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第04 讲 基本不等式及其应用
内容导航
01
命题透视·考情前瞻
对标素养，研判高考命题趋势
02
思维建模·脉络梳理
搭建知识框架，构建系统思维
03
知识精讲·靶向突破
拆解核心知识，归纳题型技巧
知识解构
知识点1 基本不等式核心公式 知识点2 两个最值模型
知识点3 “1”的代换 知识点4 含负数、不等取等的处理
题型破译 (含超链接）
题型
1
基本不等式成立条件辨析
【方法技巧】
【易错分析】
题型
2
配凑定值求最值（拆项、配系数）
【方法技巧】
【易错分析】
题型
3 "1
的代换
"
求最值
【方法技巧】
【易错分析】
题型
4
特殊情况处理
（含负数、等号取不到）
【方法技巧】
【易错分析】
题型
5 基本不等式实际应用
【方法技巧】
【易错分析】
题型
6 含参恒成立问题
【方法技巧】优先使用分离参数法
【易错分析】
04
真题溯源·考向感知
溯源真题逻辑，感知高考考向
05
课本典例·高考素材
立足课本典例，挖掘高考素材
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命题透视·考情前瞻
对标素养，研判高考命题趋势
——
考情分析
基本不等式是高中不等式板块重难点，新高考弱化繁杂配凑技巧，强化 一正二
“
定三相等 条件考查
”
，常与函数、数列、解析几何、应用题融合。
1.
题型：单选 / 多选第 3～6 题（5 分），解答题穿插于导数、解三角
形、圆锥曲线求最值（3～6 分），总分 5～11 分；整体中等难度，高
频必考。
2.
四大考查方向：
① 基本不等式成立条件判断（正、定、等易错点）；
② 配凑和定积最大、积定和最小求代数式最值；
③ 含参恒成立、取值范围求解；
④ 实际问题（成本、面积、利润）建模用不等式。
3.
综合融合：常结合指数对数、三角函数、数列通项、几何边长，考查数
学建模与运算素养。
复习目标
1.
熟记基本不等式原始公式、变形公式，精准牢记一正二定三相等使
用前提；
2.
熟练掌握配凑法（拆项、添系数、凑定值）两类核心最值模型；
3.
掌握 “1 的代换 经典题型解题套路；
”
4.
会处理多变量、含负号、分式型不等式最值；
5.
能建立实际应用题数学模型，利用基本不等式求解最优值。
思维建模·脉络梳理
搭建知识框架，构建系统思维
——
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知识精讲·靶向突破
拆解核心知识，归纳题型技巧
——
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知识解构
●
●
●
知识点1
本
基
不等式核心公式
1.1 核心原型（算术 - 几何均值不等式）
若a>0,b>0，则
，当且仅当a=b 时取等号。
一正：a,b 全为正数（负数不能直接套原式）；
二定：求和最值则乘积为定值；求积最值则和为定值；
三相等：等号可取（a=b 在定义域内有解，取不到则改用函数单调性）。
1.2 拓展重要不等式（无条件 / 放宽条件）
1.
a=b 取等（全体实数可用，无正数限制）；
2.
（积和平方四分之一，常用放缩）；
≤
3.
同号：
； ab<0 时
。
1.3 四项均值不等式链
对于正数a,b，有：
其中：
：调和平均数（HM）
：几何平均数（GM）
：算术平均数（AM）
：平方平均数（QM）
当且仅当a=b 时，所有等号同时成立。
自主检测已知a>b>0，且a+b=1，则下列不等式不一定成立的是（ ）
A．❑√e<e
a
B．1
a-b < 1
b
C．❑√a+ ❑√b<❑√2
D．sin a<cosb
【答案】B
【分析】利用指数函数、正余弦函数单调性推理判断AD；举例说明判断B；利用基本不等式推理判断C.
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【详解】由a>b>0，a+b=1，得0<b< 1
2 <a<1，
对于A，❑√e=e
1
2 <e
a，A 正确；
对于B，取a= 5
8 ,b= 3
8，则1
a-b = 4> 8
3 = 1
b，B 错误；
对于C，❑√a+ ❑√b= ❑√a+b+2❑√ab<❑√1+a+b= ❑√2，C 正确；
对于D，显然0<b< 1
2 <π
6 , 1
2 <a<1<π
3 ，则cosb>cosπ
6 =sinπ
3 >sin a，D 正确.
知识点2
模
两大最值
型
1. 积定求和最小：ab=k（定值，a,b>0）
，a=b 取最小；
2. 和定求积最大：a+b=k（定值，a,b>0）
，a=b 取最大。
核心操作：无定值时，需要通过拆项、配系数等方法凑出定值，这是基本不等式应用的关键。
自主检测（2026·江苏苏锡常镇·二模）已知a>0，则(a x
3+ 1
a x
2)
4
关于x的展开式中各项系数之和的最小
值为（ ）
A．2
B．4
C．8
D．16
【答案】D
【分析】代入系数和公式，以及基本不等式求解.
【详解】令x =1，则展开式中各项系数和为(a+ 1
a)
4
，因为a>0，所以(a+ 1
a)
4
≥2
4=16，
当a= 1
a，即a=1时等号成立，所以展开式的各项系数之和的最小值为16.
知识点3
典题
经
型：“1 ”
已知ma+nb=1(a,b>0)，求
类最值：整体乘 1，展开后配凑均值。
例：a>0,b>0,a+b=1，求
。
自主检测已知正实数a，b 满足2a+ 1
b =1，则b+ 1
2a的最小值为______．
【答案】4
【详解】∵2a+ 1
b =1，
∴b+ 1
2a =(b+ 1
2a)(2a+ 1
b)=2ab+
1
2ab +2，
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∵a>0,b>0，
∴2ab>0，
∴b+ 1
2a =2ab+
1
2ab +2≥2❑√2ab⋅1
2ab +2= 4，
当且仅当2ab=
1
2ab，即2ab=1，结合2a+ 1
b =1得b=2,a= 1
4 时等号成立，
∴b+ 1
2a的最小值为4．
知识点4 易错
数
理
拓展：含负
、不能取等的处
1.
x<0：令t=-x>0，变形后用不等式；例
2.
定义域限制无法a=b：放弃基本不等式，用对勾函数单调性。
自主检测已知a>b>0，且a+b=1，则下列不等式不一定成立的是（ ）
A．1
a-b > 1
a
B．1
a-b < 1
b
C．❑√a+ ❑√b<❑√2
D．1
a + 1
b >4
【答案】B
【详解】选项A，因为a>b>0，所以a>a-b>0，所以1
a-b > 1
a成立.
选项B，若b>a-b>0，则1
a-b < 1
b 不成立.
选项C，因为(❑√a+ ❑√b)
2=a+b+2❑√ab，并且1=a+b>2❑√ab(a≠b，等号取不到)，所以0<❑√ab< 1
2，
因此a+b+2❑√ab<2，❑√a+ ❑√b<❑√2成立.
选项D，1
a + 1
b =(
1
a + 1
b)×(a+b)=2+(
b
a + a
b)≥4，等号在a=b时成立，但是a>b>0，所以等号无法取
到，因此1
a + 1
b >4.
题型破译
●
●
●
题型1
本
基
不等式条件正误判断
例1-1 已知x>0，那么以下关于式子x
2+ 1
x 的分析判断正确的选项是（ ）
（1）x
2+ 1
x ≥2❑√x；
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（2）上式当且仅当x
2= 1
x 即x =1时，等号成立；
（3）所以当x =1时，x
2+ 1
x 取得最小值2
A．以上全正确
B．（1）错
C．（2）错
D．（3）错
【答案】D
【分析】根据基本不等式及求最值的条件，逐一分析判断，即可求解.
【详解】根据条件，由基本不等式可知，（1）（2）均正确，
对于（3），由基本不等式知，求最小值，则需满足一正二定三相等的原则，
“
”
求和的最小值，需要乘积为定值，而x
2· 1
x 不为定值，所以（3）错，
故选：D.
例1-2 已知正实数a，b 满足a+b=1，则（ ）
A．ab≤1
4
B．a
2+b
2≤1
2
C．1
a + 1
b ≤4
D．❑√a+ ❑√b≥❑√2
【答案】A
【分析】用“1”的代换和基本不等式判断即可．
【详解】由a，b 为正实数且a+b=1.
根据基本不等式ab≤(
a+b
2 )
2
= 1
4 ，当且仅当a=b= 1
2时等号成立，故A 正确；
a
2+b
2≥(a+b)
2
2
= 1
2
，当且仅当a=b= 1
2时等号成立，故B 错误；
1
a + 1
b = a+b
ab = 1
ab ≥4，当且仅当a=b= 1
2时等号成立，故C 错误；
根据算术平均值小于等于平方平均值不等式，得
❑√a+ ❑√b
2
≤❑√
a+b
2
=
❑√2
2 ，
当且仅当a=b= 1
2时等号成立，即❑√a+ ❑√b≤❑√2，故D 错误.
方法技巧 不等式性质的快速判断
1.
特殊值秒杀法：优先代入负数、0、边界值（如a=b、x=0）快速排除错误选项；
2.
三条件逐项核验法：按 "一正二定三相等
→
→
" 顺序逐一验证，缺一不可；
3.
性质区分法：明确
（全体实数）与
（仅正数）的适用范
围。
易错分析 忽略前提条件
1.
忽略 "一正" 条件，直接对负数使用基本不等式；
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2.
忽略 "二定" 条件，无定值时强行求最值；
3.
忽略 "三相等" 条件，等号取不到时仍用不等式结果；
4.
混淆两个基本不等式的适用范围，导致判断错误。
【变式训练1-1】（多选题）已知正实数a,b满足a+b=2，则（ ）
A．ab≤1
B．❑√a+ ❑√b≤2
C．a
2+b
2≤2
D．1
a + 1
b ≤1
【答案】AB
【分析】结合已知条件，利用基本不等式对各选项逐一变形验证即可.
【详解】选项A. 由基本不等式a+b
2
≥❑√ab，则1≥❑√ab，平方得ab≤1，当且仅当a=b=1时等号成立，A
正确.
选项B.对❑√a+ ❑√b平方得(❑√a+ ❑√b)
2=a+b+2❑√ab=2+2❑√ab，由A 知❑√ab≤1，
因此(❑√a+ ❑√b)
2≤2+2×1= 4， 因为❑√a+ ❑√b>0，开方得❑√a+ ❑√b≤2，
当且仅当a=b=1时等号成立，B 正确.
选项C.a
2+b
2=(a+b)
2-2ab= 4 -2ab，由ab≤1，所以4 -2ab≥4 -2×1=2，即a
2+b
2≥2，C 错误.
选项D.1
a + 1
b = a+b
ab = 2
ab ，因此ab≤1，所以1
a + 1
b = 2
ab ≥2，D 错误.
【变式训练1-2】（多选题）若6
a=2，6
b=3，则下列判断正确的是（ ）
A．a+b=1
B．ab< 1
4
C．a
2+b
2< 1
2
D．b< 1
2
【答案】AB
【详解】对于选项A，因为6
a=2，6
b=3，所以a+b= log62+ log63= log66=1，故A 正确；
对于选项B，由a+b=1≥2❑√ab可得ab≤1
4 （又a≠b，等号不成立），所以ab< 1
4 ，故B 正确；
对于选项C，由a
2+b
2=(a+b)
2-2ab=1-2ab，由ab< 1
4 ，可得a
2+b
2>1-2× 1
4 = 1
2，所以a
2+b
2> 1
2，
故C 错误；
对于选项D，因为3>❑√6，所以b= log63>log6
❑√6= log66
1
2 = 1
2
，故D 错误.
【变式训练1-3】（多选题）若a>0，b>0，a+b=1，则（ ）
A．ab≤1
4
B．❑√a+ ❑√b≤1
C．a+lnb<0
D．e
a+b<2
【答案】AC
【分析】利用给定条件结合基本不等式判断A，C；利用构造函数，求导，利用单调性进行判断B，D.
【详解】对于A 项，因a>0，b>0，且a+b=1，则有ab≤( a+b
2
)
2
= 1
4 ，
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当且仅当a=b= 1
2时取“=”，A 正确；
对于B 项，因a>0，b>0，且a+b=1，则(❑√a+ ❑√b)
2=a+b+2❑√ab=1+2❑√ab≤1+2❑√
1
4 =2,
得❑√a+ ❑√b≤❑√2，则B 错误；
对于C 项，因a>0，b>0，且a+b=1，则a=1-b，
得a+lnb=1-b+ ln b，0<b<1，
设f ( x)=1- x + ln x，0< x<1，
得f
'( x)=-1+ 1
x = 1- x
x
>0，得函数f ( x)在(0,1)上单调递增，
得f ( x)<f (1)=0，得1- x + ln x<0，
即1-b+ ln b<0，得a+lnb<0，故C 正确；
对于D 项，e
a+b-2=e
a+1-a-2=e
a-a-1,0<a<1，
令g( x)=e
x - x -1,0< x <1，
得g
'( x)=e
x -1>0，得函数g( x)在(0,1)上单调递增，
得g( x)>g(0)=0，得e
x- x -1>0，即e
a+b>2，故D 项错误.
【变式训练1-4】（多选题）已知a>b>0,c>0，则下列不等式成立的是（ ）
A．1
a < 1
b
B．b+c
a+c > b
a
C．c
a>c
b
D．(a+ 1
c)⋅(
1
a +c)≥4
【答案】ABD
【分析】利用作差法来比较大小可判断AB，利用指数函数单调性可判断C，利用基本不等式可判断D.
【详解】因为a>b>0，所以1
a - 1
b = b-a
ab <0，即1
a < 1
b，故A 正确；
因为a>b>0,c>0，所以b+c
a+c - b
a = ab+ac -ab-bc
(a+c)a
= c (a-b)
(a+c)a >0，
即b+c
a+c > b
a，故B 正确；
因为c>0，不能确定指数函数y =c
x是增函数，即c
a>c
b不一定成立，故C 错误；
因为a>0,c>0，所以(a+ 1
c)⋅(
1
a +c)=2+ac+ 1
ac ≥2+2❑√ac⋅1
ac = 4，
当且仅当ac =1时取等号，即(a+ 1
c)⋅(
1
a +c)≥4，故D 正确；
故选：ABD
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题型2
数
配凑定值求最值（拆项、配系
）
例2-1 已知x>0，y >0，且3 x + y + xy =9，则3 x + y的最小值为（ ）
A．6
B．8
C．10
D．12
【答案】A
【分析】直接由基本不等式的变形不等式ab≤(
a+b
2 )
2
可得关于3 x + y的一元二次不等式，进而可得最小
值.
【详解】因为x>0，y >0，且3 x + y + xy =9，
由基本不等式得9=3 x + y + 1
3 ⋅3 x⋅y ≤3 x + y + 1
3(
3 x + y
2 )
2
，当且仅当3 x = y时等号成立，
即(3 x + y)
2+12(3 x + y)-108≥0，得[(3 x + y)-6][(3 x + y)+18]≥0，因为x>0, y >0，所以3 x + y ≥6.
由3 x = y代入3 x + y + xy =9，解得x =1, y =3，
因此当x =1, y =3，3 x + y的最小值为6.
例2-2【新考法】（2026·河北沧州二中·预测（一））已知实数m,n满足m
2+n
2=8m-12，则m+ ❑√3n
❑√8m-12的
最大值为__________.
【答案】❑√3
【分析】设点P(m,n)，由已知等式可得到点P在以点(4,0)为圆心，2 为半径的圆上，将m+ ❑√3n
❑√8m-12整理为
m
❑√m
2+n
2 + ❑√3
n
❑√m
2+n
2，看到
m
❑√m
2+n
2和
n
❑√m
2+n
2的平方和为1，故设
m
❑√m
2+n
2 =cosθ，则
n
❑√m
2+n
2 =sinθ，结合图形得到-π
6 ≤θ≤π
6 ，利用正弦函数的图像和性质得到所求的取值范围.
【详解】由m
2+n
2=8m-12，可得(m- 4)
2+n
2= 4，
设点P(m,n)，则点P在以点M (4,0)为圆心，2 为半径的圆上，
所以m+ ❑√3n
❑√8m-12 = m+ ❑√3n
❑√m
2+n
2 =
m
❑√m
2+n
2 + ❑√3
n
❑√m
2+n
2，
根据几何意义设
m
❑√m
2+n
2 =cosθ，则
n
❑√m
2+n
2 =sinθ，
过点O作圆M的切线，与圆M交于点P，
此时sin∠POM = MP
MO = 2
4 = 1
2 , ∠POM =π
6 ，
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故-π
6 ≤θ≤π
6 ，
所以m+ ❑√3n
❑√8m-12 =cosθ+ ❑√3sinθ =2sin(θ+π
6 )，
因为-π
6 ≤θ≤π
6 ，所以-π
6 +π
6 ≤θ+π
6 ≤π
6 +π
6 ，即0≤θ+π
6 ≤π
3
所以0≤sin(θ+π
6 )≤
❑√3
2 ，所以0≤2sin(θ+π
6 )≤❑√3，
故最大值为❑√3.
方法技巧
拆项法（凑和为定值）：
适用：
型；
操作：
，此时
为定值。
配系数法（凑积为定值）：
适用： x(k-mx)型；
操作：
，此时mx+(k-mx)=k 为定值。
分离常数法：
适用：
型；
操作：将分子配成分母的倍数 + 常数，转化为整式 + 分式形式。
易错分析
1.
拆项时漏加常数项，导致结果偏小；
2.
配系数时漏乘倒数，导致结果扩大或缩小；
3.
等号条件不在定义域内，未改用函数单调性；
4.
混淆和定与积定的应用场景，凑错定值类型。
【变式训练2-1·变载体】（多选题）已知离散型随机变量ξ的分布列如表所示.其中a>0,b>0,且E (ξ)=0.3，
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则下列说法正确的是（ ）
ξ
-1
0
1
2
P
0.2
c
a
b
2
A．ab≤1
16
B．a
2+b
2≥1
4
C．4
a + 1
b ≥18
D．4 a
4 -a +
b
1-b ≥5
9
【答案】ACD
【分析】由分布列期望的计算公式，可得a+b= 1
2，再结合基本不等式，逐项判断即可.
【详解】由期望的计算公式可得E (ξ)=-0.2+a+b=0.3，得a+b= 1
2.
对于A：因a>0,b>0,则ab≤(a+b)
2
4
= 1
16
，当且仅当a=b= 1
4 时，等号成立，故A 正确；
对于B：由a+b= 1
2，可得a
2+b
2=(a+b)
2-2ab= 1
4 -2ab，又由A 可知，ab≤1
16 ，
故a
2+b
2= 1
4 -2ab≥1
8，当且仅当a=b= 1
4 时，等号成立，故B 错误；
对于C：因a+b= 1
2，则4
a + 1
b =2×( 4
a + 1
b )(a+b)=2×(5+ 4 b
a + a
b )≥2×(5+ 4)=18，
当且仅当4 b
a = a
b，即a= 1
3 ,b= 1
6 时，等号成立，故C 正确；
对于D：令4 -a= x ,1-b= y，则a= 4 - x ,b=1- y，则4 a
4 -a +
b
1-b = 4(4 - x)
x
+ 1- y
y
= 16
x + 1
y -5，
则又因为a+b= 1
2，故x + y =5-(a+b)= 9
2，
故16
x + 1
y -5= 2
9 ×( 16
x + 1
y )( x + y)-5= 2
9 ×(17+ 16 y
x
+ x
y )-5≥2
9 ×(17+8)-5= 5
9，
当且仅当16 y
x
= x
y ，即a= 2
5 ,b= 1
10时，等号成立，故D 正确.
【变式训练2-2·】已知x>0，y >0，且x +2 y -2 xy =0，则x +2 y的最小值是（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】A
【分析】先将x +2 y -2 xy =0变形得1
x + 1
2 y =1，然后用“1”的代换与x +2 y相乘，化简整理后再利用基本
不等式即可求出最小值.
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【详解】由x +2 y -2 xy =0，得1
x + 1
2 y =1，
所以x +2 y =(x +2 y)(
1
x + 1
2 y)=2+ 2 y
x + x
2 y ≥2+2❑√
2 y
x ⋅x
2 y = 4，
当且仅当2 y
x = x
2 y 时，即x =2 y时等号成立，将其代入x +2 y -2 xy =0，解得x =2, y =1，
所以x +2 y的最小值是4.
【变式训练2-3】（多选题）已知正实数x , y满足：x +2 y =1，下列说法正确的是（ ）
A．0< y < 1
2
B．xy ≤1
8
C．1
x + 1
y ≥4 +2❑√2
D．x
2+ 4 y
2≤1
2
【答案】AB
【详解】对于A 选项， 因为x，y是正实数，所以x =1-2 y >0，则y < 1
2，
又因为y >0，所以0< y < 1
2，
故A 选项正确.
对于B 选项，根据基本不等式，x +2 y ≥2❑√x⋅2 y =2❑√2 xy，
已知x +2 y =1，代入得1≥2❑√2 xy，
两边平方得1≥8 xy，即xy ≤1
8。
等号成立当且仅当x =2 y，结合x +2 y =1，解得x = 1
2，y = 1
4 ，
故B 选项正确.
对于C 选项，1
x + 1
y =(x +2 y)(
1
x + 1
y)=1+ x
y + 2 y
x +2，
则因为x , y均为正实数，所以由基本不等式得x
y + 2 y
x ≥2❑√
x
y ⋅2 y
x =2❑√2，
所以1
x + 1
y ≥3+2❑√2，
故C 选项错误.
对于选项D，x
2+ 4 y
2=(x +2 y)
2- 4 xy =1- 4 xy
由选项B 知xy ≤1
8，所以- 4 xy ≥- 1
2，
因此，x
2+ 4 y
2=1- 4 xy ≥1- 1
2 = 1
2
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即x
2+ 4 y
2≥1
2， 故D 选项错误.
【变式训练2-4】已知正实数a，b满足ab+a+b=8，则ab的最大值是__________．
【答案】4
【详解】因为a,b为正实数，由基本不等式可得a+b≥2❑√ab，当且仅当a=b时等号成立；
正实数a,b满足ab+a+b=8，得a+b=8-ab，代入上述不等式可得：8-ab≥2❑√ab，
令t = ❑√ab，由a,b>0得t >0，不等式转化为：8-t
2≥2t，整理得t
2+2t -8≤0，即(t + 4)(t -2)≤0，
因为t >0，所以t + 4>0，因此t -2≤0，即t ≤2，故❑√ab≤2，
得0<ab≤4，当且仅当a=b=2时等号成立，因此ab的最大值为4.
题型3 "1 的代换" 求最值
例3-1（陕西省镇安中学2026 届高三模拟）已知函数f ( x)=5 x
3+ x，正数a,b满足f (a)+ f (b-1)=0，则
1
a + 4
b 的最小值为（ ）
A．2
B．5
C．8
D．9
【答案】D
【详解】因为函数f ( x)=5 x
3+ x的定义域为R，f (- x)=5(- x)
3- x =-(5 x
3+ x)=- f (x)，所以f (x)是奇
函数；
又f (a)+ f (b-1)=0，所以f (a)=- f (b-1)= f (1-b)，
又f
'( x)=15 x
2+1>0，所以f (x)在R上单调递增，所以a=1-b，即a+b=1；
又a,b均为正数，所以1
a + 4
b =(
1
a + 4
b)(a+b)= b
a + 4 a
b +5≥2❑√
b
a × 4 a
b +5=9，
当且仅当b
a = 4 a
b 时，即a= 1
3，b= 2
3时等号成立，
故1
a + 4
b 的最小值为9，故D 正确.
例3-2 已知实数x>-1，y >0，且满足(❑√4 x
2+1-2 x)(❑√y
2+2 y +2- y -1)=1，则1
x +1 + 1
y 的最小值为
（ ）
A．5
B．3+2❑√2
C．3+ 4 ❑√2
D．9
【答案】B
【详解】因为(❑√4 x
2+1-2 x)(❑√y
2+2 y +2- y -1)=1，所以
(❑√4 x
2+1-2 x)(❑√4 x
2+1+2 x)(❑√y
2+2 y +2- y -1)(❑√y
2+2 y +2+ y +1)
=(❑√4 x
2+1+2 x)(❑√y
2+2 y +2+ y +1)
得(❑√4 x
2+1+2 x)(❑√y
2+2 y +2+ y +1)=1，即(
❑√(2 x)
2+1+2 x)(
❑√( y +1)
2+1+( y +1))=1
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构造函数f (t )=
❑√t
2+1+t ，f
' (t )=
t
❑√t
2+1
+1>0 恒成立，所以f (t )单调递增，
因为f (t )⋅f (-t )=(
❑√t
2+1+t )(
❑√t
2+1-t )=1 ,
因此原等式可写为f (2 x)⋅f ( y +1)=1= f (2 x)⋅f (-2 x)
由f (t )单调递增可知f ( y +1)= f (-2 x) ，故y +1=-2 x， 即2 x + y =-1，
即2( x +1)+ y =1
因为x>-1，y >0，所以2( x +1)>0 ,
所以1
x +1 + 1
y =(
1
x +1 + 1
y)[2(x +1)+ y]=
y
x +1 + 2(x +1)
y
+3≥2
❑√
y
x +1 ⋅2(x +1)
y
+3=2❑√2+3
当且仅当
y
x +1 = 2(x +1)
y
，即y = ❑√2(x +1)时等号成立，此时x =-
❑√2
2 , y = ❑√2-1 均满足x>-1, y >0 的
条件，因此最小值为3+2❑√2.
方法技巧 求代数式范围的规范步骤
标准解题模板：
1.
变形定值：将ma+nb=k 化为
；
2.
整体乘 1：所求代数式乘以
；
3.
展开配凑：展开得到 "整式 + 可均值分式"；
4.
用基本不等式求最值，验证等号条件。
变形技巧：若已知
，直接将px+qy 乘以
即可。
易错分析 范围扩大问题
1.
乘错 "1" 的形式，未使用已知的定值条件；
2.
展开时乘法分配律应用错误，导致系数错误；
3.
联立方程求解等号条件时计算错误；
4.
多次使用基本不等式，未保证所有等号同时成立。
【变式训练3-1】（湖南株洲市第二中学2026 届高三全真模拟）已知m,n∈(0,+∞)，2m+n=1，则
n
m + 1
n的取值范围是（ ）
A．(0,+ ∞)
B．[❑√2+1,+∞)
C．[4 ,+∞)
D．[2❑√2+1,+ ∞)
【答案】D
【分析】利用已知条件2m+n=1对所求表达式变形，结合基本不等式求最小值，即可得取值范围.
【详解】∵m,n∈(0,+∞)，2m+n=1
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∴n
m + 1
n = n
m + 2m+n
n
= n
m + 2m
n +1≥2❑√
n
m ⋅2m
n +1=2❑√2+1，
当且仅当n= ❑√2m，即m=1-
❑√2
2 ，n= ❑√2-1时等号成立.
∴(
n
m + 1
n)min
=2❑√2+1.
n
m + 1
n的取值范围是[2❑√2+1,+∞).
【变式训练3-2】已知x>0，y >0且x + y =1，则1
x + 4
y 的最小值为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．9
【答案】D
【分析】采用“1”的代换构造基本不等式适用形式，求解目标式的最小值.
【详解】1
x + 4
y =( 1
x + 4
y )( x + y)=1+ y
x + 4 x
y + 4 =5+ y
x + 4 x
y ≥5+2❑√
y
x ⋅4 x
y =5+ 4 =9 ，
当且仅当y
x = 4 x
y ，即y =2 x，结合x + y =1解得当且仅当x = 1
3，y = 2
3时取等号，
因此1
x + 4
y 的最小值为9.
【变式训练3-3】已知x，y均为正数，且x +2 y = 4，则2
x + 1
y 的最小值为___________
【答案】2
【来源】上海交通大学附属中学2026 届高三第二学期考前自测数学试题
【详解】因为x +2 y = 4，所以x
4 + y
2 =1.
2
x + 1
y =(
2
x + 1
y)×1=(
2
x + 1
y)×(
x
4 + y
2)=1+ y
x + x
4 y ≥1+2❑√
y
x × x
4 y =2，当且仅当x =2, y =1时等号
成立.
题型4
情
理
数
特殊
况处
（含负
、等号取不到）
例4-1 已知函数f (x)=¿在定义域内有最大值，则实数a的取值范围是（ ）
A．[6,+ ∞)
B．(-∞,-6]
C．(-∞,3]
D．[3,+∞)
【答案】B
【详解】当x<0时，x + 9
x =-[(- x)+ 9
- x ]≤-6，
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当且仅当- x = 9
- x ，即x =-3时，等号成立.
由对勾函数的性质可得，f (x)在(-∞,-3]上单调递增，在[-3,0)上单调递减.
当x>0时，函数f (x)=- x +a单调递减，f (x)<a.
函数f (x)在定义域内有最大值，则a≤-6，即实数a的取值范围是(-∞,-6].
例4-2（多选题）下列不等式正确的是（ ）
A．❑√6- ❑√3<❑√5- ❑√2
B．sin
2 x +
4
sin
2 x 的最小值是4
C．若0<a<1，则1
a +
1
1-a ≥4
D．0<log2(- x
2+ 4 x)≤2
【答案】AC
【分析】根据
❑√6- ❑√3=
3
❑√6+ ❑√3，
❑√5- ❑√2=
3
❑√5+ ❑√2，结合不等式的性质可判断A；根据对勾函数的单
调性及正弦函数的值域可判断B；利用基本不等式可判断C；利用对数函数的单调性可判断D.
【详解】对于A：
❑√6- ❑√3=
3
❑√6+ ❑√3，
❑√5- ❑√2=
3
❑√5+ ❑√2，
因为❑√6+ ❑√3>❑√5+ ❑√2，所以
3
❑√6+ ❑√3 <
3
❑√5+ ❑√2，即❑√6- ❑√3<❑√5- ❑√2，故A 正确；
对于B：0<t =sin
2 x ≤1，y =t + 4
t 在(0,1]上单调递减，
所以当t =1时，t + 4
t 取得最小值为5，故B 错误；
对于C：因为0<a<1，所以-1<-a<0，所以0<1-a<1，
所以1
a +
1
1-a =(
1
a +
1
1-a)[a+(1-a)]=1+ 1-a
a
+
a
1-a +1≥2+2= 4，
当且仅当1-a
a
=
a
1-a，即a= 1
2时等号成立，所以1
a +
1
1-a ≥4，故C 正确；
对于D：- x
2+ 4 x>0，即x
2- 4 x<0，x (x - 4)<0，解得0< x<4，
即m=- x
2+ 4 x =-(x -2)
2+ 4，当0< x<4时，0<m≤4，
又因为y = log2m为增函数，所以log2m=log2(- x
2+ 4 x)≤log24 =2，故D 错误.
故选：AC.
方法技巧
1.
含负数的处理：换元转化为正数，注意不等号方向改变；
2.
等号取不到的处理：改用对勾函数单调性或导数求最值。
易错分析
1.
负数直接使用基本不等式，未改变不等号方向；
2.
等号取不到时仍用基本不等式的结果；
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3.
对勾函数的单调性记反，导致最值求错；
4.
换元后未重新确定新变量的定义域。
【变式训练4-1·变载体】（重庆市七校联盟2026 届高三考前联合诊断）已知数列{an}满足an+1=
an
2an+1，
a1=1，数列{bn}满足b1=1，bn-bn-1= 1
an
(n≥2)，则数列{
bn+13
n }的最小值为__________．
【答案】29
4
【分析】先对{an}的递推式取倒数构造等差数列求1
an
，再用累加法求{bn}的通项，最后转化为对勾函数求
正整数范围内的最小值.
【详解】因为an+1=
an
2an+1，a1=1，显然an≠0，
对递推式两边取倒数得： 1
an+1
= 2an+1
an
=2+ 1
an
，即1
an+1
- 1
an
=2，n∈N
*.
所以数列{ 1
an
}是首项为1
a1
=1，公差为2的等差数列，
因此 1
an
=1+2(n-1)=2n-1，n∈N
*.
又因为b1=1，n≥2时bn-bn-1= 1
an
=2n-1，即bn-bn-1=2n-1
由累加法得：(b2-b1)+(b3-b2)+⋯+(bn-bn-1)=3+5+⋯+(2n-1)，
bn-b1=3+5+⋯+(2n-1)，bn=1+3+5+⋯+(2n-1)=n
2，
验证n=1时，b1=1
2=1符合上式，故bn=n
2，n∈N
*.
令cn= bn+13
n
= n
2+13
n
=n+ 13
n ，n∈N
*，
因为函数y = x + 13
x 在(0,❑√13)上单调递减，在(❑√13,+∞)上单调递增，3<❑√13<4.
所以数列{cn}在{1,2,3}上单调递减，在{4,5,6,⋯}上单调递增，
因此当1≤n≤3时数列{cn}取得最小值c3= 22
3 ，当n≥4时，数列{cn}取得最小值c4= 29
4 ，且22
3 > 29
4 ，
因此，当n= 4时数列{cn}取得最小值29
4 .
【变式训练4-2·变考法】已知直线l: x -1=0与圆O: x
2+ y
2=1相切于点T，A是圆O上一动点，点P满足
PO⊥ OA，且以P为圆心，PA为半径的圆恰与l相切，则当cos∠PTO取最小值时，点P的坐标可以为
______.
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【答案】(-1,❑√2)或(-1,- ❑√2)
【分析】设P(x , y)，根据条件，列出等式，可得点P 的轨迹方程，再设P(x0, y0)，根据三角函数的定义，
可得cos∠PTO的表达式，化简整理，结合基本不等式，即可得答案.
【详解】设P(x , y)，则x≠0，直线l: x =1与圆O: x
2+ y
2=1相切于点T，则T (1,0)，
由以P为圆心，PA为半径的圆恰与l相切，
可得|x -1|=|PA|=
❑√O A
2+O P
2=
❑√x
2+ y
2+1，
化简可得y
2=-2 x，且x≠0.
再设P(x0, y0)，则y0
2=-2 x0(x0<0)，
则cos∠PTO =|1- x0|
|PT| =
|1- x0|
❑√(x0-1)
2+ y0
2 =
|1- x0|
❑√(x0-1)
2-2 x0
= ❑
√
1+
2
x0+ 1
x0
- 4 ，
由于对勾函数y = x + 1
x
(x<0)在x∈(-∞,-1)上单调递增，在x∈(-1,0)上单调递减，
所以当x0=-1时，x0+ 1
x0
有最大值-2，则cos∠PTO取得最小值，
此时P(-1,❑√2)或P(-1,- ❑√2).
【变式训练4-3·变考法】已知实数x , y满足|3 x -2 y|+|y - x|=|2 x - y|且y ≠0，则
2 xy
9 x
2+3 xy + 4 y
2的最
大值是______．
【答案】2
15
【分析】根据绝对值的性质分析可知(3 x -2 y)( y - x)≥0，可解出x
y 的范围，再将
2 xy
9 x
2+3 xy + 4 y
2转化为
关于x
y 的式子，再结合基本不等式，即可得解.
【详解】由|3 x -2 y|+|y - x|=|2 x - y|=|(3 x -2 y)+( y - x)|可知， (3 x -2 y)( y - x)≥0，不等式两边
时乘以1
y
2，得( 3 x
y -2)(1- x
y )≥0，解得2
3 ≤x
y ≤1. 令t = x
y ，即2
3 ≤t ≤1.
所以
2 xy
9 x
2+3 xy + 4 y
2 =
2
9 x
y + 4 y
x +3
=
2
9t + 4
t +3
≤
2
2❑√9t ⋅4
t +3
= 2
15，
当且仅当9t = 4
t ，即t = x
y = 2
3时，等号成立，
故
2 xy
9 x
2+3 xy + 4 y
2的最大值是2
15.
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题型5
本
用
基
不等式实际应
例5-1 如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形ABCD 和EFGH 构
成的面积为200 m
2的十字形地域．计划在正方形MNPQ 上建一座花坛，造价为4200 元/ m
2；在四个相同
的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210 元/ m
2；在四个空角（图中四个三角形）上铺草
坪，造价为80 元/ m
2．设总造价为S（单位：元），则当总造价S 最小时，AD 的长度为（ ）
A．2❑√10 m
B．❑√10 m
C．10 m
D．10 ❑√2m
【答案】B
【分析】设AD = x m, DQ = y m,根据十字形地域的面积，得出x , y的关系式，进而求出各个图形的面积，
将各个区域造价相加，求得总造价，结合基本不等式，即可求得总造价最小值和取最小值时AD的长.
【详解】设AD = x m, DQ = y m,
则x
2+ 4 xy =200，所以y = 200- x
2
4 x
，
所以S = 4200 x
2+210⋅4 xy +80⋅2 y
2=38000+ 4000 x
2+ 400000
x
2
，
因为x>0, y >0，即200- x
2
4 x
>0且x>0，解得0< x<10 ❑√2，
所以S =38000+ 4000 x
2+ 400000
x
2
,0< x<10 ❑√2.
故S =38000+ 4000 x
2+ 400000
x
2
≥38000+2❑√
4000 x
2⋅400000
x
2
=118000
当且仅当4000 x
2= 400000
x
2
，即x = ❑√10时，等号成立，
所以当x = ❑√10时， 该休闲场所的总造价最小，最小值为 118000元.
故选：B
例5-21471 年米勒向诺德尔教授提出了一个有趣的问题：在地球表面的什么部位，一根竖直的悬杆呈现最
长？我们把地球表面视为平面α，悬杆视为直线l 上两点A，B 间的连线，则上述问题可以转化为以下的数
学问题：如图1 所示，直线l 垂直于平面α，直线l 上有两点A，B 位于平面α的同侧，求平面上一点C，使
得∠ACB最大．建立如图2 所示的平面直角坐标系．若A，B 两点的坐标分别为(0,8)，(0,4)，点C 的坐标
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为(c ,0)，则当∠ACB最大时，c 的值为（ ）
A．64
B．32
C．8 ❑√2
D．4 ❑√2
【答案】D
【分析】根据两角差的正切公式，结合基本不等式进行求解即可.
【详解】由题意得知∠ACB是锐角，且∠ACB =∠OCA -∠OCB，而tan∠OCA = 8
c ，
tan ∠OCB = 4
c ，
所以tan ∠ACB = tan(∠OCA -∠OCB)=
8
c - 4
c
1+ 32
c
2
=
4
c + 32
c
，
而c + 32
c ≥2❑√32=8 ❑√2，tan ∠ACB =
4
c + 32
c
≤
4
8 ❑√2 =
❑√2
4
当且仅当c = 32
c ，即c = 4 ❑√2时，等号成立，
所以当c = 4 ❑√2时，tan ∠ACB =
❑√2
4 ，此时∠ACB最大，
故选：D
方法技巧
建模解题四步走：
1.
设变量：根据题意设出合适的变量（通常设长、宽、产量为x）；
2.
列关系式：建立目标函数和变量的取值范围；
3.
求最值：利用基本不等式求最值，验证等号条件；
4.
作答：将数学结果转化为实际问题的答案。
易错分析
1.
忽略实际意义对变量的限制（如长度为正、墙长限制）；
2.
目标函数建立错误，导致成本、利润计算错误；
3.
等号条件不符合实际，未改用函数单调性；
4.
单位不统一，导致计算结果错误。
【变式训练5-1】已知正三棱锥的各顶点都在体积为36π的球面上，正三棱锥体积最大时，该正三棱锥的
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高为______.
【答案】4
【分析】根据锥体与外接球的性质，结合棱锥的体积公式以及基本不等式的三维形式进行求解即可.
【详解】根据题意可得，正三棱锥的外接球的半径 R =3，
设正三棱锥的底面边长为 2❑√3a ，高为 h ，
则正三角形的外接圆的半径为 2a ，所以 (2a)
2+(h- R)
2= R
2 ，
即 4 a
2+(h-3)
2=9 ，所以 4 a
2=9-(h-3)
2=h(6-h),h∈(0,6) ，
又正三棱锥体积为
1
3 × 1
2 ×(2❑√3a)
2×
❑√3
2 ×h= ❑√3a
2h=
❑√3
4 ×4 a
2h=
❑√3
4 h(6-h)h
=
❑√3
8 (12-2h)⋅h⋅h≤
❑√3
8 ×(
12-2h+h+h
3
)
3
=8 ❑√3，
当且仅当 12-2h=h 即 h= 4 时，等号成立，
所以当正三棱锥体积最大时，该正三棱锥的高为4.
故答案为:4.
【变式训练5-2】某夏令营在△ABC区域内活动，三个内角满足2sin A +sin B =3sinC．
(1)求cosC的最小值；
(2)夏令营活动组织者要求在A点集合，设小明从B点出发准时到达A点的概率为p，小红从C点出发准时到
达A点的概率为q，两人是否准时到达A点互不影响，已知两人中有且仅有一人准时到达A点的概率为
0.52，至少有一人准时到达A点的概率为0.76，求|p-q|的值．
【答案】(1)2❑√10-2
9
(2)0.2
【分析】（1）先设三边，利用正弦定理把角条件转成边的关系，再代入余弦定理表示出 cosC，最后用
基本不等式求最小值。
（2）按独立事件的概率公式列方程组，先求出 p+q 和 pq，再由( p-q)
2=( p+q)
2- 4 pq,求出 |p-q|.
【详解】（1）设△ABC的内角A ,B ,C的对边分别为a,b,c .
由2sin A +sin B =3sinC，根据正弦定理，得2a+b=3c，即c = 2a+b
3
，
由余弦定理，得cosC = a
2+b
2-c
2
2ab
= 1
18(
5a
b + 8b
a )- 2
9，
因为5a
b + 8b
a ≥4 ❑√10，所以cosC ≥2❑√10-2
9
，
当5a
b = 8b
a ，即b=
❑√10
4
a时，上式等号成立，
此时，b<a，于是b<c<a，b+c -a=
❑√10-1
3
a>0，
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因此，cosC的最小值为2❑√10-2
9
．
（2）设事件M = 小明准时到达
“
A 点，事件
”
N = 小红准时到达
“
A 点，则
”
P(M )= p，P(N )=q．
由题意P(M ) P(N )+ P(M ) P(N )=0.52，即p(1-q)+(1- p)q =0.52，
化简，得p+q -2 pq =0.52①,
1- P(M )⋅P(N )=0.76，即1-(1- p)(1-q)=0.76，
化简，得p+q - pq =0.76②,由①②，得p+q =1, pq =0.24，
所以|p-q|=
❑√( p+q)
2- 4 pq = ❑√1- 4×0.24 =0.2．故|p-q|的值为0.2．
【变式训练5-3】某学校计划改造一间高为6米，底面积为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的运动场地.
因场地的背面靠墙，无须建造费用，设运动场地前面墙体的长为x米（4≤x ≤6）. 现有甲、乙两支工程
队参加竞标，甲队的报价方案为：场地前面新建墙体每平方米400元，左右两面新建墙体每平方米300元，
屋顶和地面以及其他共计28800元；乙队给出的整体报价为(1+ 2
x )×6k ×10
4元（k >0）. 假设甲、乙工
程队均不考虑其他因素.
(1)若项目由甲工程队完成，则至少要付给甲工程队多少费用？
(2)若乙工程队要确保竞标成功，求实数k的取值范围.
【答案】(1)57600 元
(2)(0，2
3)
【分析】（1）甲工程队整体报价为400×6 x +300×6× 24
x ×2+28800=2400 x + 86400
x
+28800，利用
基本不等式求解即可；
（2）若乙队要确保竞标成功则(1+ 2
x )×6k ×10
4 <2400 x + 86400
x
+28800恒成立，先参变量分离化为
6k ×10
2< 24 x
2+288 x +864
x +2
恒成立，再求函数y = 24 x
2+288 x +864
x +2
的最小值即可求解.
【详解】（1）若运动场地前面墙体的长为x米（4≤x ≤6），则左右两面墙宽度为24
x ，
则甲工程队整体报价为400×6 x +300×6× 24
x ×2+28800=2400 x + 86400
x
+28800，
2400 x + 86400
x
+28800≥2❑√2400⋅86400+28800，当且仅当x =6时，“=”成立，
因此至少要付给甲工程队57600 元；
（2）若乙队要确保竞标成功则(1+ 2
x )×6k ×10
4 <2400 x + 86400
x
+28800，
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所以6k ×10
4<
2400 x + 86400
x
+28800
1+ 2
x
= 24 x
2+288 x +864
x +2
×10
2，
则6k ×10
2< 24 x
2+288 x +864
x +2
= 24 x (x +2)+240(x +2)+384
x +2
=24 x +240+ 384
x +2，
因为4≤x ≤6，所以函数y =24 x +240+ 384
x +2 =24 (x +2)+ 384
x +2 +192，
函数y =24 (x +2)+ 384
x +2 +192在[4,6]上单调递增，故ymin=24×6+ 384
6 +192= 400，
故6k ×10
2<400，则k < 2
3，所以实数k的取值范围是(0, 2
3).
题型6
参
题
含
恒成立问
例6-1 已知数列{an}满足an+1= an
2+3
2an
(n=1，2，3，⋯)，给出下面3 个结论，
①若{an}为常数列，则a1= ❑√3；
②当a1>2时，总有
❑√3<an≤a1；
③当a1=-2时，{an}为递增数列，且存在常数M <0，使得an≤M恒成立．
其中正确结论的个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【分析】观察数列的递推公式，然后利用基本不等式即可求解.
【详解】①若{an}为常数列，则假设an=a，则an+1=an=a，代入an+1= an
2+3
2an
得：a= a
2+3
2a ，解得：
a=± ❑√3，
即：a= ❑√3或a=- ❑√3均满足{an}为常数列，所以①错误；
②当a1>2时，由题意得an>0时，an+1>0，所以an>0恒成立，an+1= an
2+3
2an
= an
2 + 3
2an
≥2❑√
an
2 × 3
2an
= ❑√3，
当且仅当
an
2 = 3
2an
，即an= ❑√3时等号成立，因为a1>2>❑√3，所以当n≥1时，an>❑√3；
又因为an+1-an= an
2+3
2an
-an= 3-an
2
2an
，因为an>❑√3，所以3-an
2<0，3-an
2
2an
<0，则an+1-an<0，
即数列{an}是递减数列，所以an≤a1，综上所述：
❑√3<an≤a1，所以②正确；
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③当a1=-2<0时，由题意得an<0时，an+1<0，所以an<0恒成立，则an
2 <0，3
2an
<0，
an+1= an
2+3
2an
= an
2 + 3
2an
=-[(- an
2 )+(- 3
2an
)]≤-2❑√
-an
2 ×
3
-2an
=- ❑√3，
当且仅当
an
2 = 3
2an
，即an=- ❑√3时等号成立，所以an<- ❑√3，an
2>3，an+1-an= 3-an
2
2an
>0，
则an+1-an>0，所以{an}为递增数列，且存在常数M =- ❑√3，使得an<- ❑√3恒成立，所以③正确.
例6-2 已知正实数x，y满足x + y - 1
2 xy =0，且不等式x + y -a>0恒成立，则a的取值范围是（ ）
A．a<2
B．a<8
C．a<6
D．a<4
【答案】B
【分析】对题目等式变形得1
x + 1
y = 1
2，再利用乘“1”法即可得到答案.
【详解】因为正实数x,y满足x + y - 1
2 xy =0，所以1
x + 1
y = 1
2，
则：x + y =2( x + y)(
1
x + 1
y)=2(2+ x
y + y
x)≥8，
当且仅当x = y = 4时取等号，因为不等式x + y -a>0恒成立，所以a<8．
故选：B．
方法技巧 优先使用分离参数法
1.
分离参数：将参数移到一边，变量移到另一边；
2.
求最值：求函数f(x)的最大值或最小值；
3.
得范围：若
恒成立，则
；若
恒成立，则
。
易错分析
1.
分离参数时，除以负数未改变不等号方向；
2.
求函数最值时忽略等号条件；
3.
恒成立问题遗漏端点值；
4.
混淆恒成立与能成立的最值要求。
【变式训练6-1】已知x>0, y >0，且x + y =5，若4
x +1 +
1
y +2 ≥2m+1恒成立，则实数m的取值范围是
（ ）
A．(-∞, 1
16]
B．(-∞, 2
5]
C．(-∞, 1
2]
D．(-∞,4]
【答案】A
【分析】由已知条件得出(x +1)+( y +2)=8，将代数式4
x +1 +
1
y +2与1
8 [(x +1)+( y +2)]相乘，展开后利用
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基本不等式求出4
x +1 +
1
y +2的最小值，根据题意可得出关于m的不等式，解之即可.
【详解】因为x>0，y >0，且x + y =5，则x +1+ y +2=8，
则
( y +2)
x +1 >0, x +1
y +2 >0，
所以4
x +1 +
1
y +2 = 1
8(
4
x +1 +
1
y +2)[(x +1)+( y +2)]= 1
8[5+ 4 ( y +2)
x +1
+ x +1
y +2]
≥1
8(5+2
❑√
4 ( y +2)
x +1
⋅x +1
y +2)= 9
8
，
当且仅当¿时，
即当x = 13
3 ，y = 2
3时，所以4
x +1 +
1
y +2的最小值为9
8，
因为4
x +1 +
1
y +2 ≥2m+1恒成立，所以2m+1≤9
8，解得m≤1
16 ，
所以实数m的取值范围是(-∞, 1
16].
故选：A.
【变式训练6-2】（多选题）已知a>0，b>0，则下列说法正确的是（ ）
A．若ab=a+b+3，则ab≥9
B．a
2+
4
a
2+3的最小值为1
C．若a+b=9，则36
a + a
b 的最小值为8
D．若❑√a+ ❑√5b≤k ❑√a+b恒成立，则k的最小值为❑√5
【答案】AC
【分析】利用基本不等式求解A，利用基本不等式的取等条件判断B，利用基本不等式结合“1”的代换判断
C，先分离参数，再对
❑√a+ ❑√5b
❑√a+b
平方后利用换元法和判别式法求解最值，得到k的最小值判断D 即可.
【详解】对于A，ab=a+b+3≥2❑√ab+3，当且仅当a=b=3时取等号，
即(❑√ab-3)(❑√ab+1)≥0，得到❑√ab-3≥0，解得ab≥9．故A 正确；
对于B，a
2+
4
a
2+3
=(a
2+3)+
4
a
2+3
-3≥2❑√
(a
2+3)
4
a
2+3
-3= 4 -3=1，
当且仅当a
2+3=
4
a
2+3，即a
2+3=2时取等号，显然a的值不存在，故B 错误；
对于C，因为a+b=9，所以4(a+b)
a
+ a
b = 4+ 4 b
a + a
b ，
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由基本不等式得4+ 4 b
a + a
b ≥4+2❑√
4 b
a × a
b =8，
当且仅当4 b
a = a
b时取等，此时解得a=6,b=3，
则36
a + a
b 的最小值为8，故C 正确，
对于D，因为❑√a+ ❑√5b≤k ❑√a+b恒成立，且a>0，b>0，
所以k ≥
❑√a+ ❑√5b
❑√a+b
恒成立，而(
❑√a+ ❑√5b
❑√a+b
)
2
= a+5b+2❑√5ab
a+b
= a+b+ 4 b+2❑√5ab
a+b
=1+
4× b
a +2❑√5× b
a
1+ b
a
，
令t = ❑√
b
a >0，则1+
4× b
a +2❑√5× b
a
1+ b
a
可化为1+ 4t
2+2❑√5t
1+t
2
，
令m= 4t
2+2❑√5t
1+t
2
，则m(1+t
2)= 4 t
2+2❑√5t，
化简得(m- 4)t
2-2❑√5t +m=0，
而该一元二次方程一定有实数根，得到(-2❑√5)
2- 4 m(m- 4)≥0，
解得m∈[-1,5]，当m=5时，t = ❑√5>0，
故m+1≤6，故1+
4× b
a +2❑√5× b
a
1+ b
a
≤6即
❑√a+ ❑√5b
❑√a+b
≤❑√6，
得到k ≥❑√6，则k的最小值为❑√6，故D 错误.
故选：AC
【变式训练6-3】（多选题）已知函数f (x)=sin x -ln x ,f
' (x)是其导函数.若存在x1, x2∈(0,π)且x1< x2，
满足f
'(x1)= f
'(x2)，则（ ）
A．f (x1)>f (x2)
B．x1 x2>1
C．f (x1)f (x2)>1
D．f (x1)+ f (x2)<2
【答案】ABD
【分析】先求导函数，再根据函数图象，结合单调性判断A，再根据三角函数化简求解得出x1 x2>1进而判
断B，D，结合基本不等式计算求解C.
【详解】f
' (x)=cos x - 1
x ，数形结合，得到(0,π)内y =cos x , y = 1
x 的大致图象为如图所示，
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故f
' (x)<0(x∈(0,π))，f ( x1)>f ( x2)，A 对.
由f
'(x1)= f
'(x2)得cos x2- 1
x2
=cos x1- 1
x1
，
即x2- x1
x2 x1
=cos x1-cos x2=cos(
x2+ x1
2
- x2- x1
2 )-cos(
x2+ x1
2
+ x2- x1
2 )=2sin x2+ x1
2
sin x2- x1
2
，
由题意x2- x1
2
∈(0,π
2 )，则
x2- x1
x2 x1
<2 x2- x1
2
sin x2+ x1
2
< x2- x1，
∵x>0,sin x< x，则x1 x2>1，B 正确.
又f (x1)+ f (x2)=sin x1+sin x2-ln x1 x2<sin x1+sin x2<2，D 正确.
因为f (x1)f (x2)<(
f (x1)+ f (x2)
2
)
2
<1，从而C 错误.
故选：ABD.
【变式训练6-4】已知数列{an}的前n项和为Sn，2Sn+n
2+2n+3=an．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn=|a2n|，对任意n∈N
*，bn+ 25
bn
≥t恒成立，求t的取值范围．
【答案】(1)an=¿
(2)(-∞,10]
【分析】（1）对任意的n∈N
*，由2Sn+n
2+2n+3=an，得2Sn+1+(n+1)
2+2(n+1)+3=an+1，两式作
差推导出数列{an}的奇数项、偶数项分别成以-2为公差的等差数列，求出a1、a2的值，对n分奇数和偶数
两种情况讨论，结合等差数列的通项公式可求得数列{an}的通项公式；
（2）求出数列{bn}的通项公式，利用基本不等式求出bn+ 25
bn
的最小值，即可得出实数t的取值范围.
【详解】（1）对任意的n∈N
*，由2Sn+n
2+2n+3=an①，得2Sn+1+(n+1)
2+2(n+1)+3=an+1②，
两式相减，可得2an+1+2n+3=an+1-an，即an+1+an=-2n-3，
所以an+2+an+1=-2n-5，所以an+2-an=-2．
所以，数列{an}的奇数项、偶数项分别成以-2为公差的等差数列，
在①式中，令n=1，可得a1=-6，令n=2，可得a2=1，
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所以当n为奇数时，an=a1-2(
n+1
2
-1)=-6-2(
n+1
2
-1)=-n-5，
当n为偶数时，an=a2-2(
n
2 -1)=1-2(
n
2 -1)=-n+3，
综上所述，an=¿.
（2）因为bn=|a2n|=|3-2n|，所以b1=1，b1+ 25
b1
=26，
当n≥2时，bn=2n-3>0．
可得bn+ 25
bn
≥2❑√
bn⋅25
bn
=10，当且仅当bn=5，即n= 4时等号成立，
即bn+ 25
bn
的最小值为10，所以t ≤10，即t的取值范围为(-∞,10]．
真题溯源·考向感知
溯源真题逻辑，感知高考考向
——
一、单选题
1．（2024·北京·高考）已知(x1, y1)，(x2, y2)是函数y =2
x的图象上两个不同的点，则（ ）
A．log2
y1+ y2
2
< x1+ x2
2
B．log2
y1+ y2
2
> x1+ x2
2
C．log2
y1+ y2
2
< x1+ x2
D．log2
y1+ y2
2
> x1+ x2
【答案】B
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD 即可.
【详解】由题意不妨设x1< x2，因为函数y =2
x是增函数，所以0<2
x1<2
x2，即0< y1< y2，
对于选项AB：可得2
x1+2
x2
2
>
❑√2
x1·2
x2=2
x1+ x2
2 ，即y1+ y2
2
>2
x1+ x2
2 >0，
根据函数y = log2 x是增函数，所以log2
y1+ y2
2
>log22
x1+ x2
2 = x1+ x2
2
，故B 正确，A 错误；
对于选项D：例如x1=0, x2=1，则y1=1, y2=2，
可得log2
y1+ y2
2
= log2
3
2 ∈(0,1)，即log2
y1+ y2
2
<1= x1+ x2，故D 错误；
对于选项C：例如x1=-1, x2=-2，则y1= 1
2 , y2= 1
4 ，
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可得log2
y1+ y2
2
= log2
3
8 = log23-3∈(-2,-1)，即log2
y1+ y2
2
>-3= x1+ x2，故C 错误，
故选：B.
二、填空题
2．（2023·上海·高考）已知正实数a、b 满足a+ 4 b=1，则ab的最大值为_______________．
【答案】1
16
【分析】由ab= 1
4 a⋅4 b≤1
4(
a+ 4 b
2 )
2
，代入即可得出答案.
【详解】ab= 1
4 a⋅4 b≤1
4(
a+ 4 b
2 )
2
= 1
4 × 1
4 = 1
16，
当且仅当“a= 4 b ，即
”
a= 1
2 ,b= 1
8时取等，
所以ab的最大值为1
16.
故答案为：1
16
3．（2023·天津·高考）在△ABC中，BC =1，∠A =60
∘，AD
→
= 1
2 AB
→
,CE
→
= 1
2 CD
→
，记⃗AB =⃗a,⃗AC =⃗b，
用a
→
,b
→
表示AE⃗=_________；若⃗BF = 1
3⃗BC，则⃗AE⋅⃗AF的最大值为_________．
【答案】 1
4⃗a+ 1
2⃗b 13
24
【来源】2023 年天津高考数学真题
【分析】空1：根据向量的线性运算，结合E为CD的中点进行求解；空2：用⃗a,⃗b表示出⃗AF，结合上一空
答案，于是⃗AE⋅⃗AF可由⃗a,⃗b表示，然后根据数量积的运算和基本不等式求解.
【详解】空1：因为E为CD的中点，则⃗ED +⃗EC =⃗0，可得¿，
两式相加，可得到2⃗AE =⃗AD +⃗AC，
即2⃗AE = 1
2⃗a+⃗b，则⃗AE = 1
4⃗a+ 1
2⃗b；
空2：因为⃗BF = 1
3⃗BC，则2⃗FB+⃗FC =⃗0，可得¿，
得到⃗AF +⃗FC +2(⃗AF +⃗FB)=⃗AC +2⃗AB，
即3⃗AF =2⃗a+⃗b，即⃗AF = 2
3⃗a+ 1
3⃗b.
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于是⃗AE⋅⃗AF =(
1
4⃗a+ 1
2⃗b)⋅(
2
3⃗a+ 1
3⃗b)= 1
12 (2⃗a
2+5⃗a⋅⃗b+2⃗b
2).
记AB = x , AC = y，
则⃗AE⋅⃗AF = 1
12 (2⃗a
2+5⃗a⋅⃗b+2⃗b
2)= 1
12 (2 x
2+5 xy cos60
∘+2 y
2)= 1
12(2 x
2+ 5 xy
2 +2 y
2)，
在△ABC中，根据余弦定理：BC
2= x
2+ y
2-2 xy cos60
∘= x
2+ y
2- xy =1，
于是⃗AE⋅⃗AF = 1
12(2 xy + 5 xy
2 +2)= 1
12(
9 xy
2 +2)，
由x
2+ y
2- xy =1和基本不等式，x
2+ y
2- xy =1≥2 xy - xy = xy，
故xy ≤1，当且仅当x = y =1取得等号，
则x = y =1时，⃗AE⋅⃗AF有最大值13
24 .
故答案为：1
4⃗a+ 1
2⃗b；13
24 .
4．（2024·上海·春季高考）已知ab=1，4 a
2+9b
2的最小值为______．
【答案】12
【分析】利用不等式a
2+b
2≥2ab即可求解.
【详解】4 a
2+9b
2=(2a)
2+(3b)
2≥2×2a×3b=12ab=12,
当且仅当¿,即a=
❑√6
2 ,b=
❑√6
3 或a=-
❑√6
2 ,b=-
❑√6
3 时,等号成立,
故4 a
2+9b
2的最小值为12.
故答案为：12.
5．（2025·上海·高考）设a,b>0,a+ 1
b =1，则b+ 1
a的最小值为_________．
【答案】4
【分析】灵活利用“1”将b+ 1
a =(b+ 1
a)(a+ 1
b)展开利用基本不等式计算即可.
【详解】易知b+ 1
a =(b+ 1
a)(a+ 1
b)=ab+ 1
ab +2≥2❑√ab⋅1
ab +2= 4，
当且仅当ab=1，即a= 1
2 ,b=2时取得最小值.
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故答案为：4
三、解答题
6．（2023·新课标全国
卷
Ⅰ
·高考）在直角坐标系xOy中，点P到x轴的距离等于点P到点(0, 1
2)的距离，
记动点P的轨迹为W ．
(1)求W 的方程；
(2)已知矩形ABCD有三个顶点在W 上，证明：矩形ABCD的周长大于3 ❑√3．
【答案】(1)y = x
2+ 1
4
(2)见解析
【分析】（1）设P( x , y)，根据题意列出方程x
2+( y - 1
2)
2
= y
2，化简即可；
（2）法一：设矩形的三个顶点A(a,a
2+ 1
4),B(b,b
2+ 1
4),C(c ,c
2+ 1
4)，且a<b<c，分别令
k AB=a+b=m<0，k BC =b+c =n>0，且mn=-1，利用放缩法得1
2 C ≥(n+ 1
n)
❑√1+n
2，设函数
f ( x)=(x + 1
x)
2
(1+ x
2)，利用导数求出其最小值，则得C的最小值，再排除边界值即可.
法二：设直线AB的方程为y =k( x -a)+a
2+ 1
4 ，将其与抛物线方程联立，再利用弦长公式和放缩法得
|AB|+|AD|≥
❑√
(1+k
2)
3
k
2
，利用换元法和求导即可求出周长最值，再排除边界值即可.
法三：利用平移坐标系法，再设点，利用三角换元再对角度分类讨论，结合基本不等式即可证明.
【详解】（1）设P( x , y),则|y|= ❑√
x
2+( y - 1
2)
2
，两边同平方化简得y = x
2+ 1
4 ，
故W : y = x
2+ 1
4 .
（2）法一：设矩形的三个顶点A(a,a
2+ 1
4),B(b,b
2+ 1
4),C(c ,c
2+ 1
4)在W 上,且a<b<c，易知矩形四
条边所在直线的斜率均存在，且不为0，
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则k AB⋅k BC =-1,a+b<0<b+c,令k AB=
b
2+ 1
4 -(a
2+ 1
4)
b-a
=a+b=m<0，
同理令k BC =b+c =n>0，且mn=-1，则m=- 1
n，
设矩形周长为C,由对称性不妨设|m|≥|n|，k BC -k AB=c -a=n-m=n+ 1
n，
则1
2 C =| AB|+|BC |=(b-a)
❑√1+m
2+(c -b)
❑√1+n
2≥(c -a)
❑√1+n
2=(n+ 1
n)
❑√1+n
2，易知
(n+ 1
n)
❑√1+n
2>0
则令f ( x)=(x + 1
x)
2
(1+ x
2), x>0,f
'( x)=2(x + 1
x)
2
(2 x - 1
x),
令f
'( x)=0，解得x =
❑√2
2 ，
当x∈(0,
❑√2
2 )时，f
'( x)<0，此时f ( x)单调递减，
当x∈(
❑√2
2 ,1]，f
'( x)>0，此时f ( x)单调递增，
则f ( x)min= f(
❑√2
2 )= 27
4 ，
故1
2 C ≥❑√
27
4 = 3 ❑√3
2
,即C ≥3 ❑√3.
当C =3 ❑√3时,n=
❑√2
2 ,m=- ❑√2,且(b-a)
❑√1+m
2=(b-a)
❑√1+n
2，即m=n时等号成立，矛盾，故
C >3 ❑√3,
得证.
法二：不妨设A ,B , D在W 上，且BA ⊥DA，
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依题意可设A(a,a
2+ 1
4)，易知直线BA，DA的斜率均存在且不为0，
则设BA,DA的斜率分别为k和- 1
k ，由对称性，不妨设|k|≤1，
直线AB的方程为y =k( x -a)+a
2+ 1
4 ，
则联立¿得x
2-kx +ka-a
2=0，
Δ=k
2- 4(ka-a
2)=(k -2a)
2>0，则k ≠2a
则| AB|=
❑√1+k
2|k -2a|，
同理| AD|= ❑√
1+ 1
k
2|
1
k +2a|，
∴| AB|+| AD|=
❑√1+k
2|k -2a|+ ❑√
1+ 1
k
2|
1
k +2a|
≥
❑√1+k
2(|k -2a|+|
1
k +2a|)≥
❑√1+k
2|k + 1
k|=
❑√
(1+k
2)
3
k
2
令k
2=m，则m∈(0,1]，设f (m)= (m+1)
3
m
=m
2+3m+ 1
m +3，
则f
'(m)=2m+3- 1
m
2 = (2m-1)(m+1)
2
m
2
，令f
'(m)=0，解得m= 1
2，
当m∈(0, 1
2)时，f
'(m)<0，此时f (m)单调递减，
当m∈(
1
2 ,+∞)，f
'(m)>0，此时f (m)单调递增，
则f (m)min= f(
1
2)= 27
4 ，
∴| AB|+| AD|≥3 ❑√3
2
，
但
❑√1+k
2|k -2a|+ ❑√
1+ 1
k
2|
1
k +2a|≥
❑√1+k
2(|k -2a|+|
1
k +2a|)，此处取等条件为k =1，与最终取等
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时k =
❑√2
2 不一致，故|AB|+|AD|> 3 ❑√3
2
.
法三：为了计算方便,我们将抛物线向下移动1
4 个单位得抛物线W
': y = x
2,
矩形ABCD变换为矩形A
' B
'C
' D
',则问题等价于矩形A
' B
'C
' D
'的周长大于3 ❑√3.
设 B
'(t0,t0
2), A
'(t1,t1
2),C
'(t2,t2
2), 根据对称性不妨设 t0≥0.
则 k A
' B
'=t1+t0,k B
'C
'=t2+t0, 由于 A
' B
'⊥B
'C
', 则 (t1+t0)(t2+t0)=-1.
由于 |A
' B
'|= ❑√1+(t1+t0)
2|t1-t0|,|B
'C
'|= ❑√1+(t2+t0)
2|t2-t0|, 且 t0 介于 t1,t2 之间,
则 |A
' B
'|+|B
'C
'|= ❑√1+(t1+t0)
2|t1-t0|+ ❑√1+(t2+t0)
2|t2-t0|. 令 t2+t0= tanθ,
t1+t0=-cot θ ,θ∈(0,π
2 ),则t2= tanθ -t0,t1=-cot θ -t0,从而
|A
' B
'|+|B
'C
'|=
❑√1+cot
2θ(2t0+cot θ)+
❑√1+ tan
2θ(tanθ -2t0)
故|A
' B
'|+|B
'C
'|=2t0(
1
sinθ -
1
cosθ)+ sinθ
cos
2θ
+ cosθ
sin
2θ
= 2t0(cosθ -sinθ)
sinθcosθ
+ sin
3θ+cos
3θ
sin
2θcos
2θ
①当θ∈(0,π
4 ]时,
|A
' B
'|+|B
'C
'|≥sin
3θ+cos
3θ
sin
2θcos
2θ
= sinθ
cos
2θ
+ cosθ
sin
2θ
≥2❑√
1
sinθcosθ =2❑√
2
sin 2θ ≥2❑√2
②当 θ∈(
π
4 ,π
2 ) 时,由于t1<t0<t2,从而-cot θ -t0<t0<tanθ -t0,
从而- cot θ
2
<t0< tanθ
2
又t0≥0,
故0≤t0< tanθ
2
,由此|A
' B
'|+|B
'C
'|= 2t0(cosθ -sinθ)
sinθcosθ
+ sin
3θ+cos
3θ
sin
2θcos
2θ
> sinθ(cosθ -sinθ)(sinθcosθ)
sin
2θcos
3θ
+ sin
3θ+cos
3θ
sin
2θcos
2θ
=
1
cosθ + cosθ
sin
2θ
= ❑√
2
sin
2θsin
2θ⋅2cos
2θ
= ❑√
2
(1-cos
2θ)(1-cos
2θ)⋅2cos
2θ
≥❑
√
2
(
(1-cos
2θ)+(1-cos
2θ)+2cos
2θ
3
)
3 ≥❑
√
2
(
2
3)
3 = 3 ❑√3
2
，
当且仅当cosθ =
❑√3
3 时等号成立，故|A
' B
'|+|B
'C
'|> 3 ❑√3
2
，故矩形周长大于3 ❑√3.
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.
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——
一、解答题
1．（19-20 高一·全国·课后作业）一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里购买10 g
黄金，售货员先将5 g的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5 g的砝码
放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.你认为顾
客购得的黄金是小于10 g，等于10 g，还是大于10 g？为什么？
【答案】大于10 g，理由见解析
【解析】设天平的左臂长为a，右臂长b，则a≠b，售货员现将5 g的砝码放在左盘，将黄金xg放在右盘使
之平衡；然后又将5 g的砝码放入右盘，将另一黄金yg放在左盘使之平衡，则顾客实际所得黄金为x + y (g)，
利用杠杆原理和基本不等式的性质即可得出结论.
【详解】由于天平两臂不等长，可设天平左臂长为a，右臂长为b，则a≠b，
再设先称得黄金为xg，后称得黄金为yg，则bx =5a，ay =5b，∴x = 5a
b ，y = 5b
a ，
∴x + y = 5a
b + 5b
a =5(
a
b + b
a)≥5×2❑√
a
b ⋅b
a =10，
当且仅当a
b = b
a，即a=b时等号成立，但a≠b，等号不成立，即x + y >10.
因此，顾客购得的黄金大于10 g.
2．（19-20 高一·全国·课后作业）已知x>0，求证：2-3 x - 4
x 的最大值是2- 4 ❑√3.
【答案】见解析
【解析】利用基本不等式与不等式的性质可证明出结论.
【详解】∵x>0，由基本不等式可得2-3 x - 4
x =2-(3 x + 4
x)≤2-2❑√3 x⋅4
x =2- 4 ❑√3，
当且仅当3 x = 4
x 时，即当x = 2❑√3
3
时，等号成立，
因此，2-3 x - 4
x 的最大值是2- 4 ❑√3.
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3．（19-20 高一·全国·课后作业）已知x、y、z都是正数，求证：(x + y)( y + z)(z + x)≥8 xyz.
【答案】见解析
【解析】由基本不等式可得出x + y ≥2❑√xy，y + z≥2❑√yz，z + x ≥2❑√zx，然后利用不等式的性质可得出
结论.
【详解】∵x>0，y >0，z>0，由基本不等式可得x + y ≥2❑√xy，y + z≥2❑√yz，z + x ≥2❑√zx，
由不等式的性质可得(x + y)( y + z)(z + x)≥2❑√xy ⋅2❑√yz⋅2❑√zx =8 xyz，
当且仅当x = y = z时等号成立.
4．（19-20 高一·全国·课后作业）已知-1≤x ≤1，求1- x
2的最大值.
【答案】1
【解析】分x =±1和-1< x<1两种情况讨论，在-1< x<1时，将代数式变形为1- x
2=(1- x)(1+ x)，利用
基本不等式的变形可求出1- x
2的最大值，综合可得出结论.
【详解】当x =±1时，1- x
2=0.
当-1< x<1时，1- x>0，1+ x>0，∴1- x
2=(1- x)(1+ x)≤[
(1- x)+(1+ x)
2
]
2
=1，
当且仅当1+ x =1- x，即x =0时取等号.
∴1- x
2的最大值为1，此时x =0.
5．（19-20 高一·全国·课后作业）当x取什么值时，x
2+ 1
x
2取得最小值？最小值是多少？
【答案】x =1或-1时，x
2+ 1
x
2取得最小值，最小值为2.
【解析】利用基本不等式可求出x
2+ 1
x
2的最小值，利用等号成立的条件求出对应的x的值，从而可得出结
论.
【详解】∵x
2+ 1
x
2 ≥2❑√
x
2⋅1
x
2 =2，当且仅当x
2= 1
x
2，即x =±1时等号成立.
所以，当x =1或-1时，x
2+ 1
x
2取得最小值，最小值为2.
6．（19-20 高一·全国·课后作业）已知x、y都是正数，求证：
（1）如果积xy等于定值P，那么当x = y时，和x + y有最小值2❑√P；
（2）如果和x + y等于定值S，那么当x = y时，积xy有最大值1
4 S
2.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】（1）利用基本不等式可证明出结论成立；
（2）利用基本不等式可证明出结论成立.
【详解】因为x、y都是正数，所以x + y
2
≥❑√xy.
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（1）当积xy等于定值P时，x + y
2
≥❑√xy = ❑√P，所以x + y ≥2❑√P，
当且仅当x = y时，上式等号成立.于是，当x = y时，和x + y有最小值2❑√P；
（2）当和x + y等于定值S时，
❑√xy ≤x + y
2
= S
2 ，所以xy ≤1
4 S
2，
当且仅当x = y时，上式等号成立.于是，当x = y时，积xy有最大值1
4 S
2.
