文档文本内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
专题18 排列组合与二项式定理
目录一览
2023 真题展现
考向一 排列组合
真题考查解读
近年真题对比
考向一 排列组合
考向二 二项式定理
命题规律解密
名校模拟探源
易错易混速记/二级结论速记
考向一 排列组合
1．（2023•新高考Ⅱ•第3 题）某学校为了了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法
作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60 名学生，已知该校初中部和高中部分别有400 名和200
名学生，则不同的抽样结果共有（ ）
A．C 400
45 ⋅C200
15 种
B．C 400
20 ⋅C200
40 种
C．C 400
30 ⋅C200
30 种
D．C 400
40 ⋅C200
20 种
2．（2023•新高考Ⅰ•第13 题）某学校开设了4 门体育类选修课和4 门艺术类选修课，学生需从这8 门课
中选修2 门或3 门课，并且每类选修课至少选修1 门，则不同的选课方案共有 种（用数字作答）．
【命题意图】
考查二项式定理、排列组合。考查二项式定理公式和应用排列组合计算
【考查要点】
二项展开基本定理，还会涉及到三项展开，考查特定项、特定项的系数、二项式系数，同时会涉及到
赋值法的应用，排列组合 常以现实生活、社会热点为载体．多为小题．
【得分要点】
1．排列组合问题的一些解题技巧
（1）特殊元素优先安排．
（2）合理分类与准确分步．
（3）排列、组合混合问题先选后排．
1
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
（4）相邻问题捆绑处理．
（5）不相邻问题插空处理．
（6）定序问题除法处理．
（7）分排问题直排处理．
（8）“小集团”排列问题先整体后局部．
（9）构造模型．
（10）正难则反、等价转化．
2．排列、组合问题几大解题方法：
（1）直接法．
（2）排除法．
（3）捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑
它们“局部”的排列．它主要用于解决“元素相邻问题”．
（4）插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解
决“元素不相邻问题”．
（5）占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从
位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置．即采用“先特殊后一般”
的解题原则．
（6）调序法：当某些元素次序一定时，可用此法．
（7）平均法：若把kn 个不同元素平均分成k 组，每组n 个，共有
Ckn
n C(k −1)n
n
⋯Cn
n
Ak
k
．
（8）隔板法：常用于解正整数解组数的问题．
（9）定位问题：从n 个不同元素中每次取出k 个不同元素作排列规定某r 个元素都包含在内，并且都
排在某r 个指定位置则有Ar
r An−r
k −r．
（10）指定元素排列组合问题：
①从n 个不同元素中每次取出k 个不同的元素作排列（或组合），规定某r 个元素都包含在内．先C
后A 策略，排列Cr
rCn−r
k −r Ak
k；组合Cr
rCn−r
k −r．
②从n 个不同元素中每次取出k 个不同元素作排列（或组合），规定某r 个元素都不包含在内．先C
后A 策略，排列Cn−r
k
Ak
k；组合Cn−r
k
．
③从n 个不同元素中每次取出k 个不同元素作排列（或组合），规定每个排列（或组合）都只包含某
r 个元素中的s 个元素．先C 后A 策略，排列Cr
sCn−r
k −s Ak
k；组合Cr
sCn−r
k −s．
3．二项式定理
(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N*)，这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边
的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，其中的系数C(r＝0，1，2，…，n)叫做第r＋1 项的二项式系数．式中
的Can－rbr叫做二项式展开式的第r＋1 项(通项)，用Tr＋1表示，即展开式的第r＋1 项；Tr＋1＝Can－rbr．
2
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
考向一 排列组合
3．（2022•新高考Ⅱ）甲、乙、丙、丁、戊5 名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相
邻，则不同的排列方式共有（ ）
A．12 种
B．24 种
C．36 种
D．48 种
考向二 二项式定理
4．（2022•新高考Ⅰ）（1﹣
）（x+y）8的展开式中x2y6的系数为
（用数字作答）．
二项展开基本定理考查特定项、特定项的系数、二项式系数，同时会涉及到赋值法的应用。排列组合
常以现实生活为载体．多为小题．
一．计数原理的应用（共4 小题）
1．（多选）（2023•罗定市校级模拟）将四个不同的小球放入三个分别标有1、2、3 号的盒子中，不允许
有空盒子的放法有多少种？下列结论正确的有（ ）
A．C C C C
B．C A
C．C C A
D．18
2．（2023•汕头二模）电脑调色板有红、绿、蓝三种基本颜色，每种颜色的色号均为0～255．在电脑上绘
画可以分别从三种颜色的色号中各选一个配成一种颜色，那么在电脑上可配成的颜色种数为（ ）
A．2563
B．27
C．2553
D．6
3．（2023•盐都区校级三模）六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同
的排法共有 种．
4．（2023•定远县校级模拟）小林同学喜欢吃4 种坚果：核桃、腰果、杏仁、榛子，他有5 种颜色的“每
日坚果”袋．每个袋子中至少装1 种坚果，至多装4 种坚果．小林同学希望五个袋子中所装坚果种类各
不相同，且每一种坚果在袋子中出现的总次数均为偶数，那么不同的方案数为（ ）
A．20160
B．20220
C．20280
D．20340
二．排列及排列数公式（共3 小题）
5．（2023•荔湾区校级模拟）设a∈N+，且a＜27，则（27﹣a）（28﹣a）（29﹣a）…（34﹣a）等于（
）
A．
B．
C．
D．
6．（2023•安化县校级模拟）某单位安排7 位员工在10 月1 日至7 日值班，每天1 人，每人值班1 天，若
7 位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10 月1 日，丁不排在10 月7 日，则不同的安排方案共有
（ ）
3
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
A．504 种
B．960 种
C．1008 种
D．1108 种
7．（2023•洪山区校级模拟）已知m，n，p 均为正整数，则满足m!+n!＝5p的一组解为（m，n，p）＝
．
三．组合及组合数公式（共4 小题）
8．（2023•沙河口区校级一模）
的值
是 ．
9．（2023•绍兴二模）
的值为
．
10．（2023•辽宁模拟）我们常常运用对同一个量算两次的方法来证明组合恒等式，如：从装有编号为1，
2，3，…，n+1 的n+1 个球的口袋中取出m 个球（0＜m≤n，m，n∈N），共有
种取法．在
种
取法中，不取1 号球有
种取法；取1 号球有
种取法．所以
．试运用此方法，写
出如下等式的结果：
＝ ．
11．（2023•常德二模）从4 台甲型和5 台乙型电视机中任意取出三台，其中至少要有甲型和乙型电视机各
1 台，则不同的取法共有 种．
四．排列、组合及简单计数问题（共31 小题）
12．（2023•贺兰县校级四模）从2 名教师和5 名学生中，选出3 人参加“我爱我的祖国”主题活动．要求
入选的3 人中至少有一名教师，则不同的选取方案的种数是（ ）
A．20
B．25
C．30
D．55
13．（2023•让胡路区校级模拟）某台小型晚会由6 个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前
两位，节目乙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（ ）
A．36 种
B．42 种
C．48 种
D．54 种
14．（2023•商丘三模）某小学从2 位语文教师，4 位数学教师中安排3 人到西部三个省支教，每个省各1
人，且至少有1 位语文教师入选，则不同安排方法有（ ）种．
A．16
B．20
C．96
D．120
15．（2023•沙坪坝区校级模拟）A，B，C，D，E 共5 人排成一列，要求A 与B 不相邻，且C 排在A 后面，
则共有（ ）种排法．
A．36
B．54
C．72
D．96
16．（2023•南通三模）某人将斐波那契数列的前6 项“1，1，2，3，5，8”进行排列设置数字密码，其中
两个“1”必须相邻，则可以设置的不同数字密码有（ ）
A．120 种
B．240 种
C．360 种
D．480 种
17．（2023•雁峰区校级模拟）如图，一圆形信号灯分成A，B，C，D 四块灯带区域，现有3 种不同的颜色
供灯带使用，要求在每块灯带里选择1 种颜色，且相邻的2 块灯带选择不同的颜色，则不同的信号总数
为（ ）
4
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
A．18
B．24
C．30
D．42
18．（2023•屯昌县二模）某学校为了丰富同学们的寒假生活，寒假期间给同学们安排了6 场线上讲座，其
中讲座A 只能安排在第一或最后一场，讲座B 和C 必须相邻，问不同的安排方法共有（ ）
A．34 种
B．56 种
C．96 种
D．144 种
19．（2023•连云港模拟）现要从A，B，C，D，E 这5 人中选出4 人，安排在甲、乙、丙、丁4 个岗位上，
如果A 不能安排在甲岗位上，则安排的方法有（ ）
A．56 种
B．64 种
C．72 种
D．96 种
20．（2023•贺兰县校级模拟）某教师有相同的语文参考书3 本，相同的数学参考书4 本，从中取出4 本赠
送给4 为学生，每位学生1 本，则不同的赠送方法共有（ ）
A．15 种
B．20 种
C．48 种
D．60 种
21．（2023•贵州模拟）公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率π 的值的范围：3.1415926＜π＜
3.1415927，为纪念祖冲之在圆周率的成就，把3.1415926 称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就．某
小学教师为帮助同学们了解“祖率”，让同学们把小数点后的7 位数字1，4，1，5，9，2，6 进行随机
排列，整数部分3 不变，那么可以得到小于3.14 的不同数字的个数有（ ）
A．240
B．360
C．600
D．720
22．（2023•日喀则市模拟）某国际高峰论坛会议中，组委会要从5 个国内媒体团和3 个国外媒体团中选出
3 个媒体团进行提问，要求这三个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，每个媒体团提问一次，且
国内媒体团不能连续提问，则不同的提问方式的种数为（ ）
A．150
B．90
C．48
D．36
23．（2023•平定县校级模拟）中国空间站的主体结构包括天和核心实验舱、问天实验舱和梦天实验舱，
假设空间站要安排甲、乙等5 名航天员开展实验，三舱中每个舱至少一人至多二人，则甲乙不在同一实
验舱的种数有（ ）
A．60
B．66
C．72
D．80
24．（2023•江西模拟）中国空间站（ChinaSpaceStation）的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天
实验舱.2022 年10 月31 日15：37 分，我国将“梦天实验舱”成功送上太空，完成了最后一个关键部分
的发射，“梦天实验舱”也和“天和核心舱”按照计划成功对接，成为“T”字形架构，我国成功将中
国空间站建设完毕．2023 年，中国空间站将正式进入运营阶段．假设空间站要安排甲、乙等6 名航天员
开展实验，三舱中每个舱至少一人至多三人，则不同的安排方法有（ ）
A．450 种
B．72 种
C．90 种
D．360 种
25．（2023•河北模拟）中国共产党第二十次全国代表大会于2022 年10 月在北京石开．会议期间，5 男3
女共8 位代表相约在人民大会堂前站成一排合影，若女代表中恰有2 人相邻，且男代表甲不站在两端，
则不同的站位方法共有（ ）
5
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
A．7920 种
B．9360 种
C．15840 种
D．18720 种
26．（2023•香坊区校级三模）“第二课堂”是哈九中多样化课程的典型代表，旨在进一步培养学生的人
文底蕴和科学精神，为继续满足同学们不同兴趣爱好，美育中心精心准备了大家非常喜爱的中华文化传
承系列的第二课堂活动课：陶艺，拓印，扎染，创意陶盆，壁挂，剪纸六个项目供同学们选学，则甲、
乙、丙、丁这4 名学生至少有3 名学生所选的课全不相同的方法共有（ ）
A．135 种
B．720 种
C．1080 种
D．1800 种
27．（2023•武威模拟）将8 个人分成三组，其中一组由2 人组成，另外两组都由3 人组成，则不同的分组
方法种数为 ．
28．（2023•武昌区校级模拟）已知有L，M，S 三种尺寸的检测样品盒，其中每个L 盒至多放置10 支完全
相同的样品，且L 盒至少比M 盒多2 支样品，M 盒至少比S 盒多2 只样品，则不同的放置方法共有
种．（注：L，M，S 不可为空盒）
29．（2023•沙坪坝区校级模拟）某班级计划安排学号为1～9 的九名同学中的某5 位，分别担任周一至周
五的值日生，要求学号为奇数的同学不能安排在周一、周三、周五三天值日，则不同的安排方法有
种．（用数字作答）
30．（2023•泰安二模）用数字1，2，3，4，5，6，7 组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位
数，这样的四位数一共有 个．（用数字作答）
31．（2023•鼓楼区校级模拟）某市文明办积极创建全国文明典范城市，号召志愿者深入开展交通督导、
旅游宣传、洁净家园、秩序维护4 项志愿服务．现有6 组志愿者服务队，若每组参与一项志愿服务，每
项志愿服务至少有1 组参与，其中甲组志愿服务队不参与旅游宣传志愿服务，则不同的参与方式共有
种．
32．（2023•香洲区校级模拟）“校本课程”是现代高中多样化课程的典型代表，自在进一步培养学生的
人文底蕴和科学精神，为继续满足同学们不同兴趣爱好，艺术科组准备了学生喜爱的中华文化传承系列
的校本活动课：创意陶盆，拓印，扎染，壁挂，剪纸五个项目供同学们选学，每位同学选择1 个项目．
则甲、乙、丙、丁这4 名学生至少有3 名学生所选的课全不相同的方法共有（ ）
A．360 种
B．480 种
C．720 种
D．1080 种
33．（2023•秦淮区一模）某学校有6 个数学兴趣小组，每个小组都配备1 位指导老师，现根据工作需要，
学校准备将其中4 位指导老师由原来的小组均相应的调整到其他兴趣小组，其余的2 位指导老师仍在原
来的兴趣小组（不作调整），如果调整后每个兴趣小组仍配备1 位指导老师，则不同的调整方案为（
）
A．135 种
B．360 种
C．90 种
D．270 种
34．（2023•山西模拟）如图，有8 个不同颜色的正方形盒子组成的调味盒，现将编号为A，B，C，D 的4
个盖子盖上（一个盖子配套一个盒子），要求A，B 不在同一行也不在同一列，C，D 也是此要求．那
么不同的盖法总数为（ ）
1
2
3
4
5
6
7
8
A．224
B．336
C．448
D．576
6
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
35．（2023•抚松县校级模拟）琴、棋、书、画、诗、酒、花、茶被称为中国传统八雅．为弘扬中国传统
文化，某校决定从“八雅”中挑选“六雅”，于某周末开展知识讲座，每雅安排一节，连排六节．若
“琴”“棋”“书”“画”必选，且要求“琴”“棋”相邻，“书”与“画”不相邻，则不同的排课方
法共 种．（用数字作答）
36．（2023•蕉城区校级模拟）近年来喜欢养宠物猫的人越来越多．某猫舍只有5 个不同的猫笼，金渐层猫
3 只（猫妈妈和2 只小猫嶲）、银渐层猫4 只、布偶猫1 只．该猫舍计划将3 只金渐层猫放在同一个猫
笼里，4 只银渐层猫每2 只放在一个猫笼里，布偶猫单独放在一个猫笼里，则不同的安排有（ ）
A．8 种
B．30 种
C．360 种
D．1440 种
37．（2023•唐县校级二模）某班级选出甲、乙、丙等六人分别担任语文、数学、英语、物理、化学、生
物六门学科的课代表，已知甲只能担任语文或英语课代表，乙不能担任生物或化学课代表，且乙、丙两
人中必有一人要担任数学课代表，则不同的安排方式有（ ）
A．56 种
B．64 种
C．72 种
D．86 种
38．（2023•四川模拟）某班在一次班团活动中，安排2 名男生和4 名女生讲演，为安排这六名学生讲演的
顺序，要求两名男生之间不超过1 人讲演，且第一位和最后一位出场讲演的是女生．则不同的安排方法
总数为（ ）
A．168
B．192
C．240
D．336
39．（2023•桃城区校级三模）第19 届亚运会将于2023 年9 月在杭州举行，在杭州亚运会三馆（杭州奥体
中心主体育馆、游泳馆和综合训练馆）对外免费开放预约期间，甲、乙、丙、丁4 人预约参观，且每人
预约了1 个或2 个馆，则这4 人中每个馆恰有2 人预约的不同方案有（ ）
A．76 种
B．82 种
C．86 种
D．90 种
40．（2023•四川模拟）甲、乙、丙、丁、戊共5 名同学进行劳动技能比赛，决出第1 名到第5 名的名次，
已知甲没有得到冠军，并且甲和乙都不是第5 名，则这5 个人名次排列的可能情况共有 种．
41．（2023•道里区校级四模）已知A、B、C、D、E 为0﹣9 中五个不重复的数字，且满足以下竖式加法：
则满足条件的四位数ABCD 共有 个．
42．（2023•茂南区校级三模）由数字0，1，2，3，4 组成的各位上没有重复数字的五位数中，从小到大排
列第88 个数为（ ）
A．42031
B．42103
C．42130
D．42301
五．二项式定理（共18 小题）
43．（2023•江西模拟）
的展开式中含x5项的系数是（ ）
A．﹣112
B．112
C．﹣28
D．28
44．（2023•合肥三模）若（mx﹣1）n（n∈N*）的展开式中，所有项的系数和与二项式系数和相等，且第6
项的二项式系数最大，则有序实数对（m，n）共有（ ）组不同的解．
7
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
A．1
B．2
C．3
D．4
45．（2023•东风区校级模拟）二项式（
+
）8的展开式的常数项是 ．
46．（2023•湖北模拟）已知
的展开式的第7 项为常数项，则正整数n 的值为 ．
47．（2023•海淀区校级三模）已知（x﹣1）10＝a0+a1x+a2x2+…+a10x10，则a1+a2+…+a10＝（ ）
A．210
B．0
C．1
D．﹣1
48．（2023•巴林左旗校级模拟）在
的展开式中，x 的系数为（ ）
A．12
B．﹣12
C．6
D．﹣6
49．（2023•昆明一模）
展开式中x4的系数为 （用数字作答）．
50．（2023•西城区校级模拟）若（2x﹣1）4＝a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，则a0+a1+a2+a3+a4＝ ．
51．（2023•深圳模拟）若
展开式的各项系数之和为32，则展开式中的常数项为
．（用数字作答）
52．（2023•广州二模）已知n∈N*，
的展开式中存在常数项，写出n 的一个值为 ．
53．（2023•威海一模）在（x+a）6的展开式中的x3系数为160，则a＝ ．
54．（2023•鲤城区校级模拟）已知
的展开式中，仅有第4 项的二项式系数最大，则展开式中
第5 项是 ．
55．（2023•涪城区校级模拟）已知
，则a3＝ ．
56．（2023•宿州模拟）设（1+2x）n＝a0+a1x+a2x2+...+anxn，若a7＝a8，则n＝（ ）
A．8
B．9
C．10
D．11
57．（2023•武功县校级模拟）已知
的展开式中，含x2项的系数为﹣19，则实数a 的值
为 ．
58．（2023•河南三模）已知
的展开式中的常数项是672，则a＝（ ）
A．39
B．29
C．2
D．1
59．（2023•德州三模）若（2x﹣3）12＝a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+⋯+a11（x﹣1）11+a12（x﹣1）12，则
（ ）
A．a0＝﹣1
8
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
B．
C．a1+a2+⋅⋅⋅+a12＝﹣2
D．
60．（2023•青山湖区校级三模）若
的展开式中有且仅有第五项的二项式系数最大，则展开式
中系数最大的是（ ）
A．第二项
B．第三项
C．第四项
D．第五项
一、.分类加法计数原理与分步乘法计数原理的方法技巧
二、排列组合解题方法
1 ．可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复
的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题，在这类问题使用住店处理
的策略中，关键是在正确判断哪个是底数，哪个是指数
2 ．相邻问题捆绑法： 题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列
.
3 ．相离问题插空法 ：元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相
离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端
.
4 ．元素分析法（位置分析法）：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的
元素。
5 ．多排问题单排法：把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。
6 ．定序问题缩倍法（等几率法）：在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的
方法
.
7 ．标号排位问题（不配对问题） 把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一
个元素，如此继续下去，依次即可完成
.
8 ．不同元素的分配问题（先分堆再分配）：注意平均分堆的算法
9 ．相同元素的分配问题隔板法：
1 0 ．走楼梯问题 （分类法与插空法相结合）
9
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
1 1 ．染色问题：涂色问题的常用方法有：（
1 ）可根据共用了多少种颜色分类讨论
;
（
2 ）根据相对区域是否同色分类讨论
;
（
3 ）将空间问题平面化，转化成平面区域涂色问题。
三、杨辉三角形：对于n 是较小的正整数时，可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理，二项式系数
也可以直接用下表计算：
(a+b)1
…………………1 1
(a+b)2
………………1 2 1
(a+b)3
……………1 3 3 1
(a+b)4
…………1 4 6 4 1
(a+b)5
………1 5 10 10 5 1
(a+b)6
……1 6 15 20 15 6 1
……
表中有如下规律：“左、右两边斜行各数都是1，其余各数都等于它肩上两个数字的和。”类似这样
的表，早在我国宋朝数学家杨辉1261年所著出《详解九章算法》一书里就已出现，如图叫杨辉三角，由
“杨辉三角”可直观地看出二项式系数的性质，同时当二项式乘方次数不大时，可借助于它直接写出各项
的二项式系数。
10
