专题02不等式（题型清单）（教师版）_数学_一轮复习_2027年高考数学一轮更新中_2027年高考数学一轮复习知识清单（全国通用）-G56_2027版

专题 02 不等式
题型脑图·核心考法构建
考法深研·解题技能通关
题型01 不等式的性质及应用
判断不等式是否成立的常用方法
（1）利用不等式的性质验证，应用时注意前提条件；
（2）利用特殊值法排除错误选项，进而得出正确选项；
（3）根据式子特点，构造函数，利用函数的单调性进行判断．
1．（2026·重庆·二模）已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】对于A：当 时，不等式不成立，故A错误；
对于B：取 ，则 ，故B错误；
对于C：因为 ，所以 ，即 ，故C正确；
对于D：取 ，则 ，故D错误.
2．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知实数 ， 满足 ，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【解析】 ，
因为 ，所以 ，
所以由 ，因此选项A错误，选项D正确；
若 ，显然 ， ，此时 ，
若 ，显然 ， ，此时 ，
所以选项BC都不恒成立，所以选项BC都不正确.
3．（2026·湖南长沙·二模）已知 ，且 ，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】选项A：当取 ， ，此时 ，但 ， ， 不成立，故A错误；
选项B：当取 ， ，此时 ，但 ， ， 不成立，故B错误；
选项C：因为函数 在 上是单调递增函数，
因此当 时，必有 ，该不等式恒成立，故C正确；
选项D：当 时， ，不等式不成立，故D错误.
4．（2026·青海西宁·二模）已知 ，则下列不等式一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】选项A： 因为 ， ，所以 ，错误.
选项B： .
，取 ，则 ，错误.
选项C： .
因为 ， ，故 ，即 ，C正确.
选项D：取 ，满足 ，则左边 ，右边 ， ，D错误.题型02 利用不等式求代数式范围
利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，解决的方法是先利用待定系数法建立所求范围的整体与
已知范围的整体的等量关系，再利用不等式的性质求解，具体步骤如下：
已知 ， ，求 的取值范围
第一步：设 ；
第二步：经过恒等变形，求得待定系数 ；
第三步：再根据不等式的同向可加性即可求得 的取值范围．
5．（25-26高三上·山东菏泽·期中）已知 ， ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ， ，所以 ，
由不等式的性质可得 .
因此， 的取值范围是 .故选：C.
6．（25-26高三上·河北邯郸·期中）已知 ， ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ， ， ，
又 ， ．故选：D．
7．（25-26高三上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知 ， ，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为 ， ，
所以 ， ， ， ，故A选项错误，C选项正确；
所以 ， ，故BD选项错误；故选：C
8．（2025·浙江温州·模拟预测）已知 ， ，则 的取值范围为______.
【答案】
【解析】设 ，即 ，解得 .
所以 .
因为 ， .
所以 ， .
所以 .
题型03 比较两个数（式）的大小
1、作差法：
（ 1 ） 原 理 ： 设 ， 则 ； ；
；
（2）步骤：作差并变形 判断差与0的大小 得出结论。
（3）注意：利用通分、因式分解、配方等方法向有利于判断差的符号的方向变形．
2、作商法：
（1）原理：设 ，则 ； ；
（2）步骤：作商并变形 判断商与1的大小 得出结论。
（3）注意：作商时各式的符号应相同，如果 均小于0，所得结果与“原理”中的结论相反，变形方
法有分母（分子）有理化，指、对数恒等变形．
9．（25-26高三上·内蒙古鄂尔多斯·期末）若 ，则（ ）
A． B．C． D． 的大小关系无法确定
【答案】B
【解析】
，故B正确．故选：B．
10．（25-26高三下·湖北武汉·阶段检测）已知实数 ，则“ ”是“ ”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】不等式 ，等价于 ，
因为 ，所以 ，显然 ，得出 ；
，得 或 ，未必 .故选：A.
11．（2026·湖南长沙·模拟预测）甲和乙有相同的两台燃油车，甲每次加油都是加200元，乙每次都是加
满油箱，若第一次加油甲乙两人都是x元/升，第二次加油都是y元/升（ ），两次加油后，请问谁的
加油方式单价低?（ ）
A．乙 B．不能确定 C．一样 D．甲
【答案】D
【解析】甲两次总花费 元，甲两次总加油量 升，
‾ 400 2xy
x = =
因此甲的平均单价 甲 x+ y x+ y.
200⋅
xy
设油箱容积为 升，即乙每次加油量为 升，
则乙两次总花费 元，乙两次总加油量 升，
‾ V(x+ y) x+ y
因此乙的平均单价x = = .
乙 2V 2
x+ y 2xy (x+ y) 2-4xy (x- y) 2
x´ -x´ = - = = .
乙 甲 2 x+ y 2(x+ y) 2(x+ y)
因为 ，所以 ，因此x´ -x´ >0，即x´ <x´ .
乙 甲 甲 乙12．（25-26高三上·山东菏泽·期中）两次购买同一种物品，可以用两种不同的策略，第一种是不考虑物品
价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的
钱数一定_______（填第一种或者第二种）方式比较经济.
【答案】第二种
【解析】按第一种策略购物，设第一次购物时的价格为 ，购 ，
第二次购物时的价格为 元 ，仍购 ，
两次购物的平均价格为 ；
若按第二种策略购物，第一次花 元钱，能购 物品，
第二次仍花 元钱，能购 物品，
两次购物的平均价格为 ，
比较两次购的平均价格： ，
第一种策略的平均价格不小于第二种策略的平均价格，
因而用第二种策略比较经济.
故答案为：第二种.
题型04 解不含参一元二次不等式
第一步：先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数；
第二步：写出相应的方程 ax2 bxc0 (a 0) ，计算判别式：
0 x、x x  x
① 时，求出两根 1 2，且 1 2（注意灵活运用因式分解和配方法）；
b
x x 
② 0 时，求根 1 2 2a；
0
③ 时，方程无解
第三步：根据不等式，写出解集．
13．（25-26高三下·甘肃武威·阶段检测）设全集 ，集合 ，则
（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由 ，解得 或 ，所以 ，
又 ，所以
14．（25-26高三下·安徽阜阳·阶段检测）若集合 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为集合 ，
所以可得 ，
因此 ．
15．（25-26高三下·辽宁·阶段检测）不等式 的解集为（ ）
A． B． 或
C． D．
【答案】A
【解析】由 ，得 ，即 ，所以 ，
则 解得 或 ，
所以不等式 的解集为 .
16．（2026·贵州安顺·一模）集合 ，集合 ，则
（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【解析】由题意得 ，
，则 .
题型05 解含参一元二次不等式
对求含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有：
（1）根据二次项系数为正、负及零进行分类；
（2）根据判别式与0的关系判断根的个数；
（3）有两个根式，有时还需根据两根的大小进行讨论．
17．（2025·江西新余·模拟预测）已知集合 ， ，若 ⫋ ，
则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依题意， ， ，
因为 ⫋ ，所以 ，解得 ，
所以实数 的取值范围为 .故选：C.
18．（24-25高三上·湖北随州·阶段检测）若 ，则关于x的不等式 的解集为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】当 时， ，解 ，得 ，
所以不等式 的解集为 .故选：D
19．（25-26高三上·陕西商洛·阶段检测）若关于x的不等式 的解集中恰有3个整数，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】不等式 可化为 ，
当 时，不等式的解集为 ，不符合题意，
当 时，不等式的解集为 ，若解集中恰有 个整数，则这三个整数为 ，所以 ，
当 时，不等式的解集为 ，若解集中恰有 个整数，则这三个整数为 ，所以 ，
综上，实数 的取值范围为 .故选：A.
20．（25-26高三上·广东汕头·阶段检测）关于x的不等式 的解集中恰有4个整数，
则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D． 或
【答案】D
【解析】不等式 ，
当 时，原不等式的解集为 ，
由解集中恰有4个整数，得 ，解得 ；
当 时，原不等式的解集为 ，
由解集中恰有4个整数，得 ，解得 ，
所以实数m的取值范围是 或 .故选：D
题型06 三个“二次”关系的应用
1、一元二次方程的根就是相应二次函数的零点，也是相应一元二次不等式解集的端点值；
2、给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数图象的开口方向及与 轴的交点，可以代
入根或利用根于系数的关系求待定系数．21．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）若关于 的不等式 的解集为 ，则
（ ）
A．5 B．1 C．-1 D．-5
【答案】D
【解析】关于 的不等式 的解集为 ，
则 是方程 的两个根，
根据韦达定理可知 ，解得 ，故选：D.
22．（25-26高三上·安徽·阶段检测）若不等式 的解集为 ，则不等式
的解集为（ ）
A． B． 或
C． D． 或
【答案】C
【解析】因为 的解集为 ，
故 且 为方程 的解.
故 ，故 ，
故不等式 即为 ，
故 ，故 ，
故不等式 的解集为 ，故选：C
23．（2025·云南昆明·模拟预测）（多选）已知关于x的不等式 的解集为 ，则
下列说法正确的有（ ）
A． B．不等式 的解集为
C． D．
【答案】AB
【解析】关于x的不等式 的解集为 ，由不等式的解集为两根之间，得 ，故A正确；
由题意可知 和4是方程 的两根，
可得 ，解得 ，
对于B， ，所以 ，
所以不等式的解集为 ，故B正确；
对于C， ，故C错误；
对于D，当 时， ，故D错误.故选：AB．
24．（25-26高三上·江苏扬州·阶段检测）（多选）已知函数 的部分图象如图所示，函数的
零点为-3和1，则（ ）
A．
B．
C．
D．关于 的不等式 的解集为
【答案】AD
【解析】函数 的零点为 和1，则 ，
又因为图象开口向下，所以 ，
对于A： ，A选项正确；
对于B： ，B选项错误；
对于C： ，C选项错误；对于D：关于 的不等式 的解集为 ，D选项正
确；
故选：AD
题型07 一元二次不等式恒成立问题
1、一元二次不等式正在R上恒成立，可以利用判别式判断；
2、一元二次不等式在给定区间上恒成立，一般分离参数求最值或分类讨论；
3、一元二次不等式在给定参数范围恒成立，可变换主元求解，一般情况，求谁的范围，谁就是参数．
25．（24-25高三上·广东揭阳·阶段检测）已知关于 的不等式 对任意 恒成立，则
的取值范围是（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
【答案】A
【解析】当 时，不等式 化为 恒成立，
当 时，不等式 不能恒成立，
当 时，要使不等式 恒成立，
需 ，解得 ，
综上所述，不等式 对任意 恒成立， 的取值范围是 ，故选：A.
26．（25-26高三上·湖北·期末）命题“对 ”为假命题的一个充分不必要条件是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】原命题为假命题等价于其否命题“ ”为真命题，所以 ，
在区间 上单调递增，
当 时，函数 取得最大值 ，则 ，
又 ⫋ ，所以命题“对 ”为假命题的一个充分不必要条件是 .故选：B
27．（2026·青海西宁·二模）已知命题 ，若 为真命题，则 的取值范围为______．
【答案】
【解析】 可化为 ，
由题意可知， 恒成立，
当 时，原不等式为 ，解得 ，不合题意；
当 时，依题意得 ，解得 ，
综上所述， 的取值范围为 ．
28．（2026·湖南常德·一模）已知实数 ，若对任意的 ， 恒成立，则 的最大值
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可知 整理得 ，
又因为 ，所以 要想最大，则有 ，并且 ，即 ，所以 ，
设函数 ，令 ，解得 或 （舍去）.
当 时， ， 当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，所以 的最大值为 .故选：B
题型08 利用基本不等式求最值法一、直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系．
法二、配凑法：凑出“和为定值”或“积为定值”，直接使用基本不等式．
法三、代换法：代换法适用于条件最值中，出现分式的情况．
类型1：分母为单项式，利用“1”的代换运算，也称乘“1”法；
类型2：分母为多项式时
方法1：观察法 适合与简单型，可以让两个分母相加看是否与给的分子型成倍数关系；
方法2：待定系数法，适用于所有的形式，
3a4b a3b a2b
如分母为 与 ，分子为 ，
a2b3a4ba3b3a43b
设
 1


 5

 31 2

 
432  5
∴ ，解得：
法四、消元法：当题目中的变元比较多的时候，可以考虑削减变元，转化为双变量或者单变量问题．
法五、构造不等式法：寻找条件和问题之间的关系，通过重新分配，使用基本不等式得到含有问题代数
式的不等式，通过解不等式得出范围，从而求得最值．
29．（2026·山东济南·模拟预测）已知 ， ，且 ，则 的最小值是
（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【解析】由 ，得 ，
所以 ，
当且仅当 时，即 时等号成立，将其代入 ，解得 ，
所以 的最小值是 .
30．（25-26高三上·贵州六盘水·阶段检测）若正数 ， 满足 ，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【解析】 ，所以 ，
又因为 ，即 ，所以令 ，
所以 ，所以 ，解得 ，即 .故选：D.
31．（2026·湖北黄冈·三模）（多选）若 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】对于A，因为 ， ， ，所以 ，
当且仅当 时取等号，即 ，所以 ，所以A不正确；
对于B，因为 ，
当且仅当 时取等号，所以B正确；
对于C，因为 ，所以 ，
当且仅当 时取等号，所以C正确；
对于D，因为 ， ，且 ，所以 ，
又因为 ，可得 ，所以D不正确.
32．（24-25高三上·辽宁大连·期末）（多选）已知 ， ，且 ，则下列说法正确的有
（ ）
A． B． 的取值范围为
C． 的最小值为 D． 的最小值为
【答案】ACD
【解析】对于A：因为 ，故 ，
因此 ，故A正确；对于B：因为 ， ，故 ， .
令 ，则 ，且 ，
则 ，
由对勾函数的性质，易知 在 上单调递减，在 上单调递增，
又因为 ，故 在 上的值域为 ，
故当 时， ，即 ，即 的值域为 ，故B错误；
对于C：由A可知， ， ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
即 的最小值为 ，故C正确；
对于D：由A可知， ，则 ，
故 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
故 的最小值为 ，故D正确.故选：ACD.
题型09 基本不等式恒（能）成立问题
1、 ，使得 ，等价于 ；
2、 ，使得 ，等价于 ；
3、 ，都有 ，等价于 ；
4、 ，都有 ，等价于 ．
33．（24-25高三下·重庆·阶段检测）已知 ，若 恒成立，则实数 的取值范围为
（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，所以 恒成立等价于 恒成立，
又 ，当且仅当 时取等号，故 .故选：A
34．（25-26高三上·江苏镇江·阶段检测）已知正实数x，y满足 时，有 恒成立，则 的
最大值为（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
【答案】C
【解析】因为正实数x，y满足 ，
所以， ，
当且仅当 时，等号成立，即 时，等号成立，
因为正实数x，y满足 时，有 恒成立，
所以 ，即 ，
所以， 的最大值为 .故选：C
35．（2025·吉林延边·一模）已知正实数 ， 满足 ，且不等式 恒成立，则 的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为正实数 , 满足 ，所以 ，
则 ，
当且仅当 时取等号，因为不等式 恒成立，所以 ．故选：B．36．（2026·海南省直辖县级单位·二模）已知正数 ， 满足 .若不等式 恒
成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意可知，不等式 恒成立，
即 ，
，即
， ，
， ， ， ，
，当且仅当 ，即 时等号成立，
当 时， 取得最小值为8，
，即 ，解得 .
题型10 基本不等式的实际应用
解实际应用题的三个注意点：
1、设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数；
2、根据实际问题抽象很出有关式关系式后，只需利用基本不等式求得函数的最值；
3、在求函数的最值时，一定要在定义域（使实际问题有意义的自变量的取值范围）内求解．
37．（2026·山东济南·模拟预测）现有一支队伍，设其全长为 ，以速度 匀速前进，排尾的传令兵因传达
命令需赶赴排头，到达后立即返回，往返速度均为 ，如果传令兵回到排尾时，全队正好前进了 ，则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．4
【答案】C
【解析】已知传令兵的行进速度为 ，则传令兵从排尾到排头所需时间为 ，从排头到排尾所需时间为 ，
则往返共用时间 ，即 ①，
由传令兵回到排尾时，全队正好前进了 ，得 ②，
由①②得 ，解得 ， （舍去），
所以 ，当且仅当 时等号成立．
38．（25-26高三·全国·二轮复习）某工厂建造一个无盖贮水池，其容积为 ，深度为 .池底每平方
米的造价为 元，池壁每平方米的造价为 元，设计水池的最低总造价约为（ ）
A． 元 B． 元 C． 元 D． 元
【答案】C
【解析】设无盖贮水池的底面长为 ，宽为 ，
又其深度为 ，容积为 ，所以 ，化简得 ，
令池底面积为 ，则 ，解得 ，
又池底每平方米的造价为 元，则池底总造价为 元，
池壁由四个侧面组成，面积为 ，
又池壁每平方米的造价为 元，则池壁总造价为 元，
综上所述，水池的总造价为 元，
令 ，又 ，
所以 ，
根据基本不等式，可得 ，
当且仅当 ，即 时，取得最小值 .故选：C
39．（2026·广西南宁·一模）如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的
矩形ABCD和EFGH构成的面积为 的十字形地域．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为
；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为 ；在四个空角（图
中四个三角形）上铺草坪，造价为 ．设总造价为S（单位：元），则当总造价S最小时，AD的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设
则 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，即 且 ，解得 ，
所以 .
故
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以当 时， 该休闲场所的总造价最小，最小值为 元.故选：B
40．（25-26高三上·广东·开学考试）两次购买同一种物品，现采用两种不同的策略进行购买，第一种是不
考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物
品所花的钱数一定．购物方式比较经济的是第_________种，针对上述现象，对于任意两个正实数 ， ，
可得到不等关系是_________．
【答案】二 ， （或者 ）
【解析】依题意，假设第一次价格为 ，第二次价格为 ， ，
第一种方式购买的平均价格为 ，
第二种方式，设每次购买的花费为 ，则购买的平均价格为 ，由基本不等式得 ，
所以选第二种方式比较经济；
不等关系是： ， ，等号成立时 .
故答案为：二； ，