专题01函数的概念与性质（题型清单）（教师版）_数学_一轮复习_2027年高考数学一轮更新中_2027年高考数学一轮复习讲义+练习+课件（新教材新高考）-G55_2027版

专题 01 函数的概念与性质
题型脑图·核心考法构建
考法深研·解题技能通关
题型01 函数的定义域的求解
1、求具体函数的定义域的策略
根据函数解析式，构造使解析式有意义的不等式（组），求解不等式（组）即可；对实际问题，既要使
函数解析式有意义，又要使实际问题有意义．
2、求抽象函数的定义域的策略
（1）若已知函数 的定义域为 ，则复合函数 的定义域由不等式 求出；
（3）若已知函数 的定义域为 ，则 的定义域为 在 上的值域．
【注意】的形式如何，定义域均是指其中的自变量 的取值集合．
1．（2026·甘肃·一模）函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】要使函数 有意义，需使 ，解得 或x>0，
即函数的定义域为 .2．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）函数 的定义域为（ ）
A．(0,+∞) B． C． D．
【答案】D
【解析】要使函数有意义，则需 ，解得 且 ，
所以函数f(x)的定义域为
3．（2026·北京大兴·三模）函数 的定义域是______．
【答案】
【解析】函数 有意义，等价于 ，解得 且x≠0，
故函数的定义域为 .
4．（2026·安徽合肥·模拟预测）若函数f (x)的定义域是 ，则函数 的定义域是
__________．
【答案】
【解析】要使函数有意义，则 ，解得 ，取交集得 ．
题型02 函数解析式的求解
1、待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数等），可用待定系数法．
（1）确定所有函数问题含待定系数的一般解析式；（2）根据恒等条件，列出一组含有待定系数的方
程；（3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决．
f  gx f x
2、换元法：主要用于解决已知 的解析式，求函数 的解析式的问题．gxt
t t
（1）先令 ，注意分析 的取值范围；（2）反解出 x，即用含 的代数式表示 x；（3）将
f  gx f t f x
t
中的x度替换为 的表示，可求得 的解析式，从而求得 ．
f  gx  Fx Fx gx
3、配凑法：由已知条件 ，可将 改写成关于 的表达式，然后以 x替代
f x
g(x)，便得 的解析式．
1  1
f f 
f x f x   x     x   f x
4、方程组法：主要解决已知 与 、 、 ……的方程，求 解析式．
1
f
f x f x   x   x x x
例如：若条件是关于 与 的条件（或者与 ）的条件，可把 代为 （或者把 代为
1
f x
x
）得到第二个式子，与原式联立方程组，求出 ．
5．（25-26高三上·内蒙古乌兰察布·阶段检测）已知函数 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为函数 ，所以函数 .故选：A
6．（25-26高三上·甘肃·阶段检测）已知函数f (x)满足 ，则（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】以 代x，由 ①，得 ②，
则① ②，得 ，则 ．故选：A
7．（25-26高三下·广东江门·开学考试）已知函数f (x)对任意实数 满足 ，且
，则 （ ）
A．2❑√2 B．4❑√2 C． D．
【答案】D
【解析】令 ，可得 ，
因为 ，所以 ，则 .
8．（25-26高三上·甘肃武威·阶段检测）根据下列条件，求函数f (x)的解析式.
(1)已知函数f (x)是一次函数，若 ，求f (x)的解析式.
(2)已知 ，求f (x)的解析式.
【答案】(1) 或 ；(2)
【解析】（1） 是一次函数，∴设 （k ）
，∴
∴ 或 或
（2）令 则 ， ，
题型03 分段函数及其应用
分段函数求值问题的解题思路：
（1）求函数值：当出现 的形式时，应从内到外依次求值．
（2）求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记
要代入检验．
9．（2026·浙江·一模）已知函数 ，则 （ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】D
【解析】因为 ，所以 ，
所以 .故选：D10．（25-26高三下·重庆沙坪坝·阶段检测）已知函数 ，则
_______.
【答案】
【解析】由 ，
当 时， ，
则 ，即 ，
则 ，
即 ，则 ，
所以当 时，函数f (x)是以3为周期的函数，
而 ，且 ， ，
则 .
11．（2026·安徽马鞍山·一模）已知函数 ，且 ，则 的值为
__________.
3
【答案】-
2
【解析】函数 ，当 时， ，
当 时， ，由 ，得a>1，则 ，解得 ，
所以 .
12．（2026·江苏·模拟预测）已知函数 ，若 ，则a的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D【解析】令 ，则 ，故t>0，故 ,
所以 或 ,
故 ．
题型04 确定函数的单调性/单调区间
判断函数的单调性的四种方法
1、定义法：按照取值、取值变形、定号、下结论的步骤判断或证明函数在区间上的单调性；
2、图象法：对于熟悉的基本初等函数（或由基本初等函数构成的分段函数），可以通过利用图象来判
断单调性；
3、导数法：利用求导的方法（如有ex，lnx的超越函数）判断函数的单调性；
4、复合法：针对一些简单的复合函数，可以利用符合函数的单调性法则（同增异减）来确定单调性．
13．（25-26高三上·甘肃兰州·阶段检测）函数 的单调递增区间是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】令 ，解得 ，
令 ，则 ，
∵函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减， 在定义域内递增，
∴根据复合函数的单调性可知，函数 的单调递增区间是 故选：C
14．（25-26高三上·江西宜春·期末）已知 ，则函数f (x)的单调递增区间为（ ）
A． B．R C． D．
【答案】B
【解析】令 ，则 ，得 ，即 ，
则函数定义域为R且 ，所以函数f (x)在R上单调递增.函数f (x)的单调递增区间为R.故选：B.
15．（25-26高三上·河北雄安·期中）已知函数 在R上单调递减，则 的单调递增区间
是（ ）
A． B． C．(0,+∞) D．
【答案】A
【解析】令 ，易知u在 上单调递增，所以 在 上单调递减，
对于 ，令 ，解得 ，
令 ，当 时， 随x的增大而减小；
当 时， 随x的增大而增大，
因为 在 上单调递减，所以 的单调递增区间对应 的单调递减区间，
所以 的单调递增区间是 .故选：A.
16．（2026·河北沧州·一模）已知函数 ，则函数 的单调递增区间为（ ）
A． ， B． ，(1,2)，
C． ， D． ， ，
【答案】B
【解析】 ，则当0<x<1或 时，f'(x)<0，f (x)单调递减区间为 ，
当 时，f'(x)>0，f (x)单调递增，
对 ，有 且 ，
则 ，
又 ，故 为偶函数，故只需分析 时的单调性，
令 ，则 ，当 时， ，当 时， ， ，故 ，
在 上单调递减，则 单调递增；
当 时， ， ，故 ，
在 上单调递减， 上单调递增，
则当 时， 单调递减， 时， 单调递增；
故当 时， 单调递增区间为 、 ，
单调递减区间为 ，
由偶函数性质可知，当 时， 单调递增区间为 ，
故函数 的单调递增区间为 ， ， .
题型05 已知函数单调性求参数范围
利用单调性求参数的三种情况：
1、直接利用题意条件和单调性代入求参；
2、分段函数求参，每段单调性都符合题意，相邻两段自变量临界点的函数值取到等号；
3、复合函数求参，注意要满足定义域要求，通过分离常数法或构造函数法转化成恒成立或有解问题．
17．（2026·河北张家口·二模）已知 ，若函数 在 上单调递增，则
a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为函数 在R上单调递增， ，
所以 ，解得
又 在(1,+∞)上单调递增，即 a>1；
函数 在 上单调递增，即 ，解得 ，
综上，a的取值范围是 .18．（2026·河北沧州·模拟预测）（多选）已知函数 在区间 上单调递增，则
m的可能取值是（ ）
A． B．-2 C．4 D．-4
【答案】ABD
【解析】函数 的单调递增区间为 ，
依题意， ，则 ，解得 ，
因此m的可能取值是 ，ABD是，C不是.
19．（2026·河北·二模）若函数 在区间 上单调递减，则实数b为（ ）
❑√3
A． B． C． D．
3
【答案】B
【解析】因为 ，所以 ，
因为函数 在区间 上单调递减，
所以 在 上恒成立，
所以当 时， ，即 ；
当 时， ，即 ，
所以 ；
当 时， ，
当 时， ，正好是正弦函数的单调递减区间，
所以 符合题意；
综上， .20．（25-26高三下·河北沧州·阶段检测）已知函数 在区间(1,2)存在单调递增区间，则
正数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．(2,+∞)
【答案】D
【解析】由 ，解得：0<x<a，所以函数f (x)的定义域为 ，
令 ，二次函数开口向下，对称轴为 ，
由a>0，所以 ，
所以函数g(x)在 上单调递增，在 上单调递减，
又 在(0,+∞)上单调递增，
所以要使函数f (x)在区间 上存在单调递增区间，
则 且
即 且 ，解得a>2，即正数a的取值范围是(2,+∞).
题型06 与函数最值/值域有关的问题
求函数最值（值域）的方法
（1）单调性法；（2）图象法；（3）基本不等式法．
【注意】对于较复杂的函数，可通过换元、分离常数法等进行转化，对于无法变形化简的函数，则常利
用导数法判断函数的单调性，从而求出其值域．
21．（2026·湖北·二模）已知函数 ，则该函数的值域为（ ）
A． B． C． D．(-1,+∞)
【答案】B
【解析】 ，令 则 ，则原函数的值域等价于函数 的值域，
时， 恒成立，即 单调递增，
当 时， ， 时， ，
所以值域为 .
22．（2026·云南昆明·二模）已知函数 ，则f (x)的最大值与最小值之差为
（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解析】函数 ，
因为 单调递增，所以 ；
因为 单调递减，所以 ；
所以当x=0时， ；当x=2时， ；
则f (x)的最大值与最小值之差为6-1=5.
23．（2026·湖南·三模）已知函数 且 在 上的值域为 ，则a=
（ ）
1
A．4 B．2 C． D．
2
【答案】C
【解析】函数 在 上具有相同的单调性，
所以f(x)在 上单调，要满足题意，则f(x)在 上单调递增，
所以 ，解得 ，故选C.
24．（2026·河北邢台·一模）若函数 有最小值，则k的取值范围是________．【答案】
【解析】当x≤2时，f (x)=(x-1)ex， ，
时f' (x)<0，函数f (x)单调递减，且f (x)<0；
0<x≤2时f' (x)>0，函数f (x)单调递增，
可得函数f (x)在 上最小值为 ，最大值为 .
当 时， ，
若k>0，函数f (x)在(2,+∞)上单调递增， ，
f (x)在 上有最小值，有 ，即 ；
若 ，当x>2时 ，f (x)在 上有最小值 ；
若k<0，函数f (x)在(2,+∞)上单调递减，x→+∞时 ， f (x)在 上没有最小值.
综上， 的取值范围为 .
题型07 函数奇偶性的判断
1、判断函数奇偶性的要点
（1）函数定义域关于原点对称是函数有奇偶性的前提条件；
（2）若定义域关于原点对称，则判断 与 是否具有等量关系，具体运算中，可转化为判断
(奇函数)或 （偶函数)是否成立．
2、在公共定义域内：奇函数±奇函数=奇函数，偶函数±偶函数=偶函数，奇函数×奇函数=偶函数，
偶函数×偶函数=偶函数，奇函数×偶函数=奇函数．
25．（2026·河南开封·二模）（多选）下列函数是偶函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】对于A，函数 的定义域为 且 ，
所以函数 是偶函数，故A符合题意；
对于B，函数 的定义域为 ，
因为定义域不关于原点对称，所以函数 不具有奇偶性，故B不符合题意；对于C，函数 的定义域为 且 ，
所以函数 是奇函数，故C不符合题意；
对于D，函数 的定义域为 且 ，
所以函数 是偶函数，故D符合题意.
26．（25-26高三下·河南许昌·期中）定义在R上的函数 ，并且满足 ，则下列一
定正确的是（ ）
A．f (x)是奇函数 B．f (x)是偶函数
C．g(x)是奇函数 D．g(x)是偶函数
【答案】B
【解析】由函数 为定义在R上的函数，故函数 的定义域也是R，
令 ，
则 ，即h(x)为偶函数，
所以 也是偶函数，即 ，
所以 ，即f (x)是偶函数，
对于函数g(x)无法判断函数的奇偶性.故选：B
27．（2026·宁夏石嘴山·模拟预测）已知函数f (x)的定义域为 ，则下列函数一定为奇函数的是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】选项A：设 ，
由 ，可知 是偶函数，不能确定是奇函数，A错误.
选项B：设 ，
由 ，可知 是奇函数，B正确.
选项C：设 ，
由 ，可知 是偶函数，不能确定是奇函数，C错误.
选项D：设 ，
由 ，
可知 是偶函数，不能确定是奇函数，D错误.
28．（2026·广西河池·三模）（多选）已知定义在R上的函数f (x)满足 ，且
为偶函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数f (x)为奇函数 B．函数 为奇函数
C．函数f (x)是偶函数 D．函数 是偶函数
【答案】BCD
【解析】由 为偶函数，得 ，即 ，
所以f (x)的图象关于直线 对称.
由 及 ，得 .
令 ，则 ，所以 ，
又 ，所以 ，即 .
所以 ，因此f (x)是偶函数，故A错误，C正确.
由 ，得 ，
又f (x)是偶函数，所以 ，
所以 ，故 为奇函数，故B正确.
由 ，得 ，又f (x)是偶函数，所以 ，
所以 ，即 是偶函数，故D正确.
题型08 函数奇偶性的应用
1、求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解；
2、求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上，再利用奇偶性的定义求出；
3、求参数：利用待定系数法求解，根据 得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程（组），进而求出参数的值．
29．（25-26高三下·河南新乡·阶段检测）已知f (x)是定义在R上的奇函数，且当x≤0时， ，
则当 时， （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意，当 时， ， ，
又函数f (x)是定义在R上的奇函数，所以 .
30．（2025·浙江·三模）已知函数 为奇函数，则 ________.
【答案】
【解析】因为函数 为奇函数，
当 时, ，由 可得 ，
即
因x是任意非零实数，则 ,解得a=-2,b=-1，故 .
31．（2026·湖南·三模）设f (x)是奇函数，且 ，则 ______．
【答案】
【解析】因为f (x)是奇函数，且 ，
所以 ，即 .
32．（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）函数 在区间 上的最大值为a，最
小值为b，则 _____．
【答案】
【解析】
令 ，定义域关于原点对称，于是 ，故g(x)为奇函数，
所以g(x)在区间 上的最大值与最小值之和为 ，
故函数 在区间 上的最大值与最小值之和为 .
所以a+b=2.
题型09 函数周期性及其应用
a
常见求周期的技巧：（ 是不为0的常数）
f xa f x f xa f xa
T a T 2a
（1）若 ，则 ； （2）若 ，则 ；
1
f xa
f xaf x f x
T 2a T 2a
（3）若 ，则 ； （4）若 ，则 ；
1
f xa
（5）若 f x ，则 ； （6）若 f xa f xb，则 T  ab （ ）
T 2a a b
33．（2026·安徽安庆·模拟预测）设f (x)是周期为4的奇函数，当0≤x≤1时， ，则
______．
【答案】
【解析】因为f (x)是周期为4的奇函数，所以 ，
又当0≤x≤1时， ，所以 .
所以 .
34．（2026·四川成都·三模）已知奇函数f (x)满足 ，当 时， ，则
（ ）
A．0 B．1 C．3 D．5
【答案】B
【解析】因为函数f (x)满足 ，所以 ，即f (x)是以4为周期的函数.
由题意知奇函数f (x)的自变量x可取0，所以 .
又因为当 时， ，所以 ，解得 ，
所以当 时， ，
所以 .
35．（25-26高三下·江西·阶段检测）已知f(x)是定义在 上的偶函数，且 ，当 时，
，则 （ ）
A． B．1 C．3 D．7
【答案】C
【解析】因为f (x)是定义在R上的偶函数，所以 .又因为 ，
所以 ，所以 ，所以f (x)的周期为4.
因为 时， ，所以
36．（25-26高三下·江苏泰州·阶段检测）已知定义在R上的奇函数f (x)满足 ，当0≤x≤1时，
，则 （ ）
1 1 1
A． B．- C． D．
2 3 2
【答案】B
【解析】因为 .
因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，
所以 ，即 .
题型10 函数对称性及其应用1、关于线对称：若函数 满足 ，则函数 关于直线 对称，特别
地，当a＝b＝0时，函数 关于y轴对称，此时函数 是偶函数．
f 2ax2b f x
2、关于点对称：若函数 满足 ，则函数 关于点(a，b)对称，特别
地，当a＝0，b＝0时， ，则函数 关于原点对称，此时函数 是奇函数．
37．（2026·山东聊城·模拟预测）已知函数 是中心对称图形，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为函数f (x)的定义域是 ，所以 ，
所以a=0，所以A错误；
因为 ，所以 ，所以B正确；
，
又 在 上单调递增， 在 上也单调递增，
所以f (x)是增函数，又 ，所以 ，所以C错误；
因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，所以D错误．
38．（2026·河南郑州·模拟预测）函数 的图象关于点 对称，且 ，则
______．
【答案】
【解析】已知函数 的图象关于点 对称，
则对任意x有 ，则，
化简得 ，
，解得 ，
若 ，则 ，与题设矛盾，舍去；
若 ，则 ，解得 ，
．
39．（2026·安徽合肥·模拟预测）（多选）下列函数中，其图像是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】对于A， ，
满足 ，图像关于(-1,0)中心对称，故A满足；
对于B， 是偶函数，关于y轴对称，故B错误；
对于C， 定义域为 ，若存在对称中心，则其横坐标只能为 ，
，所以函数图像的对称中心为(-1,0)，故C满足；
对于D，f (x)定义域为 ，若存在对称中心，则其横坐标只能为1，
所以函数图像的对称中心为 ，故D满足．
40．（2026·湖南·模拟预测）（多选）下列函数的图象关于直线 对称的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】 的图象关于直线 对称，A正确．令 ，则 ，所以 的图象关于直线 对称，B正确．
的图象关于直线x=-2对称，且在 上单调递减，在 上单调递增，故C错误．
令 ，则 ，
所以 的图象关于直线 对称，D正确．
题型11 利用函数的性质比较大小
比较函数值的大小：先将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．
41．（2026·湖北·三模）已知函数 ，若 ， ， ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，所以f (x)为定义在R上的偶函数，
因为 ，当 时，即 时，解得 ，
所以f (x)在(0,+∞)上递增， ，
由 ， ，故 .
42．（25-26高三下·河南·阶段检测）已知函数 ，设 ， ， ，
则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ，故f (x)关于直线x=1对称，
求导得 ，当 时， ，故 ，即f'(x)>0，f (x)在(1,+∞)上单调递增；
当 时，即f'(x)<0，f (x)在 上单调递减，
又 ， ，
即 ， ，
所以 ， ，即 ，
根据函数的对称性和单调性可知 ，
又 ， ，
所以 ，所以 .
43．（2026·云南曲靖·二模）已知定义域为 的函数f(x)满足 ，且对任意x ， ，
1
当 时，都有 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由 得函数f(x)的图象关于 对称，
根据已知及单调性的定义，知f(x)在 上为减函数，
所以f(x)在 上为增函数，
，且 ，
．
44．（2026·河南周口·三模）已知函数f(x)的定义域为 ， ，且f (x)在(2,+∞)上
单调递增，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由 ，则 ，
令 ，则 ，所以 ，
因此函数f(x)关于点 中心对称，因为f (x)在(2,+∞)上单调递增，结合f(x)又关于点 对称，
所以f(x)在 上也单调递增.
由 ，则令t=1，所以 ，即 .
因为 ，f(x)在 上单调递增，
所以 ，即 .
题型12 利用函数的性质解不等式
解决此类问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成 或 的形
式，再根据奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相
反，列出不等式（组），同时不能漏掉函数自身定义域对参数的影响．
45．（2026·湖南·模拟预测）已知函数f (x)是定义在 上的增函数．若 ，则x的取值
范围是（ ）
A．(1,2) B． C．(2,+∞) D．
【答案】B
【解析】因为函数f (x)是定义在R上的增函数，
所以 ，
所以 ，解得1<x<3，即x的取值范围是 .
46．（2026·陕西榆林·模拟预测）定义在 上的函数f (x)满足 ， ，都有
成立，则不等式 的解集为（ ）
A．(1,2) B． C．(2,+∞) D．
【答案】A
【解析】由题知函数f (x)在 上单调递增，
当 时，不等式 可化为 ，即 ，解得 ；
当 时，不等式可化为 ，即 ，此时无解.综上，不等式 的解集为(1,2).
47．（2026·江苏无锡·三模）已知函数 ，其中e是自然对数的底数，若 ，
则实数a的取值范围是__________.
【答案】
【解析】函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，
因为 ，
所以f(x)是R上的偶函数，
因为，当 时， ，
由于 时 ，
所以f' (x)>0，即f(x)在 上单调递增；
结合偶函数性质，f(x)在 上单调递减，且满足
因为 ，
所以 等价于 ，
因为f(x)在[0,+∞)上单调递增，
所以 等价于 ，
当 时，不等式化为 ，即 ，
其判别式 ，不等式恒成立，故 ；
当 时，不等式化为 ，即 ，
因式分解得 ，解得a≤-1或 .
综上，实数a的取值范围是
48．（2026·四川广安·模拟预测）已知函数 ，则 的解集为
（ ）
A． B．
C． D．【答案】B
【解析】函数 的定义域为R，
且满足 ，
故f(x)为偶函数；
当x≥0时， ，其中 在[0,+∞)上单调递增，
在[0,+∞)上单调递减，则 在[0,+∞)上单调递增，
因此 在[0,+∞)上单调递增；
由偶函数性质， 等价于 ，
结合函数的单调性得 两边均非负，平方后不等号方向不变，
得 ，展开整理得 ，
即 ，解得 ，即 的解集为 .
题型13 函数性质的综合应用
函数的奇偶性、对称性、周期性和单调性是函数的四大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，解
题时，往往需要借助函数的奇偶性、对称性和周期性来确定另一个区间的单调性，即实现区间的转换，
再利用单调性解决相关问题．
49．（25-26高三上·山东泰安·期末）（多选）已知定义在R上的函数f(x)满足 ，且 为
奇函数，则下列选项正确的是（ ）
A．f(x)的图象关于直线 对称 B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】对于A项，设点 是y=f(x)图象上任意一点，
则 ，而 ，
所以点 也是y=f(x)图象上的点，
所以f(x)的图象关于直线 对称，故A项正确；对于B项，因为 为奇函数，
所以 ，取x=0，可知 ，所以 ；
又因为 ，所以 ，
于是 ，故B项错误；
对于C项，因为 为奇函数，所以 ，
即 ，令 ，
则 ， ，
所以 ，
因为f(x)的值域为 ，所以该结论对任意实数都成立，
即 ，故C项正确；
对于D项，由以上推理知 ，
所以 ，
所以 ；
又因为 ， ，
所以 ， ， ， ， ， ， 依次构成等差数列，其
首项为-2，公差为 ，
所以 ，故D项正确；故选：ACD.
50．（2025·福建福州·一模）（多选）已知定义在R上的偶函数f (x)和奇函数g(x)满足 ，
则（ ）
A．f (x)的图象关于点 对称 B．f (x)是以8为周期的周期函数
C． D．
【答案】BC
【解析】对于A，由题意 ， ，且 ，
又 ，即 ①，
用 替换 中的x，得 ②，
由①+②得 ，所以f (x)的图象关于点 对称，故A错误；
对于B，由 ，可得 ，即 ，
所以 ，所以f (x)是以8为周期的周期函数，故B正确；
对于C，由①可得 ，则 ，
所以 ，故C正确；
对于D，因为 ，f (x)为偶函数，所以 ，
令 ，则有 ，
令x=10，则有 ，
令 ，则有 ，
，
令 ，则有 ，
所以
，故D错误.故选：BC.
51．（2026·湖南长沙·模拟预测）（多选）已知函数 ，则（ ）
A．f (x)的定义域为
B．f (x)在 单调递减
C．y=f (x)的图像关于直线 对称
D．f (x)有最大值
【答案】ACD
【解析】 ，解得 ，
即f(x)的定义域为(0,π)，A选项正确．
，令 ，则 ．
二次函数 的图象的对称轴为直线 ，
又 的定义域为 的图象关于直线 对称．C选项正确．
π
( )
由复合函数单调性法则知，f(x)在 0, 上单调递增，在 上单调递减，B选项错误．
2当 时， 有最大值， ，D选项正确．
52．（2026·湖北武汉·模拟预测）（多选）已知函数f (x)是定义域为R的偶函数且 ， ，
且满足 ，则（ ）
A．f (x)是周期函数
B．直线 是f (x)图象的一条对称轴
C．
D．
【答案】ABD
【解析】选项A：由 ，将x替换为 得 ，故f(x)是周期为4
的周期函数，A正确；
选项B：因为f(x)是偶函数，故 ，又周期为4，所以 ，
即 ，故直线 是f(x)的对称轴，B正确；
选项C：由偶函数得 ，又 ，且 ，故 ，
解得 ，故 ，C错误；
选项D：计算得 ，周期为4，
故 .
题型14 抽象函数的性质及其应用
1、抽象函数求值：以抽象函数为载体的求值问题的常见形式，是给出函数满足的特殊条件，指定求出
某处的函数值或某抽象代数式的值．常用赋值法来解决，要从以下方面考虑：令
等特殊值求抽象函数的函数值．2、判断抽象函数单调性的方法：
（1）凑：凑定义或凑已知，利用定义或已知条件得出结论；
（2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系．有时可能要进行多次尝试．
fx y
** 错误的表达式 **若给出的是“和型”抽象函数 ，判断符号时要变形为：
fx  fx  f(x x ) x  fx  fx  fx  fx  f(x x ) x 
2 1 2 1 1 1 或 2 1 2 1 2 2 ；
fxy
** 错误的表达式 **若给出的是“积型”抽象函数 ，判断符号时要变形为：
 x   x 
fx  fx  fx  2  fx  fx  fx  fx  fx  1 
   
2 1  1 x  1 2 1 2  2 x 
1 或 2 ．
53．（25-26高三上·山东日照·期末）已知函数f (x)的定义域为 ，且
，则下列说法正确的是（ ）
A． B．f (x)是奇函数
C． D．
【答案】ACD
【解析】A：令x=1，y=0，可得 ，解得 ，
所以 ，故A正确；
B：由题可得函数f (x)的定义域为 ，令x=0，则得 ，
即 ，所以f (x)为偶函数，故B错误；
C：令y=1，即 ，即 ①，
将 替换x可得 ②，
+②得 ，则 ，
所以 ，故C正确；
D：令 ，则 ，因 ，所以 ；
由 ，所以当x=1时， ，
当 时， ，当x=3时， ，
令 ，y=1，则 ，解得 ，所以 ，
所以在一个周期内 ，
因 ，所以 ，故D正确．
故选：ACD．54．（25-26高三上·江苏无锡·期末）（多选）函数y=f (x)在R上的图象是一条连续不断的曲线，
， ，则（ ）
A． B．
C．f (x)是奇函数 D．f (x)零点个数大于1
【答案】ACD
【解析】对于A项，令 ，由已知可得， ，解得 .
令 ，由已知可得， ，
解得 .故A正确；
对于B项，令 ，代入已知条件可得，
.
又 ，所以有 .故B错误；
对于C项，令 ，代入已知条件可得，
.
因为 ，
所以有 ，
所以，f (x)是奇函数.故C正确；
对于D项，令 ，代入已知有f (0)=0.
.
令 ，由 可得，
.
1
令x= ， ，由 可得，
e
.
因为函数y=f (x)在R上的图象是一条连续不断的曲线，且 ，根据零点存在定理，可知在，使得 .
根据函数为奇函数，可知 .
所以，函数f (x)至少存在三个零点.故D正确.故选：ACD.
55．（25-26高三上·河南南阳·期末）（多选）定义域为 的函数f (x)满足：① ，
②f (x)的图象过点(1,1)，则（ ）
A． B．f (x)为偶函数
C．f (x)的图象关于点 中心对称 D．
【答案】AC
【解析】因为 ，
对于A，令x=1，y=0，则 ，
又因为f (x)的图象过点(1,1)，所以 ，所以 ，解得f (0)=0，故A正确；
对于B，令 ，则 ，由A可知f (0)=0，所以 ，
所以 ，故f (x)为奇函数，故B错误；
对于C，令 ，则 ，
即f (x)的图象关于点 中心对称，故C正确；
对于D，由于 且f (x)为奇函数，则有 ，
即 ，所以 ，
故D错误.故选：AC.
56．（2026·湖南·三模）（多选）定义在R上的函数f(x)，g(x)满足： ，
，若g(x)为偶函数，且 ，g(x)恒大于0，则下列选项正确的是
（ ）
A．f(x)为奇函数
B．
C．D．若 ，则
【答案】ABD
【解析】法一：令 ，得 ，因为 且不为0，则f(0)=0．
令 ，得 ，
故 ，则f(x)为奇函数．故A正确；
令x=0，得 ，因为f(0)=0，则 ．
令 ，得 ，故B正确；
用“- y”代替“y”，得 ，
而 ，两式相乘得 ，
所以 ，
若 ，则 ，显然不成立，故C错误；
令 ， ， ，相加得 ，
用“2x”代替“x”得 ，
继续操作得 ，
令n=10，x=1，得 ，
由 ，联立得 ，故D正确．
法二：取 ， 符合题意，
则 且定义域为R，此时f(x)为奇函数，A正确；
，B正确；
，
而 ，不恒相等，C错误；
若 ，则 ， ，D正确．