文档文本内容
专题 02 不等式
目 录 导 航
01知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系
02考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点
▶基础梳理・自主夯基 ▶高阶思维・探究拓展
考点01等式性质与不等式性质 难点解读01 含参一元二次不等式分类讨论
考点02三个“二次”之间的关系 难点解读02基本不等式多元与非常规配凑
考点03基本不等式 难点解读03恒成立与存在性不等式求参
03素养进阶·答题技法突破——提炼解题范式，提升答题素养
▶高考解密・母题探究 技法点拨02利用不等式性质求数（式）范围
技法点拨03基本不等式实际应用
题型01一元二次不等式求解与综合应用
技法点拨04不等式证明
▶重点突破・考法深研
▶易错剖析・避坑攻略
重点01利用不等式性质判断命题真假
易错点01忽视不等式成立条件致错
重点02基本不等式常规配凑求最值
易错点02忽视基本不等式应用的条件致错
▶技法提炼・审题点拨
易错点03解分数不等式忽略分母不为零致错
技法点拨01一元二次不等式标准化解题
04优题精练·专题实战通关——精选优质试题，强化实战应用知识脑图·核心脉络搭建
考点深研·知能分层突破
考点01 等式性质与不等式性质
1、等式的性质
性
文字表述 性质内容 注意
质
1 对称性 可逆
2 传递性 同向
3 可加、减性 可逆
4 可乘性 同向
5 可除性 同向
2、不等式的性质
性质 别名 性质内容 注意
1 对称性 a>b b<a 可逆
2 传递性 a>b，b>c a>c 同向
⇔
3 可加性 a>b a＋c>b＋c 可逆
⇒
a>b， ⇔c>0 ac>bc
4 可乘性 c的符号
a>b，c<0 ac<bc
⇒
5 同向可加性 a>b，c>d a⇒ ＋c>b＋d 同向
6 正数同向可乘性 a>b>0，c>d>0 ac>bd 同向
⇒
7 正数乘方性 a>b>0 an>bn(n∈⇒N，n≥2) 同正
⇒【新题对点练】（2026·安徽芜湖·二模）（多选）若 ，且 ，则下列结论一定成立的
是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】假设 ，因为 ，所以 ，则 ，
与 矛盾，假设不成立，所以 ，选项A正确；
注意到，当 ， ， 满足条件，选项B错误；
假设 ，因为 ，所以 ，则 ，
与 矛盾，假设不成立，所以 ，
因为 ，所以 ，选项C正确；
因为 ，
注意到当 ， ， 时， ，即 ，选项D错误.
考点02 三个“二次”之间的关系
判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c
(a>0)的图象
方程ax2＋bx＋c＝0
有两相异实根x，x(x<x) 有两相等实根x＝x＝－ 没有实数根
1 2 1 2 1 2
(a>0)的根
ax2＋bx＋c>0
{x|x<x 或x>x} {x|x∈R}
1 2
(a>0)的解集
ax2＋bx＋c<0
{x|x< x<x} ∅ ∅
1 2
(a>0)的解集
【新题对点练】（2026·西藏林芝·二模）（多选）已知关于 的不等式 的解集为 ，
则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．不等式 的解集为 D．不等式 的解集为
【答案】AD
【解析】对于选项A：由关于 的不等式 的解集为 ，可得 ，故A正确；对于选项B：由题意可得 ，
故 ， ，则 ，故B错误；
对于选项C： ，由 ，故 ，即 ，
所以不等式 的解集为 ，故C错误；
对于选项D： ，
由 ，则该不等式解集为 ，故D正确.
考点03 基本不等式
1、重要不等式： ,（当且仅当 时取 号）.
变形公式：
2、基本不等式：
（1）基本不等式成立的条件：
（2）等号成立的条件：当且仅当 时取等号．
（3）算术平均数与几何平均数
设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为 ，几何平均数为 ，基本不等式可叙述为两个正数的算
术平均数不小于它们的几何平均数．
3、利用基本不等式求最值
已知x>0，y>0，则
（1）如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2.(简记：积定和最小)
（2）如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值.(简记：和定积最大)．
【新题对点练】 （2026·湖南株洲·三模）已知 ， ，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵ ，
，当且仅当 ，即 ， 时等号成立.
的取值范围是 .
难点解读01 含参一元二次不等式分类讨论
新高考中档高频难点，解题遵循固定讨论顺序：先讨论二次项系数正负与是否为 0，再讨论判别式判定有
无实根，最后结合两根大小关系、开口方向确定解集；参数变化直接改变解集形态，极易出现漏解、错解．
难点破解
【典例1】（25-26高三上·河北衡水·阶段检测）设 ； .若 是 的充分
条件，则实数 的取值范围是__________.
【答案】
【解析】由 可得 ，
由 可得 ，
当 时，解得 ，符合题意；
当 时，解得 ，
若 是 的充分条件，可知 ，
所以 ，即 ， 成立，
综上， 的取值范围是 .
【典例2】（25-26高三上·山东青岛·期中）若关于 的不等式 的解集中恰有两个
整数，则 的范围是______；
【答案】
【解析】当 时，显然不合题意；当 时，原不等式可化为 ，即 ，所以 ，
因为解集中恰有两个整数，所以 ，即 ；
当 时，原不等式可化为 ，即 ，
所以若 时，则 或 ，不合题意；若 时，则 或 ，不合题意；若
时，则 ，不合题意.
综上可得， .
难点解读02 基本不等式多元与非常规配凑
突破基础定值题型，考查消元法、齐次化、“1”的代换、拆项配凑、多次连用基本不等式；核心难点是构
造和定、积定结构，同时验证等号成立条件，规避取不到最值的陷阱，是不等式压轴小题主考方向．
难点破解
【典例1】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知正实数 ， 满足 ，则 的最大值是____．
【答案】4
【解析】因为 为正实数，由基本不等式可得 ，当且仅当 时等号成立；
正实数 满足 ，得 ，代入上述不等式可得： ，
令 ，由 得 ，不等式转化为： ，整理得 ，即 ，
因为 ，所以 ，因此 ，即 ，故 ，
得 ，当且仅当 时等号成立，因此 的最大值为4.
【典例2】（2026·广西南宁·模拟预测）设 为正实数，且 ，则 的最大值为___， 的
最小值为____．
【答案】
【解析】而 为正实数，则 ，故 的最大值为 ，
当且仅当 时， 取得最大值．
令 ， ，
，
，又 ，
，
当且仅当 时，即 时 取得最小值，
的最小值为 ．
难点解读03 恒成立与存在性不等式求参
新高考高频综合难点，常结合二次函数、分式函数综合命题，核心考查参数约束与最值逻辑．恒成立问题
依托函数最值构建不等关系，二次型恒成立需结合开口方向与判别式双重判定，复杂题型可采用分离参数
法求解．解题易混淆恒成立与存在性的最值选取逻辑，分离参数时易忽略自变量正负，导致不等号方向出
错、参数范围偏差．
难点破解
【典例1】（2026·湖南·二模）若对任意的正实数x、y满足 ，不等式 恒成立，则
实数m的取值范围是（ ）
A． B． 或
C． 或 D．
【答案】A
【解析】因为不等式 恒成立，所以 .
因为 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时等号成立.
所以 ，所以 ，所以 ，
所以实数m的取值范围是 ．
【典例2】（2024·福建宁德·模拟预测）若两个正实数 ， 满足 ，且不等式 有
解，则实数 的取值范围是（ ）A． B． ，或
C． D． ，或
【答案】D
【解析】因为正实数 ， 满足 ，所以 ，
所以 ，
当且仅当 且 ，即 时等号成立.
因为不等式 有解，
所以只需 ，即 即可，
所以 或 .故选：D
素养进阶·答题技法突破
题型01 一元二次不等式求解与综合应用
考情定位：贯穿新高考全题型，是函数、导数、集合、解析几何解题前置基础，必考工具类考点，多结合
定义域、恒成立、参数范围综合命题．
核心考法：①常规一元二次不等式标准化求解；②分式、高次不等式数轴穿根求解；③结合集合运算、函
数定义域综合应用；④不等式解集逆向求参数．
解题要点：所有二次不等式必先标准化（二次项系数为正）；含参不等式严格按系数、判别式、两根大小
分层讨论；解集问题必结合数轴可视化规避范围失误．
【典例1】（2025·全国二卷·高考真题）不等式 的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】 即为 即 ，故 ，故解集为 .故选：C.
【典例2】（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知集合 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】方法一：因为 ，而 ，
所以 ．故选：C．
方法二：因为 ，将 代入不等式 ，
只有 使不等式成立，所以 ．故选：C．
重点01 利用不等式性质判断命题真假
核心解题要点：简单命题可通过不等式性质直接推导；复杂多选命题优先特殊值代入快速排除；含变量
不确定正负时，严禁随意乘除、平方变形．
高频陷阱：默认变量为正随意变形；忽略不等式不可逆性；传递性使用条件不充分，盲目推导大小关
系．
【典例1】（25-26高三下·广西崇左·阶段检测）（多选）已知a，b，c为实数，则下列结论中正确的是（
）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】AD
【解析】对于A，由 ，则 且 ，得 ，故A正确；
对于B，当 时，若 ，有 ，不满足条件 ，故B错误；
对于C，由 ，因此 ，C错误；
对于D，当 ，则 ，D正确．故选：AD．【典例2】（25-26高三下·贵州遵义·阶段检测）（多选）若 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】选项A：由 ，两边同乘 得 ，
结合 ，根据不等式性质：若 ， ，则 ，
可得 ，即 ，所以选项A正确.
选项B：取特值 ， ， ， ，则 ， ，
此时 ，所以选项B错误.
选项C：已知 ， ，设幂函数 ，
因为 ，所以幂函数 在 上单调递减，
根据幂函数的单调性，可得 ，所以选项C错误.
选项D：对 进行通分： .
因为 ，所以 ， ， ，则 .
所以 ，即 ，所以 ，所以选项D正确.
重点02 基本不等式常规配凑求最值
核心解题要点：无定值则主动配凑定值，常用拆项、补常数、调整系数；分式和式优先使用“1”的代换
构造齐次定值结构；全程验证正数条件与等号可取性．
高频陷阱：忽略变量为负的情况；只凑定值不验证等号，导致最值取不到；多次连用不等式等号条件冲
突．
【典例1】（2026·河南开封·模拟预测）设 ，则 的最小值为_____________．
【答案】
【解析】因为 ，则 ，
所以 ，当且仅当 时，即当 时，等号成立.
故当 时， 的最小值为 .
【典例2】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）（多选）已知正实数 满足： ，下列说法正确的是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【解析】对于A选项， 因为 ， 是正实数，所以 ，则 ，
又因为 ，所以 ，故A选项正确.
对于B选项，根据基本不等式， ，
已知 ，代入得 ，
两边平方得 ，即 。
等号成立当且仅当 ，结合 ，解得 ， ，故B选项正确.
对于C选项， ，
则因为 均为正实数，所以由基本不等式得 ，
所以 ，故C选项错误.
对于选项D，
由选项B知 ，所以 ，
因此， ，即 ， 故D选项错误.技法点拨01 一元二次不等式标准化解题
第一步：先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数；
第二步：写出相应的方程 ax2 bxc0 (a 0) ，计算判别式：
0 x、x x x
① 时，求出两根 1 2，且 1 2（注意灵活运用因式分解和配方法）；
b
x x
② 0 时，求根 1 2 2a；
0
③ 时，方程无解
第三步：根据不等式，写出解集．
【典例1】（2026·福建福州·模拟预测）设集合 ，集合 ， ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为 ， ，所以 ，
因为 ，所以 ．
【典例2】（2026·陕西渭南·二模）不等式 的解集为______．
【答案】
【解析】当 时，不等式变为 ，即 ，解得 ，
又 ，所以此时不等式的解集为 ；
当 时，不等式变为 ，即 ，解得 ，
又 ，所以此时不等式的解集为 ；
所以不等式 的解集为 .
技法点拨02 利用不等式性质求数（式）范围利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，解决的方法是先利用待定系数法建立所求范围的整体与
已知范围的整体的等量关系，再利用不等式的性质求解，具体步骤如下：
已知 ， ，求 的取值范围
第一步：设 ；
第二步：经过恒等变形，求得待定系数 ；
第三步：再根据不等式的同向可加性即可求得 的取值范围．
【典例1】（25-26高三上·广东汕头·期末）已知 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，则 .故选：C
【典例2】（25-26高三上·云南楚雄·期中）（多选）已知 ， ，则下列结论正确的有
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】对于A，由 ，得 ，而 ，则 ，A错误；
对于B，由 ，得 ，而 ，则 ，B正确；
对于C，由 ，得 ，而 ，则 ，C错误；
对于D，由 ，得 ；由 ，得 ，则 ，
因此 ，即 ，D正确.故选：BD
技法点拨03 基本不等式实际应用解实际应用题的三个注意点：
1、设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数；
2、根据实际问题抽象很出有关式关系式后，只需利用基本不等式求得函数的最值；
3、在求函数的最值时，一定要在定义域（使实际问题有意义的自变量的取值范围）内求解．
【典例1】（25-26高三上·河南新乡·期中）小李要做一个长方体无盖纸盒，忽略纸盒的厚度，若纸盒的高
为3cm，容积为48 ，则小李所用纸的面积的最小值为__________ .
【答案】
【解析】设底面长方形的长和宽分别为 和 ，则 ，
纸的面积 ，
当 时等号成立，
所以小李所用纸的面积的最小值为 .
【典例2】（25-26高三上·安徽淮北·期中）某校计划利用其一侧原有墙体，建造高为1.5米，底面积为100
平方米，且背面靠墙的长方体形状的露天劳动基地，靠墙那面无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如
下：长方体前面新建墙体的报价为每平方米320元，左、右两面新建墙体的报价为每平方米160元，地面
以及其他报价共计9600元.设劳动基地的左、右两面墙的长度均为 （ ）米，原有墙体足够长.
(1)当左面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？
(2)现有乙工程队也参与该劳动基地的建造竞标，其给出的整体报价为 （ ）元，若无论左
面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（约定整体报价更低的工程队竞标成功），求 的取值范围.
【答案】(1)10米；(2)
【解析】（1）设甲工程队的总报价为 元，
依题意，左、右两面墙的长度均为 （ ）米，
则长方体前面新建墙体的长度为 米，
所以 ，
即 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立.
故当左面墙的长度为10米时，甲工程队的报价最低，且最低报价为19200元.（2）由题意可知， ，
即 对任意的 恒成立，
所以 ，可得 ，即 .
，
当且仅当 ，即 时， 取最小值36.
所以 ，即 的取值范围是 .
技法点拨04 不等式证明
1、无附加条件的不等式证明：证明时要根据其结构特征，合理地构造并正确选用基本不等式或其变形
形式，这也是证明轮换对称结构的不等式（把b换a，a换c，c换b后，代数式不变的式子叫做轮换对
称性，其特征是a，b，c的地位一样）的常用思路．
2、有附加条件的不等式的证明：应先观察已知条件和所证不等式之间的联系，当已知条件中含有“1”
时，要注意“1”的代换．另外，解题时要时刻注意等号能否取到．
【典例1】（24-25高三上·内蒙古赤峰·阶段检测）已知正实数 ， 满足 .
(1)求 的最小值；
(2)证明： .
【答案】(1) ；(2)证明见解析
【解析】（1）因为 ，所以 ，
当且仅当 ， 时，等号成立，
故 的最小值为 .
（2）由 ，可得 ，当且仅当 时，等号成立，
则 ，
当且仅当 时，等号成立，
则 ，从而 .
【典例2】（25-26高三上·吉林长春·阶段检测）已知 .
(1)求 的最小值；
(2)证明： .
【答案】(1)2；(2)证明见解析
【解析】（1）由 可得 ，即 ；
所以 ，
因为 ，当且仅当 时，等号成立；
所以 ，
即 的最小值为2.
（2）令 （其中 为实数），
因此可得 ;
;
又因为 ，所以 ，
因此 ，
即
易错点01 忽视不等式成立条件致错
辨析：在使用不等式的基本性质进行推理论证时一定要注意前提条件，如不等式两端同时乘以或同时除
以一个数、式，两个不等式相乘、一个不等式两端同时n次方时，一定要注意使其能够这样做的条件．【典例1】（25-26高三上·四川泸州·阶段检测）若实数 ， 满足 ，则下列结论正确的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依题意， ，
所以 ，A选项错误.
当 时， ，B选项错误.
根据不等式的性质可知 ，C选项正确.
根据不等式的性质可知 ，D选项错误.故选：C
【典例2】（25-26高三上·山东·阶段检测）（多选）已知非零实数 ， ， 满足 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】∵ ，∴ ，∴ ，A选项正确；
当 时， ，B选项错误；
∵ ，∴ ，C选项正确；
取 ，则 ，D选项错误.故选：AC.
易错点02 忽视基本不等式应用的条件致错
辨析：（1）利用基本不等式 以及变式 等求函数的最值时，务必注意a，b
为正数(或a，b非负)，特别要注意等号成立的条件．
（2）对形如 的函数，在应用基本不等式求函数最值时，一定要注意 ， 同号．
【典例1】（2026·陕西咸阳·模拟预测）“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若 ，根据基本不等式可得 ，当且仅当 时等号成立，
所以由 可得 成立，
若 ，取 ，满足 ，但不满足 ，
所以由 推不出 ，
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件，故选：A
【典例2】（25-26高三上·福建泉州·期中）（多选）下列不等式一定成立的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】对于A，当 时， ，当且仅当 时，等号成立，
当 时， ，当且仅当 时，等号成立，所以 ，
故A错误；
对于B， ，当且仅当 时，即 时，等号成立，故B正确；
对于C，由 ，当 时，等号成立，故C正确；
对于D，由 ，
当且仅当 ，即 不成立，所以等号不成立，
所以 ，故D正确，故选：BCD.易错点03 解分数不等式忽略分母不为零致错
辨析：解含有分数的不等式,在去分母时要注意分母不为零的限制条件，防止出现增解，如
．
【典例1】（25-26高三上·江苏徐州·期中）不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 ， ，
，解得 ．
【典例2】（2026·贵州毕节·二模）不等式 的解集是______.
【答案】
【解析】不等式 ，即 ，化简得 ，
等价于 ，解得 ，
所以不等式 的解集 .
优题精练·专题实战通关
一、单选题
1．（2026·陕西西安·模拟预测）“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分必要条件的概念及基本不等式进行判断．
【解析】由基本不等式得， ，当且仅当 时，等号成立，所以当 时， ，此时 成立；
若 ，此时 ，而 ，
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件．
2．（25-26高三下·山西·阶段检测）已知 ， ，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】原式的分子和分母同时除以 ，得 ，
由条件得 ， ，所以 ，即 ，所以 ，
所以 ，则则 的取值范围是 .故选：D.
3．（25-26高三下·辽宁·阶段检测）已知实数 满足 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】实数 满足 ，
， ，A项错误；
，但是 正负不确定，B项错误；
，但是 正负不确定，C项错误；
，所以 ，D项正确.
4．（2026·重庆·模拟预测）已知 ， ，且 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ， ，且 ，由基本不等式得 ，当且仅当 时等号成立，
即 ，得 ，因为 ，所以 .
由 代入 ，解得 ，
因此当 ， 的最小值为 .
5．（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知正数a，b满足 ， 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由 得 ，于是 ，
当且仅当 ，即 ， 时，等号成立.
6．（2026·山东·模拟预测）不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，且对于对数函数 在 时单调递增，
所以原不等式等价为 ，
由 ，等价为 ，解得 或 ；
由 ，即 ，解得 ，
综上得 ，所以原不等式的解集为 .
7．（2026·重庆渝中·二模）已知不等式 的解集为 或 ，则实数 的值为
（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】C【解析】易知 是方程 的根，
即 ，所以 ,
当 时，不等式为 ，即 ,其解集为 或 .
故实数 的值为1.
8．（24-25高三上·山东·开学考试）已知关于 的不等式 的解集为 ，则
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 的解集为 可知，
1和 是方程 的两个实数根，且a＜0，
由根与系数的关系可得 ，即可得 ， ，
所以
，当且仅当 ，即 时等号成立；
因此 ．故选：D．
二、多选题
9．（2026·青海西宁·模拟预测）下列不等式中成立的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】BD
【解析】对于A：当 时， ，故A错误；
对于B：因为 ，则 ，故得 ，故B正确；
对于 C：若取 ， ，满足 ，因 ， ， ，显然不满足 ，故 C错误；
对于D：由 ，得 且 ，
因 ，可得 ，故D正确.
10．（2026·山东济宁·三模）已知 ， ， 为实数，则（ ）
A．若 ，则 B．若 ， ，则
C．若 ，则 D．若 ， ， ，则
【答案】ACD
【解析】选项A：已知 ，则 ，则 ，所以选项A正确；
选项B： 当 时，满足 ， ，
此时 ，显然 ，所以选项B错误；
选项C： ，
因为 ，所以 ，
所以 ，即 ， ，选项C正确;
选项D: 已知 ， ，将 变形为： ,
根据基本不等式，因为 ，所以 ，
则 （当且仅当 ，即 时，等号成立）；
所以 ，即 ，所以选项D正确.
11．（2025·陕西·模拟预测）下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】根据不等式的性质结合函数的性质逐一分析选项.【解析】对于A，由题可知不等式有意义须需 ，则 ，
则 ，当且仅当 时，等号成立，故A正确；
对于B，当 ，即 ， 时，有 ，故不等式不一定成立，故B错误；
对于C，由 ，则 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，故C正确；
对于D，由题意知 , ，故 ,
故不等式 成立，D正确．故选：ACD
三、填空题
12．（2026·河北沧州·三模）不等式 的解集为__________．
【答案】
【解析】原不等式可化简为 ，即 ，得 ，
故不等式的解集为 .
13．（2026·贵州贵阳·二模）若 ，且 ，则ab的最小值是______．
【答案】4
【解析】因 ，则 ，整理得 ，
解得 ，即 ，当且仅当 时取等，
故当 时，ab取得最小值为4.
14．（2026·安徽·模拟预测）若 ， ，则 的最大值是____.(其中 表示
中的较小值)
【答案】 /
【分析】利用不等式 ，结合基本不等式求解．【解析】因
≤ ，
当 时， ，
的最大值是 ．
四、解答题
15．（25-26高三上·江苏南通·阶段检测）设集合 ．
(1)若 ，求 ；
(2)若“ ”是“ ”的充分条件，求实数a的取值范围．
【答案】(1) 或 ；(2) 或
【解析】（1）当 时， 或 ；
∵ ，
∴ 或 ；
（2）∵“ ”是“ ”的充分条件，∴ ，
∵ ，即 ，
∴ 或 ，∴ 或 ，
而 ，要使得 ，
需有 或 ，
∴ 或 ．
