文档文本内容
专题 02 幂函数、指数函数与对数函数
目 录 导 航
01知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系
02考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点
▶基础梳理・自主夯基 ▶高阶思维・探究拓展
考点01指数与对数运算 难点解读01指数型复合函数的单调性与值域问题
考点02幂函数与二次函数 难点解读02对数型复合函数的单调性与值域问题
考点03指数函数及其性质 难点解读03指对函数恒成立与参数范围问题
考点04对数函数及其性质
03素养进阶·答题技法突破——提炼解题范式，提升答题素养
▶高考解密・母题探究 ▶技法提炼・审题点拨
题型01指数与对数运算 技法点拨01指数幂与对数式运算
题型02指对比较大小 技法点拨02指对幂比较大小的常用方法
题型03指对幂函数的单调性应用 技法点拨03二次函数在闭区间上的最值问题
▶重点突破・考法深研 ▶易错剖析・避坑攻略
重点01幂函数的图象与性质 易错点01忽略对指数与对数底数的讨论致错
重点02指数函数的图象与性质 易错点02求复合函数单调性时忽略定义域致错
重点03对数函数的图象与性质
重点04利用函数单调性求解指对不等式
04优题精练·专题实战通关——精选优质试题，强化实战应用知识脑图·核心脉络搭建
考点深研·知能分层突破
考点01 指数与对数运算
1、根式与分数指数幂
（1）根式的定义：一般地，如果 ，那么x叫做a的n次方根，其中 ，且 。
式子 叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
（2）根式的性质（ ，且 ）： ；
（3）分数指数幂的表示
正分数指数幂：规定：
负分数指数幂：规定：
性质：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
2、指数幂的运算性质
（1）无理数指数幂：一般地，无理数指数幂 （ ， 为无理数）是一个确定的实数．
有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
（2）指数幂的运算性质
① ． ② ． ③．
3、对数与对数运算
（1）对数的概念：如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底数N的对数，记作x＝log N，其中a
a
叫做对数的底数，N叫做真数，log N叫做对数式．
a
（2）对数的性质
对数式与指数式的互化：ax＝N x＝log N(a>0，且a≠1)；
a
①log 1＝0，②log a＝1，③alog N＝N，④ log aN＝N (a>0，且a≠1)．
a a ⇔a a
指数式与对数式的关系
（3）对数的的运算法则与换底公式：如果a>0，且a≠1，M>0，N>0
运算法则：①log (M·N)＝log M＋log N ②log＝log M－log N ③log Mn＝nlog M(n∈R)
a a a a a a a a
换底公式：①log b＝(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0)，
a
②换底公式的三个重要结论：log b＝； log bn＝log b； log b·log c·logd＝log d.
a am a a b c a
【新题对点练】（2026·广东广州·三模）若 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【解析】由 ，得 ，所以 ．
考点02 幂函数与二次函数
1、幂函数的定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
（1）幂函数的特征：xα的系数是1；xα的底数x是自变量；xα的指数α为常数．
只有满足这三个条件，才是幂函数．对于形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等的函数都不是幂函数．
1
（2）幂函数的图象：同一坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，
y=x2
的图象(如图)．2、幂函数的性质
（1）所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)；
（2）如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增；
（3）如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点
时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴；
（4）在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴．
3、二次函数的图象和性质
函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a＜0)
图象(抛物线)
定义域 R
值域
对称轴 x＝－
顶点坐标
奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数
在上是减函数； 在上是增函数；
单调性
在上是增函数 在上是减函数
【新题对点练】（2026·四川广安·模拟预测）若幂函数 是奇函数，且在 上单调递减，则
的值可以是（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】C
【解析】因为幂函数 在 上单调递减，所以 ，故排除B、D项；
又因为幂函数 是奇函数，而幂函数 是偶函数，排除A项，所以若幂函数 是奇函数，且在 上单调递减，则 的值可以是 .
考点03 指数函数及其性质
1、指数函数的概念：一般地，函数 （ 且 ）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域
是R，a是指数函数的底数．
2、指数函数的图象与性质
a>1 0<a<1
图象
在 轴的上方，过定点
图像特征
当 逐渐增大时，图象逐渐上升 当 逐渐增大时，图象逐渐下降
定义域 R
值域 (0,+∞)
单调性 在 上是增函数 在 上是减函数
性质
奇偶性 非奇非偶函数
当 时， ； 当 时， ；
范围
当 时， ； 当 时， ；
3、指数函数的常用技巧
（1）当底数大小不定时，必须分“ ”和“ ”两种情况讨论；
（2）指数函数的图象与底数大小的比较
如图是指数函数（1） ；（2） ；（3） ；（4） 的图
象，
底数 与1的之间的大小关系为 ；
规律：在 轴右（左）侧图象越高（低），其底数越大．
（3）指数函数 与 的图象关于 轴对称．
【新题对点练】（2025·湖南长沙·模拟预测）若指数函数 满足 ，则 _____．
【答案】27
【解析】令 且 ，因为 ，
则 ，即 ，解得 或 （舍），所以 ，则 ，
故答案为： .
考点04 对数函数及其性质
1、对数函数的概念
（1）定义：函数 （ ，且 ）叫做对数函数，其中x是自变量，定义域为 ．
（2）特殊的对数函数
y=lgx
①常用对数函数：以10为底的对数函数 .
y=lnx
②自然对数函数：以无理数e为底的对数函数 .
2、对数函数的图象与性质
a＞1 0＜a＜1
图象
定义域：(0，＋∞)
值域：R
当x＝1时，y＝0，即过定点(1,0)
性质
当0＜x＜1时，y＜0； 当0＜x＜1时，y＞0；
当x＞1时，y＞0 当x＞1时，y＜0
在(0，＋∞)上为增函数 在(0，＋∞)上为减函数
3、对数函数图象的常用结论
y=log x
（1）函数y＝log x与 1 的图象x轴对称；
a
a
（2）对数函数的图象与底数大小的关系
如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，
故0＜c＜d＜1＜a＜b.
由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．
【新题对点练】（25-26高三上·安徽淮北·期中）已知函数 在 上单调递增，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【解析】由 ，得 或 ，
所以函数 的定义域为 ，
函数 在 上单调递增，函数 在定义域内单调递增，
所以函数 的单调递增区间为 ，
依题意有 ， .
即 的取值范围为 .
难点解读01 指数型复合函数的单调性与值域问题
1、指数型复合函数的单调性问题
（1）研究 的函数的单调性：函数 的单调性与函数 的单调性在 时相同，
在 时相反．
（2）研究 型函数的单调性：一般用换元法，即令 ，则只需研究 与 的单调
性即可．
2、指数型复合函数的值域问题
y f(ax) ax t f(t) t
（1）形如 函数的值域：令 ，将求原函数的值域转化为求 的值域，但要注意“新元
”的范围．
y afx f x f x y a
（2）形如 函数的值域：令 ，先求出 的值域，再利用 的单调性求出
y
afx
的值域．
难点破解
【典例1】（25-26高三上·重庆·开学考试）函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【解析】令 ，则 ，当 时取等号，
又 为R上的单调递增函数，故 ，即 ，
故函数 的值域为 ，故选：D
【典例2】（25-26高三上·福建厦门·期中）（多选）已知函数 ，则下列结论正确的是
（ ）
A．函数 的定义域为R B．函数 的值域为
C． D．函数 为减函数
【答案】ABC
【解析】A：因为 ，所以 ，因此函数 的定义域为R，所以本选项说法正确；
B： ，
因为 ，所以 ，
因此函数 的值域为 ，所以本选项说法正确；
C：因为 ，所以本选项说法正确；
D：因为 ，
所以不满足减函数的定义，因此本选项说法不正确，故选：ABC
难点解读02 对数型复合函数的单调性与值域问题
1、对数型复合函数的单调性问题的求解策略（1）对于 型函数的单调性：函数 的单调性与函数 的单调
性在 时相同，在 时相反．
（2）研究 型函数的单调性：一般用换元法，即令 ，则只需研究 与
的单调性即可．
2、对数型复合函数的值域问题的求解策略
log xt log xt
（1）对于 函数的值域：令 a ，先求出 a 的值域，再利用 的单调性，
再求出 的值域．
y log
（2）对于 函数的值域：令 ，先求出 的值域，再利用 a 的单调
性，求出 的值域．
【典例1】（25-26高三下·青海西宁·阶段检测）函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由 ，解得 ，
则 ，
则 为增函数，所以 ．
【典例2】（25-26高三上·陕西榆林·阶段检测）（多选）已知函数 ，则下列说法正确的
是（ ）
A． 是奇函数 B． 是偶函数
C． 在定义域上是增函数 D． 在定义域上是减函数
【答案】AC
【解析】因为要使函数 有意义，则 ，即 ，，解得 ，所以函数 的定义域为 .
因此函数 的定义域关于原点对称.
又因为 ，
故函数 为奇函数，所以A正确，B错误；
令 ，则 ，
因为函数 在 上单调递减，所以函数 在 上单调递增，
因此函数 在 上单调递增，且 ，函数 在 上单调递增，
根据复合函数的单调性可知函数 在 上单调递增，
因此函数 在定义域上是增函数，故C正确，D错误.
难点解读03 指对函数恒成立与参数问题
新高考中档综合难点，主打指对函数恒成立、存在性求参问题。解题核心思路为分离参数、数形结合、分
类讨论，优先采用参变分离法，结合函数单调性求解最值，以此约束参数范围；含底数参数时，必须分类
讨论 与 两种单调性情况．
【典例1】（25-26高三上·山东·阶段检测）已知 为偶函数， 为奇函数，且满足 .
(1)求 ， 的解析式；
(2)存在 ，使得不等式 成立，求 的取值范围.
【答案】(1) ， ；(2)【解析】（1）由 ，可得 ，
因为 为偶函数， 为奇函数，所以 ，
联立方程组 ，解得 ， .
（2）由（1）知 ， ，
因为 ，所以 ，
可得 ，
所以 ，即 ，
设 ，则 ，即 ，
当 时，则 ，不合题意；
当 时，则 ，设 ，则只需 ，
则 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，所以 ，解得 ，
所以实数 的取值范围为 .
【典例2】（2026·河南开封·模拟预测）已知函数 为定义在 上的偶函数，且满足
， ．
(1)求 的解析式；(2)若不等式 恒成立，求实数 的取值范围；
(3)设 ，若对任意的 ，存在 ，使得 ，求实数 的取值范围．
【答案】(1) ；(2) ；(3)
【解析】（1）因为 是 上的偶函数，故对任意 ， 恒成立，
所以 ， ，
令 ，代入化简得 得 ，
因此 的解析式为 .
（2）由题意可得 ，易知 在 上单调递增，
因此不等式 等价于 .
令 ，不等式变为 对任意 恒成立，分离参数得 ，
由基本不等式得 ，
当且仅当 取最小值 ，因此 ，即 .
（3）对任意 ，存在 ，满足 ，
等价于 在 上的最小值 在 上的最小值.
因为 单调递增，故 ，因此存在 ，使得 ，
即 ， 开口向上，对称轴 ，
若 ， ，得 ；若 ， ，恒成立；
若 ， ，结合 恒成立.
综上得 ，即 .
素养进阶·答题技法突破
题型01 指数与对数运算
考情定位：新高考基础题型，是函数、导数综合题的运算基础，侧重公式灵活运用，题型基础但易错，稳
定考查化简、求值类基础运算．
核心考法：根式与分数指数幂互化化简、指对公式正向逆向求值、换底公式统一底数化简、多层复杂指对
式运算．
解题要点：优先统一式子结构，分步逐层化简；严格遵守公式变形规则，时刻校验底数、真数取值范围，
规避无意义变形与运算失误．
【典例1】（2024·全国甲卷·高考真题）已知 且 ，则 ______．
【答案】64
【解析】由题 ，整理得 ，
或 ，又 ，
所以 ，故
题型02 指对比较大小
考情定位：新高考选填中档题型，常以小题形式考查，区分度高，核心考查分层推理与数形结合思维．
核心考法：同结构单调性比大小、指对幂异构混合比大小、0/1中间量搭桥估值、构造辅助函数判大小．解题要点：遵循“先分层、后同质、再构造”逻辑，先区分数值与0、1大小，同结构用单调、异构用中间
量，复杂式子依托辅助函数精准判定，杜绝主观估值．
【典例1】（2025·全国一卷·高考真题）已知 ，则x，y，z的大小关系不可
能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】法一：设 ，所以
令 ，则 ，此时 ，A有可能；
令 ，则 ，此时 ，C有可能；
令 ，则 ，此时 ，D有可能；故选：B．
法二：设 ，所以，
根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根，
作出函数 的图象，
以上方程的根分别是函数 的图象与直线 的交点纵坐标，如图所示：
易知，随着 的变化可能出现： ， ， ， ，故选：B．
【典例2】（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数 ．记 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令 ，则 开口向下，对称轴为 ，
因为 ，而 ，
所以 ，即
由二次函数性质知 ，
因为 ，而 ，
即 ，所以 ，
综上， ，
又 为增函数，故 ，即 .故选：A.
题型03 指对幂函数的单调性应用
考情定位：函数板块核心母题，贯穿选填与基础解答题，是解不等式、求值域、定参数范围的核心依据，
综合性极强．
核心考法：利用单调性求解指对幂不等式、结合单调性判定函数值与参数范围、复合函数单调区间判定、
依托单调性求函数最值值域．
解题要点：单一函数依底数、幂指数判单调；复合函数坚守定义域优先，用“同增异减”判定区间；脱号
解不等式按需调整不等号方向，全程兼顾定义域约束．
【典例1】（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数 在R上单调递增，则a的取
值范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 在 上单调递增，且 时， 单调递增，
则需满足 ，解得 ，
即a的范围是 .故选：B.
【典例2】（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数 在区间 上单调递减，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函数 在R上单调递增，而函数 在区间 上单调递减，
则有函数 在区间 上单调递减，因此 ，解得 ，
所以 的取值范围是 .故选：D
【典例3】（2023·全国乙卷·高考真题）设 ，若函数 在 上单调递增，则a
的取值范围是______.
【答案】
【解析】由函数的解析式可得 在区间 上恒成立，
则 ，即 在区间 上恒成立，故 ，而 ，故 ，
故 即 ，故 ，
结合题意可得实数 的取值范围是
重点01 幂函数的图象与性质
核心解题要点：熟练掌握五类核心幂函数的定义域、值域、奇偶性与单调性，牢记所有幂函数在第一象
限的图象规律与定点(1,1)；可依托幂函数单调性比较同指数幂数值大小，结合奇偶性判断函数对称性，
快速求解简单不等式与参数问题．
高频陷阱：混淆幂函数与指数函数解析式；忽略不同幂函数的定义域限制；乱用第一象限单调性判断其
他象限函数值大小．
【典例1】（25-26高三下·云南昭通·期中）“ ”是“函数 在 上单调递增”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由幂函数的性质可知，当 时，函数 在 上单调递增；
若函数 在 上单调递增，则 ，不能推出 .
所以“ ”是“函数 在 上单调递增”的充分不必要条件.
【典例2】（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知幂函数 为偶函数，则 ____．【答案】9
【解析】由题意得 ，解得 或 ，
又 为偶函数，所以 ，所以 ．
重点02 指数函数的图象与性质
核心解题要点：依托指数函数定点、单调性、图象特征解题，根据底数的范围判定函数增减性，可快速
比较指数式大小、求解简单指数不等式；结合图象分布规律，辨析函数图象、求解参数取值，适配基础
选填题型．
高频陷阱：记错底数范围对应的单调性；忽略指数函数值域恒大于0的隐藏条件；底数大小与图象高低
对应关系混淆出错．
【典例1】（2026·山东潍坊·三模）已知 ，函数 ， 为奇函数，则
（ ）
A．13 B．24 C．80 D．240
【答案】D
【解析】由 ，
则 ，
又函数 为 上的奇函数，则 ，
即 对任意 成立，
整理得
所以 ，即 ，结合 ，解得 ，
所以 ，即 ．
【典例2】（25-26高三上·湖北·阶段检测）已知函数 的图象过原点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则 的值为（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】B
【解析】由函数 过原点可知 ，即可得 ，即 ；
又函数定义域为 ，且满足 ，可知函数 为偶函数，
易知当 时， 趋近于0，所以函数 趋近于 ,
因此可得 ，所以 ；
即 .故选：B
重点03 对数函数的图象与性质
核心解题要点：严格遵循定义域优先原则，依托对数函数定点、单调性、反函数性质解题；根据底数范
围判断增减趋势，用于对数值比大小、简单对数不等式求解，结合图象对称性解决函数综合基础问题．
高频陷阱：忽略对数真数大于0的硬性定义域限制；底数单调性判断错误导致比大小、解不等式出错；
混淆指数与对数函数反函数图象特征．
【典例1】（2026·安徽滁州·二模）函数 且 的图象恒过的定点是_______.
【答案】
【解析】因为 ，
所以该函数的图象恒过的定点是 .
【典例2】（25-26高三上·广东肇庆·阶段检测）已知函数 （ 且
）是 上的单调函数，则 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，函数 （ 且 ）是 上的单调函数，
则满足 ，解得 .故选：C.
重点04 利用函数单调性求解指对不等式
核心解题要点：将不等式两侧化为同底数指对函数形式，根据底数范围判定单调性，顺势脱去函数符号
转化为代数不等式；对数不等式必须联立真数大于0的定义域条件，最终取交集得到解集．
高频陷阱：底数 时忘记反转不等号方向；遗漏对数定义域限制导致解集范围偏大；非同一底数
强行脱号求解，逻辑出错．
【典例1】（25-26高三上·广东东莞·阶段检测）不等式 的解集（用区间表示）
________________．
【答案】
【解析】 需满足： ，
解 得 或 ，解 得 ，因此 ，
由于 ，则
由于函数 在 上单调递增，
因此上述不等式等价于： ，整理得 ，解得 或 ，
结合 ，得 ，
即得不等式 的解集为 .
【典例2】（25-26高三上·河北衡水·期末）已知函数 ，则不等式
的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】 ，
设 ， ，
因为 ，所以 为奇函数，
则 ．即 ，
又 ， 在R上均为减函数，所以 在R上为减函数，
由 得 ，
即 ，
所以 ，解得 或 ．故选：D．
技法点拨01 指数幂与对数式运算1、指数幂运算的一般原则
（1）指数幂的运算首先将根式统一为分数指数幂，以便利用法则计算；
（2）先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数；
（3）底数为负数，先确定符号；底数为小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数；
（4）运算结果不能同时包含根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．
2、对数混合运算的一般原则
（1）将真数和底数化成指数幂形式，使真数和底数最简，用公式 化简合并；
（2）利用换底公式将不同底的对数式转化为同底的对数式；
（3）将同底对数的和、差、倍运算转化为同底对数真数的积、商、幂；
（4）如果对数的真数可以写成几个因数或因式的相乘除的形式，一般改写成几个对数相加减的形式，
然后进行化简合并；
（5）对数真数中的小数一般要化成分数，分数一般写成对数相减的形式．
【典例1】（25-26高三下·广东东莞·阶段检测） __________.
【答案】
【解析】原式 .
【典例2】（2026·河南开封·模拟预测）设 、 为正数，若 ，且 ，则 ____．
【答案】
【解析】因为 、 为正数，若 ，且 ，即 ，即 ，
即 ，即 ，
整理可得 ，即 ，
解得 或 ，故有 或 ，故 .技法点拨02 指对幂比较大小的常用方法
1、单调性法：当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数
值，然后利用该函数的单调性比较．
2、作差法、作商法：
（1）一般情况下，作差或者作商，可处理底数不一样的对数比大小；
（2）作差或作商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧与方法．
3、中间值法或1/0比较法：比较多个数的大小时，先利用“0”“1”作为分界点，然后再各部分内再利用
函数的性质比较大小．
4、估值法：（1）估算要比较大小的两个值所在的大致区间；
（2）可以对区间使用二分法（或利用指对转化）寻找合适的中间值．
5、构造函数，运用函数的单调性比较：
构造函数，观察总结“同构”规律，很多时候三个数比较大小，可能某一个数会被可以的隐藏了“同
构”规律，所以可能优先从结构最接近的的两个数规律．
（1）对于抽象函数，可以借助中心对称、轴对称、周期等性质来“去除f( )外衣”比较大小；
（2）有解析式函数，可以通过函数性质或者求导等，寻找函数的单调性、对称性，比较大小．
6、放缩法：
（1）对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数；
（2）指数和幂函数结合来放缩；
（3）利用均值不等式的不等关系进行放缩；
（4）“数值逼近”是指一些无从下手的数据，如果分析会发现非常接近某些整数（主要是整数多一
些），那么可以用该“整数”为变量，构造四舍五入函数关系．
【典例1】（2026·重庆·模拟预测）已知 ， ， ，比较 ， ， 的大小为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】对数函数 在定义域 上单调递减，
由于 ，因此 ，即 ；
对数函数 在定义域 上单调递增，由于 ，因此 ，即 ；
指数函数 在定义域R上单调递减，由 ，因此 ，
综上可得 .
【典例2】（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 单调递增，故 ，
单调递增，故 ，
，
对于 ， ，设函数 ， ，
故函数 在 上单调递增，所以 ，
则 ，所以 ，故 ．
技法点拨03 二次函数在闭区间上的最值问题
二次函数在闭区间上的最值主要有四种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动、轴动区间动，不
论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，分对称轴在区间左侧、区间内、区间右侧三种
情况讨论；区间外单调直接取端点最值，区间内含对称轴则对比端点与顶点函数值，精准锁定最值．
【典例1】（24-25高三下·山西太原·阶段检测）如果函数 ，那么函数 的值
域为（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【解析】 ，开口向上，对称轴为直线 ，
在区间 上单调递增，
，
时， 的值域是 .故选：C
【典例2】（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数 ，且 的解集为 ．
(1)求 的解析式；
(2)求 在区间 上的最小值 ．
【答案】(1) ；(2)
【解析】（1）因为 的解集为 ，所以 为方程 的两根，
所以 ，解得 ，
所以 ；
（2）由于 的对称轴为 ，
所以 在区间 上单调递减，在 上单调递增，
所以当 时， 在区间 上单调递增，
此时 ；
当 时，即 时，在区间 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ；
当 ，即 时， 在区间 上单调递减，
所以 ，
综上所述： .
易错点01 忽略对指数与对数底数的讨论致错
辨析：指数与对数函数问题中，其底数若不是确定的数值，需要对底数分 a＞1或0<a<1两种情况进
行讨论．
【典例1】（2026·山东·模拟预测）当 时，满足 ，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，函数 在 单调递增，所以 .
当 时，因为 ，所以 ，故不等式不成立；
当 时，函数 在 单调递减，要使不等式成立，只需 ，得 ，解得 （ 舍去），又因为 ，所以 .故选：B
【典例2】（25-26高三下·广东·阶段检测）若 ，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】当 时，根据对数函数的性质可得 且 ，
即 恒成立，
， ，解得 ，
，根据指数函数的性质得， ，即 ，
故 的取值范围为 ，
当 时，根据对数函数的性质可得 ，
即 不成立，舍去，
综上 的取值范围为 .
易错点02 求复合函数单调性时忽略定义域致错
辨析：求复合函数单调区间一般步骤是①求函数的定义域；②作出内层函数的图象；③用“同增异减”
法则写单调区间．解此类题通常会出现以下两类错误：一是忽视定义域；二是 “同增异减”法则不会或法则用错．
【典例1】（2026·河南南阳·模拟预测）函数 的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】对于函数 ，令 ，即 ，解得 或 ，
所以函数 的定义域为 ，
又函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
在定义域上单调递增，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
又 在定义域上单调递增，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
即函数 的单调递减区间为 .故选：B
【典例2】（25-26高三下·湖北随州·阶段检测）函数 的单调递增区间是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意 ，
令 ，解得 ，
即函数 的单调递增区间是 .故选：D.优题精练·专题实战通关
一、单选题
1．（2026·北京大兴·三模）已知 ，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】已知 ，同时取对数得：
， ，
又 ，且函数 在区间 单调递增，因此 ，
可得： ，即 ，故 .
2．（2026·广东深圳·二模）已知函数 ，则满足 的 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】函数 ，定义域为 .
易知函数 只含 项，
因此 关于直线 对称.当 增大时， 增大，函数值增大，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
等价于 离 的距离小于 离 的距离大小问题，即 .两边平方得 ；
整理得 ，解得 .
故 的取值范围为 .
3．（2026·山东聊城·一模）若函数 在区间 上单调递增，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设 ，则 ，
因为 在区间 上单调递增，且 为减函数，
由复合函数单调性知 在 上单调递减，
则有 解得 ，
故 的取值范围是 ，故选：B．
4．（2026·海南海口·模拟预测）已知函数 （ ， ， ）的图象如图所示，则下
列关系式一定不成立的是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】对于A，由图象知函数单调递增,故 ，A一定成立；
对于B，且 ，则 ,进而 ，B一定成立；
对于C，由A,B已得 ， ，则 ，故 一定不成立；
对于D，若 ，则 ，故 有可能成立.
5．（25-26高三上·山东济南·阶段检测）函数 的图象恒过定点 ，若点 在
直线 上，其中 ，则 的最小值为（ ）
A．5 B．2 C． D．
【答案】A
【解析】∵对数函数 经过定点 ，
则令 ，即 ，即点 ，
∴ ，即 ，
∵ ，∴ ，∴ ，
当且仅当 时，取等号，
∴ 的最小值为5.故选：A.
6．（25-26高三下·江苏扬州·阶段检测）已知函数 恒过定点 ，且点 在函数
的图象上，则 的最小值为（ ）
A． B．8 C．4 D．
【答案】C
【解析】 过定点 ，所以 ，
因为点 在函数 的图象上，所以 ，
所以 ，当且仅当 时等号成立.
所以 的最小值为4.
7．（25-26高三上·湖北恩施·开学考试）已知 ，当 时， 的最小值是 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ， ， 的最小值是 ，
若 ，即 时，
则 ，解得 ，符合题意；
若 ，即 时，， ，不合题意舍去.
故 .故选：D.
8．（2026·河南开封·模拟预测）已知 ，且 ，若函数 的值域为 ，则 的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】若 ，则 在 单调递减，即 ， ，
当 时， 在 单调递增，则 ，
此时两部分值域的并集不为 ，不符合题意；
若 ，则 在 单调递增，即 ， ，
当 时， 在 单调递增，则 ，
要使函数 的值域为 ，则 ，解得： ，
若 ，则 ，此时函数 的值域为 ，不符合题意；
若 ，则 在 单调递增，即 ， ，
当 时， 在 单调递减，
则 ， ，此时两部分值域的并集不为 ，不符合题意；
综上，若函数 的值域为 ，则 的取值范围是二、多选题
9．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）以下运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】 ，A错误；
，B正确；
，C错误；
，D正确.
10．（2026·湖南·三模）若 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】由于 ，则 ， ，所以A，C正确；
，由A可知 ，
所以此处等号不能取，所以 ，故B正确；
，D错误．
11．（2026·河南洛阳·模拟预测）下列选项中说法正确的是（ ）A．函数 的单调减区间为
B．幂函数 过点 ，则
C．函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为
D．若函数 的值域为 ，则实数 的取值范围是
【答案】BCD
【解析】对A，函数 ， ，解得 或
因为复合函数同增异减，外层 是增函数，内层 减区间为 ，
结合定义域得 的单调减区间为 ，不是 ，因此A错误；
对B，根据幂函数定义，形如 的函数是幂函数，因此系数 ，
因为函数过 ，所以 ，解得 ；
因此 ，B正确；
对C，因为 的定义域为 ，所以对 ，
满足 ，解得 ，即 的定义域为 ，C正确；
对D，因为 值域为R，所以 需能取到所有正实数，
当 时，真数为 ，是一次函数，可取所有正实数，符合条件；
当 时，真数为二次函数，需满足开口向上 ，且判别式 ，解得 ，综上 的取值范围是 ，D正确.
三、填空题
12．（2026·广西崇左·一模）函数 的值域为______.
【答案】
【解析】因为 ，所以 ，所以 ，故 .
13．（2026·山西朔州·一模）若 ，且 ， ，则
__________.
【答案】
【解析】根据题意，由 ，可得 ，
又 ，所以 ，
令 ， ，则 ， ，
所以可得 ①， ②，
将②式通分，可得 ，即 ③，
将③式代入①式，可得 ，解得 ，即 .
14．（2026·广东茂名·二模）已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围是
________．
【答案】【解析】因为 ，故 ，
而 的定义域为 ，故 为 上的奇函数.
而 均为 上的增函数，故 为 上的增函数.
因 ，故 即 ，故 .
四、解答题
15．（25-26高三上·安徽淮北·阶段检测）函数 ．
(1)当 时，求该函数的值域；
(2)若 对于 恒成立，求 的取值范围．
【答案】(1) ；(2)
【解析】（1）由函数 ，
令 ，可得 ，
则函数 即为函数 ，
可得函数 在 上单调递减，
所以 ，
所以函数 的值域为 .
（2）令 ，可得 ，
则不等式 对任意 恒成立，
即为 对于任意 恒成立，当 时，不等式即为 恒成立，符合题意；
当 时，即为 恒成立，
因为 ，当且仅当 时，即 时，等号成立，
所以 ，
综上可得，实数 的取值范围为 .
16．（25-26高三下·河南郑州·阶段检测）已知函数 为奇函数．
(1)求实数 的值；
(2)求证： 在 上单调递增；
(3)若 在区间 上有解，求实数 的取值范围．
【答案】(1) ；(2)
由（1）可得 ，
任取 ，且 ，
则 ，
因为 ，且指数函数 在定义域 上单调递增，
所以 ，即 ，
又因为 ，所以 ，
因此 ，即 ，
故根据函数单调性的定义得，函数 在 上单调递增．
(3)【解析】（1）因为函数 是定义在 上的奇函数，
所以 ，即 ，解得 ，
此时 ，则 ，满足题意，
故实数 的值为 ．
（2）略
（3）由（2）可得，要使得 在区间 上有解，
只需 ，
而当 时， ，所以 ，
所以 ，所以 ，
故实数 的取值范围为 ．
