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专题03 集合培优归类
题型1 判断集合元素个数
集合的元素个数，和其他知识结合的较多，属于中等偏难的题型，解决此类题型，要从集合的基本概
念、基本性质以及集合元素的不同形式的表述入手，主要是三种形式：
1.数集；2.点集（有序数对）；3.抽象型（韦恩图型）
集合中元素个数：
1.点集多是图像交点，与函数图象或者圆锥曲线图象等有关。
2.数集，多涉及到一元二次方程根、一元二次不等式以及分式不等式指数对数等不等式的解集。
1．（2024-2025 年陕西名校教育联盟）已知数列
满足
，
，记数列
的前
n 项和为
，设集合
，
对
恒成立
，则集合N 的元素个数是
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】由题知
，进而得
，故一方面，结合
得
1
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，进而
得
，另一方面，根据
得
，进而得
，即可得
，进而得答案.
【详解】解：令
，解得
，即数列
的不动点为
，
其生成函数为
，
所以，作出函数
与函数
的图像如图：
故，由蛛网图：
，
,即
，
又
，
一方面，由
得
，
，
，
，且当
，
，
.
另一方面，（法一）由
得
，
，
，
且当
，
，
，
必须大于等于
.所以集合
的元素个数是2，故选：B.
另一方面，（法二）由
，
得
，
又
.又当
，
，
必须大于等于
.
.
所以集合
的元素个数是2，故选：B.
2
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【点睛】本题考查数列不等式恒成立问题，考查运算求解能力，逻辑推理能力，是难题.本题解题的关键在
于根据蛛网图模型得
，进而得
，再分别说明
，
即
可.
2．（24-25 高三下·上海·开学考试）设
与
是两个不同的无穷数列，且都不是常数列，记集合
出下列四个命题.
①若
与
均为等差数列，则
中最多有1 个元素；
②若
与
均为等比数列，则
中最多有2 个元素；
③若
为等差数列，
为等比数列，则
中最多有3 个元素；
④若
为递增数列，
为递减数列，则
中最多有1 个元素.
则上述命题中正确的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】利用两类数列的散点图的特征可判断①④的正误，利用反例可判断②的正误，结合通项公式的特
征及反证法可判断③的正误.
【详解】对于①，
，
均为等差数列，
，
，
不为常数列且各项均不相同，
故它们的散点图分布在直线上，而两条直线至多有一个公共点，
中至多一个元素，①正确；
对于②，令
，
，满足
，
均为等比数列，
但当
为偶数时，
，此时
中有无穷多个元素，②错误；
对于③，设
，
，
若
中至少四个元素，则关于
的方程
至少有4 个不同的正数解，
若
，考虑关于
的方程
奇数解的个数和偶数解的个数，
当
有偶数解，此方程即为
，方程至多有两个偶数解，
且有两个偶数解时
，否则
，
，
单调性相反，方程
至多一个偶数解，
当
有奇数解，此方程即为
，方程至多有两个奇数解，
且有两个奇数解时
，否则
，
，
单调性相反，
方程
至多一个奇数解，
，
不可能同时成立，
若
，
，
则由
和
的散点图可得关于
的方程
至多有两个不同的解，矛盾；
故
不可能有4 个不同的正数解，即M 中最多有3 个元素，
如
，此时
，③正确；
对于④，
为单调递增，
为递减数列，
，
不为常数列且各项均不相同，
前者散点图呈上升趋势，后者的散点图呈下降趋势，两者至多一个交点，④正确，
则上述命题中正确的个数为3 个，即①③④.
故选：C
3
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【点睛】思路点睛：对于等差数列和等比数列的性质的讨论，可以利用两者散点图的特征来分析，注意讨
论两者性质关系时，等比数列的公比可能为负，此时要注意合理转化.
3．（2025 高三·四川八省联盟适应性模拟卷）用C(A)表示非空集合A 中的元素个数，定义A*B＝
若A＝{1，2}，B＝{x|(x2＋ax)·(x2＋ax＋2)＝0}，且A*B＝1，设实数a 的所有可
能取值组成的集合是S，则C(S)等于（ ）
A．1
B．3
C．5
D．7
【答案】B
【分析】根据题意可得
或
，进而讨论a 的范围，确定出
，最后得到答案.
【详解】因为
，
，所以
或
，
由
，得
，
关于x 的方程
，
当
时，即
时，易知
，符合题意；
当
时，即
或
时，易知0， -a 不是方程
的根，故
，不符合题意；
当
时，即
时，方程
无实根，
若a=0，则B={0}，
，符合题意，
若
或
，则
，不符合题意.
所以
，故
.
故选：B.
【点睛】对于新定义的问题，一定要读懂题意，一般理解起来不难，它一般和平常所学知识和方法有很大
关联；另外当
时，容易遗漏a=0 时的情况，注意仔细分析题目.
4．（24-25 高三上·上海杨浦·期中）设集合
，则集合
的元素个数为（ ）
A．1011
B．1012
C．2022
D．2023
【答案】B
【分析】依题意由表达式中角的特征可知当
时，
的取值各不相同，当
时，
利用诱导公式以及集合元素的互异性即可求得元素个数为
.
【详解】根据题意可知，当
时，
，此时
；
又因为
为奇数，
为偶数，且
中的任意两组角都不关于
对称，
所以
的取值各不相同，因此当
时集合
中
的取值会随着
的增大而增大，
所以当
时，集合
中有1011 个元素；
当
时，易知
又易知
，所以可得
4
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，
即
时
的取值与
时的取值相同，
根据集合元素的互异性可知，
时并没有增加集合中的元素个数，
当
时，易知
，
可得当
时，集合
中的元素个数只增加了一个0，
所以可得集合
的元素个数为
个.
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于通过观察集合中元素的特征，利用的三角函数值的范围以及图象的
对称性，由集合中元素的互异性得出当
时，集合
中的元素个数的增加情况即可求得结果.
5．（24-25 高三下·江西南昌·阶段练习）集合
且
，集合
且
，用
表
示集合X 中的元素个数，则
（ ）
A．100
B．200
C．260
D．300
【答案】B
【分析】分
、、
、讨论
的取值可能种数，结合组合数的计算即可得
，分
、
、
、讨论
的取值可能种数即可得
的取值可能种数，从而可得
，即可得解.
【详解】根据题意，对于
：
当
时，
都可以选出0，1，2，3 中任意取一个，则取法为
；
当
时，
都可以选出0，1，2 中任意取一个，则取法为
；
当
时，
都可以选出0，1 中任意取一个，则取法为
；
当
时，
均取0，则取法为
，
此时
；对于
：
当
时，
可取1，2，3，4 之一，有
种取法；
当
时，
可取2，3，4 之一，有
种取法；
当
时，
可取3，4 之一，有
种取法；
当
时，
只能取4，有
种；
∴
的取值只有
种，同理可知
也只有10 种，
于是
；故
.故选：B．
题型2 集合元素个数最值型
集合元素个数型最值与参数，多涉及到数列，三角、解析几何与函数等知识交汇处出题，难度较大，注
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意相关基础知识的积累和应用。
1．（23-24 高一上·上海浦东）已知
与
是集合
的两个子集，满足：
与
的元素个数相
同，且
为空集，若
时总有
，则集合
的元素个数最多为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】令
，解得
，从
中去掉形如
的数，此时
中有
个元素，注意
中还可
含以下
个特殊元素：
、
、
、
、
、
、
，故
中元素最多时，
中共有
个元素，由此
可得出结论.
【详解】令
，解得
，所以，集合
是集合
的一个非空子集.
再由
，先从
中去掉形如
的数，由
，可得
，
，此时，
中有
个元素.
由于集合
中已经去掉了
、
、、
、
、
、
这
个数，而它们对应的形如
的数分别为
、
、
、
、
、
、
，并且
、
、
、
、
、
、
对应的形如
的数都在集合
中.
故集合
中还可有以下
个特殊元素：
、
、
、
、
、
、
，
故集合
中元素最多时，集合
中共有
个元素，对应的集合
也有
个元素，
因此，
中共有
个元素.
故选B.
【点睛】本题考查集合中参数的取值问题，同时也考查了集合中元素的个数问题，考查分类讨论思想的应
用，属于中等题.
2．（24-25 高三上·北京朝阳·期中）数学家康托尔创立了集合论，集合论的产生丰富了现代计数方法.记
为集合的元素个数，
为集合的子集个数，若集合
满足：①
，
；②
，则
的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】设
，根据元素个数得到子集个数，即
，分析出
，即可求解.
【详解】设
，
则
，即
，
所以
,
若
,则
，即左边为奇数，右边为偶数，不成立，
若
，则
，即左边为奇数，右边为偶数，不成立，
所以
,即
，
因为
，
且满足
，
所以
包含了
的
个元素外，
还包含
个属于
而不属于
的元素，
当
时，则
,
如
，符合题意.
当
时，则
,
如
，符合题意.
所以
的最大值为
，
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题考查交集与并集的混合运算，及集合的元素个数与集合子集间的关系，解题的
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关键由已知条件求
，再分
和
讨论，体现了分类讨论的数学思想方法，难度较大.
3．（24-25 高三·湖南长沙一中模拟）设集合A 的最大元素为M，最小元素为m，记A 的特征值为
，若集合中只有一个元素，规定其特征值为0.已知
，
，
，…，
是集合
的元素个数
均不相同的非空真子集，且
，则n 的最大值为（ ）
A．14
B．15
C．16
D．18
【答案】C
【分析】要想n 的值大，则特征值要尽可能的小，
，
，
，…，
是集合
的元素个数均不相同的
非空真子集，不妨令
是只有1 个元素的非空真子集，则
，
是含有两个元素的非空真子集，则
时能保证n 的值最大，同理可得：
，以此类推
，利用等差数列求和公式列出方程，
求出n 的最大值.
【详解】由题意，要想n 的值大，则特征值要尽可能的小，可令
，
，
，
，
，则
，解得：
或
（舍去）.
故选：C
4．（23-24 高一上·重庆沙坪坝·开学考试）已知有限集合
，定义集合
中的元素个数为集合
的“容量”，记为
．若集合
，
则
；若集合
，且
，则正整数
的值是
．
【答案】
【分析】第一问：由所给定义得到集合
，从而得到
；第二问：由集合
中元素确定集合
中元素的
最大值和最小值，从而得出
的表达式，解方程可得．
【详解】第一问：因为
，所以
，
所以
，
第二问：因为
，
易知集合
中任意两个元素的和最小值是
，最大值是
，
且对任意
，
，都存在
，
，使得
，
所以
，由
，解得
．
故答案为：；
5．（23-24 高二下·江苏泰州·期中）已知集合
，
记集合
的元素个数为
.当
时，
（用数字表示）；当
（
且
）时，
.（用含有
的式子表示）.
【答案】 4
【分析】
，列举出
和相应的
，得到答案；分
，
，……，
，依次得到每种情况
下的
的个数，相加，结合组合数的性质得到答案.
【详解】因为
，
，
当
时，
，
当
时，
，
当
时，
，
当
时，
，
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故
，
当
时，此时
，此时
只有
种情况，
当
时，此时
可在
中按照大小顺序选择三个数，
且由于
单调递增，故不同的选法求出的
不同，故有
种情况，
当
时，此时
可在
中按照大小顺序选择三个数，
且由于
单调递增，故不同的选法求出的
不同，故有
种情况，
……，
时，此时
可在
中按照大小顺序选择三个数，
此时有
种情况，
综上，
.
故答案为：4，
【点睛】结论点睛：组合数的一些重要性质，
，
，
，
，
题型3 异构同集型
以集合定义为核心的“异构同集”型，也就是集合“相同”的概念应用。立足于集合的基本性质，需
要从以下几方面来综合考虑、比较与计算：
（1）集合元素的三个特性：互异、无序、确定性．
（2）元素与集合的两种关系：属于，记为
；不属于，记为
．
（3）集合的四种表示方法：列举法、描述法、韦恩图法、符号法．
1．（24-25 高一下·北京·开学考试）已知集合
，
．则
（ ）
A．
B．
是
的真子集
C．
D．
【答案】C
【分析】由集合相等的概念，说明
，同时
即可；
【详解】从
中任取一个元素
，一定是偶数，所以
，
从
中任取一个元素
，
，所以
,
所以
，
故选：C
2．（24-25 高一上·河北石家庄·阶段练习）已知集合
，
，
，则
的关系为（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先将集合
中元素化为统一形式，然后进行判断即可.
【详解】
，
,
，
故
故选：B.
3．（24-25 高一上·山东泰安·阶段练习）下列每组集合是相等集合的是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】D
【分析】根据集合相等的概念判断四个选项即可.
【详解】对于A，
，
，故
，所以A 错误；
对于B，
为点集，
为数集，故
，所以B 错误；
对于C，
，
，故
，所以C 错误；
对于D，数集
和数集
元素一样，故
，所以D 正确，
故选：D.
4．（23-24 高一上·湖北十堰·期末）集合
，
，
的关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据结合的包含的定义和集合相等的定义判断
的关系可得结论.
【详解】任取
，则
，
，
所以
，所以
，
任取
，则
，
，
所以
，所以
，
所以
，
任取
，则
，
，
所以
，所以
，
又
，
，
所以
，
所以
，
故选：C.
5．（21-22 高三上·上海浦东新·阶段练习）已知集合
且
，定义集合
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，若
，给出下列说法：①
；②
；
③
；其中所有正确序号是（ ）
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③
【答案】D
【分析】由集合的新定义结合
，可得
，由此即可求解
【详解】因为集合
且
，
若
，
则
中也包含四个元素，即
，
剩下的
，
对于①：由
得
，故①正确；
对于②：由
得
，故②正确；
对于③：由
得
，故③正确；
故选：D
6．（2025·河北·模拟预测）已知集合
或
，若
，则
．
【答案】0
【分析】由题意可得
和2 是方程
的两根，利用根与系数的关系求得
，可求
的值.
【详解】由
得，
，因为
或
，
所以
，所以
和2 是方程
的两根，
所以
，解得
，所以
．
故答案为：
.
题型4 异构同集型最值与求参（难点） 5 空
异构同集型最值与求参，涉及到集合定义与集合关系的研究。
1.研究集合问题，要抓住元素，看元素应满足的属性。
2.研究两（多个）集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系。
3.集合相等，是所属元素相同，与顺序无关（互异性），与形式无关（数集中与表示数的范围的字母无
关）
1．（24-25 高三上·上海·期末）对于函数
，定义
.
（1）
且
，则实数a 的取值范围是 ；
（2）
，且
且
，则实数a 的取值范围是 .
【答案】
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【分析】先根据方程
，与
的特点分析两集合的关系，探究3 个预备结论，再针对两不
同函数进行具体求解.（1）集合
的研究转化为二次方程
的解按判别式分类讨论可得；集合
则转化为四次方程求解，需要进行因式分解降次处理，再转化为二次方程的解的情况分类讨论，要注意重
根可能性的分析；（2）重点在转化为方程
的根的情况分析，作差变形构造函数利用导函数分类
讨论函数零点个数即可.
【详解】对于连续函数，下面证明预备结论：
预备结论1：
.
证明：若
，则
；
若
，设
，则
，
则
，即
，故
；
综上所述，
，得证.
预备结论2：若
，则
.
证明：若
，则方程
无解，
若
，则
；
若
，则
；
综上所述，方程
无解，即
，得证.
预备结论3：若
是增函数，则
.
证明：一方面，由预备结论1 可知，
；
另一方面，若
，则由
，得
；
若
，设
，则
，
假设
，由
是增函数，
若
，则
，这与
矛盾；
若
，则
，这与
矛盾；
故假设错误，即
，故
，即
，
综上所述
，得证.
（1）对于函数
，令
，
得方程
，判别式
.
当
，即
时，方程
无实根，
即
，由预备结论
可知
，满足题意；
当
，即
或
时，方程
有两相等的实根，
即
为单元素集合，设
，
则
，其中
，
所以
，
则
，由
，则
，
所以
，满足题意；
当
，即
，或
时，方程
有两不相等的实根，
设为
，不妨设
.
则
，
11
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则
，即
，
则
令
，
，或
，或
；
令
，则方程
化为
，
即
，判别式
，
当
，即
时，方程
无实根，
即方程
无实根，
所以
，满足题意，
故当
或
时，
；
当
，即
或
时，
方程
有两相等实根；
当
时，此时
，则
，
此时
恰好也是方程
的根，即
的根；
当
时，此时
，则
，
此时
恰好也是方程
的根，即
的根；
故当
，或
时，
，满足题意；
当
，即
或
时，
，
方程
，即
有两不等实根，
设
，
则
，
故
都不是方程
的根，
即
不是
的根，
故方程
有
个不相等的实数根，
，不满足题意；
综上所述，若
，则
，
故实数a 的取值范围是
.
（2）对于函数
，令
，
当
时，
是增函数，由预备结论3 可知，
，不满足题意；
当
时，
令
，则
，
在同一坐标系中分别作出函数
与函数
的图象，
结合图象可知，方程
有且仅有一个根，集合
为单元素集；
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令
，则
，即
，
当
时，
，故此时方程无解，故
.
令
，
，记
，则
，
则
，
，
则
，令
，
则
，
当
时，
，
在
上单调递减；
当
时，
，
在
上单调递增；
故
.
①若
，即
时，
，
则
，
在
是增函数，
，
，
所以
在
内有唯一零点，故原方程有唯一解，故
为单元素集，
由预备结论1 可知，
，则
，不满足题意；
②若
，即
时，
，
又
，
，
令
，则
，
当
时，
，
在
上单调递增；
则
，所以
，
故
在
内有唯一零点，不妨设为
；
且在
内有唯一零点，不妨设
，则有
.
故当
时，
，即
，
在
单调递增；
当
时，
，即
，
在
单调递减；
当
时，
，即
，
在
单调递增；
又
，由
（由
单调性可证），
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所以
，又因为
在
上单调递减，
所以
，又
，
所以
在
内有唯一零点.
又因为
，又
，
且
（由
的单调性可证），
所以
，所以
，又
，
故
在
和
内各有一个零点，即
在
内有个零点，
即原方程有个解，故集合
中有3 个元素，
又由预备结论1，
，则
.
故要使
，则
.
故实数a 的取值范围是
.
故答案为：
；
.
【点睛】结论点睛：关于不动点与稳定点有如下定义与性质：
定义：对于定义域为
的函数
，若
，使得
，则称
为函数
的不动点；若
，使得
，则称
为函数
的稳定点.
常用性质：（1）不动点一定是稳定点，而稳定点不一定是不动点；
（2）若函数不存在不动点，则必不存在稳定点；
（3）若函数
单调递增，则方程
与
同解，即不动点与稳定点完全一致.
2．（24-25 高三·上海·阶段练习）已知
，若
，则
的最小值为 .
【答案】
【分析】根据题意，分析得
，进而得到
，从而利用“1”的代换与基本不等式即可得解.
【详解】因为
，
则方程
与
有相同的解，不妨设为
，
则
，故
，即
，整理得
，
因为
，
所以
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，
当且仅当
且
，即
时，等号成立，
所以
的最小值为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于分析得方程
与
有相同的解，从而得到
，由此得解.
3．（24-25 高三·上海虹口·模拟）设
，若非空集合
满足
，则实数
的取值范围是 .
【答案】
【分析】由题意直接代入
，然后解一元二次不等式，通过分别判断两一元二次不等式的
方程的
，从而进行求解即可.
【详解】由
，可得
，
即
，
由
，可得
在
上恒成立，
即
，解得
，
又集合A 是非空集合，所以
在
上有解，
则
，解得
或
，
综合
可得：
．
故答案为：
4．（24-25 高一上·上海·期中）已知
，记集合
，
．若
，则a 的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据题意设方程
的两个根分别为
、
，，得到参数之间的关系，有两个集合相等
得出
，
，消去参数即求解.
【详解】因为
，所以
，
设方程
的两个根分别为
、
，
且
，
，
，
所以
，
由
，得
，
即
，
因为
，所以
，且
，
15
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因为
，解得
，
因为
，所以
，
因为
，所以
，所以
，
所以
化为
，化为
，
，化为
，
即
，解得
，
所以a 的取值范围为
.
故答案为：
5．（24-25 高三上·江苏扬州·期中）已知非空集合
，
.若
，
则
的值 .
【答案】
【分析】根据
可得
是
的两个不相等的实数根，
即可利用韦达定理求解.
【详解】由
为非空集合可知
，故
，由于
，故
即
，
是
的两个不相等的实数根，
故
且
，解得
或
（舍去），故
，故答案为：
题型5 子集型最值与求参 5 单
元素与集合以及集合与集合子集关系的判断，解题的关键是正确理解所给的定义及熟练运用分类讨论
的思想进行列举
公式法求有限集合的子集个数
(1)含n 个元素的集合有2n 个子集．
(2)含n 个元素的集合有(2n－1)个真子集．
(3)含n 个元素的集合有(2n－1)个非空子集．
(4)含n 个元素的集合有(2n－2)个非空真子集．
集合子集求参题型，往往存在着思维和计算的一个“坑”，即若有
，则要讨论集合B 是否是空
集。
所以思考子集，要有“从空集开始到自身结束”这个“顺序感”：
子集是从“从空集开始，到自身结束”
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1．（24-25 高三·辽宁辽阳·模拟）我们将集合S 的子集为元素的集合称为S 的一个子集族.例如集合
有3 个子集族：
.若集合B 中有3 个元素，则B 的不同子集族有（ ）
A．128 个
B．127 个
C．256 个
D．255 个
【答案】D
【分析】我们定义全子集族为：子集族内的集合加上空集本身，先得出集合
的子集个数，类比可得不同
全子集族、不同子集族个数.
【详解】我们定义全子集族为：子集族内的集合加上空集本身，
一般地，设集合中有
个元素，则它有
个子集，
我们对所有子集按元素个数分类为：
，
则集合不同的全子集族个数为
个，
从而集合不同的子集族个数为
个，
若集合B 中有3 个元素，
从而B 的不同子集族有
个.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：关键在于对新定义的理解，由此即可顺利得解.
2．（2025·江西萍乡·三模）已知集合
，
，
，若集
合C 有3 个真子集，则实数m 的值可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由集合
有3 个真子集可得
中有两个不同的元素，故求出
的范围后可得正确的选项.
【详解】因为
有3 个真子集，所以
中有2 个元素，故
中有两个元素，
故
且
，则
，
解得
且
.
故选：C.
3．（2025·陕西安康·模拟预测）已知集合
，
，若
，则实数
的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先解一元二次不等式求解集合
，再根据集合间的关系得出参数范围即可.
【详解】因为
，
，所以
，所以
.
故选：C.
4．（2025·重庆九龙坡·三模）已知集合
，若
，则实
数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】解不等式求得
，由已知可得
，进而可求实数
的取值范围.
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【详解】由
，可得
，解得
，
所以
，由
，可得
，
又
，所以
，
所以实数
的取值范围是
.
故选：A.
5．（24-25 高一上·山东烟台·阶段练习）若集合
，
，若
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先求出集合
，再分类讨论求出集合
，利用
求出
的取值范围即可得到结果．
【详解】依题意，
或
，
当
时，
显然不成立，即
，满足
，因此
；
当
时，
，由
，得
，解得
；
当
时，
，由
，得
，解得
，
所以实数
的取值范围为
.
故选：A
题型6 交集型最值与求参 5 单
交集运算时，要注意交集运算的一些基本性质：
①A∩B
_A；
②A∩B
B；
③A∩A＝A；
④A∩＝
；
⑤A∩B=B∩A.
．
1．（2025·福建厦门·三模）已知集合
，
，若
，则
的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先解一元二次不等式求出集合
，然后由
可得在
时，
恒成立，将问题
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转化为求
在
上的最小值，从而可求出
的取值范围.
【详解】由
，得
，解得
，
所以
，
因为
，
，
所以当
时，
恒成立，即
恒成立，
令
，
，则
，
当
时，
，当
时，
，
所以
在
上递减，在
上递增，
所以
，
所以
，即
的取值范围是
.
故选：B
2．（24-25 高三下·广西·开学考试）已知集合
，现将
中的元
素从小到大依次排列，则第20 个元素为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据已知条件观察归纳可得
，由此可得答案.
【详解】数列
中的项为：
，经检验，
数列
中的
都是数列
中的项，
观察归纳可得
，
所以
中元素从小到大依次排列的第20 个元素为
.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：根据已知条件观察规律，由此求得集合
.
3．（24-25 高二上·陕西渭南·阶段练习）已知函数
的值域为
，
的值域为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由题意，函数
可看成点
到点
和点
的距离之和，函数
可看成过点
和点
的直线斜率，而点
为
上的点，分别求出值域即可.
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【详解】由题意，
，
上式可看成点
到点
和点
的距离之和，
点
关于
轴的对称点为
，则
，
所以函数
的值域为
，
，可看成过点
和点
的直线斜率，
由于
，所以点
为
上的点，如图，
当直线过
时，
，
当直线与曲线
相切时，设直线
，
则
，得
，所以
的值域
，
所以
.故选：D
【点睛】关键点点睛：函数
可看成点
到点
和点
的距离之和，函数
可看成
过点
和点
的直线斜率，而点
为
上的点，分别求出值域即可.
4．（20-21 高一上·四川眉山·阶段练习）设
，
与
是
的子集，若
，则称
为一个“理想配集”.那么符合此条件的“理想配集”（规定
与
是两个不同的“理想配集”）的
个数是（ ）
A．16
B．9
C．8
D．4
【答案】B
【分析】根据题意，子集
和
不可以互换，从子集
分类讨论，结合计数原理，即可求解.
【详解】由题意，对子集
分类讨论：
当集合
，集合
可以是
，共4 种结果；
当集合
，集合
可以是
，共2 种结果；
当集合
，集合
可以是
，共2 种结果；
当集合
，集合
可以是
，共1 种结果，
根据计数原理，可得共有
种结果.
故选：B.
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【点睛】本题主要考查了集合新定义及其应用，其中解答正确理解题意，结合集合子集的概念和计数原理
进行解答值解答额关键，着重考查分析问题和解答问题的能力.
5．（24-25 高三下·重庆·阶段练习）设集合
，
，若
只含一个元
素，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由两集合中，点的属性即可判断.
【详解】集合
表示直线
上及上侧所有点，
集合
表示圆心在
，半径为1 的圆上所有的点，
又
与
相切，
所以若
只含一个元素，则
，
故选：C．
题型7 并集型最值与求参
并集：
集合并集运算的一些基本性质：
(1)在进行集合运算时，若条件中出现A∪B＝B，应转化为A⊆B，然后用集合间的关系解决问题，并注
意A＝∅的情况．
(2)集合运算常用的性质：
A∪B＝B⇔A⊆B；
1．（24-25 高一上·上海·期中）设
是均含有2 个元素的集合，且
，记
，则B 中元素个数的最小值是（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】B
【分析】先得到
与
的元素不同，则
元素个数为4，
从
中选择1 个元素，再加入一个新元素，
即可得到
中元素个数最少，求解即可．
【详解】
，
，
与
的元素不同，则
元素个数为4，
若
中元素个数的最小值是4，则只能是
，
，与
矛盾，
21
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若
从
中选择1 个元素，再加入一个新元素，这样
元素个数为5 个，
这5 个元素适当排列，得到
，
，
，
，
例如
，
，
，
取
，
，
，
，符合题意，
则
中元素个数的最小值是
，
故选：B．
【点睛】方法点睛：
由已知，
元素个数为4，从
开始讨论
中是否还要增加元素，最少增加几个能满足题意.
2．（2025 高三·全国·专题练习）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】化简集合A，B，再由集合的并集、补集运算求解.
【详解】因为
，
，
所以
，
，故选：C
3．（2025·甘肃金昌·模拟预测）已知集合
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】求出集合
后可求它们的交集.
【详解】
，
，
则
，
，故
.故选:D.
4．（2024 高一上·全国·专题练习）若集合A 满足对任意
，
，都有
，则称A 为“S 集”．若
，
，
，
为四个S 集，且
，则正整数
的最大可能值为（ ）
A．66
B．67
C．68
D．69
【答案】B
【分析】首先观察本题中A 集合中只考虑整数，故首先考虑A 集合中所含最小正整数1，其次考虑第二个
整数2．则第三个整数应为4，以此类推得到后续整数满足规律．同理当A 集合中所含第一个整数1，第二
个整数3，发现后续整数为所有正奇数．从而发现规律．
【详解】考虑到最后与
取交集，则集合A 中只考虑整数．
①假设A 集合中所含第一个整数为1，第二个整数为2，则以此类推后续整数为
,
故观察规律发现从第三个数开始满足
，
；
②假设A 集合中所含第一个整数为1，第二个整数为3，则后续整数为
故观察规律发现从第一个数字开始满足
，
；则最大整数可能值既满足
又满足
，
令
，
则可发现我们需要寻找的最大整数为
，
其中
即是2 的倍数，又是3 的倍数，
故
为6 的倍数，
由此可得最大整数
，
，代入选项发现B 选项满足题意．
故选：B．
5．（2023·上海普陀·一模）设
、
、
、
、
是均含有
个元素的集合，且
，
22
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，记
，则
中元素个数的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设
、
、
、
是集合
互不相同的元素，分析可知
，然后对
的取值由小到大
进行分析，验证题中的条件是否满足，即可得解.
【详解】解：设
、
、
、
是集合
互不相同的元素，若
，则
，不合乎题意.
①假设集合
中含有
个元素，可设
，则
，
，这与
矛盾；
②假设集合
中含有个元素，可设
，
，
，
，
，满足题意.
综上所述，集合
中元素个数最少为.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题考查集合元素个数的最值的求解，解题的关键在于对集合元素的个数由小到大
进行分类，对集合中的元素进行分析，验证题中条件是否成立即可.
题型8 全集与补集型最值与求参
全集与补集运算的性质：
1．（24-25 高一上·湖北·期中）已知集合
，若
，且同时满足：①若
，则
；②若
，则
.则集合
的个数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】分析可知，、不同在集合
或
中，
、
不同在集合
或
中，而
、无限制，列举出
满足条件的集合
，即可得解.
【详解】因为
，
，
由题意可知，若
，则
，若
，则
，
若
，则
，若
，则
，
、没有限制，
23
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综上所述，满足条件的集合
可为：
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
，共
个，
故选：C.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于分析出元素与集合的关系，然后利用列举法求解.
2．（24-25 高三下·湖南长沙·阶段练习）若全集
，集合
，
，则集合
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据交并补集的运算结果，结合选项依次验证即可判断.
【详解】A：若
，则
，所以
，
与
矛盾，故A 错误；
B：若
，则
，所以
，
与
矛盾，故B 错误；
C：若
，则
，
由
，得
，所以
，
与
矛盾，故C 错误；
D：若
，则
，
由
，得
，
所以
，故D 正确.
故选：D
3．（2025·全国·模拟预测）已知集合
，则
的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据分式不等式求解集合A 及
，然后按照
和
分类讨论，根据集合的关系列不等式
组求解即可.
【详解】因为
，所以
，所以
或
，
所以
或
，所以
，
当
时，
，解得
，满足
；
当
时，要使
，则
，解得
，
综上，
，即
的取值范围是
.
故选：D
.
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4．（2025·新疆喀什·二模）已知集合
，
，
且
，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先求解集合
，再得到
，然后根据
，即可求解实数
的取值范围.
【详解】因为
，所以
或
，
所以
，
所以
，
因为
，所以
，
所以实数
的取值范围为
.
故选：
.
5．（24-25 高三下·甘肃张掖·阶段练习）已知集合
，若
，
则实数
取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据集合
计算
，利用
求参数的取值范围.
【详解】由
得，
.
由
得，
，
∴
或
，
∴
，解得
.
故选：A.
题型9 韦恩图应用
韦恩图：
（1）表示集合的Venn 图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆，也可以是其他封闭曲线．
（2）Venn 图表示集合时，能够直观地表示集合间的关系，但集合元素的公共特征不明显．
1．（24-25 高三·上海浦东新·阶段练习）定义
，设
、
、
是某集合的三个子集，
且满足
，则
是
的（ ）
A．充要条件
B．充分非必要条件
C．必要非充分条件
D．既非充分也非必要条件
【答案】A
【分析】作出示意图，由
可知两个阴影部分均为
，根据新定义结合集合并集的运
算以及充分条件与必要条件的定义判断即可.
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【详解】如图，由于
，
故两个阴影部分均为
，
于是
，
（1）若
，则
，
，
而
，
成立；
（2）反之，若
，
则由于
，
，
，
，
，
故选：A
【点睛】本题主要考查集合并集的运算以及充分条件与必要条件的定义，考查了分类讨论、数形结合思想
的应用，属于较难题.
2．（24-25 高三上·上海·阶段练习）定义集合运算
；将
称
为集合A 与集合
的对称差，命题甲：
；命题乙：
则下列说法正确的是（ ）
A．甲乙都是真命题
B．只有甲是真命题
C．只有乙是真命题
D．甲乙都不是真命题
【答案】B
【分析】根据对称差集合的定义和集合的运算将
变形即可判断命题甲；对于乙，画出
和
的图示即可判断.
【详解】对于甲，
，故命题甲正确；
对于乙，如图所示：
所以，
，故命题乙不正确.
故选：
.
【点睛】关键点点睛：对于集合新定义问题，关键是理解新定义，利用韦恩图结合集合的运算，利用数形
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结合判断.
3．（2025 高三·全国·专题练习）某小学对小学生的课外活动进行了调查．调查结果显示：参加舞蹈课外活
动的有
人，参加唱歌课外活动的有
人，参加体育课外活动的有
人，三种课外活动都参加的有
人，
选择两种课外活动参加的有
人，不参加其中任何一种课外活动的有
人．则接受调查的小学生共有
（ ）
A．
人
B．
人
C．
人
D．
人
【答案】A
【分析】作出韦恩图，将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生分别用集合
、
、
表示，不妨设总
人数为
，选择舞蹈和唱歌的人数为
，选择舞蹈和体育的人数为
，选择唱歌和体育的人数为
，利用
容斥原理可求得
的值，即为所求.
【详解】如图所示，用Venn 图表示题设中的集合关系，
不妨将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生分别用集合
、
、
表示，
则
，
，
，
．
不妨设总人数为
，选择舞蹈和唱歌的人数为
，选择舞蹈和体育的人数为
，选择唱歌和体育的人数为
，
则
，
，
，
．
由三个集合的容斥关系公式得
，
解得
，故接受调查的小学生共有
人．
故选：A.
4．（24-25 高三上·上海·阶段练习）对于非空集合
和
，把所有属于
但不属于
的元素组成的集合
称为
和
的差集，记为
，那么
总等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据新定义，画出韦恩图即可求解.
【详解】由题意
指图（1）中阴影部分构成的集合，
同样
指图（2）中阴影部分构成的集合，
，
故选：A.
5．（24-25 高三上·辽宁·期中）已知集合
为全集，集合
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】取
，可得出
，可判断A 选项；取
，可判断B 选项；根据
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，可判断C 选项；根据
，可判断D 选项.
【详解】对于A 选项，因为
，则
、
均不为空集，
因为
，所以，当
时，则
，
又因为
为
的真子集，A 错；
对于B 选项，若
，则
，B 错；
对于C 选项，因为
，
所以，
，C 错；
对于D 选项，因为
，所以，
，D 对.
故选：D.
题型10 交并补集综合型
1．（2025 高三·全国·专题练习）已知满足
（
且
）
的有序集合组（A，B）的个数为32，则
．
【答案】3
【分析】由题意作出韦恩图，根据集合的运算，结合计数原理解题即可.
【详解】由题意作出韦恩图如图，因为
，
所以全集
中不属于交集的元素有
个，
剩余的元素属于集合
或
，但不能同时属于两者，
每个剩余元素有两种选择，因此总分配方式为
，
所以
，解得
．
28
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故答案为：3
2．（23-24 高一上·北京·期中）定义集合
的“长度”是
，其中a，
R．已如集合
，
，且M，N 都是集合
的子集，则集合
的“长度”
的最小值是 ；若
，集合
的“长度”大于
，则n 的取值范围是 .
【答案】
/
【分析】空1：根据区间长度定义得到关于
的不等式组，再分类讨论即可；空2：代入
得到
，再根据区间长度大于
，得到关于
的不等式组，解出即可.
【详解】集合
，
，且M，N 都是集合
的子集，
由
，可得
，由
，可得
．
要使
的“长度”最小，只有当
取最小值、
取最大或
取最大、
取最小时才成立.
当
，
，
，“长度”为
，
当
，
，
，“长度”为
，
故集合
的“长度”的最小值是
；
若
，
，
要使集合
的“长度”大于
，故
或
即
或
又
，故
.
故答案为：
；
.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是充分理解区间长度的定义，再根据交并集的含义得到不等式组，结合
分类讨论的思想即可.
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3．（23-24 高三上·浙江金华·阶段练习）从集合
的非空子集中随机取出两个不同的集合
，
则在
的条件下，
恰有1 个元素的概率为 .
【答案】
【分析】按照要求分类讨论并结合组合数公式、条件概率公式计算即可.
【详解】由题意若
恰有1 个元素，则分以下四种情形进行讨论：
情形一：若
中有一个元素，则
中至少有三个元素，此时满足
的情况有
种，
而满足
恰有1 个元素的有
种；
情形二：若
中有两个元素，则
中至少有两个元素，此时满足
的情况有
种，
而满足
恰有1 个元素的有
种；
情形三：若
中有三个元素，则
中至少有一个元素，此时满足
的情况有
种，
而满足
恰有1 个元素的有
种；
情形四：若
中有四个元素，则
中至少有一个元素，且注意到集合
不同，
此时满足
的情况有
种，
而满足
恰有1 个元素的有
种；
故由条件概率公式可得：
恰有1 个元素的概率为
.
故答案为：
.
4．（24-25 高一上·全国·课后作业）已知函数
的定义域为
，集合
．当
时，
；若
，则实数
的取值范围是 ．
【答案】
或
【详解】要使函数
有意义，则
解得
，所以集合
．
因为
，所以
，所以
或
，所以
或
．因为
，所以①当
时，
，即
，满足题意；
②当
时，
解得
．综上所述，实数
的取值范围是
．
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5．（24-25 高一上·四川绵阳·阶段练习）已知
或
，
，若
，则m 的取值范围是 .
【答案】
【分析】求出
，由
建立不等式即可得解.
【详解】由
或
，可得
，
因为
，
，
所以
且
，
解得
，
故答案为：
题型11 集合新定义型综合
解新定义题型的步骤：
（1）理解“新定义”，明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.
（2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举
例”提供的分类情况.
（3）类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.
1．（2024·广东广州·模拟预测）已知集合
，若集合
，且M 中的所有
元素之和为奇数，称M 为A 的奇子集，则A 的所有“奇子集元素之和”的总和为 .
【答案】
【分析】设为
的奇子集，
中的所有元素之和为偶数，可称为偶子集，分析得
的奇子集与偶子集个
数相等；计算奇子集元素之和时，含元素的和是
，即可求得奇子集的元素之和.
【详解】设为
的奇子集，则若
，令
，
若
，令
为把中的去掉后剩下的元素形成的集合，
则
中的所有元素之和为偶数，可称为偶子集，
显然每个奇子集，均恰有一个偶子集
与之对应，
每个偶子集
，均恰有一个奇子集与之对应，
故
的奇子集与偶子集个数相等；
对任一
，含的子集共有
个，用上面的对应方法可知，
在
时，这
个子集中有一半为奇子集，
在
时，由于
，将上边的3 换成5，同样可得其中有一半为奇子集，
于是在计算奇子集元素之和时，含元素的和是
，
奇子集容量之和是
.
故答案为：
.
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2．（2015 高三·全国·练习）已知有限集
（
）．如果A 中的元素
（
）满
足
，就称A 为“复活集”，给出下列结论：
①集合
是“复活集”； ②若
，且
是“复活集”，则
；
③若
，则
不可能是“复活集”；④若
，则“复活集”A 有且只有一个，且
．
其中正确的结论是 ．（填上你认为所有正确的结论序号）
【答案】①③④
【分析】对于①，根据
得到①正确；对于②，可举出反例；对于③，
不妨设
，得到
，当
时，
，故
，则
，即
，无
解；对于④，
时，不存在复活集，当
时，推出
满足要求，当
时，得到
，
推出
，矛盾，从而得到结论.
【详解】对于①，
，
故满足
，
为复活集，①正确；
对于②，由①可知，
为复活集，且
，
不妨设
，则
为方程
的两个根，
由
得，
或
，故②错误；
对于③，不妨设
，
由
得
，
当
时，
，故
，则
，即
，无解，
若
，则
不可能是“复活集”，③正确；
对于④，由③知，
时，不存在复活集，
不妨设
，由③得
，
当
时，
，故只能
，
由
得
，解得
，
故
时，有且只有1 个复活集，即
，
当
时，
，
又
，故
，
事实上，
在
上恒成立，
故
时，不存在复活集，
则“复活集”A 有且只有一个，且
，④正确.
故答案为：①③④
【点睛】关键点点睛：集合新定义问题，命题新颖，且存在知识点交叉，常常会和函数的性质，包括单调
性，值域等进行结合，很好的考虑了知识迁移，综合运用能力，对于此类问题，一定要解读出题干中的信
息，正确理解问题的本质，转化为熟悉的问题来进行解决.
3．（2023·安徽合肥·模拟预测）设
，定义
的差分运算为
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.用
表示对a 进行
次差分运算，显然，
是一个
维数组.称满足
的最小非负整数
的值为
的深度.若这样的正整数
不存在，则称
的深度为
.
（1）已知
，则
的深度为 .
（2）
中深度为
的数组个数为 .
【答案】 4
【分析】利用新定义和集合的运算性质即可得出结论.
【详解】空1：因
，
则
，
，
，
.
故答案为：
空2：易知
中仅有一组
，
中深度
的数组仅1 组
，
中深度
的数组仅2 组，
中深度
的数组仅4 组，
中深度
的数组仅
组，
所以
中深度为
的数组仅有
组.
【点睛】关键点睛：本题考查新定义和集合运算的综合应用能力，属于高难度题，需要认真审题，抓住新
定义的本质.
4．（2025 高三·全国·专题练习）我们把一些向量构成的集合称为线性空间，设
是线性空间
到自身的一
个变换，将
中所有能被
变换为零向量的向量组成的集合称为变换
在
上的核，记作
．已知线
性空间
，对任意
，变换
满足
，则
中的
元素个数为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】C
【分析】根据给定条件，求出
，再求出
中零向量个数即可得解.
【详解】对任意
，
且
，
则
，令
，得
，
则
，得
，又
，则
，
令
，得
，解得
，且
，即
且
，
又
，因此
，
于是变换
将
中的元素变换为零向量的
，
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所以
中的元素个数为4.
故选：C
5．（2021·北京东城·一模）设A 是非空数集，若对任意
，都有
，则称A 具有性质P.
给出以下命题：
①若A 具有性质P，则A 可以是有限集；
②若
具有性质P，且
，则
具有性质P；
③若
具有性质P，则
具有性质P；
④若A 具有性质P，且
，则
不具有性质P.
其中所有真命题的序号是 .
【答案】①②④
【分析】举特例判断①；利用性质P 的定义证明②即可；举反例说明③错误；利用反证法判断④，元素0
是关键.
【详解】对于①，取集合
具有性质P，故A 可以是有限集，故①正确；
对于②，取
，则
，
，
，
，又
具有性质P，
，
，
，所以
具有性质P，故②正确；
对于③，取
，
，
，
，但
，故③错误；
对于④，若A 具有性质P，且
，假设
也具有性质P，
设
，在
中任取一个
，此时可证得
，否则若
，由于
也具有性质P，则
，与
矛盾，故
，
由于A 具有性质P，
也具有性质P，
所以
，
而
，这与
矛盾，
故当
且A 具有性质P 时，则
不具有性质P，
同理当
时，也可以类似推出矛盾，故④正确.
故答案为：①②④
【点睛】集合新定义题目，关键是对集合新定义的理解，及举反例，特例证明，考查学生的逻辑推理与特
殊一般思想，属于难题.
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