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2026 年高考数学一轮复习
专题6：对数运算与对数函数、幂函数
知识点一 对数与对数运算
1、对数的概念与性质
（1）对数的概念：如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x 叫做以a 为底数N 的对数，记作x＝logaN，其中a
叫做对数的底数，N 叫做真数，logaN 叫做对数式。
（2）对数的性质
对数式与指数式的互化：ax＝N⇔x＝logaN(a>0，且a≠1)；
①loga1＝0，②logaa＝1，③alogaN＝N，④ logaaN＝N (a>0，且a≠1).
指数式与对数式的关系
2、对数的的运算法则
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0
①loga(M·N)＝logaM＋logaN ②loga＝logaM－logaN ③logaMn＝nlogaM(n∈R)
3、换底公式
（1）logab＝(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0)
选用换底公式时，一般选用e 或10 作为底数。
（2）换底公式的三个重要结论
(1)logab＝； (2)loga
mbn＝logab； (3)logab·logbc·logcd＝logad.
知识点二 对数函数及其性质
1、对数函数的概念
（1）定义：函数
（
，且
）叫做对数函数，其中x 是自变量，定义域为
．
（2）特殊的对数函数
①常用对数函数：以10 为底的对数函数y=lg x .
②自然对数函数：以无理数e 为底的对数函数y=ln x .
2、对数函数的图象与性质
图象
a＞1
0＜a＜1
性质
定义域：(0，＋∞)
值域：R
当x＝1 时，y＝0，即过定点(1,0)
当0＜x＜1 时，y＜0；
当x＞1 时，y＞0
当0＜x＜1 时，y＞0；
当x＞1 时，y＜0
在(0，＋∞)上为增函数
在(0，＋∞)上为减函数
3、对数函数图象的常用结论
（1）函数y＝logax 与y = log 1
a
x的图象x 轴对称；
（2）对数函数的图象与底数大小的关系
如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，
故0＜c＜d＜1＜a＜b.
由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．
知识点三 幂函数及其性质
1、幂函数的定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x 是自变量，α 是常数．
（1）幂函数的特征：xα的系数是1；xα的底数x 是自变量；xα的指数α 为常数．
只有满足这三个条件，才是幂函数．对于形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6 等的函数都不是幂函数．
（2）幂函数的图象：同一坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y = x
1
2的图象(如图)．
3x
y
图象
定义域
值域
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
增
时，增
增
增
时，
减
时，减
时，
减
定点
(1,1)和(0,0)
(1,1)
2、幂函数的性质
（1）所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)；
（2）如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增；
（3）如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当x 从右边趋向于原点
时，图象在y 轴右方无限接近y 轴，当x 从原点趋向于＋∞时，图象在x 轴上方无限接近x 轴；
（4）在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y 轴．
函
数
特
征
性
质
3、二次函数的图象和性质
函数
y＝ax2＋bx＋c(a>0)
y＝ax2＋bx＋c(a＜0)
图象(抛物线)
定义域
R
值域
对称轴
x＝－
顶点坐标
奇偶性
当b＝0 时是偶函数，当b≠0 时是非奇非偶函数
单调性
在上是减函数；
在上是增函数
在上是增函数；
在上是减函数
一、对数运算
1 对数混合运算的一般原则
（1）将真数和底数化成指数幂形式，使真数和底数最简，用公式loga
mbn＝logab 化简合并；
（2）利用换底公式将不同底的对数式转化为同底的对数式；
（3）将同底对数的和、差、倍运算转化为同底对数真数的积、商、幂；
（4）如果对数的真数可以写成几个因数或因式的相乘除的形式，一般改写成几个对数相加减的形式，然
后进行化简合并；
（5）对数真数中的小数一般要化成分数，分数一般写成对数相减的形式。
2、对数运算中的几个运算技巧
（1）
的应用技巧：在对数运算中如果出现
和
，则一般利用提公因式、平方差公式、
完全平方公式等使之出现
，再应用公式
进行化简；
（2）
的应用技巧：对数运算过程中如果出现两个对数相乘且两个对数的底数与真数位
置颠倒，则可用公式
化简；
（3）指对互化的转化技巧：对于将指数恒等式
作为已知条件，求函数
的值的问
题，通常设
，则
，
，
，将
值带入函数
求解。
二、对数式比较大小的方法
1、若底数相同，则可由对数函数的单调性直接判断；
2、若底数不同，真数相同，则可以利用函数图象法比较，或取倒数比较；当底数为真数的因数且真数的
因数中除底数外都相同时可以转化为同真数比较大小，如
与
可化为
与
之后再比较；
3、若底数与真数都不同时，我们常借助中间值（如-1,0,1 等）来比较。
4、图象法：在坐标系中画出图象找到每个数的相应位置，然后进行比较；
5、作差或作商进行比较大小：。
三、对数型复合函数的值域
1、形如
(log
)
a
y
f
x （
0
a
，且
1
a
）的函数求值域
换元法：令log
a x
t ，先求出log
a x
t 的值域，再利用
y
f t 的单调性，再求出
y
f t 的值域。
2、形如
log
a
y
f x （
0
a
，且
1
a
）的函数的值域
换元法：令
f x
，先求出
f x
的值域，再利用
log
a
y
的单调性，求出
log
a
y
f x 的
值域。
四、指对幂比较大小
1、单调性法：当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，
然后利用该函数的单调性比较；
2、作差法、作商法：
（1）一般情况下，作差或者作商，可处理底数不一样的对数比大小；
（2）作差或作商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧与方法；
3、中间值法或1/0 比较法：比较多个数的大小时，先利用“0”“1”作为分界点，然后再各部分内再利用函
数的性质比较大小；
4、估值法：（1）估算要比较大小的两个值所在的大致区间；
（2）可以对区间使用二分法（或利用指对转化）寻找合适的中间值；
5、构造函数，运用函数的单调性比较：
构造函数，观察总结“同构”规律，很多时候三个数比较大小，可能某一个数会被可以的隐藏了“同
构”规律，所以可能优先从结构最接近的的两个数规律
（1）对于抽象函数，可以借助中心对称、轴对称、周期等性质来“去除f( )外衣”比较大小；
（2）有解析式函数，可以通过函数性质或者求导等，寻找函数的单调性、对称性，比较大小。
6、放缩法：
（1）对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数；
（2）指数和幂函数结合来放缩；
（3）利用均值不等式的不等关系进行放缩；
（4）“数值逼近”是指一些无从下手的数据，如果分析会发现非常接近某些整数（主要是整数多一些），
那么可以用该“整数”为变量，构造四舍五入函数关系。
考点一 对数运算
【例1-1】计算
（1）
.
（2）
（3）
.
【例1-2】已知
，则
（ ）
A．25
B．5
C．
D．
考点二 对数函数
【例2-1】函数
的定义域是____________．
【例2-2】函数
单调递减区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例2-3】函数
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-1】函数
的图象和函数
的图象的交点个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【变式2-2】已知函数
的图象如图所示，则
满足的关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-3】已知函数
在
上单调递增，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-4】设函数
则满足
的
取值范围是（ ）
A．[-1,2]
B．[0,2]
C．[1,+
）
D．[0,+
）
考点三 对数型复合函数的值域
【例3】已知函数
且
.
（1）当
时，求
的值域；
（2）若
在
上的最大值大于
，求
的取值范围.
【变式3】已知函数
．
（1）若
，求
的取值范围；
（2）当
时， 求函数
的值域．
考点四 幂函数
【例4-1】下列幂函数中，定义域为
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例4-2】设α∈
1
1,1
3
2
，，，则使函数y＝xα的定义域为R 的所有α 的值为（ ）
A．1,3
B．－1,1
C．－1,3
D．－1,1,3
【变式4】已知当
时，函数
的图象与
的图象有且只有一个公共点，则实数
的取值范围是________.
考点五 指对幂比较大小
【例5】已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5】已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
1.
模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城。有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺
炎累计确诊病例数
( 的单位：天)的
模型：
，其中
为最大确诊病例
数。当
时，标志着已初步遏制疫情，则
约为( )(
)
A.
B.
C.
D.
2.设
，
，
，则
的大小关系为( )
A.
B.
C.
D.
3.设
，
，
，则( )
A.
B.
C.
D.
4.如图是幂函数
的部分图象，已知
取
，
，
，
这四个值，则与曲线
，
，
，
相
对应的
依次为（ ）
A．
，
，
，
B．
，
，
，
C．
，
，
，
D．
，
，
，
5. 设函数
，则
( )
A.是偶函数，且在
单调递增 B.是奇函数，且在
单调递减
C.是偶函数，且在
单调递增 D.是奇函数，且在
单调递减
6. 若
，则( )
A.
B.
C.
D.
7. 若
，则( )
A.
B.
C.
D.
8.函数
为奇函数，则实数
__________．
9.已知函数
，若
，则此函数的单调递增区间是 ．
