文档文本内容
专题 02 基本不等式求最值的方法总结
目 录 导 航
01知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系
02考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点
▶基础梳理・自主夯基 ▶高阶思维・探究拓展
考点01基本不等式 难点解读01柯西不等式
考点02 求最值方法总结 难点解读02 权方和不等式
03素养进阶·答题技法突破——提炼解题范式，提升答题素养
▶高考解密・母题探究 题型04 商式求最值或范围
题型05 消元法或换元法求最值或范围
题型01直接法求最值
题型06 齐次式求最值或范围
▶考点聚焦・解法深研
题型07 常见求不等式最值及不等式链的应用
题型01直接法或对勾函数求最值或范围
▶重难攻坚・考法深研
题型02 配凑法求最值或范围
重难点01 柯西不等式求最值或范围
题型03 常数1的代换求最值或范围
重难点02 权方和不等式求最值或范围
04优题精练·专题实战通关——精选优质试题，强化实战应用知识脑图·核心脉络搭建
考点深研·知能分层突破
考点01 基本不等式
1、基本不等式的概念
a2+b2
（1）a2+b2≥2ab⇔ab≤ (a,b∈R,当且仅当a=b时，等号成立)
2
a+b
（2）基本不等式：❑√ab≤ (a>0,b>0,当且仅当a=b时，等号成立）
2
（3）基本不等式的推广
a +a +⋯a
√n a +a +⋯a ≤ 1 2 n (当且仅当a =a =⋯a 时取等)
1 2 n n 1 2 n
2、对基本不等式的使用，需要满足以下条件
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把
构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不
是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
注意：一定要验证取等条件，当取等条件不满足时，可以考虑用对勾函数求最值
3、重要不等式链：
2 a+b √a2+b2
≤❑√ab≤ ≤❑ (a,b∈R+)
1 1 2 2
+
a b即：调和平均值≤几何平均值≤算数平均值≤平方平均值(注意等号成立的条件).
4、对勾函数
k
对勾函数是一种类似于反比例函数的一般双曲线。形如f (x)=x+ (k>0)的函数，由其图像的性质得名。
x
（1）当x∈(-∞,-❑√k)，函数单调递增，x∈(-❑√k，0)，函数单调递减，则在x∈(-∞,0)，函数
f (x) =f (-❑√k)=-2❑√k
max
（2）当x∈(0,❑√k)，函数单调递减，x∈(❑√k，+∞)，函数单调递增，则在x∈(0,+∞)，函数
f (x) =f (❑√k)=2❑√k
min
注意：在求最值或范围时，一定要注意定义域
【新题对点练】（多选）（2025·全国·模拟预测）已知 ，且 ，则（ ）
A． 的最大值是
B． 的最大值是
C． 的最小值是4
D． 的最小值是
考点02求最值方法总结
1、利用基本不等式求最值时：
（1）如果积xy是定值p，那么当且仅当x= y时，x+ y有最小值，（简记为：积定和最小）
（2）如果和x+ y是定值s，那么当且仅当x= y时，xy有最大值，（简记为：和定积最大）
注意：看题目条件，看能否配凑成积是定值，或者和是定值
2、常见的基本不等式求最值的方法
（1）配凑法（拆项、并项、配凑）：目标是相关代数式种的项能够构造出“积为定值”或“和为定值”的形式。
a b
（2）常数1的代换：形如x+ y=1和 + =1的形式，可以让两个式子进行相乘构造出基本不等式的倒数
x y
结构
（3）消参法就是对应不等式中的两元问题，一般是二元二次问题（也有更高次），用一个参数去表示另
一个参数，再利用基本不等式进行求解．尤其遇到双元分式问题，我们可以采用双换元的方法，分别运用
两个分式的分母作为新的两个参数，再转化为新参数的不等关系．
（4）齐次化就是含有多元的问题，通过分子、分母同时除以相关变量得到一个整体，然后转化为运用基
本不等式进行求解．
【新题对点练】（2025�上海�高考真题）设 ，则 的最小值为_________．
难点解读01 柯西不等式
二维柯西不等式：
设a，b，x，y>0，则(a2+b2)(x2+ y2)≥(ax+by) 2，当且仅当 时等号成立
1、分母的倍数和为常数
m n
(a+b)( + )≥(❑√m+❑√n) 2，其中a,b,m,n∈R*；
a b
2、一高一低和式配凑类型
(x2+ y2 )(m2+n2 )≥(mx+ny) 2，其中m，n∈R*
3、同次积式配凑类型
已知 的值，求(x+m)(y+n)(m,n∈R* )的最值，利用(x+m)(y+n)≥(❑√xy+❑√mn) 2求最值．
难点破解（2025高三·全国·竞赛）若 ，满足 ，则函数
的最大值是_____．
难点解读02 权方和不等式
1、权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用：
a2 b2 (a+b) 2 a b
设a，b，x，y>0，则 + ≥ ，当且仅当 = 时等号成立
x y x+ y x y2、多维变量
若 则
当且仅当 时，等号成立. 为该不等式的权，它的特点是分子的幂比分母的幂多一次.
难点破解（2026高三上·全国·专题练习）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量
最值时有很广泛的应用，其表述如下：设 ， ， ， ，则 ，当且仅当 时等号
成立.根据权方和不等式，函数 的最小值为_____
素养进阶·答题技法突破
题型01 直接法求最值
【典例1】（2026�上海�高考真题）若 ， ，且 ，则 的最大值是______．
【典例2】（2024�上海�高考真题）已知 ， 的最小值为______．
题型01 直接法或对勾函数求最值或范围
1、使用基本不等式求最值的时候，要注意使用基本不等式的条件，一正二定三相等，要满足时才能使
用。
2、先配凑成对勾形式，若范围包含顶点则用基本不等式直接得最值，若范围不包含顶点则用单调性求
端点值。
【典例1】（2026�天津河西�一模）已知 ， ，且 ，则 的最大值为（ ）A．1 B． C． D．
【典例2】（2026�贵州贵阳�二模）若 ，且 ，则ab的最小值是______．
【变式1】（2026高三·全国·专题练习）下列使用均值不等式求最小值的过程，正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则由 知， 的最小值为
C．若 ，则
D．若 ，则
【变式2】（2026�北京海淀�二模）函数 的最小值为（ ）
A．2 B．4
C．3 D．6
题型02 配凑法求最值或范围
通过恒等变形（加减常数、乘除因子、拆项、添项、换元等），将目标表达式配凑成定值形式，以便应
用基本不等式或已知函数性质求解最值。
【典例1】（2026�河南开封�模拟预测）若 ，则 的最小值为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【典例2】（2026�安徽合肥�模拟预测）已知实数 ， 满足 ，则 的最小值为_____.
【变式1】（2026�云南昆明�模拟预测）函数 （ ）的最小值为（ ）
A．9 B．12 C． D．【变式2】（25-26高三·全国·一轮复习）函数 的最小值为（ ）
A．16 B．25 C．36 D．49
题型03 常数1的代换求最值或范围
“常数1的代换”的本质是：利用已知的等于 1 的等式，将目标式中的 1 整体替换为已知等式，从而
进行“拼凑”与“化简”，以便运用基本不等式。
1.用已知等式表示 1：条件中含有等于1的代数式或者等于常数的代数式变成1。
2.乘到目标式中：将目标式子里的常数项（常常是独立的 1 或可视为 1 的部分）替换成该表达式。
3.变形合并：把目标式化为可以应用基本不等式的形式（通常凑出和定或积定）。
【典例1】（2026�上海静安�三模）若 均为正数，且 ，则 的最小值为___________．
【典例2】（2026�河南开封�模拟预测）已知正实数a，b满足 ，则 的最小值为______．
【变式1】（2026�天津红桥�一模）已知 ，若 ，则 的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
【变式2】（2026�辽宁沈阳�三模）已知正数x，y满足 ，则 的最小值为______.
题型04 商式求最值或范围
对二次/二次、二次/一次、一次/二次、一次/一次这种商式求最值的问题中，我们可以通过除法分解，
将问题转化为可运用基本不等式或函数性质处理的形式
1、 对于二次/一次，将其分解成“一次+分式”，然后运用基本不等式求最值
2、 对于一次/二次，将其看作为二次/一次的倒数，先按二次/一次来求最值，然后再参考倒
数的最值。
3、 对于二次/二次，先分离常数，让其变成“常数+一次/二次”，然后再按二次/一次来求最
值再参考倒数的最值。
4、 对于一次/一次，先分离常数，让其变成“常数+常数/一次”，按反比例函数的单调性来
求最值。
【典例1】（2026�河南开封�模拟预测）设 ，则 的最小值为_____________．【典例2】（2026�北京昌平�一模）当 时，函数 的最小值为_____．
【变式1】若对 恒有 ，则 的取值范围是_____
【变式2】（25-26高三上·北京·阶段检测）若 ，则函数 的最小值为______，此时
______.
题型05 消元法或换元法求最值或范围
消元后需注意新变量的取值范围（由原变量约束决定）；换元后新变量范围要准确对应；两种方法常结
合使用。
【典例1】（2026�重庆万州�模拟预测）已知定义在 上的函数 满足 ，则
的最小值为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【典例2】（2026�河南南阳�模拟预测）已知正数 满足 ，则 的最小值为（ ）
A．7 B．9 C．10 D．12
【变式1】（2026�福建南平�二模）若 ， ，且 ，则 的最小值为________.
【变式2】（2026�贵州贵阳�模拟预测）已知 ， ，且 ，则 的最小
值是（ ）
A．2 B．4 C． D．
题型06 齐次式求最值或范围1 1
在1的代换中，我们遇到的形式常是x+ y=1，求 + 的形式，但是如果遇到求最值的这个格式不一致
x y
时，就需要先多次代换1，使要求的式子变成我们需要的格式
x y
1、可以把式子换成齐次式 + ，可以使用基本不等式
y x
1 1
2、变成可以使用1的代换的 + 式
x y
【典例1】（2026�湖北武汉�模拟预测）已知函数 ，若正数a，b，满足 ，
则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2026�江苏常州�三模）已知随机变量 ，正实数 ， 满足
，则 的最小值为_________.
【变式1】（2026�广东清远�二模）已知实数 ，且 ，则 的最小值为（ ）
A．5 B．4 C． D．
【变式2】（2026�湖南怀化�一模）已知 ，且 ，则 的最小值为__________.
题型07 常见求不等式最值及不等式链的应用
重要不等式链的应用：
2 a+b √a2+b2
≤❑√ab≤ ≤❑ (a,b∈R+)
1 1 2 2
+
a b
即：调和平均值≤几何平均值≤算数平均值≤平方平均值(注意等号成立的条件).
【典例1】（多选）（2026�黑龙江哈尔滨�模拟预测）（多选）已知正实数 满足： ，下列说
法正确的是（ ）A． B．
C． D．
【典例2】（多选）（2026�陕西宝鸡�模拟预测）（多选）已知正数 满足 ，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（多选）（2026�贵州毕节�三模）（多选）已知正实数 满足 ，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（多选）（2026�河南�模拟预测）（多选）已知 ， ， ，下列说法正
确的是（ ）
A． 的最大值为1 B． 的最小值为2
C．ab的最大值为 D． 的最小值为2
重难点01 柯西不等式求最值或范围
1、已知平方和定值，求线性式的最值，将线性式平方，用柯西放缩。
2、已知线性式和定值，求平方和的最值，将平方和乘上常数，用柯西反向。
m n
3、分式最值（如 + ，已知 ax+by=1），用柯西构造乘积定值。
x y
配凑平方和与乘积和，写出柯西不等式，解出范围，最后验证取等条件是否满足题目限制。
【典例1】（2025高三·全国·竞赛）已知 ，则 的最小值是
_____．【典例2】（2025高三·全国·竞赛）设 ，则 的最小值为_____．
【变式1】（2025高三·全国·竞赛）设 ．求证： ，并确定等
号成立的条件．
【变式2】（2025高三·全国·竞赛）已知 为正实数．证明： ．
重难点02 权方和不等式求最值或范围
已知分母和（或分子和）为定值，求分式型表达式的最值。适用于分子为平方、分母为一次的分式求
和。确保分母为正；取等条件需能同时成立；若结构不完全匹配，先通过变形（如提取系数、拆分项）
配凑。
【典例1】（2026�广西南宁�二模）设 ， ，若不等式 恒成立，则实数
的最大值为______．
【典例2】（25-26高三·全国·一轮复习）（1）若 ，且 ，则 的最小值为
________．
（2）已知正实数 满足 ，则 的最小值为________．
【变式1】（2025高三·全国·竞赛）已知 是一个锐角，那么 的最小值是_____.
【变式2】（2025高三·全国·竞赛）若锐角 满足 ，则
的最小值是_____.
优题精练·专题实战通关
1．（2026�广东江门�二模）已知 ， ，且 ，则 的最小值为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
2．（2026�内蒙古呼伦贝尔�模拟预测）当 ， 且满足 时，若 恒成立，
则 的取值范围为（ ）A． B．
C． D．
3．（2026�广东湛江�二模）已知正数 ， 满足 ，则 的最大值为______.
4．（2026�湖北黄冈�三模）（多选）若 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
5．（2026�云南昆明�模拟预测）设 ， ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2026�山东聊城�模拟预测）（多选）已知正数 满足 ，则（ ）
A． B． 的最小值为2
C． 的最小值为9 D． 的最小值为1
7．（2026�黑龙江哈尔滨�模拟预测）（多选）已知 ， ，且 ，则下列说法正确的有
（ ）
A．ab的最大值为 B． 的最小值为
C． 的最大值为 D． 的最小值为4
8．（2026�天津南开�二模）已知 时， 的最小值为（ ）
A． B．3 C． D．
9．（2026�福建漳州�二模）（多选）已知正数 满足 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 的最小值为B． 的最小值为27
C． 的最大值为6
D．若 ，则 的最小值为6
10．（25-26高三上·福建·阶段检测）已知 且 ，则 的最大值为____．
