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专题17 概率
目录一览
2023 真题展现
考向一 概率
考向二 离散型随机变量及其分布列
真题考查解读
近年真题对比
考向一 概率
考向二 离散型随机变量及其分布列
考向三 正太分布
命题规律解密
名校模拟探源
易错易混速记/二级结论速记
考向一 概率
1．（多选）（2023•新高考Ⅱ•第12 题）在信道内传输0，1 信号，信号的传输相互独立．发送0 时，收到
1 的概率为α（0＜α＜1），收到0 的概率为1﹣α；发送1 时，收到0 的概率为β（0＜β＜1），收到1
的概率为1﹣β．考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1 次，三次
传输是指每个信号重复发送3 次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为
译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）
（ ）
A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1 的概率为（1﹣α）（1﹣β）2
B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1 的概率为β（1﹣β）2
C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1 的概率为β（1﹣β）2+（1﹣β）3
D．当0＜α＜0.5 时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0 的概率大于采用单次传输方案译码为0 的
概率
考向二 离散型随机变量及其分布列
2．（2023•新高考Ⅰ•第21 题）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投
篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命
1
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中率均为0.8．由抽签确定第1 次投篮的人选，第1 次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．
（1）求第2 次投篮的人是乙的概率；
（2）求第i 次投篮的人是甲的概率；
（3）已知：若随机变量Xi服从两点分布，且P（Xi＝1）＝1﹣P（Xi＝0）＝qi，i＝1，2，
，
⋯
n，则E
（∑
i=1
n
Xi）=∑
i=1
n
qi．记前n 次（即从第1 次到第n 次投篮）中甲投篮的次数为Y，求E（Y）．
【命题意图】
概率、随机变量的分布列与数学期望．
【考查要点】
概率多为小题。随机变量的分布列与数学期望是高考热点之一。常考查二项分布、正态分布、超几何
分布等常见的分布，多为解答题．
【得分要点】
1．古典概率的计算公式
如果某个事件A 包含的结果有m 个，那么事件A 的概率为P（A）= m
n = A 中所含的基本事件数
基本事件总数
．
2．相互独立事件的概率乘法公式
将事件A 和事件B 同时发生的事件即为A•B，若两个相互独立事件A、B 同时发生，则事件A•B 发生
的概率P（A•B）＝P（A）•P（B）．
3．条件概率
（1）条件概率的定义：对于任何两个事件A 和B，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫
做条件概率，用符号P（B|A）来表示．
（2）条件概率公式：称为事件A 与B 的交（或积）．
（3）条件概率的求法：
①利用条件概率公式，分别求出P（A）和P（AB），得P（B|A）= P( AB)
P( A) ，其中P（A）＞0；
2
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②借助古典概型概率公式，先求出事件A 包含的基本事件数n（A），再在事件A 发生的条件下求
出事件B 包含的基本事件数，即n（A∩B），得P（B|A）= n( A ∩B)
n( A)
．
4．离散型随机变量分布列、数学期望、方差
（1）离散型随机变量X 的概率分布列
X
x1
x2
…
xn
…
P
p1
p2
…
pn
…
（2）数学期望：称EX＝x1p1+x2p2+…+xnpn+…为X 的数学期望，简称期望．它反映了离散型随机变量取
值的平均水平．
（3）方差、标准差：D(X)＝∑(xi－E(X))2pi为随机变量X 的方差，其算术平方根为随机变量X 的标准差．
（4）期望方差的性质：E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)(a,b 为常数)．
5．常见随机变量的分布列
（1）两点分布：
若随机变量X 服从两点分布，则其分布列为
X
0
1
P
1－p
p
（2）超几何分布:
在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件{X＝k}发生的概率为P(X＝k)
＝，k＝0，1，2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称分布列为超几何分布
列.
X
0
1
…
m
P
…
（3）二项分布
如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率
是P(X＝k)＝CPkqn－k，其中k＝0，1，2，3，…，n，q＝1－P.于是得到随机变量X 的概率分布如下：
X
0
1
…
k
…
n
P
CP0qn
CP1qn－1
…
CPkqn－k
…
CPnq0
由于CPkqn－k恰好是二项展开式(P＋q)n＝CP0qn＋CP1qn－1＋…＋CPkqn－k＋…＋CPnq0中的第k＋1 项(k＝
0，1，2，…，n)中的值，故称随机变量X 为二项分布，记作X～B(n，P)．
6．常见随机变量的均值与方差
（1）若X～B(n，p)，则EX＝np，DX＝np(1－p)．
（2）若X 服从两点分布，则EX＝p(p 为成功概率)，DX＝p(1－p)．
考向一 概率
3．（2022•新高考Ⅰ）从2 至8 的7 个整数中随机取2 个不同的数，则这2 个数互质的概率为（ ）
3
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A．
B．
C．
D．
4．（2021•新高考Ⅰ）有6 个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每
次取1 个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是
2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则
（ ）
A．甲与丙相互独立
B．甲与丁相互独立
C．乙与丙相互独立
D．丙与丁相互独立
考向二 离散型随机变量及其分布列
5．（2021•新高考Ⅰ）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B 两类问题．每位参加比赛的同学先在
两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一
类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A 类问题中的每个问题回答正
确得20 分，否则得0 分；B 类问题中的每个问题回答正确得80 分，否则得0 分．
已知小明能正确回答A 类问题的概率为0.8，能正确回答B 类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概
率与回答次序无关．
（1）若小明先回答A 类问题，记X 为小明的累计得分，求X 的分布列；
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．
6．（2021•新高考Ⅱ）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0 代，经
过一次繁殖后为第1 代，再经过一次繁殖后为第2 代，……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且
有相同的分布列，设X 表示1 个微生物个体繁殖下一代的个数，P（X＝i）＝pi（i＝0，1，2，3）．
（Ⅰ）已知p0＝0.4，p1＝0.3，p2＝0.2，p3＝0.1，求E（X）；
（Ⅱ）设p 表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p 是关于x 的方程：p0+p1x+p2x2+p3x3＝x 的
一个最小正实根，求证：当E（X）≤1 时，p＝1，当E（X）＞1 时，p＜1；
（Ⅲ）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．
4
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考向三 正太分布
7．（2021•新高考Ⅱ）某物理量的测量结果服从正态分布N（10，σ2），则下列结论中不正确的是
（ ）
A．σ 越小，该物理量在一次测量中落在（9.9，10.1）内的概率越大
B．该物理量在一次测量中大于10 的概率为0.5
C．该物理量在一次测量中小于9.99 与大于10.01 的概率相等
D．该物理量在一次测量中结果落在（9.9，10.2）与落在（10，10.3）的概率相等
8．（2022•新高考Ⅱ）已知随机变量X 服从正态分布N（2，σ2），且P（2＜X≤2.5）＝0.36，则P（X＞
2.5）＝
．
常考查古典概型正太分布等。二项分布、正态分布、超几何分布等常见的分布多为解答题．
一．互斥事件与对立事件（共2 小题）
1．（2023•宛城区校级三模）先后两次掷一枚质地均匀的骰子，事件A＝“两次掷出的点数之和是6”，
事件B＝“第一次掷出的点数是奇数”，事件C＝“两次掷出的点数相同”，则（ ）
A．A 与B 互斥
B．B 与C 相互独立
C．
D．A 与C 互斥
2．（2023•五华区校级模拟）有5 张奖券，其中3 张可以中奖，现有5 个人从中不放回地依次各随机抽取
一张，设每张奖券被抽到的可能性相同，记事件Ai＝“第i 个人抽中中奖券”，则下列结论正确的是（
）
A．事件A1与A2互斥
B．
C．
D．
二．概率及其性质（共1 小题）
3．（2023•咸阳一模）某家族有X，Y 两种遗传性状，该家族某成员出现X 性状的概率为
，出现Y 性状
5
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的概率为
，X，Y 两种性状都不出现的概率为
，则该成员X，Y 两种性状都出现的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
三．互斥事件的概率加法公式（共2 小题）
4．（2023•徐汇区校级一模）某产品长度合格的概率为
，重量合格的概率为
，长度、重量合格的
概率为
，任取一件产品，已知其重量合格，则它的长度也合格的概率为 ．
5．（2023•鲤城区校级模拟）甲箱中有2 个白球和1 个黑球，乙箱中有1 个白球和2 个黑球．现从甲箱中
随机取两个球放入乙箱，然后再从乙箱中任意取出两个球．假设事件A＝“从乙箱中取出的两球都是白
球”，B＝“从乙箱中取出的两球都是黑球”，C＝“从乙箱中取出的两球一个是白球一个是黑球”，
其对应的概率分别为P（A），P（B），P（C），则（ ）
A．P（A）＝P（B）B．P（A）＝P（C）
C．P（B）＜P（C）D．P（C）＜P（A）
四．等可能事件和等可能事件的概率（共2 小题）
6．（2023•昌江县二模）摆地摊的某摊（赌）主拿了8 个白的，8 个黑的围棋子放在一个口袋里，并规定
凡愿意摸彩者每人交一元钱作手续费，然后一次从口袋摸出5 个棋子，中彩情况如下：
摸棋子
5 个白
4 个白
3 个白
其它
彩金
20 元
2 元
纪念品（价值5 角）
同乐一次（无任何奖
品）
（1）某人交一元钱作手续费，然后一次从口袋摸出5 个棋子，求获得彩金20 元的概率；
（2）某人交一元钱作手续费，然后一次从口袋摸出5 个棋子，求无任何奖品的概率；
（3）按每天摸彩1000 次统计，赌主可望净赚约多少钱？
7．（2023•扬中市校级模拟）某艺校在一天的6 节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门
艺术课各1 节，则在课程表上的相邻两节文化课之间最多间隔1 节艺术课的概率为 （用数字作答）．
五．古典概型及其概率计算公式（共11 小题）
8．（2023•江苏模拟）某学习小组八名学生在一次物理测验中的得分（单位：分）如下：83，84，86，
87，88，90，93，96，这八人成绩的第60 百分位数是n．若在该小组随机选取两名学生，则得分都比n
低的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（2023•广东模拟）一堆苹果中大果与小果的比例为9：1，现用一台水果分选机进行筛选．已知这台分
6
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选机把大果筛选为小果的概率为5%，把小果筛选为大果的概率为2%．经过一轮筛选后，现在从这台分
选机筛选出来的“大果”里面随机抽取一个，则这个“大果”是真的大果的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2023•扬州三模）某教学楼从二楼到三楼的楼梯共10 级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，
某同学从二楼到三楼准备用7 步走完，则第二步走两级台阶的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（2023•重庆模拟）现从2 个男生2 个女生共4 人中任意选出2 人参加巴蜀中学高三年级的百日誓师大
会，已知选出的2 人中有一个是男生，则另一个是女生的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（2023•青岛一模）某次考试共有4 道单选题，某学生对其中3 道题有思路，1 道题完全没有思路．有
思路的题目每道做对的概率为0.8，没有思路的题目，只好任意猜一个答案，猜对的概率为0.25．若从
这4 道题中任选2 道，则这个学生2 道题全做对的概率为（ ）
A．0.34
B．0.37
C．0.42
D．0.43
13．（2023•台州二模）袋子中有大小相同的5 个白球和5 个红球，从中任取3 个球，已知3 个球中有白球，
则恰好拿到2 个红球的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
14．（2023•保定二模）三位同学参加某项体育测试，每人要从100m 跑、引体向上、跳远、铅球四个项目
中选出两个项目参加测试，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
15．（2023•湖北模拟）在“2，3，5，7，11，13，17，19”这8 个素数中，任取2 个不同的数，则这两个
数之和仍为素数的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
16．（2023•杭州一模）四位爸爸A、B、C、D 相约各带一名自己的小孩进行交际能力训练，其中每位爸
爸都与一个别人家的小孩进行交谈，则A 的小孩与D 交谈的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
17．（2023•宁波模拟）已知甲盒中有2 个白球，2 个红球，1 个黑球，乙盒中有4 个白球，3 个红球，2 个
黑球，现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，记事件A＝“甲盒中取出的
球与乙盒中取出的球颜色不同”，则P（A）＝（ ）
A．
B．
C．
D．
18．（2023•安徽模拟）老师排练节目需要4 个男生和2 个女生，将这六名学生随机排成一排，2 个女生不
7
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相邻的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
六．列举法计算基本事件数及事件发生的概率（共3 小题）
19．（2023•贵阳模拟）从
，这五个数中任选两个不同的数，则这两个数的和大于
的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
20．（2023•广东模拟）某公司在某地区进行商品A 的调查，随机调查了100 位购买商品A 的顾客的性别，
其中男性顾客18 位，已知该地区商品A 的购买率为10%，该地区女性人口占该地区总人口的46%，从
该地区中任选一人，若此人是男性，求此人购买商品A 的概率 ．
21．（2023•广州模拟）世界卫生组织建议成人每周进行2.5 至5 小时的中等强度运动．已知A 社区有56%
的居民每周运动总时间超过5 小时，B 社区有65%的居民每周运动总时间超过5 小时，C 社区有70%的
居民每周运动总时间超过5 小时，且A，B，C 三个社区的居民人数之比为5：6：9．
（1）从这三个社区中随机抽取1 名居民，求该居民每周运动总时间超过5 小时的概率；
（2）假设这三个社区每名居民每周运动总时间为随机变量X（单位：小时），且X～N（5.5，σ2）．现
从这三个社区中随机抽取3 名居民，求至少有两名居民每周运动总时间为5 至6 小时的概率．
七．几何概型（共3 小题）
22．（2023•凉山州模拟）在区间（0，1）内任取两个实数a，b，则2a+b＞2 的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
23．（2023•兴庆区校级四模）已知A（1，1），B（5，1），C（5，5），D（1，5）是平面直角坐标系中
的四个点，在四边形ABCD 内随机取一点，则该点横坐标与纵坐标之和小于5 的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
24．（2023•河西区二模）设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30 之前到校的概率均为
．假定甲、乙两
位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．用X 表示甲同学上学期间的三天中7：
30 之前到校的天数，则随机变量X 的数学期望为
2
；设M 为事件“上学期间的三天中，甲同学在
7：30 之前到校的天数比乙同学在7：30 之前到校的天数恰好多2”，则事件M 发生的概率为
．
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八．相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式（共2 小题）
25．（2023•湖北模拟）某同学喜爱球类和游泳运动．在暑假期间，该同学上午去打球的概率为
．若该同
学上午不去打球，则下午一定去游泳；若上午去打球，则下午去游泳的概率为
．已知该同学在某天下
午去游了泳，则上午打球的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
26．（2023•浙江模拟）班级举行知识竞猜闯关活动，设置了A，B，C 三个问题．答题者可自行决定答三
题顺序．甲有60%的可能答对问题A，80%的可能答对问题B，50%的可能答对问题C．记答题者连续
答对两题的概率为p，要使得p 最大，他应该先回答（ ）
A．问题A
B．问题B
C．问题A，B 和C 都可以
D．问题C
九．n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率（共2 小题）
27．（2023•郴州模拟）篮球队的5 名队员进行传球训练，每位队员把球传给其他4 人的概率相等，由甲开
始传球，则前3 次传球中，乙恰好有1 次接到球的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
28．（多选）（2023•天河区三模）甲乙两人进行围棋比赛，共比赛2n（n∈N*）局，且每局甲获胜的概率
和乙获胜的概率均为
．若某人获胜的局数多于另一人，则此人赢得比赛．记甲赢得比赛的概率为P
（n），则（ ）
A．
B．
C．
D．P（n）的最小值为
一十．条件概率与独立事件（共2 小题）
29．（2023•南岗区校级二模）已知P（B）＝0.3，P（B|A）＝0.9，
，则
＝（ ）
A．
B．
C．
D．
30．（2023•琼海校级模拟）东莞市同沙生态公园水绕山环，峰峦叠嶂，是一个天生丽质，融山水生态与
人文景观为一体的新型公园．现有甲乙两位游客慕名来到同沙生态公园旅游，分别准备从映翠湖、十里
河塘、计生雕塑园和鹭鸟天堂4 个旅游景点中随机选择其中一个景点游玩．记事件A：甲和乙至少一人
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选择映翠湖，事件B：甲和乙选择的景点不同，则条件概率P（B|A）＝（ ）
A．
B．
C．
D．
一十一．全概率公式（共2 小题）
31．（2023•龙泉驿区模拟）据美国的一份资料报道，在美国总的来说患肺癌的概率约为0.1%，在人群中
有20%是吸烟者，他们患肺癌的概率约为0.4%，则不吸烟患肺癌的概率为（ ）
A．0.025%
B．0.032%
C．0.048%
D．0.02%
32．（2023•河源模拟）已知编号为1，2，3 的三个盒子，其中1 号盒子内装有两个1 号球，一个2 号球和
一个3 号球；2 号盒子内装有两个1 号球，一个3 号球；3 号盒子内装有三个1 号球，两个2 号球．若第
一次先从1 号盒子内随机抽取1 个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从放入球的盒子中
任取一个球，设事件Ai为第一次取出的球为i 号，事件Bi为第二次取出的球为i 号，则下列说法错误的
是（ ）
A．
B．
C．
D．
一十二．离散型随机变量及其分布列（共4 小题）
33．（2023•贵州模拟）据世界田联官方网站消息，原定于2023 年5 月13、14 日在中国广州举办的世界田
联接力赛延期至2025 年4 月至5 月举行．据了解，甲、乙、丙三支队伍将会参加2025 年4 月至5 月在
广州举行的4×400 米接力的角逐．接力赛分为预赛、半决赛和决赛，只有预赛、半决赛都获胜才能进入
决赛．已知甲队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为
和
；乙队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为
和
；丙队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为
和
．
（1）甲、乙、丙三队中，谁进入决赛的可能性最大；
（2）设甲、乙、丙三队中进入决赛的队伍数为ξ，求ξ 的分布列．
34．（2023•晋江市校级模拟）某校组织围棋比赛，每场比赛采用五局三胜制（一方先胜三局即获胜，比
赛结束），比赛采用积分制，积分规则如下：每场比赛中，如果四局及四局以内结束比赛，取胜的一方
积3 分，负者积0 分；五局结束比赛，取胜的一方积2 分，负者积1 分．已知甲、乙两人比赛，甲每局
获胜的概率为
．
（1）在一场比赛中，甲的积分为X，求X 的概率分布列；
（2）求甲在参加三场比赛后，积分之和为5 分的概率．
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35．（2023•常德二模）某大学一个专业团队为某专业大学生研究了多款学习软件，其中有A、B、C 三种
软件投入使用，经一学年使用后，团队调查了这个专业大一四个班的使用情况，从各班抽取的样本人数
如下表：
班级
一
二
三
四
人数
3
2
3
4
（1）从这12 人中随机抽取2 人，求这2 人恰好来自同一班级的概率；
（2）从这12 名学生中，指定甲、乙、丙三人为代表，已知他们下午自习时间每人选择一款软件，其中
选A、B 两个软件学习的概率都是
，且他们选择A、B、C 任一款软件都是相互独立的．设这三名学生
中下午自习时间选软件C 的人数为ξ，求ξ 的分布列和数学期望．
36．（2023•南通二模）设（X，Y）是一个二维离散型随机变量，它们的一切可能取的值为（ai，bj），其
中i，j∈N*，令pij＝P（X＝ai，Y＝bj），称pij（i，j∈N*）是二维离散型随机变量（X，Y）的联合分布
列．与一维的情形相似，我们也习惯于把二维离散型随机变量的联合分布列写成下表形式：
Y/X
b1
b2
b3
…
a1
p1，1
p1，2
p1，3
…
a2
p2，1
p2，2
p2，3
…
a3
p3，1
p3，2
p3，3
…
…
…
…
…
…
现有n（n∈N*）个相同的球等可能的放入编号为1，2，3 的三个盒子中，记落下第1 号盒子中的球的个
数为X，落入第2 号盒子中的球的个数为Y．
（1）当n＝2 时，求（X，Y）的联合分布列；
（2）设pk＝
（X＝k，Y＝m），k∈N 且k≤n，计算
．
11
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一十三．离散型随机变量的期望与方差（共12 小题）
37．（2023•沙坪坝区校级模拟）ChatGPT 是由人工智能研究实验室OpenAI 于2022 年11 月30 日发布的一
款全新聊天机器人模型，它能够通过学习和理解人类的语言来进行对话，ChatGPT 的开发主要采用
RLHF（人类反馈强化学习）技术．在测试ChatGPT 时，如果输入的问题没有语法错误，则ChatGPT 的
回答被采纳的概率为85%，当出现语法错误时，ChatGPT 的回答被采纳的概率为50%．
（1）在某次测试中输入了8 个问题，ChatGPT 的回答有5 个被采纳．现从这8 个问题中抽取3 个，以ξ
表示抽取
的问题中回答被采纳的问题个数，求ξ 的分布列和数学期望；
（2）已知输入的问题出现语法错误的概率为10%，
（i）求ChatGPT 的回答被采纳的概率；
（ii）若已知ChatGPT 的回答被采纳，求该问题的输入没有语法错误的概率．
38．（2023•静安区二模）概率统计在生产实践和科学实验中应用广泛．请解决下列两个问题．
（1）随着中小学“双减”政策的深入人心，体育教学和各项体育锻炼迎来时间充沛的春天．某初中学
校学生篮球队从开学第二周开始每周进行训练，第一次训练前共有6 个篮球，其中3 个是新球（即没有
用过的球），3 个是旧球（即至少用过一次的球）．每次训练，都是从中不放回任意取出2 个篮球，训
练结束后放回原处．设第一次训练时取到的新球个数为ξ，求随机变量ξ 的分布和期望．
（2）由于手机用微波频率信号传递信息，那么长时间使用手机是否会增加得脑瘤的概率？研究者针对
这个问题，对脑瘤病人进行问卷调查，询问他们是否总是习惯在固定的一侧接听电话？如果是，是哪边？
结果有88 人喜欢用固定的一侧接电话．其中脑瘤部位在左侧的病人习惯固定在左侧接听电话的有14 人，
习惯固定在右侧接听电话的有28 人；脑瘤部位在右侧的病人习惯固定在左侧接听电话的有19 人，习惯
固定在右侧接听电话的有27 人．
根据上述信息写出下面这张2×2 列联表中字母所表示的数据，并对患脑瘤在左右侧的部位是否与习惯在
该侧接听手机电话相关进行独立性检验．（显著性水平α＝0.05）
习惯固定在左侧接听电话
习惯固定在右侧接听电话
总计
脑瘤部位在左侧的病
人
a
b
42
脑瘤部位在右侧的病
人
c
d
46
总计
a+c
b+d
88
12
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参考公式及数据：K
，其中，n＝a+b+c+d，P（K2≥3.841）≈0.05．
39．（2023•湖北模拟）高性能计算芯片是一切人工智能的基础．国内某企业已快速启动AI 芯片试生产，
试产期需进行产品检测，检测包括智能检测和人工检测．智能检测在生产线上自动完成，包括安全检测、
蓄能检测、性能检测等三项指标，且智能检测三项指标达标的概率分别为
，
，
，人工检测仅
对智能检测达标（即三项指标均达标）的产品进行抽样检测，且仅设置一个综合指标．人工检测综合指
标不达标的概率为p（0＜p＜1）．
（1）求每个AI 芯片智能检测不达标的概率；
（2）人工检测抽检50 个AI 芯片，记恰有1 个不达标的概率为f（p），当p＝p0时，f（p）取得最大值，
求p0；
（3）若AI 芯片的合格率不超过93%，则需对生产工序进行改良．以（2）中确定的p0作为p 的值，试
判断该企业是否需对生产工序进行改良．
40．（2023•湖北模拟）某数学兴趣小组为研究本校学生数学成绩与语文成绩的关系，采取有放回的简单
随机抽样，从学校抽取样本容量为200 的样本，将所得数学成绩与语文成绩的样本观测数据整理如下：
语文成绩
合计
优秀
不优秀
数学成绩
优秀
50
30
80
13
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不优秀
40
80
120
合计
90
110
200
（1）根据α＝0.010 的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？
（2）在人工智能中常用
表示在事件A 发生的条件下事件B 发生的优势，在统计中
称为似然比．现从该校学生中任选一人，A 表示“选到的学生语文成绩不优秀”，B 表示“选到的学生
数学成绩不优秀”请利用样本数据，估计L（B|A）的值．
（3）现从数学成绩优秀的样本中，按分层抽样的方法选出8 人组成一个小组，从抽取的8 人里再随机
抽取3 人参加数学竞赛，求这3 人中，语文成绩优秀的人数X 的概率分布列及数学期望．
附：
．
α
0.050
0.010
0.001
xα
3.841
6.635
10.828
41．（2023•深圳二模）飞盘运动是一项入门简单，又具有极强的趣味性和社交性的体育运动，目前已经
成为了年轻人运动的新潮流．某俱乐部为了解年轻人爱好飞盘运动是否与性别有关，对该地区的年轻人
进行了简单随机抽样，得到如下列联表：
性别
飞盘运动
合计
不爱好
爱好
男
6
16
22
女
4
24
28
合计
10
40
50
（1）在上述爱好飞盘运动的年轻人中按照性别采用分层抽样的方法抽取10 人，再从这10 人中随机选
取3 人访谈，记参与访谈的男性人数为X，求X 的分布列和数学期望；
（2）依据小概率值α＝0.01 的独立性检验，能否认为爱好飞盘运动与性别有关联？如果把上表中所有
数据都扩大到原来的10 倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验推断爱好飞盘运动与性别之间的关
联性，结论还一样吗？请解释其中的原因．
附：
，其中n＝a+b+c+d．
α
0.1
0.01
0.001
xα
2.706
6.635
10.828
．
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42．（2023•海淀区校级三模）人工智能（AI）是一门极富挑战性的科学，自诞生以来，理论和技术日益
成熟．某校成立了A，B 两个研究性小组，分别设计和开发不同的AI 软件用于识别音乐的类别：“古典
音乐”、“流行音乐”、“民族音乐”．为测试AI 软件的识别能力，计划采取两种测试方案．
方案一：将100 首音乐随机分配给A，B 两个小组识别，每首音乐只被一个AI 软件识别一次，并记录结
果；
方案二：对同一首音乐，A，B 两组分别识别两次，如果识别的正确次数之和不少于三次，则称该次测
试通过．
（Ⅰ）若方案一的测试结果显示：正确识别的音乐数之和占总数的
；在正确识别的音乐数中，A 组占
；在错误识别的音乐数中，B 组占
．
（ⅰ）用频率估计概率，两个研究性小组的AI 软件每次能正确识别音乐类别的概率分别为多少？
（ⅱ）利用（ⅰ）中的结论，求方案二在一次测试中获得通过的概率；
（Ⅱ）若方案一的测试结果如下：
音乐类别
A 小组
B 小组
测试音乐数量
正确识别比例
测试音乐数量
正确识别比例
古典音乐
10
40%
24
50%
流行音乐
10
40%
20
50%
民族音乐
20
80%
16
87.5%
在A 小组、B 小组识别的歌曲中各任选一首，记X1，X2分别为A 小组、B 小组正确识别的数量，试比较
E（X1）和E（X2）的大小．（直接写出结果即可）
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43．（2023•庐阳区校级模拟）一个不透明箱子中有除颜色外其它都相同的四个小球，其中两个红球两个
白球的概率为
，三个红球一个白球的概率为
．
（1）从箱子中随机抽取一个小球，求抽到红球的概率；
（2）现从箱子中随机一次性抽取两个或三个小球，已知抽到两个小球的概率为
，抽到三个小球的概
率为
，所抽到的小球中，每个红球记2 分，每个白球记﹣1 分，用X 表示抽到的小球分数之和，求X
的分布列及数学期望．
44．（2023•福鼎市校级一模）“斯诺克（Snooker）”是台球比赛的一种，意思是“阻碍、障碍”，所以
斯诺克台球有时也被称为障碍台球，是四大“绅士运动”之一，随着生活水平的提高，“斯诺克”也成
为人们喜欢的运动之一．现甲、乙两人进行比赛比赛采用5 局3 胜制，各局比赛双方轮流开球（例如：
若第一局甲开球，则第二局乙开球，第三局甲开球……），没有平局．已知在甲的“开球局”，甲获得
该局比赛胜利的概率为
，在乙的“开球局”，甲获得该局比赛胜利的概率为
，并且通过“猜硬币”，
甲获得了第一局比赛的开球权．
（1）求甲以3：1 赢得比赛的概率；
（2）设比赛的总局数为ξ，求E（ξ）．
45．（2023•沙坪坝区校级模拟）现有4 个除颜色外完全一样的小球和3 个分别标有甲、乙、丙的盒子，将
4 个球全部随机放入三个盒子中（允许有空盒）．
（1）记盒子乙中的小球个数为随机变量X，求X 的数学期望；
（2 ）对于两个不互相独立的事件M ，N ，若P （M ）＞0 ，P （N ）＞0 ，称
为事件M，N 的相关系数．
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①若ρ（M，N）＞0，求证：P（M|N）＞P（M）；
②若事件M：盒子乙不空，事件N：至少有两个盒子不空，求ρ（M，N）．
46．（2023•浙江模拟）某篮球队为提高队员训练的积极性，进行小组投篮游戏；每个小组由两名队员组
成，队员甲与队员乙组成一个小组．游戏规则如下：每个小组的两名队员在每轮游戏中分别投篮两次，
每小组投进的次数之和不少于3 次的称为“神投小组”．已知甲组两名队员投进篮球的概率分别为p1，
p2．
（1）若p1＝
，p2＝
，求他们在第一轮游戏获得“神投小组”称号的概率；
（2）若p1+p2＝
，则在游戏中，甲、乙两名队员想要获得297 次“神投小组”的称号，理论上他们小
组至少要进行多少轮游戏才行？并求此时p1，p2的值．
47．（2023•湖南模拟）国产科幻电影《流浪地球2》在给观众带来视觉震撼的同时，也引领观众对天文，
航天、数字科技等领域展开了无限遐想，某校为激发学生对天文、航天、数字科技三类相关知识的兴趣，
举行了一次知识竞赛（竞赛试题中天文、航天、数字科技三类相关知识题量占比分别为40%，40%，
20%）．某同学回答天文、航天、数字科技这三类问题中每个题的正确率分别为
，
，
．
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（1）若该同学在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率；
（2）若该同学从这三类题中各任选一题作答，每回答正确一题得2 分，回答错误不得分，设该同学回
答三题后的总得分为X 分，求X 的分布列及数学期望．
48．（2023•东方校级模拟）为了解某班学生喜爱打羽毛球是否与性别有关，故对本班60 名学生进行问卷
调查，得到了如下的2×2 列联表：
喜爱
不喜爱
合计
男
6
女
16
合计
60
已知在全班60 人中随机抽取1 人，抽到喜爱打羽毛球的学生的概率为
．
（1）请将上面的2×2 列联表补充完整，并推断是否有99.9%的把握认为学生喜爱打羽毛球与性别有关；
（2）采用分层抽样的方法在喜爱打羽毛球的学生中抽取5 人，再选出2 人参加学校组织的羽毛球比赛，
记选出的2 人中女生数为X，求X 的分布列及数学期望．
附：
，n＝a+b+c+d．
P（K2≥k）
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
一十四．二项分布与n 次独立重复试验的模型（共3 小题）
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49．（2023•雨花区校级一模）若
，则当k＝0，1，2，…，100 时（ ）
A．P（X＝k）≤P（X＝50）
B．P（X＝k）≤P（X＝32）
C．P（X＝k）≤P（X＝33）
D．P（X＝k）≤P（X＝49）
50．（2023•济南三模）已知随机变量X，Y，其中X～B（6，
），Y～N（μ，σ2），E（X）＝E（Y），P
（|Y|＜2）＝0.3，则P（Y＞6）＝ ．
51．（2023•湖北模拟）已知随机变量X 服从B（9，0.6），则当k＝ 时，概率P（X＝k）最大．
一十五．正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义（共6 小题）
52．（2023•保定三模）已知随机变量ξ 服从正态分布N（2，σ2），且P（ξ≤0）＝0.2，则P（2＜ξ≤4）
等于（ ）
A．0.8
B．0.6
C．0.4
D．0.3
53．（2023•长春模拟）已知随机变量X～N（2，σ2），且P（X≤4）＝0.84，则P（0＜X≤4）＝（ ）
A．0.84
B．0.68
C．0.34
D．0.16
54．（2023•佛山模拟）李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50 次坐公交车和骑自行车所
花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时X 和骑自行车用时Y 都服从正态分布，X～N（μ1，
62），Y～N（μ2，22）．X 和Y 的分布密度曲线如图所示．则下列结果正确的是（ ）
A．D（X）＝6
B．μ1＞μ2
C．P（X≤38）＜P（Y≤38）
D．P（X≤34）＜P（Y≤34）
55．（2023•皇姑区校级模拟）2023 年国家公务员考试笔试于1 月8 日结束，公共科目包括行政职业能力
测验和申论两科，满分均为100 分，行政职业能力测验中，考生成绩X 服从正态分N（80，σ2）．若
，则从参加这次考试的考生中任意选取3 名考生，恰有2 名考生的成绩高于85 的
概率为 ．
56．（2023•广州二模）某班有48 名学生，一次考试的数学成绩X（单位：分）服从正态分布N（80，
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σ2），且成绩在[80，90]上的学生人数为16，则成绩在90 分以上的学生人数为 ．
57．（2023•山西模拟）已知随机变量ξ 服从正态分布
，且P（ξ＜﹣1）＝P（ξ＞m），则
（x+m）6的展开式中x 的系数为 ．
一十六．概率的应用（共3 小题）
58．（多选）（2023•金安区校级模拟）一个袋子中有编号分别为1，2，3，4 的4 个球，除编号外没有其
它差异．每次摸球后放回，从中任意摸球两次，每次摸出一个球．设“第一次摸到的球的编号为2”为
事件A，“第二次摸到的球的编号为奇数”为事件B，“两次摸到的球的编号之和能被3 整除”为事件
C，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．事件B 与事件C 相互独立
C．
D．事件A 与事件B 互为对立事件
59．（多选）（2023•沙坪坝区校级模拟）一个盒子中装有a 个黑球和b 个白球（a，b 均为不小于2 的正整
数），现从中先后无放回地取2 个球．记“第一次取得黑球”为A1，“第一次取得白球”为A2，“第
二次取得黑球”为B1，“第二次取得白球”为B2，则（ ）
A．
B．
C．P（B1|A1）+P（B2|A1）＜1
D．P（B2|A1）+P（B1|A2）＞1
60（多选）．（2023•吉林模拟）某商场开业期间举办抽奖活动，已知抽奖箱中有30 张奖券，其中有5 张
写有“中奖”字样．假设抽完的奖券不放回，甲抽完之后乙再抽，记A 表示甲中奖，B 表示乙中奖，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
一、条件概率的性质
设P(A)>0，则
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①
②如果B 与C 是两个互斥事件，则
③
设
和
互为对立事件，则
二、离散型随机变量的期望
1.定义：
一般地，若离散型随机变量的概率分布为
1x
2x
…
ix
…
P
1p
2p
…
ip
…
则称
E
1
1 p
x
2
2 p
x
…
n
n p
x
… 为的均值或数学期望，简称期望．
2．性质：
①
(
)
E
E
E
；
②若
b
a
(a、b 是常数)，是随机变量，则也是随机变量，有
b
aE
b
a
E
)
(
；
b
aE
b
a
E
)
(
的推导过程如下：：
的分布列为
1x
2x
…
ix
…
b
ax
1
b
ax
2
…
i
ax
b
…
P
1P
2P
…
iP
…
于是
E
1
1
)
(
p
b
ax
2
2
)
(
p
b
ax
… (
)
i
i
ax
b p
…
＝
1
1
(
p
x
a
2
2 p
x
…
i
i
x p
…)
1
(p
b
2
p
…
ip
…)＝
b
aE
∴
b
aE
b
a
E
)
(
。
三、正态分布
1.正态变量的概率密度函数
正态变量的概率密度函数表达式为：
2
2
(
)
2
,
1
( )
(
R)
2
x
x
e
x
，（
0,
）
其中x 是随机变量的取值；μ 为正态变量的期望；是正态变量的标准差.
2．正态分布
（1）定义
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如果对于任何实数,
(
)
a b a
b
随机变量X 满足：
,
(
)
( )
b
a
P a
X
b
x dx
，
则称随机变量X 服从正态分布。记为
2
( ,
)
X
N
。
（2）正态分布的期望与方差
若
2
( ,
)
X
N
，则X 的期望与方差分别为：EX
，
2
DX
。
3. 正态曲线
如果随机变量X 的概率密度函数为
2
2
(
)
2
1
( )
(
R)
2
x
f x
e
x
，其中实数和为参数（
0,
），则称函数
( )
f x 的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线。
22
