文档文本内容
专题 03 三个二次关系及解不等式
目 录 导 航
01知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系
02考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点
▶基础梳理・自主夯基 考点05 分式不等式的解法
▶高阶思维・探究拓展
考点01 一元二次不等式的解法
考点02 三个二次的关系 难点解读01 高次不等式的解法
考点03 一元二次不等式恒成立 难点解读02 绝对值不等式的解法
考点04 一元二次函数根的分布
03素养进阶·答题技法突破——提炼解题范式，提升答题素养
▶考点聚焦・解法深研 题型06 一元二次方程根的分布
▶重难攻坚・考法深研
题型01 解含参的一元二次不等式
题型02 三个二次的关系 重难点01 解分式、高次、绝对值不等式
题型03 一元二次不等式在R上恒成立或能成立 ▶易错剖析・避坑攻略
题型04 一元二次不等式在区间上恒成立
易错点01 忽略二次项系数的讨论
题型05 一元二次不等式在区间上有解
04优题精练·专题实战通关——精选优质试题，强化实战应用知识脑图·核心脉络搭建
考点深研·知能分层突破
考点01 一元二次不等式的解法
(1)解不含参数的一元二次不等式的一般步骤：
①求出相应的一元二次方程的根（根据判别式判断方程没有实根，用因式分解或求根公式求根）；
②根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集．
(2)解含参数的一元二次不等式的一般步骤：
①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论；
②若可以因式分解，则能求出两根来；
③若不能因式分解，先讨论判别式，再讨论有根的情况．
④求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论
【新题对点练】求关于 的不等式 的解集.
【答案】详见解析
【分析】由 得 ，根据 的情况分类讨论，利用一元二次不等式的解法即可求解.
【详解】由 有： ，
当 时，由 ，
所以 ；
当 时， ，所以原不等式解为： 或 ，
所以 ；
当 时， ，所以原不等式的解为： ，
所以 ；
当 时， ，
所以 ；
当 时， ，所以原不等式的解为： ，
所以 ；
综上所述，当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
当 时， .考点02 三个二次的关系
Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0
二次函数
y=ax2+bx+c（a>0）
二次方程 有两相等实根
有两相异实根
无实根
ax2+bx+c=0 b
x ，x (x <x ) x =x =-
(a>0)的根 1 2 1 2 1 2 2a
二次不等式
¿ ¿ R
ax2+bx+c>0
(a>0)的解集
二次不等式
¿ ∅ ∅
ax2+bx+c<0
(a>0)的解集
【新题对点练】（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知关于 的不等式 的解集为 ，
则关于 的不等式 的解集为（ ）
A． B． C． 或 D．
【答案】C
【详解】因关于 的不等式 的解集为 ，
则 ，即 ，则 ，即 ，
所以 ，解得 或 ．
考点03 一元二次不等式恒成立
（1）在R上恒成立（讨论Δ）
①ax2+bx+c>0(a≠0)在x∈R上恒成立⇔¿恒成立
②ax2+bx+c<0(a≠0)在x∈R上恒成立⇔¿
（2）在区间上恒成立（参变分离或讨论）
①若能参变分离，推荐参变分类，建立明确的参数和变量x的关系，并利用函数最值求解。
b
②若在参变分离时要谈论参数，就不用参变分离，直接在区间内讨论 ：开口a，对称轴- ，区间端点的
2a
值，可以利用数形结合来讨论。
【新题对点练】（2026·陕西西安·模拟预测）若命题“ , ”为真命题，则实数 的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由命题“ ”为真命题，利用判别式，即可确定实数 的取值范围．
【详解】由命题“ ”为真命题，
，
解得： ，
考点04 一元二次函数根的分布
1、二次函数的根与定值k的位置关系（讨论开口向上的情况 a>0）
两根都小于k， 两根都大于k， 一根小于k，一根大于k，即
即x
1
<k , x
2
<k 即x
1
>k , x
2
>k x
1
<k<x
2∆>0 ∆>0
{ {
b b
- <k - >k f (k)<0
2a 2a
f (k)>0 f (k)>0
2、二次函数的根与区间的位置关系（讨论开口向上的情况a>0）
两根有且仅有一根在
一根(m , n)内，
两根都在(m , n)外 两根都在(m , n)内
(m , n)内
另一根在(p , q)内
{
f (m)>0
∆>0
{ f (n)<0
f (m)>0
{f (m)<0 f (p)<0
f (n)>0 f (m)f (n)<0
f (n)<0 f (q)>0
b
m<- <n
{ f (m)f (n)<0
2a or
f (p)f (q)<0
3、只有一根在(m , n)之间
{ ∆ =0
（1）当f (m)∙f(n)≠0时，分两种情况，方程有两相同的根，且根在(m , n)之间， b 或方
m<- <n
2a
程有两个不相同的根，有一个根在(m , n)之间，一根在(m , n)之外，f (m)∙f (n)<0
（2）当f (m)∙f (n)=0时, 方程有两不同的根，有一个根正好在m或n处，另一个根在(m , n)之间则
∆>0 ∆>0
{ {
f (m)=0 f (n)=0
b 或 b
m<- <n m<- <n
2a 2a
f (n)>0 f (m)>0
【新题对点练】（2026高三·全国·专题练习）已知关于x的方程 ，求实数 为何值时？
(1)方程有唯一实数根或两相等实数根；
(2)方程一根大于1，一根小于1．
【答案】(1) 或
(2)
【分析】（1）令 ，根据 的情况分类讨论即可求解；
（2）根据题意画出草图，根据图像得 或 ，解出即可.
【详解】（1）令 ，
当 时，方程变为 ，即 ，符合题意；
当 时， ， ，
所以当 或 时，方程有唯一实根或两相等实数根；
（2）
因为方程有一根大于1，一根小于1，则 大致图象如图⑤，⑥，
所以 （舍）或 ，解得 ，
所以当 时，方程有一根大于1，一根小于1．
考点05 分式不等式的解法
分式不等式化成乘法
f(x) f(x)
>0⇔f (x)g(x)>0； ≥0⇔¿
g(x) g(x)f(x) f(x)
<0⇔f (x)g(x)<0； ≤0⇔¿
g(x) g(x)
【新题对点练】（2026·重庆渝中·二模）已知不等式 的解集为 或 ，则实数 的值
为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】C
【分析】根据方程的根与不等式的解集之间的关系求解即可.
【详解】易知 是方程 的根，
即 ，所以 ,
当 时，不等式为 ，即 ,其解集为 或 .
故实数 的值为1.
难点解读01 高次不等式的解法
高次不等式--穿针引线法（零点分段法）
①先因式分解，求解对应的方程的根，在数轴上表示出来。
②，从数轴右上方穿线，根据“奇穿偶不穿”的原则，画出对应的图像
③根据线在数轴上方下方，写出对应的x的范围
难点破解（2025高三·北京·专题练习）不等式 的解集为______.
【答案】
【分析】将不等式转化为不等式组，再依次解不等式组，最后取并集即可.
【详解】不等式 化为：
或 ，解 ，得 ，即 ；
解 ，得 ，即 且 ，
所以原不等式的解集为 .
故答案为： .
难点解读02 绝对值不等式的解法
与分式不等式类似的是，求解绝对值不等式也是要将不等式的绝对值去掉，进行同解变形．
一般的，|f(x)|>g(x)与f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)同解；|f(x)|<g(x)与-g(x)<f(x)<g(x)同解．
一般的，|f(x)|>|g(x)|⇔|f(x)| 2>|g(x)| 2 ⇔f(x) 2>g(x) 2，需要注意的是，如果不等式中有多个绝对
值，那么就需要对每个绝对值号进行讨论．
难点破解 （多选）（2026·江西九江·模拟预测）已知不等式 对任意实数 恒成
立，则实数 的可能取值为（ ）
A． B．1 C．3 D．5
【答案】BC
【分析】首先根据绝对值三角不等式求 的最小值，再根据不等式恒成立，转化为 ，
即可求解.
【详解】不等式 ，
由不等式 恒成立，可知 ，
即 ，解得： ，
选项中满足条件的只有BC.素养进阶·答题技法突破
题型01 解含参的一元二次不等式
①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论；
②若可以因式分解，则能求出两根来；
③若不能因式分解，先讨论判别式，再讨论有根的情况．
④求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论
【典例1】（2026高三·全国·专题练习）解不等式 ．
【答案】当 时，解集为 ；当 时，解集为 ；当 时，解集为
；当 时，解集为 ；当 时，不等式的解集为
【分析】分 、 及 进行讨论，结合一元二次不等式解法计算即可得.
【详解】原不等式可化为 ，
当 时，不等式为 ，解得 ；
当 时，不等式可化为 ，
则当 时，不等式可化为 ，解集为 ；
当 时， ，不等式的解集为 ；
当 时， ，不等式的解集为 ；
当 时，不等式可化为 ，则不等式的解集为 ．
综上可得：当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 ．
【典例2】（25-26高三上·山东青岛·期中）若关于 的不等式 的解集中恰有两个
整数，则 的范围是______；
【答案】
【分析】分类讨论求解不等式，结合解集中恰有两个整数可得答案.
【详解】当 时，显然不合题意；
当 时，原不等式可化为 ，即 ，所以 ，
因为解集中恰有两个整数，所以 ，即 ；
当 时，原不等式可化为 ，即 ，
所以若 时，则 或 ，不合题意；若 时，则 或 ，不合题意；若
时，则 ，不合题意.
综上可得， ；
故答案为：
【变式1】（2026高三·全国·专题练习）已知函数 ，当 时，求函数
的定义域．【答案】答案见解析
【分析】根据题意，将问题转化为解不等式 ，结合一元二次不等式的解法，分类讨论，
即可求解.
【详解】解：由函数 ，则满足 ，
因为 且 ，可得 ，即 ，
解方程 ，解得 ， ．
①当 时，即当 时，解得 或 ，
此时，函数 的定义域为 或 ；
②当 时，即当 时，解不等式 ，得 ，
此时，函数 的定义域为 ；
③当 时，即当 时，解得 或 ，
此时，函数 的定义域为 或 ；
综上可得，当 ，函数的定义域为 或 ；
当 ，函数的定义域为 ；
当 时，函数的定义域为 或 .
【变式2】（25-26高三上·宁夏中卫·阶段检测）（1）关于 的不等式： ；
①当 时，解不等式；
②当 时，解不等式.
（2）已知函数 ，求函数 的值域.
【答案】（1）① ；②答案见详解；（2）答案见详解【分析】（1）①代入可得 ，解不等式即可；②整理可得 ，分类讨论二次
项系数以及两根大小解不等式即可；
（2）讨论对称轴与区间的关系，结合二次函数对称性求最值，即可得值域.
【详解】（1）①当 时， ，即 ，解得 ，
所以原不等式的解集为 ；
②当 时，原不等式可化为 ，
若 ，不等式为 ，解得 ；
若 ，令 ，解得 或 ，
当 时，则 ，解得 或 ；
当 时，则 ，
若 ，则 ，解得 ；
若 ，原不等式为 ，解得 ；
若 ，则 ，解得 ；
综上所述：若 ，不等式解集为 ；
若 时，不等式解集为 ；
若 ，不等式解集为 ；
若 ，不等式解集为 ；
若 ，不等式解集为 .
（2）因为函数 的图象开口向下，对称轴为 ，设函数 的最大值为 ，最小值为 ，
当 ，即 时，则 ， ，
所以函数 的值域为 ；
当 ，即 时，则 ， ，
所以函数 的值域为 ；
当 ，即 时，则 ， ，
所以函数 的值域为 ；
当 ，即 时，则 ， ，
所以函数 的值域为 ；
综上所述：当 时，函数 的值域为 ；
当 时，函数 的值域为 ；
当 时，函数 的值域为 ；
当 时，所以函数 的值域为 .
题型02 三个二次的关系
理解一元二次函数、一元二次不等式与一元二次方程之间的关系，对方程的根与系数之间的关系的应
用。【典例1】（多选）（2026·西藏林芝·二模）已知关于 的不等式 的解集为 ，则下列
说法正确的是（ ）
A． B．
C．不等式 的解集为 D．不等式 的解集为
【答案】AD
【分析】由不等式的解集的特征判断A；利用解集可得 、 、 间关系，即可判断B；利用 、 、 间
关系，计算即可判断C、D.
【详解】对于选项A：由关于 的不等式 的解集为 ，可得 ，故A正确；
对于选项B：由题意可得 ，
故 ， ，则 ，故B错误；
对于选项C： ，由 ，故 ，即 ，
所以不等式 的解集为 ，故C错误；
对于选项D： ，
由 ，则该不等式解集为 ，故D正确.
【典例2】（多选）（2026·河南开封·模拟预测）已知 ，若关于 的方程
有两个不相等的实数根 ， ，且 ，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若 ，则 的最小值为4
C．关于 的不等式 的解集为D． 是关于 的不等式 的一个解
【答案】ACD
【详解】选项A，因为方程有两不等实根，所以
，解得
，
因为 ，所以 ，即取 ，A正确；
选项B，由韦达定理 ，则 ，由A选项可知 ，且
，所以 ，
，当 时， 单调递增，因此 ，则 ，无法取到最小
值4，B错误；
C选项，令 ，代入原方程得 ，即若 为原方
程两根，则 为 的两根，又因为 ，
所以 ，已知 ，所以不等式解集为 ，C正确；
D选项，将 代入得 ，因为 ，因此，
即 是不等式的一个解，D正确.
【变式1】（多选）（2026高三·全国·专题练习）已知关于 的不等式 的解集为
，则（ ）
A．
B．
C．不等式 的解集是
D．不等式 的解集为
【答案】ACD
【分析】根据一元二次方程与不等式的关系得 ， ，再结合一元一次不等式和一元二次不等式
的解法，依次讨论各选项即可得答案.
【详解】∵关于 的不等式 的解集为 ，
∴ ， 和3是关于 的方程 的两根，A选项正确；
由根与系数的关系得 ，则 ，
∴ ，B选项错误；
∴不等式 可化为 ，即 ，解得 ，C选项正确；
不等式 可化为 ，即 ，解得 或 ，
D选项正确．
【变式2】（多选）（2025·云南昆明·模拟预测）已知关于x的不等式 的解集为，则下列说法正确的有（ ）．
A． B．不等式 的解集为
C． D．
【答案】AB
【分析】由不等式的解集为两根之间可判断A；由不等式的解集可知对应方程的根，从而得到 之间
的关系，可判断BCD.
【详解】关于x的不等式 的解集为 ，
由不等式的解集为两根之间，得 ，故A正确；
由题意可知 和4是方程 的两根，
可得 ，解得 ，
对于B， ，所以 ，
所以不等式的解集为 ，故B正确；
对于C， ，故C错误；
对于D，当 时， ，故D错误.
故选：AB．
题型03 一元二次不等式在R上恒成立或能成立
一元二次不等式在R上恒成立与能成立问题可以只从判别式方面考虑，可以结合图像来理解。
【典例1】（2026·甘肃张掖·模拟预测）命题 “ ，使得不等式 成立”为假命题，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】题意说明 ：“ ， 恒成立”是真命题，然后对 分类讨论可得.
【详解】命题 “ ，使得不等式 成立”为假命题，则命题 ：“ ，
恒成立”是真命题，
时，不等式为 恒成立，满足题意，
时，则 ，解得 ，
综上， 的范围是 .
【典例2】（2026·湖南常德·一模）已知实数 ，若对任意的 ， 恒成立，则 的
最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据一元二次不等式恒成立的条件得出 关系，然后再利用导数即可求解.
【详解】由题意可知 整理得 ，
又因为 ，所以 要想最大，则有 ，并且 ，即 ，所以 ，
设函数 ，令 ，解得 或 （舍去）.
当 时， ， 当 时， ，所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，所以 的最大值为 .
故选：B
【变式1】（25-26高三上·河北衡水·阶段检测）若不等式 的解集是 ，则 的范
围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】当 时，符合题意，当 时，结合二次函数开口和判别式即可得到不等式组，解出即可.
【详解】当 ，即 时，
原不等式可化为 恒成立，
满足不等式解集为 ，
当 ，即 时，
若不等式 的解集是 ，
则 ，解得： ；
综上所述， 的取值范围为 ．
故选：A
【变式2】（25-26高三上·江苏连云港·期中）若关于 的不等式 的解集为 ，则
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分类讨论，即可结合判别式求解.
【详解】当 时，不等式为 ，此时解集不为空集，不符合题意，当 时，若解集为空集，则 ，解得 ，
当 时，此时不等式的解集一定不为空集，故不符合题意，
综上可得 ,
故选：C
题型04 一元二次不等式在区间上恒成立
一般利用参变分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
1、∀x∈D，m≤f (x)⇔m≤f (x)
min
2、∀x∈D，m≥f (x)⇔m≥f (x)
max
【典例1】（2026高三·全国·专题练习）不等式 对任意 恒成立，则 的最小值是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分离参数，利用基本不等式求出最值.
【详解】不等式 对任意 恒成立，
即 对任意 恒成立，
设 ， ，则 ，
，当且仅当 时等号成立， ，
，所以 .
的最小值为 .【典例2】（2026·广东汕头·模拟预测）对于任意的 ，都有 和
恒成立，其中a，b为实数．则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意将不等式整理为 ，结合对勾函数性质构造函数 ，再结合线
性规划求解即可.
【详解】由 ，不等式两侧同时除以 ，得 ，
整理得 ，设 ，根据对勾函数的性质可得
当 时， 取最小值为4，
当 时， ，
当 时， ，故 ，
即 ，恒有 .
设 ，则 ，即 ①，
建立关于 的平面直角坐标系如图所示，①表示四条直线围成的一个平行四边形，
联立方程求解顶点坐标可得， ，
， .
设目标函数为 ，将
代入 ，得 ，即可行域内 恒成立，
故 .
当 时， ，代入 ，
可得 的取值分别为 ，故 ；
当 时， ，代入 ，可得 ，
综上所述 .
故选：A.
【变式1】（2026·山东枣庄·二模）已知 ， ．则 的取值范围是
______．
【答案】【分析】将 化成关于 的二次函数形式后，由题意可得 ， ，则可得 位于第一象限，
结合三角恒等变换可得 对称轴在区间 内，即可得其 ，解出后与 位于第一象限取交集即可
得.
【详解】令
，
则 ， ，
故 ，则 ， ，
对称轴为
，
令 ，则 ，
故 ，
又 ，故使得 最小的 在区间 内，
故对 ，
有 ，
即有 ，则 ，即 ，又 ，
取交集可得 .
【变式2】（2026·吉林·三模）若 对任意的 恒成立，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先利用对数函数的单调性将不等式转化为 ，再通过换元和均值不等式求出表达式的最小
值，进而求解 的范围.
【详解】由已知得 ，所以问题转化为 恒成立，
设 ，则 ，代入上式，所以问题转化为 时 恒成立，则只需
即可，
因为 ，当且仅当 时取等号，
所以 的最小值为 ，所以 ，解得 .
题型05 一元二次不等式在区间上有解
一般利用参变分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
1、∃x∈D，m≤f (x)⇔m≤f (x)
max
2、∃x∈D，m≥f (x)⇔m≥f (x)
min
【典例1】（25-26高三上·吉林长春·阶段检测）若关于x的不等式 在区间 上有解，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由给定不等式分离参数，利用基本不等式求出最小值，再利用能成立问题求出范围.
【详解】当 时，不等式 ，
由不等式 在区间 上有解，得不等式 在 上有解.
而 ，当且仅当 时取等号，
所以 的最小值为 ，
所以a的取值范围是 .
故选：A
【典例2】（25-26高三上·湖北·阶段检测）当 时，关于x的不等式 有解的一个
充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出当 时，关于x的不等式 有解的充要条件，再根据充分不必要条
件与充要条件的关系得出答案.
【详解】当 时，关于x的不等式 有解，
即 在 上有解.令 ， ，
所以 ，则 ，
代入 得 ，当且仅当 时取等号，此时 ， 的最小值为6.
故当 时，关于x的不等式 有解的充要条件是 ，
所以满足题意的充分不必要条件是 的真子集，选项中只有C符合
故选：C
【变式1】（25-26高三上·江苏扬州·阶段检测）高斯，著名的数学家、文学家，是近代数学奠基者之一，
享有“数学王子”之称．函数 称为高斯函数，其中 表示不超过实数 的最大整数，如 ，
，若 ，使得 成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分离变量，再结合对勾函数的单调性可得答案.
【详解】由 ，可得 ，则 可化为： ，
令 得： ，再令 ，
由对勾函数的单调性知： 在 上单调递减，在 上单调递增，
， ，
所以 ，
，只需 .
故选：D
【变式2】（25-26高三上·甘肃·阶段检测）设函数 ，若 ， ，则m
的取值范围为（ ）．A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分离参数得 ，再根据二次函数性质求出右侧最大值即可.
【详解】根据题意可得 在 上能成立，则 ．
因为 ，
所以 ， ，
当 时， 取最小值，其值为 ，
则 的最大值为 ，所以 ．
故选：C.
题型06 一元二次方程根的分布
根的分布由三个关键因素决定：判别式（是否有实根）、对称轴（根的大致位置）、区间端点的函数值
符号（根是否在区间内）。
【典例1】（25-26高三上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）“ ”是“关于x的方程 的两根
都大于1的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B【详解】判别式 ： ，解得 或 ，
对称轴在 右侧： 对称轴 ，解得 ，
再由 ： 恒成立，
所以两根都大于1的充要条件是 ，
，推不出 ，因此充分性不成立，
，可推出 ，因此必要性成立，
因此" "是"方程 的两根都大于1"的必要不充分条件.
【典例2】（25-26高三·全国·一轮复习）方程 有一正根和一负根的充分不必要
条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】结合韦达定理和 研究一元二次方程的根或结合一元二次函数的图象特点求出 的范围，最后结
合充分条件、必要条件的定义判断.
【详解】方法1：因为方程有一正根和一负根，
则 ，得 ，
所以条件成立的一个充分不必要条件为 ．
方法2：设 ，
因为方程有一正根和一负根，
所以 或 ，解得 ，
所以条件成立的一个充分不必要条件是 ．
故选：C．
【变式1】（25-26高三·全国·一轮复习）若命题“关于 的二次方程 在 上至多有一个解”是假命题，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意可得命题“关于 的二次方程 在 上有两个不同的解”是真命题，
即 在 上有两个不同的零点，结合二次函数图象与性质列出不等式组求解即可.
【详解】由题意可得命题“关于 的二次方程 在 上有两个不同的解”是真命题，
令 ，则 在 上有两个不同的零点，
即 ，即 ，解得： ．故 的范围为 ．
故选：D．
【变式2】（25-26高三上·江西吉安·阶段检测）若方程 在区间 上有两个不等实根，则
实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由题，问题转化为方程 有两个不等实根，等价于函数 与函数 的图象在区
间 上有两个交点，根据函数 的单调性求解.
【详解】因为在区间 上，方程 有两个不等实根，可转化为方程 有两个不等实
根，等价于函数 与函数 的图象在区间 上有两个交点，
又 在 上单调递减，在 上单调递增，且 ， ，
所以实数 的取值范围为 .
故选：B.
重难点01 解分式、高次、绝对值不等式
分式不等式：移项通分化为相乘的形式，转化为分子分母同号（或异号）的不等式组，利用“穿根法”
求解。注意分母不能为零，且不能直接去分母。
高次不等式：因式分解，画出数轴标出各根，从右上方开始“穿根”（奇次根穿过，偶次根弹回），即
可得到不等式解集。
绝对值不等式：利用绝对值的几何意义（数轴上点到原点的距离）或分段讨论去绝对值。
【典例1】（2026·上海普陀·二模）设 ，若关于x的不等式 的解集是 ，则a的
值为______.
【答案】
【分析】将分式不等式化为等价的二次不等式，根据“三个二次”的关系求解.
【详解】由不等式 可得 ，等价于 ，
因为原不等式的解集是 ，所以 是方程 的两根，
所以 ，解得 .
【典例2】（2026·天津·模拟预测）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B【详解】由题知 ，解得 ，故 ，
，解得 ，故 ，
．
【变式1】（2026·辽宁辽阳·二模）不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】借助分式不等式与高次不等式的解法计算即可得.
【详解】 ，
故 ，解得 或 ，
故该不等式的解集为 .
【变式2】（2026·上海杨浦·模拟预测）若集合 ，集合
，则 __________．
【答案】
【分析】利用分段讨论的方法将集合 中方程的绝对值符号去掉，通过解方程得到集合 ，通过解分式不
等式及高次不等式得到集合 ，再根据交集的定义计算即可得解.
【详解】当 时， ，
令 ，解得 ，与 矛盾，故方程无解；
当 时， ，等式恒成立，所以 都是方程的解；
当 时， ，
令 ，解得 ，与 矛盾，故方程无解，
所以 .
因为 等价于 ，即 ，
用穿根法可得不等式组的解为 或 ，
所以 .
因为 ， ，
所以 .
易错点01 忽略二次项系数的讨论
当方程或不等式中含参数且最高次项为二次时，二次项系数可能为零，此时方程退化（一次或常
数），解法截然不同。必须先讨论系数是否为零，再分情况求解，不能直接默认是一元二次问题。
【典例1】（2026高三·全国·专题练习）关于 的方程 有实数根，则 的最大整数值
是________．
【答案】5
【分析】根据题意，讨论方程有实根的情况，得出答案.
【详解】关于 的方程 有实数根，先讨论二次项系数m-5
当m=5时，方程有实数根x=-1
当m≠5时，则需要满足 ，解得 ，且 ，
所以综述实数 的最大整数值是5．【典例2】若关于 的不等式 的解集为 ，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】分类讨论结合一元二次函数的性质可得结果
【详解】根据题意当 时，解得
当 时，不等式 恒成立，符合题意；
当 ，不等式 ，不符合题意；
当 ， 的不等式 的解集为 ，
所以 ，解得
综上所述， .
【变式1】（25-26高三上·云南昆明·阶段检测）已知命题 为真命题，则实数 的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分 和 两种情况讨论，结合一元二次不等式的解集可求得实数 的取值范围.
【详解】因为命题 为真命题，
所以不等式 的解集为 ，
若 ，则不等式可化为 ，满足题意；若 ，则根据一元二次不等式解集的形式可知： ，
解得 ，综上所述，实数 的取值范围是 .
故选：D.
【变式2】（25-26高三上·云南昭通·期末）已知关于 的不等式 对任意 恒成立，则
的取值范围是________．
【答案】
【分析】分 和 两类情况，结合不等式对应的二次函数的图像可得实数 的取值范围.
【详解】当 时，不等式为 ，显然恒成立，符合题意；
当 时，
因为关于 的不等式 对任意 恒成立，
所以二次函数 的图像在 轴的下方，
所以 ，解得 ，
综上，可得 的取值范围是 ．
故答案为：
优题精练·专题实战通关
1．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）若关于 的不等式 的解集是 ，则 的取值范围是
（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【分析】由已知根据解集的形式判断二次函数的开口方向和方程根的大小关系，即可求解.
【详解】因为关于 的不等式 的解集是 ，
所以 且 ，
解得 ，所以 的取值范围是 .
故选： .
2．（2026高三·全国·专题练习）已知不存在 ，使得不等式 成立，则 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】∵不存在 ，使得不等式 成立，
∴对任意 ，不等式 恒成立，
∴方程 对应的 ，解得 ．
3．（2026高三·全国·专题练习）若关于 的不等式 在区间 内有解，则实数 的取值范
围是______．
【答案】
【分析】根据一元二次函数的性质进行求解即可.
【详解】不等式 在区间 内有解，即 在区间 内有解，
那么 ，设 .根据二次函数的性质可知 ，所以 .
故答案为： .
4．（2026·天津河东·二模）已知二次函数 ，若对于任意 ，都有 成立，
则实数 的取值范围是________．
【答案】
【分析】根据 的范围分类讨论，结合对于任意 ，都有 成立，解不等式即可求解．
【详解】因为 是一个区间，所以 ，
二次函数 的对称轴为直线 ，
①当 时，即 ，函数 在 上单调递增，
所以 ，
要使对于任意 ，都有 成立，则 ，
所以 ，解得 ；
②当 时，即 时，
函数 在 处取得最小值， ，
则 ，不等式无解；
③当 时，即 ，函数 在 上单调递减，
所以 ，
则 ，不等式无解；综上所述， 的取值范围是 ．
5．（2026高三·全国·专题练习）若存在实数 使得 对于任意的 恒成立，
则 最小值为____________．
【答案】
【分析】解法一：多点控制，先利用区间端点 代入不等式，得到关于 的约束条件，再
通过三角不等式进行放缩，直接求出 的下界；
解法二：数形结合，利用将不等式 转化为两个函数图像的位置关系，即
的图像始终在 的图像下方解答即可；
解法三：平口单峰，利用将原不等式变形为 ，问题转化为求函数 在区
间 上的最大值的最小值即可.
【详解】解法一：多点控制：由题意知当 ，代入得：
则 ，
所以 ，即 ，
结合 ，所以 ，
所以 ，即 ，
当且仅当 时取等号，故 的最小值为 .解法二：数形结合：当 时，函数 关于 轴对称，
原不等式等价于 的图像始终在 的图像下方，
画出 及 的图象，
可得右端点值 ，顶点值（函数图象在 处交点） ，即 ．
解法三：平口单峰：由题意得 对任意的 恒成立，
根据平口单峰函数可得 ，令 ，易得 ，所以 ，
所以函数 在区间 上的最大值为 ，这就是满足条件的最小 ，
所以 .
6．（25-26高三上·河北·期中）设函数 .
(1)命题 ，使得 成立.若 为假命题，求实数 的取值范围；
(2)求不等式 的解集.
【答案】(1) ；
(2)答案见解析.
【分析】（1）将问题转化为全称量词命题为真命题，再利用一元二次型不等式恒成立求解.
（2）分类讨论求解含参数的不等式.
【详解】（1）由命题 ，使得 成立为假命题，得命题 ， 为真命题，
不等式 ，
当 时， 恒成立；当 时， ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 .
（2）不等式 ，
当 时，不等式 ，解得 ；
当 时，不等式为 ，解得 ；
当 时，不等式为 ，
当 时，解得 或 ；当 时， ；当 时，解得 或 ，
所以当 时，原不等式的解集为 ；
当 时，原不等式的解集为 ；
当 时，原不等式的解集为 ；
当 时，原不等式的解集为 .
7．（25-26高三上·北京·阶段检测）已知方程 的两根一个比2大另一个比2小，则
实数m的范围是 ____________ .
【答案】
【分析】利用分解因式求出方程的两个根，再结合题意，列出不等关系求解即可.
【详解】方程 ，可得 ，
故方程的两个根分别为 或 .
由于两根一个比2大另一个比2小，
故 ,解得 ，
故答案为： .
8．（2026·北京房山·二模）设集合 ，，给出下列四个结论：
① 且 ；
② 且 ；
③ 若 ，则 且 ；
④ 若 且 ，则 ．
其中正确结论的序号是____．
【答案】②③
【详解】1.当 时， 恒成立，与条件 矛盾，
解 得 或 ，所以 不在 中；
2. 当 ，即 时
有两个零点，分别为 ，
由集合 中条件 得 ，解得 ，
所以 ；
3. 当 ，即 时， 有两个零点，分别为 ，
由集合 中条件 得 ，解得 ，
所以 ；
综上所述
是开口向上的二次函数，在 上不可能恒为负，所以 ，
对于①， 且 ，①错误；
对于②， 且 ，②正确；
对于③，若 ，则 且 ，③正确；
对于④，若 且 ，则 或 ，④错误．
9．（多选）（25-26高三上·陕西商洛·阶段检测）关于x的不等式 的解集为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】根据分式不等式以及高次不等式的解法结合解集的端点特征分析求解即可.
【详解】对于关于x的不等式 ，显然 且 ，
此时 ，可得 ，
则原不等式等价于 ，
因为不等式 的解集为 ，
根据解集的端点个数可知 ，且 ，故D正确；
可知 的解集为 ，
令 ，解得 或 ，
若 ，则 ，且 ，可得 ，则 ，
可知 ， ， 为不等式 的解集端点，
且 ， 可以取到， 不可以取到，
则 ，解得 ，故AC错误，B正确.故选：BD.
10．（25-26高三上·上海徐汇·期中）分式不等式 的解集为______
【答案】 或 或
【分析】将分式不等式转为整式不等式（组），高阶不等式遵循：“奇次穿针引线，偶次穿而不过”的整
体原则，得到不等式解集.
【详解】∵ ，∴ ，
∴ 或 或 .
故答案为： 或 或 .
