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2024 年高考数学模拟预测卷（新高考专用）
考试时间：120分钟 满分：150分
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．设全集 ，集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知复数 ，则 等于（ ）．
A． B．0 C． D．
3．已知向量 ， ，若 ，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．
4．若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．已知等差数列 的前 项和为 ，命题 “ ”，命题 “ ”，则命题 是命题
的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
7．已知 是椭圆 和双曲线 的公共焦点，P是它们的一个公共交点，且 ，若椭圆 离心率记为 ，双曲线 离心率记为 ，则 的最小值为（ ）
A．25 B．100 C．9 D．36
8．已知 ，过点 作圆 （ 为参数，且 ）的两条切线分别切圆
于点 、 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．已知一组样本数据 ，其中 （ ，2，…，15），由这组数据得到另一组新的样本数
据 ， ，…， ，其中 ，则（ ）
A．两组样本数据的样本方差相同
B．两组样本数据的样本平均数相同
C． ， ，…， 样本数据的第30百分位数为
D．将两组数据合成一个样本容量为30的新的样本数据，该样本数据的平均数为5
10．声强级Li（单位：dB）与声强I（单位： ）之间的关系是： ，其中 指的是人能听
到的最低声强，对应的声强级称为闻阈．人能承受的最大声强为 ，对应的声强级为120dB，称为痛
阈．某歌唱家唱歌时，声强级范围为 （单位：dB）．下列选项中正确的是（ ）
A．闻阈的声强为
B．声强级增加10dB，则声强变为原来的2倍
C．此歌唱家唱歌时的声强范围 （单位：dB）
D．如果声强变为原来的10倍，对应声强级增加10dB11．已知定义在 上的函数 满足对任意的 ， ， ，且当 时， ，
则（ ）
A．
B．对任意的 ，
C． 是减函数
D．若 ，且不等式 恒成立，则 的最小值是
12．正多面体因为均匀对称的完美性质，经常被用作装饰材料.正多面体又叫柏拉图多面体，因古希腊哲学
家柏拉图及其追随者的研究而得名.最简单的正多面体是正四面体.已知正四面体 的所有棱长均为2，
则下列结论正确的是（ ）
A．异面直线 与 所成角为
B．点 到平面 的距离为
C．四面体 的外接球体积为
D．四面体 的内切球表面积为
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．将5名学生分到A，B，C三个宿舍，每个宿舍至少1人至多2人，其中学生甲不到A宿舍的不同分法
有 ．
14．《九章算术》中将正四棱台体（棱台的上下底面均为正方形）称为方亭.如图，现有一方亭
，其中上底面与下底面的面积之比为 ， ，方亭的四个侧面均为全等的等腰
梯形，已知方亭四个侧面的面积之和为 ，则方亭的体积为 .15．若函数 ，在 上恰有两个最大值点和四个零点，则实数ω的取
值范围是 ．
16．双曲线 的左、右焦点分别为 ，P为右支上一点，且 ，
的内切圆圆心为I，与 切于点A，直线PI交x轴于点Q，若 ，则双曲线的离心率为
．
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．在 中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ．
(1)求 的值；
(2)若 ，且 ，求边AC上的高．
18．如图，在直三棱柱 中，点 分别是 中点，平面 平面 ．(1)证明： ；
(2)若 ，平面 平面 ，求直线 与平面 所成角的余弦值．
19．已知函数 ．
(1) 时，求函数 在 处的切线方程；
(2)讨论函数 的单调性；
(3)证明不等式 恒成立．
20．已知等差数列 的前n项和为 ，且 ．当 时，．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前n项和 ．
21．从甲､乙､丙等5人中随机地抽取三个人去做传球训练.训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球
时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出.
(1)记甲乙丙三人中被抽到的人数为随机变量 ，求 的分布列；
(2)若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且第1次由甲将球传出，记 次传球后球在甲手中的概率为
，
①直接写出 的值；
②求 与 的关系式 ，并求 .22．设抛物线 的焦点为 ，过点 的动直线交抛物线于不同两点 ，线段 中点为 ，射
线 与抛物线交于点 .
(1)求点 的轨迹方程；
(2)求 面积的最小值.
