文档文本内容
知识解构
知识点1 对数与对数运算 知识点2 对数函数的图象及其性质
题型破译 (含超链接）
题型
1 对数与对数运算
题型
2 换底公式的应用
题型
3 对数函数的概念、定义域和解析式
题型
4 对数型函数过定点问题
题型
5 对数函数的图象
题型
6 对数（型）函数的单调性
【方法技巧】对数函数图象的识别及应用方法
题型
7 利用对数（型）函数的单调性求参数数
题型
8 对数函数的最值（值域）
题型
9 根据对数型函数最值（值域）求参数数
题型
10
比较对数大小
题型
11
解对数方程及不等式
【方法技巧】解对数不等式的两种类型及方法
题型
12
对数函数性质的综合应用
【方法技巧】对数函数性质的综合应用求解策略
题型
13
指（对）
函数的实际应用
题型
14
反函数
第05 讲 对数与对数函数
内容导航
命题透视·考情前瞻
01
命题透视·考情前瞻
素养，研判高考命
对标
题趋势
02
思维建模·脉络梳理
搭建知
框架，构建系
思
识
统
维
03
知识精讲·靶向突破
拆解核心知
，
型技巧
识归纳题
04
真题溯源·考向感知
溯源真
，感知高考考向
题逻辑
05
课本典例·高考素材
立足
本典例，挖掘高考素材
课
——
素养，研判高考命
对标
题趋势
核心考点
2026 年
2025 年
2024 年
对数函数的单调性
全国I 卷T8（5 分）
全国I 卷T6（5 分）
对数函数的性质应用
全国Ⅱ卷T8（5 分）
考情分析
对数函数是常见的重要函数，对数与对数函数是高考常考的热点内容，主要
考查对数函数及其图象和性质，以选择题、填空题为主，分值5 分，难度中档。
近三年考情显示，对数函数往往与幂函数、指数函数结合考查，主要以基本
函数的性质为依托，结合指、对数运算性质，运用幂函数与指、对数函数的图象
与性质解决具体的问题，包括比较指对幂的大小、解不等式等题型，主要以单选
题的形式考查.
复习目标
1.理解对数的概念和运算性质，熟练指对互化，能用换底公式能将一般对数转化成
自然对数或常用对数
2.了解对数函数的概念，能画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调
性与特殊点
3.熟练掌握对数函数y=loga x(a>0 且a≠1)与指数函数y=ax(a>0 且a≠1)
的图象关系
思维建模·脉络梳理
——搭建知
框架，构建系
思
识
统
维
知识精讲·靶向突破
——拆解核心知
，
型技巧
识归纳题
知●识●解●构
知识点1 对数与对数运算
1．对数的概念
（1）对数：一般地，如果
，那么数 x 叫做以a 为底 N 的对数，记作
其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.
（2）对数式与指数式的互化：
.
（3）两个重要对数：常用对数，以10 为底的对数lg N ；自然对数，以无理数e=2.71828…为底数的对数
ln N .
2．对数的性质
（1）1 的对数等于0，即
；
（2）底数的对数等于1，即
；
（3）对数恒等式
.
3．对数的运算性质
如果
，那么：（1）
；
（2）
； （3）
.
4．对数的换底公式
对数的换底公式：
.
换底公式的变形及推广：
（1）
；（2）
；
自主检测（多选题）下列指数式与对数式互化正确的是（ ）
A．
与
B．
与
C．
与
D．
与
【答案】AD
【详解】首先，我们给出指数式和对数式的互化关系式
，
对于A，
可化为
，故A 正确，对于B，
可化为
，故B 错误，
对于C，
可化为
，故C 错误，对于D，
可化为
，故D 正确.
故选：AD
知识点2 对数函数的图象及其性质
1．对数函数的概念
一般地，我们把函数
叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是
.
2．对数函数的图象和性质
一般地，对数函数
的图象与性质如下表所示：
底数
图象
x
y
x=1
(1,0)
x
a
log
O
x
y
x=1
(1,0)
x
a
log
O
性质
定义域
值域
定点
函数图象恒过点
，即
时，
.
函数值的正负
当
时，
；
当
时，
当
时，
；
当
时，
单调性
在
上为增函数
在
上为减函数
对称性
函数
与
的图象关于
轴对称.
必记结论
底数
对对数函数函数图象的影响
(1)底数
与1 的大小关系决定了对数函数图象的“升降”
当
时，对数函数的图象“上升”；
当
时，对数函数的图象“下降”.
(2)底数的大小决定了图象相对位置的高低
无论是
还是
，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大.
①上下比较：在直线
的右侧，
时，
越大，图象越靠近
轴；
时，
越小，图象越靠
近
轴；
②左右比较：比较图象与直线
的交点，交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大.
3．对数函数与指数函数的关系
指数函数
且
）与对数函数
且
）互为反函数，其图象关于直线
对称.
自主检测（多选）已知
的定义域为
，值域为
，则（ ）
A．若
，则
B．对任意
，使得
C．对任意
的图象恒过一定点
D．若
在
上单调递减，则
的取值范围是
【答案】ACD
【详解】对于A，因为定义域为
，只需要
恒成立，
所以判别式
，即
，
所以真数
不能取遍所有正实数，所以
，故A 正确；
对于B，若
，即
，
化简
，
故
解得
，故B 错误；
对于C，
，因为与
无关，所以
，
，故定点为
，故C 正确；
对于D，若
在
上单调递减，只需要
在
上单调递减，且
，即
，解得
，故
.故D 正确.
故选：ACD
思维拓展
拓展1 与对数函数有关的函数定义域
(1)对数函数
的定义域为
(2)形如
的函数，定义域由
来确定.
(3)形如
的复合函数在求定义域时，必须保证每一部分都要有意义.
拓展2 与对数函数有关的函数值域
(1)对数函数
的值域利用函数的单调性求解.
(2) 求形如
的复合函数的值域，先求
的值域，然后结合函数
的性质确定函数
的值域.
(3)求形如
的复合函数的值域，其中复合函数
一般是关于
的二次函数，可采用换元法求解，注意新元的取值范围.
拓展3 与对数函数有关的函数单调性
对数型复合函数一般分为两类：
型和
型.
(1)对于
型复合函数的单调性，一般用复合法判定，即令
，则只
需研究
及
的单调性即可.
(2)对于
型复合函数的单调性，首先由
确定函数的定义域，然
后判断
在定义域上的单调性，然后结合底数
或
再来确定
的单调性，
其核心是同增异减.
拓展4 与对数函数有关的函数奇偶性
由于对数函数的定义域为
，因而其本身是非奇非偶函数.但与对数函数有关且具有奇偶性的函数
却屡见不鲜.例如：
(1)函数
和函数
均为奇函数.
(2)函数
是奇函数.
(3)函数
是偶函数.
题●型●破●译
题型1 对数与对数运算
例1-1 若
则
（ ）
A．1 B．
C．
D．2
【答案】A
【详解】因为
所以
则
.
故选：A.
例1-2（2026·新疆喀什·模拟）已知
，
，且
，则
（ ）
A．3
B．2
C．
D．
【答案】A
【详解】由
，可得
，又
，
，解得
.
故选：A.
例1-3（2026·山东泰安·模拟预测）已知
，
，则
____________.
【答案】1
【详解】由
可得
，又
，
则
.
方法技巧 对数的性质与运算性质
（1）对数的性质：loga1＝0，logaa＝1，
＝N(a>0，且a≠1，N>0)．
（2）对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
①
loga(MN)＝logaM＋logaN；②loga＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM
(n∈R)．
【变式训练1-1·变考法】已知
，且
，则
（ ）
A．2 或8
B．
或8
C．8
D．64
【答案】C
【详解】因为
，
，
令
，所以
，解得
或
（不符合题意舍去），
所以
，解得
.
故选：C
【变式训练1-2·变考法】（2026·甘肃武威·模拟预测）已知函数
，若
，则
（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】法1：由
，得
，所以
，所以
，
所以
，即
，所以
．
法2：
，所以
．
故选：D
【变式训练1-3】计算
的值为____________.
【答案】
【详解】原式
.
故答案为：.
【变式训练1-4】方程
的解集为____________.
【答案】
【详解】由题意得
，解得
，
，解得
，因为
，
所以
，则
，
由对数函数性质得
在
上单调递增，
可得
，解得
，不在范围内，故原不等式解集为
.
故答案为：
题型2 换底公式的应用
例2-1 已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先利用对数的换底公式得
，
，最后利用对数的运算法则即可求解.
【详解】由题意有
，
，
所以
，
故选：A.
例2-2 若
，则
的值为 .
【答案】
【详解】
，则
.
故答案为：
【变式训练2-1】若
，则
（ ）
A．
B．1
C．2
D．4
【答案】C
【详解】由
有
，令
，则
，
所以
，
故选：C.
【变式训练2-2】已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
．
故选：D.
【变式训练2-3·变题型】．（2026·浙江杭州·3 月质检）（多选）下列命题正确的是（ ）
A．“
”的否定为“
” B．“
”是“
”的必要条件
C．若
，则
D．
【答案】ABC
【分析】本题可根据全称命题的否定、必要条件的定义、对数的换底公式以及两角和的正弦公式来逐一分
析选项即可.
【详解】对于A，命题“
”，其否定为“
”， 故A 正确；
对于B，由
能推出
，所以“
”是“
”的必要条件，故B 正确；
对于C， 已知
，可得
，所以
，故C 正确；
对于D，
，故D 错误.
故选：ABC.
题型3 对数函数的概念、定义域和解析式
例3-1（多选）下列函数是对数函数的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【详解】只有
与
符合对数函数的定义．
故选：BD.
例3-2 函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由题意可得
，解得
.
故选：A.
例3-3 已知对数函数
过点
，则
的解析式为___________；
在
的最大值是
___________．
【答案】
；
【详解】可设对数函数
，由对数函数
过点
，
可得：
，
所以对数函数
，由于
因为
，根据对数函数
是增函数，所以
的最大值是
故答案为：
；.
【变式训练3-1】已知
，
，则集合
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】求出集合
、
，利用补集和交集的定义可求得集合
.
【详解】因为
，
，
所以，
，因此，
.
故选：D.
【变式训练3-2】已知函数
，若图象过点
，则
的值为（ ）
A．
B．2
C．1
D．
【答案】B
【详解】由题可得
，所以
，即
，所以
.
所以
，所以
.
故选：B.
【变式训练3-3·变载体】（2026·贵州毕节·一模）函数
的定义域为__________.
【详解】令
，
解得
或
，即
，因此函数
的定义域为
.
故答案为：
.
【变式训练3-4·原创题】已知函数
是对数函数，则
__________．
【答案】
【详解】已知函数
是对数函数，则
，且
，
，
解方程
得
，
，且
，
，
，故
，
．
故答案为：
．
【变式训练3-5·变考法】定义在R 上的奇函数
，当
时，
，则
____________.
【答案】
【分析】由奇函数的性质求得
，再有
求函数值.
【详解】由
在R 上为奇函数，则
，
所以
.
故答案为：
题型4 对数型函数图象过定点问题
例4-1 函数
的图象经过的定点坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】因为对数函数
恒过定点
，
所以对于函数
，令
，解得
，
当
时，
，所以函数
的图象经过的定点坐标为
.
故选：C
例4-2 函数
，且
恒过点
，则
（ ）
A．0
B．1
C．2
D．4
【答案】A
【详解】由函数
的图象恒过点
，得
，解得
，
所以
.
故选：A
【变式训练4-1·变考法】已知函数
（
，
）的图象恒过定点
，若点
也在函数
的图象上，则
．
【答案】
【分析】通过对数函数的性质求出定点
的坐标，再将点
坐标代入函数
求出
的值，最后把
代入
得出结果.
【详解】对于函数
，因为
恒成立.
令
，解得
把
代入函数
，解得
.
所以函数
过定点
.
，
.故
.
所以
．
故答案为：
.
【变式训练4-2·变设问】函数
（
，且
）的图象恒过定点
，若点
在
上，其中
，则
的最小值为______．
【答案】
【详解】函数
（
，且
）的图象恒过定点
，
因为点
在
上，所以
，即
，
因为
，
所以
，
当且仅当
时，即
，
时，等号成立，
所以
的最小值为
.
故答案为：
题型5 对数函数的图象
例5-1 函数
的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由函数
，可得函数
的定义域为
，
又由
，所以函数
为偶函数，图象关于
轴对称，
当
时，
，由对数函数的性质得
在
单调递减，且
，
所以选项D 符合题意.
故选：D.
例5-2 已知函数
为常数，其中
的图象如图，则下列结论成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由该函数的图象通过第一、二、四象限知该函数为减函数，所以
；
因为图象与
轴的交点在
轴上方，所以
，所以
.
故选：D
例5-3【新思维】（多选）如图，这是函数
和
的大致图象，其中
，图象中在
点
处形成了4 条曲线，从左至右分别记为
，则（ ）
A．
是函数
的图象
B．
是函数
的图象
C．
是函数
的图象
D．
是函数
的图象
【答案】BC
【分析】
中，令
，解得
或
，同理
中，令
，解得
或
，故
，再图象中，画出
，确定
是函数
的图象，
是函数
的图象.
【详解】
中，令
，则
，
，若
，则
，
，解得
，
若
，则
，
，解得
，
同理
中，令
，则
，
，若
，则
，
，解得
，
若
，则
，
，解得
，
因为
，所以
，
作出直线
，如下：
显然，
是函数
的图象，
是函数
的图象.
故选；BC
方法技巧 对数函数图象的识别及应用方法
（1）在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、
最低点等)排除不符合要求的选项．
（2）一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
【变式训练5-1·变考法】（多选）函数
的大致图象不可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【详解】函数
的定义域为
，
因为
，所以函数
为偶函数，
当
时，
为减函数，且过定点
，
故函数
的大致图象不可能为BCD 选项.
故选：BCD.
【变式训练5-2·变考法】如图所示的函数图象对应的函数解析式可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】应用函数对称性判断C，D，再根据
时，
排除A.
【详解】由图可知函数图象关于原点对称，所以该函数为奇函数，
中，
，
，
不相等，所以C 选项错误；
中，
，
，
不相等，所以D 选项错误；
对于
，当
时，
，与图象不符，故排除A.
故选：B
【变式训练5-3·变载体】已知函数
，若正实数
互不相等，且
，则
的取值范围为____________.
【答案】
【分析】根据分段函数可得函数图象，从而可得
的范围，据此可求
的取值范围.
【详解】
的图象如图所示：
不妨设
，则
且
，
其中
，
故
即
，
故
，
故答案为：
.
【变式训练5-4 变考法】已知函数
，
，若
有一个零点，则m 的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由
，得
，因此
有一个零点，
当且仅当函数
的图象与直线
有且仅有一个公共点，
函数
在
上单调递增，函数值集合为
，在
上单调递增，函数值集合为R，
在同一坐标系内作出函数
的图象与直线
的图象，
观察图象知，当
时，函数
的图象与直线
有两个交点，
当
时，函数
的图象与直线
有1 个交点，
所以m 的取值范围是
.
故选：C
题型6 对数（型）函数的单调性
例6-1 函数
的单调递增区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由已知得
，解得
或
，函数的定义域为
，
因为
总为增函数，要求函数
的单调递增区间，
由同增异减可得即求函数
在
上的增区间
由二次函数的性质可得
在
上的增区间为
，
故函数
的单调递增区间是
.
故选：A.
例6-2 函数
的单调递减区间（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由题意可得
，
因为当
，则对数函数
在
上单调递减，
所以当
时，
单调性与对数函数的一致，则
单调递减区间为
；
当
时，
的单调性与对数函数相反，即
在
上单调递增，
综上，函数
的单调递减区间为
.
【变式训练6-1·变考法】对于实数
，“
”是“
”的（ ）
A．充要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】若
，取
，
，此时
无意义，不满足
.
因此“
”不能推出“
”，充分性不成立.
若
，因
在
上单调递增，故
且
、
.
因此“
”可以推出“
”，必要性成立.
综上所述，“
”是“
”的必要不充分条件.
故选：B
【变式训练6-2 变考法】（多选）已知函数
，则（ ）
A．
是奇函数
B．
C．
在
上单调递减
D．
在
上单调递增
【答案】ACD
【详解】要使得函数
有意义，则
，解得
且
，所以
的定义域关于原点对称，
且
，从而
是奇函数，A 正确；
，B 错误；
当
时，
，
在
上单调递减，
在
上单调递增，
所以
在
上单调递减，C 正确；
当
时，
，
在
上单调递增，
在
上单调递增，
所以
在
上单调递增，D 正确.
故选：ACD
【变式训练6-3 变考法】函数
的图像如图所示，则函数
的单调递减
区间是____________.
【答案】
【详解】由函数
的图像，可得
在
上单调递减，在
上单调递增，
令
，可得
在
上单调递增，
要使得函数
单调递减，则满足
或
，
因为
，解得
或
，所以函数
的单调递减区间
.
【变式训练6-4·变考法】
的单调递减区间为____________.
【答案】
【详解】令
，解得
，
可知
的定义域为
，
因为
在定义域内单调递增，且
在
内单调递增，
在
内单调递减，
可得
在
内单调递增，在
内单调递减，
所以
的单调递减区间为
.
故答案为：
题型7 利用对数（型）函数的单调性求参数
例7-1 已知函数
在区间
上单调递增，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】因为
在
上单调递增，由函数
在
上单调递增，
可得
在
上单调递增且
恒成立，
，解得
，
即实数
的取值范围是
.
故选：C.
例7-2（函数
，若
在
上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为
在
上单调递减，所以
，解得
.
所以实数a 的取值范围是
.
故选：B.
例7-3（【新载体】多选）（2025·湖北孝感·三模）已知函数
在区间
上单调递增，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【分析】设
，可得函数
在
上单调递减，根据复合函数的单调性即可得
的范围即
可判断AB，利用单调性即可判断CD.
【详解】
的定义域为
．
设
，可得函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
根据复合函数的单调性可得
，故A 正确，B 错误；
由
，可得
，又
在
上单调递减，
则
，故C 正确，D 错误．
故选：AC．
【变式训练7-1 变考法】“函数
在区间
上单调递增”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据对数函数的单调性，结合复合函数单调性的性质、充分性和必要性的定义进行判断即可.
【详解】二次函数
的对称轴为
，
函数
在区间
上单调递增，则
，解得
，
由
可得
，但是由
得不到
，
所以函数
在区间
上单调递增是
的必要不充分条件.
故选：B．
【变式训练7-2】已知函数
在
上单调递增，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由函数
在
上单调递增，
可得
在
上单调递增，
且
在
上恒成立，故需满足
，解得
.
故选：B.
【变式训练7-3·变载体】已知函数
在区间
上单调递增，则参数
的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用分段函数单调性，结合对数型复合函数及二次函数单调性列式求解.
【详解】函数
在
上单调递增，函数
在
上单调递增，
因此
在
上单调递增，而
在
上单调递增，
则函数
在
上单调递增，且
，于是
且
，解得
，
所以参数
的取值范围是
.
故选：D
【变式训练7-4 变角度】已知函数
对任意的
，都满足
，则实数a 的取值范围是____________.
【答案】
【详解】当
时，
在
上单调递增，显然不满足
，所以
，只需
在
上恒成立，且
在
上单调递增，即
对
恒成立，且
对称轴
，故
．故实数a 的取值范围是
．
故答案为：
题型8 对数函数的最值（值域）
例8-1 函数
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】对于
，有
，解得
，
对于
，其图象开口向下，对称轴为
，
当
时，
，当
时，
，
所以当
时，
，即
，
又
在其定义域内单调递增，所以
，则
，
则
的值域为
.
故选：D.
例8-2【新思维】已知函数
，则函数
的最小值为（ ）
A．-1
B．1
C．
D．
【答案】B
【详解】
的定义域为
，
当
时，
，
，所以
当
时，
，
,所以
.
所以
.
.
【变式训练8-1 变考法】函数
的最小值为 .
【答案】
【详解】因为
，
当
，即
时，
取到最小值，且
.
故答案为：
【变式训练8-2 变考法】（多选）对于函数
，下列说法正确的是（ ）
A．
是偶函数
B．
是奇函数
C．
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增
D．
没有最小值
【答案】AC
【详解】
为偶函数，A 正确，B 错误；
作出
的图象如图所示，可知
在
上单调递减，在
上单调递增；
由图象可知函数存在最小值0，C 正确，D 错误．
故选：AC．
【变式训练8-3 变考法】已知函数
（
，且
），若函数
在区间
上的最大
值与最小值之差为1．
(1)求函数
解析式；
(2)当
，求函数
的最值，并求出取得最值时对应的x 的值；
【答案】(1)
(2)当
时，函数
有最小值
，当
时，函数
有最大值0
【详解】（1）当
时，函数
单调递增，
函数
在区间
上的最大值与最小值分别为
，
，
由题意可得：
，
此时区间为
；当
时，此时
，显然区间
不成立，
综上所述：
，即
；
（2）
，
令
，因为
，所以
，
所以
，
所以
，
，
，
，
所以当
时，函数
有最小值
，当
时，函数
有最大值0.
题型9 根据对数型函数的最值（值域）求参数
例9-1【新思维】已知函数
且
在
上的值域为
，则
（ ）
A．4
B．2
C．
D．
【答案】C
【详解】函数
在
上具有相同的单调性，
所以
在
上单调，要满足题意，则
在
上单调递增，
所以
，解得
.
故选C.
例9-2【新角度】若函数
有最小值，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据对数函数的性质可得
且
，则
，即可求出
的大致范围，
再令
的根为
、
且
，
，
，对
分两种情况讨论，结
合二次函数、对数函数的单调性判断即可；
【详解】依题意
且
，所以
，解得
或
，综
上可得
，
令
的根为
、
且
，
，
，
若
，则
在定义域上单调递增，
在
上单调递增，在
上单调递减，
根据复合函数的单调性可知，
在
上单调递增，在
上单调递减，
函数不存在最小值，故舍去；
若
，则
在定义域上单调递减，
在
上单调递增，在
上单调递减，
根据复合函数的单调性可知，
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以函数在
取得最小值，所以
；
故选：A
【变式训练9-1·变考法】已知函数
存在最小值，则实数的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】令
，
,要使函数
存在最小值，
则
在
上有大于0 的最小值,结合二次函数的图像与性质即可求解.
【详解】令
，则
,
令
,
所以函数
存在最小值，
则
在
上有大于0 的最小值,由二次函数的图像与性质可得：
，
解得：
,所以实数的取值范围是
故选：A
【变式训练9-2】已知函数
且
的值域为
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】令
，分析可知函数
的值域包含
，利用导数分析该函数的单调性与极值，
可知
，即可解出实数
的取值范围.
【详解】令
，因为函数
的值域为
，故函数
的值域包含
，
求导得
，又因为
且
，由
可得
，
当
时，
，即函数
在
上单调递减，
当
时，
，即函数
在
上单调递增，
所以
，即
，解得
，
故实数
的取值范围是
.
故选：D.
【变式训练9-3】已知函数
在区间
上有最大值或最小值，则实数
的取值范围
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据
开口向上，故需
在区间
上有最小值，且
，从而得到不
等式，求出答案.
【详解】要使函数
在区间
上有最大值或最小值，
由于
开口向上，
故需函数
在区间
上有最小值，且
．
该函数图像的对称轴为直线
，所以
，解得
，
所以
，且
，即实数
的取值范围为
．
故选：B．
【变式训练9-4·变考法】已知函数
在
上的最小值是1，则
____________.
【答案】
【分析】分三类
，
，
，由复合函数的单调性判断
的单调性，即可求出最小值.
【详解】若
，则
，
在
上单调递增，最小值为
，不符合
题意；
若
，则
的定义域为
，
且由复合函数的单调性可知
在
上单调递增，
则最小值为
，解得
，不符合题意；
若
，则
的定义域为
，
由题意可得
，则
，
此时由复合函数的单调性可知
在
上单调递增，
则最小值为
，解得
，符合题意；综上，
.
故答案为：
【变式训练9-5·变载体】（2026 安徽合肥·模式）已知函数
（
且
）， 若
有最小值， 则实数a 的取值范围是____________.
【答案】
【详解】
是减函数，在
时最小值是
，
若
，则
是减函数，
时，
，没有最小值，不合题意，
时，
是增函数，因此要使得
取得最小值，则
，解得
，
故答案为：
．
题型10 比较对数的大小
例10-1 已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因为
，所以
易知
，
所以
故选：A.
例10-2【新思维】（2026·山东临沂·二模）已知实数x，y，z 满足
，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由题意，
．由
，得
，
函数
在
上单调递增，
单调递减，
故方程有唯一解，且
．
由
，代入
得
，故
．
令
，该函数在
上单调递增，
因为
，
，所以
．
综上，
．
故选：D.
【变式训练10-1】设
，
，
，则
，
，的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】易知
，即
；而
，即
；
又
，因此
，所以
.
故选：D
【变式训练10-2】已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
，
，
，
所以
【变式训练10-3·变载体】已知函数
，若
，则
的大
小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先化简，再应用对数函数单调性及复合函数单调性规则得出单调性即可判断.
【详解】函数
，
因为
是减函数，
是增函数，所以
是减函数，
又因为
，所以
，故
，即
.
【变式训练10-4·变角度】三个数
的大小顺序为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】构造函数并求导，利用导数分析函数的单调性和最大值，从而得出
，再利用对数的运
算性质计算求出
的大小关系，从而判断
的大小顺序．
【详解】已知
，构造函数
，
求导得
，
当
时，
，故
，函数单调递增；
当
时，
，故
，函数单调递减；
在
处取得极大值，即为最大值，
，即
，
，故
，
．
【变式训练10-5 变考法】函数
的定义域为
，满足：①
，②任意
，
都有
.设
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由①可知：
为奇函数；由②可知：
是
上的增函数；
且
，
因为
，则
，所以
.
故选：B.
题型11 解对数方程及不等式
例11-1 若实数
满足
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】将题干中的不等式变形为
，令
，其中
，分析该函数的单
调性，将不等式变形为
，结合函数
的单调性即可得解.
【详解】因为实数
满足
，即
，可得
，
令
，其中
，
因为函数
、
在
上均为增函数，故函数
在
上为增函数，
因为
，由
，可得
，故
.
因此，实数
的取值范围是
.
故选：B.
例11-2（2026·陕西西安·模拟）已知
，则满足
的实数m 的取值范
围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由
，易知其定义域为
，
由
，则函数
为偶函数，
，
由
在
上单调递增，
在
上单调递减，在
上单调递增，
则
在
上单调递减，在
上单调递增，
即函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
由
，则
，即
，
整理可得
，分解因式可得
，解得
.
故选：A
例11-3 解不等式：
（1）
；
（2）
（
且
）．
【答案】（1）
（2）答案见解析
【详解】（1）原不等式等价于
，解得
，所以不等式的解集为
；
（2）原不等式化为
．
当
时，不等式等价于
，不等式组无解．
当
时，不等式等价于
，解得
．综上可知，当
时，解集为
；
当
时，解集为
．
方法技巧 解对数不等式的两种类型及方法
类型
方法
logax＞logab
借助y＝logax 的
性求解，如果
单调
a 的取
不确定，需分
值
a＞1 与0＜a＜1 两种情况
讨论
logax＞b
需先将b 化
以
为
a
底的
数式的形式，再借助
为
对
y＝logax 的
性求解
单调
【变式训练11-1】不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由已知得
，解得
.
故选：D.
【变式训练11-2】若函数
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为
，
所以
，又因为定义域为
关于原点对称，所以
是奇函数，
由于
，
可知函数
在定义域
上单调递减，所以
即
，即
，
则
，该不等式组无解，所以解集为
.
故选：D.
【变式训练11-3】（2026·江苏苏州·阶段考试）设函数
，则满足
的
的取值范
围是__________.
【答案】
【详解】由
可得
，则
，解得
，所以定义域为
，
当
时，
，由
可得
，即
，无解；
当
时，
，
由
可得
，即
，
即
，解得
，又
，所以
，即不等式的解集为
.
故答案为：
【变式训练11-4 变载体】（2026·湖北黄冈·模拟预测）已知
是奇函数，则不等式
的解集是____________.
【答案】
【详解】
的定义域为
，因为
为奇函数，所以
，故
，即
.
代入可得
,其定义域为
，关于原点对称，
且
，为奇函数.
所以
符合题意，又
均在
上单调递增，
故
在
上单调递增，由
，得
又
为奇函数，即
，所以
，
所以
，解得
或
，
故
或
，故原不等式的解集为
【变式训练11-5·变角度】设函数
，若
且
，则
的取值范围为__________．
【答案】
【详解】
的图象如下图所示
由图象可知，当
时，
单调递减，所以
，此时
，
当
时，
，
，
，即
，化简可得
，解得
，
综上所述，因为
，所以
的取值范围为
.
题型12 对数函数性质的综合应用
例12-1（2026·河北保定·阶段检测）（多选）已知函数
，则（ ）
A．函数
的单调递增区间是
B．函数
的值域是
C．函数
的图象关于
对称
D．不等式
的解集是
【答案】BC
【详解】对于A 选项，由
可得
或
，所以函数
的定义域为
，因为函数
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，
且函数
为增函数，所以函数
的单调递增区间是
，故A 错；
对于B 选项，由A 知函数
的定义域为
，
当
或
时，函数
值域为
，
所以函数
的值域是
，故B 对；
对于C 选项，因为
，
所以函数
的图象关于
对称，故C 对；
对于D 选项，由
可得
，
解得
或
，
所以不等式
的解集是
，故D 错.
故选：BC.
例12-2【新思维】已知定义在
上的奇函数
满足：
，且当
时，
（
为常数），则
的值为（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
【答案】A
【分析】由
在
上为奇函数，根据
，求得
，再由
，得到
的周期为
，结合
，代入计算，即可求解.
【详解】由函数
，
因为
在
上为奇函数，可得
，解得
，
所以函数
，
又因为
，所以函数
的周期为
，
所以
.
故选：A.
例12-3 已知函数
，且
．
(1)证明：
是奇函数；
(2)判断
的单调性，并用定义证明；
(3)若对任意
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
在
上单调递减，证明见解析
(3)
【详解】（1）因为
，且
，
即
，所以
，解得
，
，
由
解得
，
的定义域为
，
对于任意
，都有
，且
，
是奇函数.
（2）
在
上单调递减.
证明：设
，则
，
，
，
，
，
在
上单调递减.
（3）对任意
，不等式
恒成立，即任意
，不等式
恒成立，
令
，
，
因为
在
上单调递减，所以
在
上单调递减，
，
实数
的取值范围为
.
【变式训练12-1 变考法】（2026·河南郑州·模拟检测）（多选题）关于函数
，下列说法
正确的有（ ）
A．
的定义域为
B．
的函数图象关于y 轴对称
C．
的函数图象关于原点对称
D．
在
上单调递增
【答案】ACD
【详解】因为
，则
，解得
，
所以
的定义域为
，故A 正确；
因为
，即
为奇函数，
所以
的图像关于原点对称，故B 错误，C 正确；
因为
在
上单调递增，
在
上单调递增，
所以
在
上单调递增，故D 正确；
故选：ACD
【变式训练12-2 变载体】（2026·湖南长沙·模拟）已知函数
在
上单调递增，则a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】当
时，根据对数函数的性质可知：函数
在
上单调
递增，符合题意；
当
时，由换底公式可得
，
因为函数
在
上单调递增，且函数
在
上单调递增，所以
.
又
，所以
，
，所以
，所以
，即
，解得
.
综上，a 的取值范围为
.
故选：A.
【变式训练12-3】
，若存在
使得
成等差数列，则
的取
值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据等差数列的性质列方程，结合对数函数的知识列不等式，由此求得
的取值范围.
【详解】由
，解得
，
依题意，存在
使得
成等差数列，
即存在
使得
，
即存在
使得
，
则
，
，
设
，则
，函数
的开口向上，对称轴为
，
所以函数
在区间
上单调递增，则
，
所以
，而
且
，所以
.
故选：B
【变式训练12-4】已知函数
方程
有四个不相等的实数根
，则
的取值范围为_______________.
【答案】
【详解】不妨设
，方程
有四个不相等的实数根等价于
的图象与直线
有四个不同的交点，作出
的图象如图所示．
由图象可知，
．因为
，所以
，即
，
所以
．因为
在
上单调递减，所以
，即
．又点
关于直线
对称，所以
．所以
的取值范围是
．
方法技巧 对数函数性质的综合应用求解策略
1.奇偶性：判断
与
的关系，注意定义域需关于原点对称．
若
，则
非奇非偶（定义域
不关于原点对称）．
复合函数如
，需先求定义域，再验证
（奇函数）．
2.对称性：
若
，则图象关于直线
对称；
若
，则图象关于点
对称．
题型13 指（对）函数的实际应用
例13【新情境】（2026·山东德州·模拟预测）在人工智能的图象识别算法优化过程中，模型的准确率提升
倍数
与训练数据量
（单位：
）的关系式为
，其中
为常数.当训练数据量为
时，模
型的准确率提升倍数为22.5.当准确率提升倍数
达到135 时，模型在识别复杂图象时能达到极高的准确率，
要想达到此标准，应该选择的训练数据量约为（ ）（参考数据：
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据题设条件，将
代入关系式
可求出
的值，再利用对数的运算即可求解.
【详解】当
时，
，即
.
当
时，
，即
，
则
，即
.
因为
，
所以
.令
，则
，
所以
，则
.
【变式训练13-1·变情境】深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，
在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为
（
为常数），其中
表示每一轮优化时使用的学
习率，
表示初始学习率，
表示衰减系数，
表示训练迭代轮数，
表示衰减速度.已知某个指数衰减
的学习率模型中
，当
时，学习率为0.25；当
时，学习率为0.0625，则学习率衰减到
0.05 以下所需的训练迭代轮数至少为（ ）（参考数据：
）
A．33
B．34
C．35
D．36
【答案】B
【分析】根据已知条件列方程，求出
，再由
，结合指对数关系和对数函数的性质求解即可.
【详解】由题意可得
，解得
，所以
，
令
，得
，所以
，所以
，
所以
，
所以学习率衰减到0.05 以下所需的训练迭代轮数至少为
.
故选：B
【变式训练13-2·变考法】数学中的同构法是将不同的代数式（或不等式、方程式）通过变形，转化为形式
结构相同或相近的式子，然后通过同构函数利用函数的单调性解题，此方法常用于求解具有对数、指数等
混合式子结构的等式或不等式问题.如
与
（将
化为
）可以同构为
.若
已知关于a 的方程
和关于b 的方程
可化为同构方程，则
，
.
【答案】 3 8
【分析】化方程
为
，利用同构方程的意义求出
；构造函数并利用导数确
定单调性得
即可计算得解.
【详解】关于b 的方程
，
依题意，
，解得
；
因此
，显然
，
函数
，求导得
，函数
在
上单调递增，
由
，得
，则
，即
，
所以
.
故答案为：3；8
故选：B.
题型14 反函数
例14-1 函数
的反函数是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为
，所以函数
的值域为
，
由
，所以
，得
，
所以
，所以函数
的反函数为
.
故选：B.
例14-2 若函数
的图象与
的图象关于直线
对称，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．9
【答案】B
【详解】因为两个函数图象关于直线
对称，所以
是
的反函数，
对
整理得：
，
，交换
可得反函数：
，
又因为
，所以
，化简可得：
，即
，
两边取以3 为底的对数，则
.
故选：B
【变式训练14-1】若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数且f(2)＝1，则f(x)等于（ ）
A．log2x B． C．log
\f(1,2
x
D．2x-2
【解析】选A.函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数是f(x)＝logax，又f(2)＝1，即loga2＝1，所以a＝2.故f(x)
＝log2x.
故选：A.
【变式训练14-2】已知函数
（
且
）的图像过点
，其反函数的图像过点
，求
a，b 的值．
【答案】
，
【分析】应用指数运算及反函数性质列式计算求解.
【详解】因为
的图像过点
，所以
．①
又因为
的反函数图像过点
，所以点
在原函数
的图像上．
所以
．②
联立①②得
，
．
【变式训练14-3·变考法】（多选）（2026·江苏南京·3 月检测）已知函数
的零点为
的零点为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【详解】依题意，
，
，
则
分别是直线
与函数
，
图象交点的横坐标，
而函数
与
互为反函数，它们的图象关于直线
对称，
又直线
垂直于直线
，则点
与点
关于直线
对称，
则
，于是
，
，
，BC 正确，A 错误；
因为
,所以
，
则
，即
，D 错误.
故选：BC
真题溯源·考向感知
——溯源真
，感知高考考向
题逻辑
1．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间
上单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D 即可.
【详解】对于A，因为
在
上单调递增，
在
上单调递减，
所以
在
上单调递减，故A 错误；
对于B，因为
在
上单调递增，
在
上单调递减，
所以
在
上单调递减，故B 错误；
对于C，因为
在
上单调递减，
在
上单调递减，
所以
在
上单调递增，故C 正确；
对于D，因为
，
，
显然
在
上不单调，D 错误.
故选：C.
2．（2024·广东江苏·高考真题）已知函数
在R 上单调递增，则a 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.
【详解】因为
在
上单调递增，且
时，
单调递增，
则需满足
，解得
，
即a 的范围是
.
故选：B.
3. （2026·天津·高考真题）已知函数
，若
，
，
，则
，
，
的大小关系为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【分析】根据对数函数与绝对值的性质化简
，再由指数函数、对数函数和幂函数的单调性比较大小
即可.
【详解】由题意可得
，
因为函数
在
上单调递增，所以
，
又因函数
在
上单调递增，则
，
所以
，
因
，且
在
上单调递增，
所以
，即
.故
.
故选：A
4．（2025·全国一卷·高考真题）若实数x，y，z 满足
，则x，y，z 的大小关
系不可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】法一：设
，对
讨论赋值求出
，即可得出大小关系，利
用排除法求出；
法二：根据数形结合解出.
【详解】法一：设
，所以
令
，则
，此时
，A 有可能；
令
，则
，此时
，C 有可能；
令
，则
，此时
，D 有可能；
故选：B．
法二：设
，所以，
根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根，
作出函数
的图象，以上方程的根分别是函数
的图象与直线
的交点纵坐标，如图所示：
易知，随着
的变化可能出现：
，
，
，
，
故选：B．
5．（2025·北京·高考真题）一定条件下，某人工智能大语言模型训练N 个单位的数据量所需要的时间
（单位：h），其中k 为常数．在此条件下，已知训练数据量N 从
个单位增加到
个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N 从
个单位增加到
个单位时，训练时间
增加（ ）
A．2h
B．4h
C．20h
D．40h
【答案】B
【分析】由题给条件列出不同训练数据量时所需的时间，结合对数的运算性质即可求解.
【详解】设当N 取
个单位、
个单位、
个单位时所需时间分别为
,
由题意，
，
，
，
因为
，所以
，
所以
，
所以当训练数据量N 从
个单位增加到
个单位时，训练时间增加4 小时.
故选：B.
6．（2024·全国甲卷·高考真题）已知
且
，则
____________.
【答案】64
【分析】将
利用换底公式转化成
来表示即可求解.
【详解】由题
，整理得
，
或
，又
，
所以
，故
故答案为：64.
课本典例·高考素材
——立足
本典例，挖掘高考素材
课
1.已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
，
，所以
.
故选：A.
2.使式子
有意义的x 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
，且
【答案】D
【详解】
，
解得
，即
且
.
故选：D.
3.已知
与
互为相反数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由已知得
，即
，所以
.
故选：C.
4．在2 h 内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加：
停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．能反映血液中药物含量
随时间变化的图象
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加，则第一段图象为线段，且为增函数，
排除A，D，停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．排除C．
能反映血液中药物含量
随时间变化的图象是B．
故选：B．
5.已知
，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
，作出
的图象如图
在
上为减函数.
，
，即
.
又
，
.
故选：D.
6．求满足下列条件的各式的值：
（1）若
，求
的值；
（2）若
，求
的值.
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）
，
，
；
（2）
，
.
7．求下列函数的定义域：
（1）
；
（2）
.
【答案】D（1）
.（2）
【详解】（1）由条件知
，故定义域为
.
（2）由条件知
，
即
.故此函数的定义域为
.
8．比较下列各题中三个值的大小：
（1）
；
（2）
.
【答案】（1）
（2）
【详解】（1）因为
，
，
且
，故
.
（2）
，
，同理可证
.
9．已知
，
，
，求实数a 的取值范围.
【答案】
【详解】
，
（1）当
时
成立；
（2）当
时，解得
．又
，
，∴a 的取值范围是
．
10．声强级
（单位：dB）由公式
给出，其中I 为声强（单位：
）.
（1）一般正常人听觉能忍受的最高声强为
，能听到的最低声强为
.求人
听觉的声强级范围.
（2）平时常人交谈时的声强约为
，求其声强级.
【答案】（1）
（2）
【详解】（1）
.
.
因此人听觉的声强级范围为
.
（2）
.
11．已知函数
，
（
，且
）．
（1）求函数
的定义域；
（2）判断函数
的奇偶性，并说明理由．
【答案】（1）
（2）函数
为定义域
上的偶函数
【详解】（1）由
，
则有
，得
．则函数
的定义域为
．
（2）函数
为定义域
上的偶函数．
令
，
则
，
又
．
则
，有
成立．
则函数
为在定义域
上的偶函数．
12．如图，函数
的图象由曲线段OA 和直线段AB 构成.
（1）写出函数
的一个解析式；
（2）提出一个能满足函数
图象变化规律的实际问题.
【答案】（1）
；（2）见解析
【详解】（1）当
时，设
，由图知，
，
；
．
当
时，设
，由图知，
，
，
，
，
，
．
（2）例如，一辆车从甲地到乙地去办事，时间用
（小时）表示，位移用
（公里）表示，
去时匀加速前进，用时2 小时，回来时，匀速直线运动，用时3 小时，图象如图所示，求位
移关于时间的函数关系式．
