
4．若实数x，y 满足x + y ≥2，则下列选项一定正确的有（ ）
A．xy ≥1
B．x
2+ y
2≥2
C．(x -1)
2+ y
2≥1
2
D．|x -2 y
2|+|y -2 x
2|≥2
【新情境】5．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C : x
3+3 x
2+3 x y
2-3 y
2=0就是其中之一，
如图所示．已知点P(x0, y0)是C上一点，则（ ）
A．x0∈[-3,1)
B．y0≤❑√
3 x0+9
1- x0
C．当x0<0时，y0的最大值为2❑√3-3
D．曲线C在y轴左侧所围成的区域面积大于2
三、填空题
6．记max M表示数集M中最大的数，设x , y , z为正数，M =¿，y + 3
x}，则max M的最小值为__________.
四、解答题
7．(25-26 高三上·湖南益阳·)已知函数f (x)=ln(x +1)-ax.
(1)当a=2时，求函数f (x)的单调区间；
(2)当x∈(0,+ ∞)时，f (x)< x
2，求a的取值范围；
(3)若n∈N
*，证明：∑
i=1
n ln(i+1)
i
-∑
i=1
n lni
i <2- 1
n
.
8．记数列{an}的前n 项和为Sn
，已知an Sn+1=2an+1Sn
，且an≠0，数列{bn}满足bn= an+1
an
．
(1)证明：数列{
Sn
an}
为等比数列；
(2)求{bn}的通项公式；
(3)记{bn}的前n 项和为T n
，证明：2T n≥n+1．
【新情境】9．已知双曲线C : x
2
a
2 - y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的右顶点为E，右焦点为F (2,0)，直线l: y =t (t ≠0)
与C交于M , N两点，且EM ⊥EN.
(1)求C的方程；
(2)已知A1, A2,⋯, An⋯是x轴的正半轴上点列，B1,B2,⋯,Bn⋯是第一象限曲线C上点列(n∈N
⋅），
且A1和F重合，An Bn与x轴垂直，直线An+1Bn的斜率为-1，记点An的横坐标为xn，设△Ak Bk Ak +1的面
积为Sk (k =1,2,3,⋯,n).
（i）写出xn, xn+1之间的递推公式；
（ii）求证：S1+ S2+ S3+⋯+ Sn≤1
9 (4
n+1-3n- 4).
【新角度】10．设正项数列A :a1,a2,⋯,aN (N ≥2)，如果对小于n(2≤n≤N )的每个正整数k都有ak< λ an，
则称n是数列A的一个“λ时刻”.记A (λ)是数列A的所有“λ时刻组成的集合（其中
”
0< λ<1）.
(1)若A :2,6,6,36,48，求A(
1
2)；
(2)若A (λ)= {2,4,6,8,10}，且a10≤32a1，证明：λ> 1
2
；
(3)若A中存在an
使得a1< λ
n-1an
，证明：A (λ)≠∅.
11．已知实数a，b，c满足a+b+c =0.
(1)若a<b<0，求证：b
a-c <
a
b-c
；
(2)若a<0，b<0，abc =1，求c的最小值.
12．(24-25 高三上·四川雅安·)已知数列{an}满足a1-a2= 3
32
，an= 1
4 an-1+ 3
8
（n∈N
*，且n≥2）．
(1)证明：数列{an- 1
2 }是等比数列；
(2)求数列{n⋅an}的前n 项和H n
；
(3)令bn=
2an
8an-3
，数列{bn}的前n 项和为T n
，证明：n-1+ 1
4
n <T n<n．
重难·创新演练
设题创新:综合考察
一、单选题
1．一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买10g黄金，售货员先将4g的砝码放在
天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将6g的砝码放在天平右盘中，取出一些黄金放
在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．你认为顾客购得的黄金是（ ）
A．大于10g
B．等于10g
C．小于10g
D．无法确定
2．已知实数a,b,c满足a>b>1>c，则下列结论一定正确的是（ ）
A．ac>bc
B．b
c<1
C．logab+ logba>2
D．a+c>b
3．（2026·山东日照·一模）已知lna>lnb>0，c>0，则（ ）
A．2
a<2
b
B．b+c
a+c < b
a
C．a+b
2
<❑√ab
D．ab+1>a+b
4．已知实数a和b（其中b>1）满足方程：1
e
a +2ln b=a+ 1
b
，则下列不等式成立的是（ ）
A．e
a>b
2
B．a
2>e
b
C．a>2b
D．a>ln b
二、多选题
5．已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1=2，1+ 1
an
- 2
an+1
=0，则（ ）
A．数列{1- 1
an}
为等比数列
B．a3= 9
7
C．an+1<an
D．S10> 23
2 - 1
2
10
6．（河北文安县第一中学2026 届高三一模）已知a，b，c，d 均为实数，则下列说法正确的是（ ）
A．若a<b，c≠0，则a
c
2 < b
c
2
B．若a>b，c>d，则ac>bd
C．若a>1，b>1，且a+b=ab，则2
a-1 +
3
b-1
的最小值为2❑√6
D．若a>0，b>0，且a+b=2，则❑√a+1+ ❑√b+2≤❑√10
7．（2026·哈尔滨三中·二模）若a,b∈R，则a>b成立的充分不必要条件可以是（ ）
A．a>|b|
B．a
2>b
2
C．log2a>log2b
D．2
a>2
b
8．（江西省萍乡市2026 届高三上学期一模）已知实数0<a<b<1，若c = logba，则下列结论正确的有
（ ）
A．c>1
B．a
c>b
c
C．b
a > b+c
a+c
D．a+ 1
b >b+ 1
a
9．（陕西省铜川市印台区等2 地2026 届高三一模）已知三次函数f (x)=a(x
3-6 x
2+9 x)，下列说法正确
的是（ ）
A．若f ( x)的极大值为4，则a=1
B．f ( x)的极小值为0，则a<0
C．a>1，则f (a)<f (a+3)
D．存在a<3，使f (x)在[a,3]的值域为[a,3]
10．设x>0且x≠1, y >0，若xln y = x
2-1，则下列大小关系可能成立的有（ ）
A．x
2< y
B．logx
2 y <1
C．x
2> y
D．logx
2 y >1
11．若e
-1<a<1,0<b<1，且a(lnb+2)=(b+1)(lna+1)，则（ ）
A．a>b
B．a<b
C．a
2>b
D．a
2<b
三、解答题
【新思维】12．（2026·山东济南·一模）已知函数f (x)的定义域为(0,+∞)，导函数f
' (x)=sin x
x
.将f (x)所
有的极值点按照从小到大的顺序排列构成数列{xn},n∈N
*.
(1)若x∈(xn, xn+1)，比较|f
' (x)|与|f
'(2 xn+1- x)|的大小；
(2)从下列两个命题中任选一个证明：
①数列{f (x2n-1)}为递减数列；
②数列{f (x2n)}为递增数列；
（若两个命题均选，按照第一个解答计分）
(3)若k为正整数，且对任意的x1, x2∈[π,+∞)，都有|f (x1)- f (x2)|<k，求k的最小值.
真题·实战演练
高频考点：不等式性质的应用
一、单选题
1．（2016·浙江卷·高考）已知实数a，b，c.
A．若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1，则a2+b2+c2＜100
B．若|a2+b+c|+|a2+b–c|≤1，则a2+b2+c2＜100
C．若|a+b+c2|+|a+b–c2|≤1，则a2+b2+c2＜100
D．若|a2+b+c|+|a+b2–c|≤1，则a2+b2+c2＜100
二、填空题
2．（2010·江西卷·高考）如图，在三棱锥O - ABC中，三条棱OA，OB，OC两两垂直，且
OA >OB>OC，分别经过三条棱OA ,OB ,OC作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为S1，S2,S3，
则S1,S2,S3的大小关系为__________________．
三、解答题
3．（2014·上海卷·高考）定义域为R，且对任意实数x1, x2
都满足不等式f(
x1+ x2
2 )≤f (x1)+ f (x2)
2
的所有
函数f ( x)组成的集合记为M，例如，函数f ( x)=kx +b∈M．
(1)已知函数f (x)=¿，证明：f ( x)∈M；
(2)写出一个函数f ( x)，使得f ( x)∉M，并说明理由；
(3)写出一个函数f ( x)∈M，使得数列极限lim
n→∞f (n)
n
2
=1,
lim
n→∞f (-n)
-n
=1.
4．（2013·陕西卷·高考）已知函数f ( x)=e
x , x∈R.
(1)若直线y＝kx＋1 与f (x)的反函数的图像相切, 求实数k 的值;
(2)设x>0, 讨论曲线y＝f (x) 与曲线y =m x
2(m>0) 公共点的个数.
(3)设a<b,比较f (a)+ f (b)
2
与f (b)- f (a)
b-a
的大小, 并说明理由.
5．（2007·重庆卷·高考）已知各项均为正数的数列{an}的前n 项和满足S1>1，且
6 Sn=(an+1)(an+2),n∈N
*
（1）求{an}的通项公式；
（2）设数列{bn
}满足an(2
bn-1)=1，并记T n
为{bn
}的前n 项和，求证：3T n+1>log2(an+3),n∈N
*.
6．（2012·陕西卷·高考）设函数f n( x)= x
n+bx +c (n∈N+,b,c∈R)
(1)设n≥2，b=1，c =-1，证明：f n( x)在区间(
1
2 ,1)内存在唯一的零点；
(2)设n为偶数，|f (-1)|≤1，|f (1)|≤1，求b+3c的最小值和最大值；
(3)设n=2，若对任意x1, x2
∈[-1,1]，有|f 2( x1)- f 2( x2)|≤4，求b的取值范围；
7．（2006·陕西卷·高考）已知函数f ( x)= x
3- x
2+ x
2 + 1
4
，且存在x0∈(0, 1
2 )，使f (x0)= x0．
(1)证明：f ( x)是R上的单调增函数；
(2)设x1=0，xn+1= f ( xn)，y1= 1
2
，yn+1= f ( yn)，其中n=1,2,⋯．证明：xn< xn+1< x0< yn+1< yn；
(3)证明：yn+1- xn+1
yn- xn
< 1
2
．
