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专题09 立体几何初步
目录一览
2023 真题展现
考向一 立体几何的体积
考向二 外接球与内切球
考向三 空间角
真题考查解读
近年真题对比
考向一 旋转体
考向二 立体几何的体积
考向三 外接球与内切球
考向四 球体的表面积
考向五 空间角
考点六 直线与平面的位置关系
命题规律解密
名校模拟探源
易错易混速记/二级结论速记
考向一 立体几何的体积
1．（2023•新高考Ⅱ•第14 题）底面边长为4 的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长
为2，高为3 的正四棱锥，所得棱台的体积为 ．
2．（2023•新高考Ⅰ•第14 题）在正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝1，AA1=√2，则该棱台的
体积为 ．
考向二 外接球与内切球
3．（2023•新高考Ⅰ•第12 题）（多选）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器
（容器壁厚度忽略不计）内的有（ ）
A．直径为0.99m 的球体
B．所有棱长均为1.4m 的四面体
C．底面直径为0.01m，高为1.8m 的圆柱体
D．底面直径为1.2m，高为0.01m 的圆柱体
1
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考向三 空间角
4．（2023•新高考Ⅱ•第9 题）（多选）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB 为底面直径，∠APB＝
120°，PA＝2，点C 在底面圆周上，且二面角P﹣AC﹣O 为45°，则（ ）
A．该圆锥的体积为π
B．该圆锥的侧面积为4√3π
C．AC＝2√2
D．△PAC 的面积为√3
【命题意图】
考查空间几何体的表面积与体积、外接球问题、空间角等．
【考查要点】
命题会涉及到体积，表面积，角度等计算，涉及到最值计算，范围求取，考查空间想象力、运算求解
能力、数形结合思想、转化与化归思想、逻辑推理能力．
【得分要点】
1．表面积与体积公式
（1）棱柱的体积公式：设棱柱的底面积为S，高为h，V 棱柱＝S×h．
（2）棱锥的体积公式：设棱锥的底面积为S，高为h，V 棱锥= 1
3Sh．
（3）棱台的体积公式：设棱台上底面面积为S，下底面面积为S′，高为h，
V 棱台= 1
3 ×(S+ S' +√S×S' )×h．
（4 ）圆柱的体积和表面积公式：设圆柱底面的半径为r ，高为h(母线长l)，则
{
V 圆柱= π r
2h
S圆柱=2×π r
2+2πrl =2πr(r +l)．
（5 ）圆锥的体积和表面积公式：设圆锥的底面半径为r ，高为h(母线长l)，母线长为l ：
{
V 圆锥= 1
3 π r
2h
S圆锥= π r
2+ πrl = πr(r +l)
．
（6）圆台的体积和表面积公式：设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，高为h，母线长为l：
{
V 圆台= 1
3 πh(r
2+ R
2+ Rr )
S圆台= π r
2+ π R
2+ πrl+ πRl = π(r
2+ R
2+rl+ Rl)
．
（7）球的体积和表面积：设球体的半径为R，V 球体= 4
3 π R
3，S 球体＝4πR2．
2．外接球题型归类：
（1）三线垂直图形
2
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计算公式：三棱锥三线垂直
还原成长方体
（2）由长方体（正方体）图形的特殊性质，可以构造如下三种模型：
①三棱锥对棱相等．
，
，
，是三个对棱棱长．
②等边三角形与等腰直角三角形连接．
③投影为矩形．
（3）线面垂直型：线垂直一个底面（底面是任意多边形，实际是三角形或者四边形（少），它的外
接圆半径是r，满足正弦定理）．
计算公式
；其中
（4）面面垂直型
一般情况下，俩面是特殊三角形。垂面型，隐藏很深的线面垂直型
（5）垂线相交型
等边或者直角：等边三角形中心（外心）做面垂线，必过球心．
3
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直角三角形斜边中点（外心）做面垂线，必过球心．
许多情况下，会和二面角结合．
3．直线和平面所成的角：
一条直线和一个平面斜交，它们所成的角的度量问题（空间问题）是通过斜线在平面内的射影转化为
两条相交直线的度量问题（平面问题）来解决的．具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下的
环节：
（1）作：作出斜线与射影所成的角．
（2）证：论证所作（或找到的）角就是要求的角．
（3）算：常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求
出角．
（4）答：回答求解问题．
4．线面角的求解方法：
传统求法：可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过解
直角三角形求得．
向量求法：设直线l 的方向向量为a
→，平面的法向量为u
→，直线与平面所成的角为θ，a
→与u
→的夹角为
φ，则有sinθ＝|cos φ|=|a
→
⋅u
→
|
|a
→
||u
→
|
．
5．二面角的平面角求法：
（1）定义法．
（2）三垂线定理及其逆定理．
（3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两
个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．
（4）平移或延长（展）线（面）法．
（5）射影公式．
（6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角．
（7）向量法：用空间向量求平面间夹角的方法：
设平面α 和β 的法向量分别为u
→和v
→，若两个平面的夹角为θ，则
①当0≤＜u
→，v
→
＞≤π
2 ，θ=＜u
→，v
→
＞，cosθ＝cos＜u
→，v
→
＞=
u
→
⋅v
→
|u
→
|| v
→
|
．
②当π
2 ＜＜u
→
，v
→
＞＜π 时，cosθ＝﹣cos＜u
→
，v
→
＞=−
u
→
⋅v
→
|u
→
|| v
→
|
．
考向一 旋转体
4
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5．（2021•新高考Ⅰ）已知圆锥的底面半径为
，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（
）
A．2
B．2
C．4
D．4
考向二 立体几何的体积
5．（2022•新高考Ⅰ）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已
知该水库水位为海拔148.5m 时，相应水面的面积为140.0km2；水位为海拔157.5m 时，相应水面的面积
为180.0km2．将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m 上升到
157.5m 时，增加的水量约为（
≈2.65）（ ）
A．1.0×109m3
B．1.2×109m3
C．1.4×109m3
D．1.6×109m3
6．（2021•新高考Ⅱ）正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（ ）
A．20+12
B．28
C．
D．
7.（多选）（2022•新高考Ⅱ）如图，四边形ABCD 为正方形，ED⊥平面ABCD，FB∥ED，AB＝ED＝
2FB．记三棱锥E﹣ACD，F﹣ABC，F﹣ACE 的体积分别为V1，V2，V3，则（ ）
A．V3＝2V2
B．V3＝V1
C．V3＝V1+V2
D．2V3＝3V1
8.（多选）（2021•新高考Ⅰ）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AA1＝1，点P 满足
＝λ
+μ
，其
中λ∈[0，1]，μ∈[0，1]，则（ ）
A．当λ＝1 时，△AB1P 的周长为定值
B．当μ＝1 时，三棱锥P﹣A1BC 的体积为定值
C．当λ＝
时，有且仅有一个点P，使得A1P⊥BP
D．当μ＝
时，有且仅有一个点P，使得A1B⊥平面AB1P
考向三 外接球与内切球
9．（2022•新高考Ⅰ）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为36π，且
3≤l≤3
，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
5
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A．[18，
]
B．[
，
]
C．[
，
]
D．[18，27]
10．（2022•新高考Ⅱ）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3
和4
，其顶点都在同一球
面上，则该球的表面积为（ ）
A．100π
B．128π
C．144π
D．192π
考向四 球体的表面积
11．（2021•新高考Ⅱ）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地
球静止同步轨道卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36000km（轨道高度是指卫星到地球表
面的距离）．将地球看作是一个球心为O，半径r 为6400km 的球，其上点A 的纬度是指OA 与赤道平面
所成角的度数．地球表面上能直接观测到的一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为α，该卫星信
号覆盖地球表面的表面积S＝2πr2（1﹣cosα）（单位：km2），则S 占地球表面积的百分比约为
（ ）
A．26%
B．34%
C．42%
D．50%
考向五 空间角
12.（多选）（2022•新高考Ⅰ）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，则（ ）
A．直线BC1与DA1所成的角为90°
B．直线BC1与CA1所成的角为90°
C．直线BC1与平面BB1D1D 所成的角为45°
D．直线BC1与平面ABCD 所成的角为45°
考点六 直线与平面的位置关系
13.（多选）（2021•新高考Ⅱ）如图，下列正方体中，O 为底面的中心，P 为所在棱的中点，M，N 为正方
体的顶点，则满足MN⊥OP 的是（ ）
A．
B．
C．
D．
本章内容是高考必考内容之一，多考查空间几何体的表面积与体积，空间中有关平行与垂直的判定，
空间角等问题。
6
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高考对本章内容的考查比较稳定，针对这一特点，复习时，首先梳理本章重要定理、公式与常用结论，
扫清基础知识和公式障碍；然后分题型重点复习，重视立体几何表面积与体积、内接球与外切球、空间角
的解题思路。
一．棱柱的结构特征（共2 小题）
1．（2023•盐亭县校级模拟）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为3，以A 为球心，
为半径的球被
该正方体的表面所截，则所截得的曲线总长为
．
2.（多选）（2023•晋江市校级模拟）直三棱柱ABC﹣A1B1C1，中，AB⊥AC，AB＝AC＝AA1＝1，点D 是线
段BC1上的动点（不含端点），则以下正确的是（ ）
A．AC∥平面A1BD
B．CD 与AC1不垂直
C．∠ADC 的取值范围为
D．AD+DC 的最小值为
二．旋转体（圆柱、圆锥、圆台）（共1 小题）
3．（2023•河南模拟）已知圆台O1O 的上、下底面半径分别为r，R，高为h，平面α 经过圆台O1O 的两条
母线，设α 截此圆台所得的截面面积为S，则（ ）
A．当h≥R﹣r 时，S 的最大值为（R+2r）h
B．当h≥R﹣r 时，S 的最大值为
C．当h＜R﹣r 时，S 的最大值为（R+2r）h
D．当h＜R﹣r 时，S 的最大值为
三．棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积（共3 小题）
4．（2023•南通三模）已知底面半径为r 的圆锥SO，其轴截面是正三角形，它的一个内接圆柱的底面半径
为
，则此圆柱与圆锥的侧面积的比值为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2023•安阳二模）2022 年12 月7 日为该年第21 个节气“大雪”．“大雪”标志着仲冬时节正式开始，
该节气的特点是气温显著下降，降水量增多，天气变得更加寒冷．“大雪”节气的民俗活动有打雪仗、
赏雪景等．东北某学生小张滚了一个半径为2 分米的雪球，准备对它进行切割，制作一个正六棱柱模型
ABCDEF﹣A1B1C1D1E1F1，设M 为B1E1的中点，当削去的雪最少时，平面ACM 截该正六棱柱所得的截
面面积为
平方分米．
6．（2023•皇姑区校级模拟）用一张正方形的纸把一个棱长为1 的正方体形礼品盒完全包好，不将纸撕开，
7
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则所需纸的最小面积是
．
四．棱柱、棱锥、棱台的体积（共13 小题）
7．（2023•郑州模拟）陀螺又称陀罗，是中国民间最早的娱乐健身玩具之一，在山西夏县新石器时代的遗
址中就发现了石制的陀螺．如图所示的陀螺近似看作由一个圆锥与一个圆柱组成的组合体，其中圆柱的
底面半径为1，圆锥与圆柱的高均为1，若该陀螺由一个球形材料削去多余部分制成，则球形材料体积
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2023•宁夏三模）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，线段B1D1上有两个动点E，F（E 在F
的左边），且EF＝
．下列说法不正确的是（ ）
A．异面直线AB1与BC1所成角为60°
B．当E 运动时，平面EFA⊥平面ACC1A1
C．当E，F 运动时，存在点E，F 使得AE∥BF
D．当E，F 运动时，三棱锥体积B﹣AEF 不变
9．（2023•新罗区校级三模）已知正六棱锥P﹣ABCDEF 的各顶点都在球O 的球面上，球心O 在该正六棱
锥的内部，若球O 的体积为36π，则该正六棱锥体积的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2023•吉安一模）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长
，其外接球的表面积为20π，D 是
B1C1 的中点，点P 是线段A1D 上的动点，过BC 且与AP 垂直的截面α 与AP 交于点E，则三棱锥A﹣
BCE 的体积的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（2023•雅安三模）已知圆锥的高为3，底面半径为
，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球
面上，则这个球的体积与圆锥的体积的比值为（ ）
8
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A．
B．
C．
D．
12.（多选）（2023•临泉县校级三模）在正三棱台ABC﹣A1B1C1中，A1B1＝1，AA1＝2，AB＝3，
＝2
，
＝2
，过MN 与AA1平行的平面记为α，则下列命题正确的是（ ）
A．四面体ABB1C1的体积为
B．四面体ABB1C1外接球的表面积为12π
C．α 截棱台所得截面面积为2
D．α 将棱台分成两部分的体积比为
13.（多选）（2023•辽宁模拟）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、
F，且
，则下列结论中正确的是（ ）
A．AC⊥BE
B．EF∥平面ABCD
C．三棱锥A﹣BEF 的体积为定值
D．△AEF 的面积与△BEF 的面积相等
14.（多选）（2023•福州模拟）在棱长为2 的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F 分别为棱BC，CC1的中点，
P 为线段EF 上的动点，则（ ）
A．线段DP 长度的最小值为2
B．三棱锥D﹣A1AP 的体积为定值
C．平面AEF 截正方体所得截面为梯形
D．直线DP 与AA1所成角的大小可能为
15.（多选）（2023•山西二模）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，E 在棱A1B1上运动（不含端点），则
（ ）
9
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A．侧面AA1D1D 中不存在直线与DE 垂直
B．平面A1DE 与平面ABCD 所成二面角为
C．E 运动到A1B1的中点时，A1C 上存在点P，使BC∥平面AEP
D．P 为A1C 中点时，三棱锥E﹣PBC1体积不变
16.（多选）（2023•船营区校级模拟）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，∠ABC
＝90°，侧面AA1C1C 的对角线交点O，点E 是侧棱BB1上的一个动点，下列结论正确的是（ ）
A．直三棱柱的体积是1
B．直三棱柱的外接球表面积是6π
C．三棱锥E﹣AA1O 的体积与点E 的位置有关
D．AE+EC1的最小值为
17．（2023•甘肃模拟）如图，圆锥PO 的底面直径和高均是a，过PO 上一点O′作平行于底面的截面，
以该截面为底面挖去一个圆柱，则该圆柱体积的最大值为
．
18．（2023•2 月份模拟）三棱锥A﹣BCD 中，AC⊥平面BCD，BD⊥CD．若AB＝3，BD＝1，则该三棱锥
体积的最大值为（ ）
A．2
B．
C．1
D．
10
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19.（多选）（2023•浠水县模拟）在四棱锥P﹣ABCD 中，底面ABCD 是矩形，
，AB＝AP＝PD＝
1，平面PAD⊥平面ABCD，点M 在线段PC 上运动（不含端点），则（ ）
A．存在点M 使得BD⊥AM
B．四棱锥P﹣ABCD 外接球的表面积为3π
C．直线PC 与直线AD 所成角为
D．当动点M 到直线BD 的距离最小时，过点A，D，M 作截面交PB 于点N，则四棱锥P﹣ADMN 的体
积是
五．球的体积和表面积（共27 小题）
20．（2023•玉树市校级模拟）在正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，A1B1＝2AB＝4，AA1＝2，则该棱台外接
球的表面积为（ ）
21．（2023•晋中模拟）我国古代《九章算术》将底面为矩形的棱台称为刍童．若一刍童为正棱台，其上、
下底面分别是边长为
和
的正方形，高为1，则该刍童的外接球的表面积为（ ）
A．16π
B．18π
C．20π
D．25π
22．（2023•广东模拟）已知某圆锥的内切球（球与圆锥侧面、底面均相切）的体积为
，则该圆锥的
表面积的最小值为（ ）
A．32π
B．28π
C．24π
D．20π
23．（2023•巴林左旗校级模拟）两个边长为4 的正三角形△ABC 与△ABD，沿公共边AB 折叠成60°的二
面角，若点A，B，C，D 在同一球O 的球面上，则球O 的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
24．（2023•湖北模拟）现有一个底面边长为
，侧棱长为
的正三棱锥框架，其各顶点都在球O1
的球面上．将一个圆气球O2放在此框架内，再向气球内充气，当圆气球恰好与此正三棱锥各棱都相切
时停止充气，此时两球表面积之和为（ ）
A．23π
B．
C．
D．
25．（2023•防城港模拟）已知△SAB 是边长为2 的等边三角形，∠ACB＝45°，当三棱锥S﹣ABC 体积取最
大时，其外接球的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
26 ．（2023• 青羊区校级模拟）已知三棱锥P﹣ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，
，PA＝BC＝2，则球O 的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
27．（2023•青羊区校级模拟）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1 中，∠ACB＝
，AC＝BC＝2，BB1＝
11
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7，点P 在棱BB1上，且P 靠近B 点，当PA⊥PC1时，三棱锥P﹣ABC 的外接球的表面积为（ ）
A．3π
B．4π
C．10π
D．17π
28．（2023•白山二模）已知球O 的半径为2，圆锥内接于球O，当圆锥的体积最大时，圆锥内切球的半径
为（ ）
A．
B．
C．
D．
29．（2023•四川模拟）在菱形ABCD 中，AB＝2，∠A＝60°，将△BCD 绕对角线BD 所在直线旋转至
BPD，使得
，则三棱锥P﹣ABD 的外接球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
30.（多选）（2023•云南模拟）在棱长为1 的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F 分别为AB，BC 的中点，
则（ ）
A．异面直线DD1与B1F 所成角的正切值为
B．点P 为正方形A1B1C1D1内一点，当DP∥平面B1EF 时，DP 的最小值为
C．过点D1，E，F 的平面截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面周长为
D．当三棱锥B1﹣BEF 的所有顶点都在球O 的表面上时，球O 的表面积为3π
31.（多选）（2023•深圳模拟）如图，棱长为2 的正四面体ABCD 中，M，N 分别为棱AD，BC 的中点，O
为线段MN 的中点，球O 的表面正好经过点M，则下列结论中正确的是（ ）
A．AO⊥平面BCD
12
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B．球O 的体积为
C．球O 被平面BCD 截得的截面面积为
D．球O 被正四面体ABCD 表面截得的截面周长为
32．（2023•高州市一模）圆锥内有一个球，该球与圆锥的侧面和底面均相切，已知圆锥的底面半径为r1，
球的半径为r2，记圆锥的体积为V1，球的体积为V2，当
＝
时，
取最小值
．
33．（2023•江宁区校级二模）在三棱锥V﹣ABC 中，AB，AC，AV 两两垂直，AB＝AV＝4，AC＝2，P 为
棱AB 上一点，AH⊥VP 于点H，则△VHC．面积的最大值为
；此时，三棱锥A﹣VCP 的外接
球表面积为
．
34．（2023•浦东新区校级三模）一个正三棱锥的侧棱长为1，底边长为
，四个顶点在同一球面上，则
此球的表面积为
．
35．（2023•攀枝花三模）如图，圆台O1O2中，
，其外接球的球心O 在线段O1O2上，上下底面
的半径分别为r1＝1，
，则圆台外接球的表面积为
．
36．（2023•湖南模拟）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB＝AC＝4，AA1＝2，∠BAC＝90°，则该三棱
柱外接球的表面积为
．
37．（2023•桃城区校级模拟）如图，在梯形ABCD 中，AB∥CD，AD＝DC＝BC＝2，∠ABC＝60°，将
△ACD 沿边AC 翻折，使点D 翻折到P 点，且
，则三棱锥P﹣ABC 外接球的表面积是
20
π
．
38．（2023•青羊区校级模拟）已知A，B 两点都在以PC 为直径的球O 的表面上，AB⊥BC，AB＝2，BC＝
4，若球O 的体积为8
π，则异面直线PB 与AC 所成角的余弦值为
．
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39．（2023•晋中模拟）在△ABC 中，AB⊥BC，
，D 是AC 边的中点，且AC＝2．将△ABD 沿BD 折
起，使平面ABD⊥平面BCD，形成四面体A﹣BCD．则该四面体外接球的表面积为
．
40．（2023•河南模拟）已知等腰直角△ABC 的斜边BC＝2，沿斜边的高线AD 将△ABC 折起，使二面角B
﹣AD﹣C 为
，则四面体ABCD 的外接球的表面积为
．
41．（2023•简阳市校级模拟）在△ABC 中，AB＝AC＝2，
，D 为BC 的中点，将△ACD 绕AD 旋
转至APD，使得
，则三棱锥P﹣ABD 的外接球表面积为（ ）
A．
B．
C．5π
D．8π
42 ．（2023• 河南模拟）已知四棱锥P﹣ABCD 的底面ABCD 是矩形，高为
，则四棱锥P﹣ABCD 的外接球的体积为（ ）
A．
B．36π
C．
D．
43.（多选）（2023•大同二模）已知三棱锥P﹣ABC 的所有棱长均为2，PO⊥平面ABC，O 为垂足，D 是
PO 的中点，AD 的延长线交平面PBC 于点A1，CD 的延长线交平面PAB 于点C1，则下列结论正确的是
（ ）
A．A1C1∥AC
B．若Q 是棱PB 上的动点，则|AQ|+|CQ|的最小值为
C．三棱锥D﹣ABC 外接球的表面积为6π
D．
44.（多选）（2023•包河区校级模拟）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1 棱长为4，M 为棱CC1 上的动点，
AM⊥平面α，则下列说法正确的是（ ）
A．若N 为DD1中点，当AM+MN 最小时，
B．当点M 与点C1重合时，若平面α 截正方体所得截面图形的面积越大，则其周长就越大
C．直线AB 与平面α 所成角的余弦值的取值范围为
D．当点M 与点C 重合时，四面体AMD1B1内切球表面积为
45．（2023•保定一模）“蹴鞠”，又名“蹴球”“蹴圆”等，“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”是最
早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，类似现在的踢足球活
动．已知某“鞠”的表面上有四个点A，B，C，D，且满足AB＝BC＝CD＝DA＝DB＝2cm，AC＝
3cm，则该“鞠”的表面积为
cm2．
46.（多选）（2023•大连模拟）已知正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的所有顶点都在球O 的球面上，AB＝2A1B1
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＝2，
，E 为△BDC1内部（含边界）的动点，则（ ）
A．AA1∥平面BDC1
B．球O 的表面积为8π
C．EA+EA1的最小值为
D．若AE 与平面BDC1所成角的正弦值为
，则E 点轨迹长度为
六．异面直线及其所成的角（共4 小题）
47．（2023•贵州模拟）如图，圆柱的底面直径AB 与母线AD 相等，E 是弧AB 的中点，则AE 与BD 所成
的角为（ ）
A．
B．
C．
D．
48．（2023•榆林二模）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，2BB1＝3AB，D 是棱BC 的中点，E 在棱CC1
上，且CC1＝3CE，则异面直线A1D 与B1E 所成角的余弦值是（ ）
A．
B．
C．
D．
49．（2023•辽宁模拟）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1 棱长为2，P 为空间中一点．下列论述正确的是（
）
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A．若
，则异面直线BP 与C1D 所成角的余弦值为
B．若
，三棱锥P﹣A1BC 的体积不是定值
C．若
，有且仅有一个点P，使得A1C⊥平面AB1P
D．若
，则异面直线BP 和C1D 所成角取值范围是
50．（2023•大连二模）有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的
正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体．如图，这
是一个棱数为24，棱长为
的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由
一个正方体截去八个一样的四面体所得．若点E 为线段BC 上的动点，则直线DE 与直线AF 所成角的余
弦值的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
七．空间中直线与直线之间的位置关系（共2 小题）
51．（2023•罗湖区校级模拟）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，点P 在直线AD1上，Q 为线段BD 的中点．
则下列说法不正确的是（ ）
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A．存在点P，使得PQ⊥A1C1
B．存在点P，使得PQ∥A1B
C．直线PQ 始终与直线CC1异面
D．直线PQ 始终与直线BC1异面
52.（多选）（2023•滨州二模）如图，在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，则在下列命题中，正确
的为（ ）
A．AC⊥BD
B．AC∥截面PQMN
C．AC＝BD
D．异面直线PM 与BD 所成的角为45°
八．空间中直线与平面之间的位置关系（共1 小题）
53．（2023•北流市模拟）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，M 分别为所在棱的中点，P 为下底
面的中心，则下列结论中错误的是（ ）
A．平面EFC1⊥平面AA1C1C
B．MP∥AC1
C．MP⊥C1D
D．EF∥平面AD1B1
九．直线与平面所成的角（共2 小题）
54．（2023•河南模拟）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N 分别为AC，A1B 的中点，则下列说法
中不正确的是（ ）
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A．MN∥平面ADD1A1
B．MN⊥AB
C．直线MN 与平面ABCD 所成的角为60°
D．异面直线MN 与DD1所成的角为45°
55.（多选）（2023•思明区校级二模）已知正四棱锥P﹣ABCD 的所有棱长均为
，E，F 分别是PC，
AB 的中点，M 为棱PB 上异于P，B 的一动点，则以下结论正确的是（ ）
A．异面直线EF、PD 所成角的大小为
B．直线EF 与平面ABCD 所成角的正弦值为
C．△EMF 周长的最小值为
D．存在点M 使得PB⊥平面MEF
一十．二面角的平面角及求法（共5 小题）
56．（2023•雁塔区校级三模）已知大小为60°的二面角α﹣l﹣β 棱上有两点A，B，AC⊂α，AC⊥l，
BD⊂β，BD⊥l，若AC＝3，BD＝3，
，则CD 的长为（ ）
A．22
B．49
C．7
D．
57.（多选）（2023•南通三模）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱长都为1，E 为AB 的中点，则（ ）
A．BC1∥平面A1EC
B．二面角A1﹣EC﹣A 的正弦值为
C．点A 到平面A1BC1的距离为
D．若棱柱的各顶点都在同一球面上，则该球的半径为
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58.（多选）（2023•佛山模拟）如图，在棱长为a 的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P 在侧面BB1C1C（包
含边界）内运动，则下列结论正确的有（ ）
A．直线BD1⊥平面A1C1D
B．二面角B1﹣CD﹣B 的大小为
C．过三点P，A1，D 的正方体的截面面积的最大值为
D．三棱锥B1﹣A1C1D 的外接球半径为
a
59.（多选）（2023•武汉模拟）三棱锥P﹣ABC 中，
，BC＝1，AB⊥BC，直线PA 与平面ABC 所
成的角为30°，直线PB 与平面ABC 所成的角为60°，则下列说法中正确的有（ ）
A．三棱锥P﹣ABC 体积的最小值为
B．三棱锥P﹣ABC 体积的最大值为
C．直线PC 与平面ABC 所成的角取到最小值时，二面角P﹣BC﹣A 的平面角为锐角
D．直线PC 与平面ABC 所成的角取到最小值时，二面角P﹣AB﹣C 的平面角为钝角
60.（多选）（2023•谷城县校级模拟）如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A，B 的点，直线
PC⊥平面ABC，E，F 分别是PA，PC 的中点，记平面BEF 与平面ABC 的交线为l，直线l 与圆O 的另
一个交点为D，且点Q 满足
．记直线PQ 与平面ABC 所成的角为θ，异面直线PQ 与EF 所成
的角为α，二面角E﹣l﹣C 的大小为β，则下列说法不一定正确的是（ ）
A．sinθ＝sinαsinβ
B．sinα＝sinθsinβ
C．sinβ＝sinαsinθ
D．cosθ＝cosαcosβ
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1．几个与球有关的切、接常用结论
(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，
①若球为正方体的外接球，则2 R ＝
a ；
②若球为正方体的内切球，则2 R ＝
a ；
③若球与正方体的各棱相切，则2 R ＝
a .
(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2 R ＝
.
(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1，棱长为a 的正四面体，其内切球半径R 内＝a，外
接球半径R 外＝a.
2.．唯一性定理
(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．
(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．
(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．
3.线、面平行的性质
(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．
(2)夹在两个平行平面间的平行线段长度相等．
(3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．
(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．
(5)如果两个平面分别和第三个平面平行，那么这两个平面互相平行．
(6)如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行．
(7)垂直于同一条直线的两个平面平行．
(8)垂直于同一平面的两条直线平行．
4.用坐标法求异面直线所成角的一般步骤
(1)建立空间直角坐标系；
(2)分别求出两条异面直线的方向向量的坐标；
(3)利用向量的夹角公式计算两条直线的方向向量的夹角；
(4)结合异面直线所成角的范围求出异面直线所成的角．
5.利用向量法求两平面夹角的步骤
(1)建立空间直角坐标系；
(2)分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量；
(3)求两个法向量的夹角；
(4)法向量夹角或其补角就是两平面的夹角(不大于90°的角
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