文档文本内容
第 04 讲 基本不等式及其应用
目 录
模拟·基础演练......................................................................................................................................2
题型01 基本不等式成立条件辨析 ...............................................................................2
题型02 配凑定值求最值（拆项、配系数）....................................................................3
题型04 特殊情况处理........................................................................................................5
题型05 基本不等式实际应用............................................................................................6
题型06 含参恒成立问题 .............................................................................................10
重难·创新演练..................................................................................................................................11
真题·实战演练....................................................................................................................................14
模拟·基础演练
考查重点：基本不等式求最值的应用
题型01 基本不等式成立条件辨析
一、单选题
1
1．（2025·山东菏泽·一模）“x>0”是“2x+ >2”的（ ）
2x
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【新情境】2．数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰
直角三角形△ABC中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设AD=a，
BD=b，用该图形能证明的不等式为（ ）．
a+b 2ab
A． ≥❑√ab(a>0,b>0) B． ≤❑√ab(a>0,b>0)
2 a+b
C．a+b √a2+b2 D．
≤❑ (a>0,b>0) a2+b2≥2❑√ab(a>0,b>0)
2 2
3．若非零实数a，b满足a>b，则下列不等式一定成立的是（ ）
1 1
A． > B．a+b>2❑√ab C．lga2>lgb2 D．a3>b3
a b
1 a
4． “a> ”是“对任意的正数x，均有x+ ≥1”的（ ）
4 x
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二、多选题
5．（2025·陕西·模拟预测）下列不等式一定成立的是（ ）
1 1
A．❑√x+ ≥2 B．sinx+ ≥2
❑√x sinx
C．x2+ 4 ≥3 D．ln ( x2+ 1) >lnx
x2+1 2
a+b+c
【新角度】6．任取多组正数a,b,c，通过大量计算得出结论： ≥√3 abc，当且仅当a=b=c时，等
3
号成立．若0<m<3，根据上述结论判断m2(3-m)的值可能是（ ）
A．❑√17 B．❑√15 C．5 D．3
7．若a<b<0，则（ ）1 1
A． > B．ab>b2
a b
b a
C．a+b>2❑√ab D． + >2
a b
8．下列函数中最小值为6的是（ ）
9 3
A．y=lnx+ B．y=6|sinx|+
lnx 2|sinx|
C． D．
x2+25
y=3x+32-x y=
❑√x2+16
题型02 配凑定值求最值（拆项、配系数）
一、填空题
1．（2026·河南开封·模拟预测）设 ，则 的最小值为_____________．
2．（2025·江西·二模）已知 ， ， ，则 的最小值为______.
3．若正数 ， 满足 ，则 的最大值为_______.
【新思维】4．已知正实数 满足 ，则 的取值范围为__________.
5．已知函数 且 的图象过定点A，且点A在直线 上，则
的最小值是______.
6．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，过 且垂直于x轴的直线与该双曲线
的左支交于A，B两点， ， 分别交y轴于P，Q两点，若 的周长为16，则 的最大值为
________.
7．已知正数 满足 ，则 的最小值是_________．
8．已知 ，关于 的不等式 对于一切实数 恒成立，又存在实数 ，使得成立，则 的最小值为____________.
题型03 "1 的代换" 求最值
一、单选题
1．（2026·河北沧州·二模）已知 ， ，且 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【新角度】2．（2026·天津南开·二模）已知 时， 的最小值为（ ）
A． B．3 C． D．
3．（2026·浙江·二模）已知 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C．5 D．9
4．（2026·河南·三模）已知函数 ，正数 满足 ，则 的最小
值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2026·上海杨浦·模拟预测）圆 关于直线 对称，则
的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．8
6．（2026·浙江·二模）已知 且 ，若函数 有唯一零点，则 的最小
值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题7．（2026·辽宁朝阳·三模）已知正实数 满足 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
8．（2026·山东聊城·模拟预测）已知a，b为正实数，直线 与曲线 相切，则 最
大值为______.
9．（2026·福建南平·二模）若 ， ，且 ，则 的最小值为________.
题型04 特殊情况处理
一、单选题
1．（2026·山东聊城·模拟预测）若存在实数 ，使得方程 成立，则 的最小值为
（ ）
A．1 B．3 C．6 D．8
2．（2026·湖北武汉·模拟预测）已知函数 ，若正数a，b，满足 ，则
的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2026·山东日照·模拟预测）已知 ， ，则下列说法正确的有（ ）
A．若 ，则 的最大值为1
B． 的最小值为1C． 的最小值为4
D．若 ，则 的最小值为
4．（2026·湖北十堰·模拟预测）在锐角 中，内角 的对边分别为 ，满足 ．则
（ ）
A． 的最大值为
B． 的最大值为
C． 的最大值为
D．若 ，则 的最小值为2
5．（2026·河北沧州·模拟预测）已知正实数 满足 ，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
6．（2026·陕西渭南·模拟预测）已知 为正实数，且直线 与曲线 相切，则 的最
大值为__________.
7．（2026·浙江宁波·三模）已知实数 满足 ，且 ，则 的最小值为_____．
8．（2026·湖北黄冈·模拟预测）若数列 满足 （ ， 为常数），则称数列 为调和
数列，已知数列 为调和数列，且 ，则 的最大值为____________.题型05 基本不等式实际应用
一、单选题
1．如图，在 中， ， ， 为 所在平面外一点， 的面积为 ，且平面
平面 ， ，则三棱锥 体积的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．
2．设计用 的材料制造某种长方体形状的无盖车厢，按交通部门的规定车厢宽度为 ，则车厢的最
大容积是（ ）
A．（38－3 m3 B．16 m3 C．4 m3 D．14 m3
3．最大视角问题是1471年德国数学家米勒提出的几何极值问题，故最大视角问题一般称为“米勒问题”．
如图，树顶A离地面18米，树上另一点B离地面11米，若在离地面2米的C处看此树，则 取最
大值时，点C到树底的距离与 值的积为（ ）
A． B． C． D．
【新情境】4．（2026·天津河东·一模）“明数理”数学兴趣小组在跨学科探究学习过程中遇到一个数学物
理综合问题，下图为一个串联电路图，电源电压为 ，定值电阻 的阻值为 ，滑动变阻器 的阻值范围是 到 ，已知纯电阻电路下图的一个功率公式为 ，闭合开关并移动滑动变阻器滑片，则
的功率的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
【新思维】5．如图，圆锥 内有一个内切球 ， 为底面圆 的直径，球 与母线 ， 分别切于
点 ， .若 是边长为2的等边三角形， 为底面圆 的一条直径（ 与 不重合），则下列
说法正确的是（ ）
A．球 的表面积为
B．圆锥 的侧面积为
C．四面体 的体积的取值范围是
D．若 为球面和圆锥侧面的交线上一点，则 的最大值为三、填空题
【新情境】6．（2026·河南濮阳·模拟预测）2026年马年春晚，宇树科技、银河通用、松延动力、魔法原子
通过武术、仿生、对话与精细操作等多种形式集体登台，如此密集且高水准的亮相，让观众不禁感慨人形
机器人的迭代速度，仅仅一年，就从需要搀扶上台的青涩表现，进化到能自主玩梗、连续空翻的全新阶段．
某款仿生机器人小华在某测试场地测试可视范围，如图所示，测试区域是等腰梯形 ， ，
， ， ，点E在边 上，且 ，小华在点E处看到的区域是五边形
（ 分别在边 上）且 ，则当五边形 的面积最大时，
________．
四、解答题
7．（2025·全国·二模）如图，四棱锥 的各个顶点均在球 的表面上，且
平面 .
(1)证明：平面 平面 ；
(2)求四棱锥 体积的最大值；
8．如图，在 中，角 所对的边分别为 ，已知 是 的角平分线，且 ．(1)求角 的值；
(2)若 ，求 长的最大值．
9．华为消费者业务产品全面覆盖手机、移动宽带终端、终端云等，凭借自身的全球化网络优势、全球化
运营能力，致力于将最新的科技带给消费者，让世界各地享受到技术进步的喜悦，以行践言，实现梦想.已
知华为公司生产mate系列的某款手机的年固定成本为200万元，每生产1只还需另投入80元.设华为公司
一年内共生产该款手机x万只并全部销售完，每万只的销售收入为 万元，且
(1)写出年利润 （万元）关于年产量 （万只）的函数解析式；
(2)当年产量为多少万只时，华为公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润.
10． 2025年成都世界运动会是由国际世界运动会协会主办的一项国际性体育盛会，竞赛项目以非奥运会项目为主.2025年世界运动会将于2025年8月7日至8月17日在中国四川成都举行，是中国大陆第一次举
办世界运动会.据调查，国内某公司出售一款2025年成都世界运动会吉祥物，需要固定投入300万元费用.
假设购进该款产品全部售出，若以80元的单价出售，可售出15万件，且每降价1元，销量增加五千件.若
购进该产品数量不超过30万件，则经销商按照每件30元成本收费；若购进30万件以上，则直接与玩具公
司合作，以全新方式进行销售，此时利润 （万元）与销量 （万件）的关系为
.
(1)当购进产品数量为10万件时，利润是多少？（利润 销售收入 成本）
(2)写出利润 （万元）关于购进产品数量 （万件）的函数解析式；
(3)购进并销售产品多少万件时，利润最大？此时利润是多少？
题型06 含参恒成立问题
一、单选题
1．（2025·湖北鄂州·一模）已知函数 ，若 ， ， ，均有
，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．【新思维】2．当 时， 恒成立，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【新考法】3．已知等比数列 的前 项和为 ，若关于 的不等式
恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
4．若不等式 在 时恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
【新思维】5．已知正实数 ，且 为自然数，则满足 恒成立的
可以是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知 ，且 ，若不等式 恒成立，则 的值可以为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
三、填空题
7．已知正数 ， 满足 ，若 恒成立，则实数 的取值范围为________．8．已知正数x，y满足 ，若不等式 恒成立，则实数a的取值范围是___________．
9．正数 满足 ，若不等式 恒成立，则实数 的取值范围__________.
10．若关于 的不等式 对任意 恒成立，则正实数 的取值集合为______．
重难·创新演练
设题创新:综合考察
一、单选题
1．（2026·河南许昌·三模）已知抛物线 ，过C的焦点的直线交C于A，B两点，交圆
于M，N两点，其中A，M位于第一象限，则 的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．（2026·江苏苏州·模拟预测）记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若
，则 面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2026·湖北·三模）在 中，已知 ， ．记点 的运动轨迹为曲线 ， 的外接
圆 与曲线 交于 两点．当 取最大值时， （ ）
A． B． C． D．
二、多选题
4．（2026·云南玉溪·模拟预测）若正实数 满足 ，则（ ）A． 的最小值是
B． 的最大值是
C． 的最大值是
D． 的最小值是
5．（2026·湖南株洲·模拟预测）设 的内角A，B，C的对边为a，b，c，且 ，
，则（ ）
A． B．
C． 的面积可以是 D． 的周长可以是3
三、填空题
6．（2026·陕西榆林·三模）已知直线 经过函数 的图象的对称中心，
则 的最小值为__________.
7．（2026·陕西西安·模拟预测）在 中，若 ， ， 平分 交 于
，则 的最大值为______．
8．（2026·山东淄博·三模）已知在 中， ， ，则向量 在 上的投
影向量的模的最小值为________.
四、解答题
9．（2026·陕西渭南·三模）已知 的内角 所对的边分别为 ,且．
(1)求 ；
(2)若 的外接圆半径为1，求 周长的最大值．
10．（2026·福建龙岩·三模）在 中，内角 的对边分别为 ，且 ．
(1)求 ；
(2)若 边上的中线 的长为2，求 面积的最大值．
11．（2026·四川成都·模拟预测）已知 ， ， ．
(1)求函数 的解析式及最小正周期；
(2)设 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 且 ，求 周长的最大值．
12．（2026·上海·三模）在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ．
(1)若 、 、 成等比数列，求证： ；
(2)若 、 、 成等差数列，且 ，求 的周长 的最大值．13．（2026·陕西西安·模拟预测）在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ，
．
(1)求bc的最大值；
(2)若 的周长为11，且 ，求 ．
真题·实战演练
高频考点：基本不等式的应用
一、单选题
1．（2021·浙江·高考真题）已知 是互不相同的锐角，则在 三个值中，
大于 的个数的最大值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（2019·北京·高考真题）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C： 就是其中
之一（如图）.给出下列三个结论：①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过 ；
③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.
其中，所有正确结论的序号是
A．① B．② C．①② D．①②③
3．（2015·四川·高考真题）如果函数 在区间 上单调递减，
则mn的最大值为
A．16 B．18 C．25 D．
二、填空题
4．（2018·江苏·高考真题）在 中，角 所对的边分别为 ， ， 的平分
线交 于点D，且 ，则 的最小值为________．
5．（2015·重庆·高考真题）设 ,则 的最大值为 ________．
三、解答题
6．（2004·福建·高考真题）如图，P是抛物线 上一点，直线l过点P且与抛物线C在P点处切
线垂直，与抛物线C交于另一点Q．(1)当点P的横坐标为2时，求直线l的方程；
(2)当点P在抛物线C上移动时，求线段 中点M的轨迹方程，并求点M到x轴的最短距离．
7．（2004·广东·高考真题）设函数 ．
(1)证明：当 ，且 时， ；
(2)点 在曲线 上，求曲线在点P处的切线与x轴和y轴的正向所围成的三角形面
积表达式（用 表达）．
8．（2022·上海·高考真题）在椭圆 中，直线 上有两点C、D (C点在第一象限)，左顶
点为A，下顶点为B，右焦点为F.
(1)若∠AFB ，求椭圆 的标准方程；
(2)若点C的纵坐标为2，点D的纵坐标为1，则BC与AD的交点是否在椭圆上？请说明理由；
(3)已知直线BC与椭圆 相交于点P，直线AD与椭圆 相交于点Q，若P与Q关于原点对称，求 的最小值.
