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培优冲刺 08 概率与分布列归类
目
录
题型一：正态分布含参型............................................................................................................................................1
题型二：二项分布型求参............................................................................................................................................3
题型三：二项分布与正态分布综合..........................................................................................................................3
题型四：图标型分布列基础........................................................................................................................................5
题型五：比赛模式..........................................................................................................................................................7
题型六：射击模型........................................................................................................................................................10
题型七：双盒子换球模式..........................................................................................................................................12
题型八：取球模式........................................................................................................................................................15
题型九：三人比赛模式..............................................................................................................................................18
题型十：马尔科夫链基础型.....................................................................................................................................20
题型十一：马尔科夫链综合.....................................................................................................................................24
题型十二：马尔科夫链：机器人一维游走模型.................................................................................................27
题型十三：求导型分布列..........................................................................................................................................31
题型十四：分布列第19题压轴型题......................................................................................................................37
题型一：正态分布含参型
正态分布概念与性质：
（1）若 是正态随机变量，其概率密度曲线的函数表达式为 ， （其中
是参数，且 ， ）。
其图像如图13-7所示，有以下性质：
** 错误的表达式 **曲线在 轴上方，并且关于直线 对称；
** 错误的表达式 **曲线在 处处于最高点，并且此处向左右两边延伸时，逐渐降低，呈现“中间高，
两边低”的形状；
** 错误的表达式 **曲线的形状由 确定， 越大，曲线越“矮胖”， 越小，曲线越“高瘦”；
** 错误的表达式 ** 图像与 轴之间的面积为1.（2） = ， = ，记作 .
当 时， 服从标准正态分布，记作 .
（3） ，则 在 ， ， 上取值的概率分
别为68.3%，95.4%，99.7%，这叫做正态分布的 原则。
1.（22-23高三上·江苏南京·）已知随机变量 且
，则 （ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】B
【分析】根据正态分布曲线的对称性列方程，再解方程即可.
【详解】 ， .
因为 ，
所以 ，解得 .
故选：B.
2.（2022·江苏常州·模拟预测）已知随机变量 服从正态分布 ，若函数 是偶
函数，则实数 （ ）
A．0 B． C．1 D．2
【答案】C
【分析】利用偶函数的定义，并结合正态曲线的对称性，即可求解.
【详解】因为函数 是偶函数，
所以 ，即 ，
所以 .故选：C
3.（22-23高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）随机变量 服从正态分布 ，且 ，
则 （ ）
A． B．1 C． D．3
【答案】B
【分析】利用正态分布曲线的对称性列出概率的等式后求解．
【详解】 或 ，又 ，
故 ，则 ，得 ，
故选：B．
4.（2024高三·全国·专题练习）设X~N(1，σ2)，其正态分布密度曲线如图所示，且P(X≥3)=0.022 8，那么向正方形OABC中随机投掷20 000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为（ ）
[附:随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，则P(μ-σ<ξ<μ+σ)=0.682 6，P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)=0.954 4]
A．12 076 B．13 174
C．14 056 D．7 539
【答案】B
【解析】根据正态分布的对称性和P(X≥3)可求出P(-1<X<3)=0.954 4，从而可知σ=1，进而求出
P(0<X<1)，求出阴影部分的面积乘以点的总数即可求出落入阴影部分的点的个数.
【详解】由题意，得
P(X≤-1)=P(X≥3)=0.022 8;
∴P(-1<X<3)=1-0.022 8×2=0.954 4.
∵P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)=0.954 4，
∴1-2σ=-1，故σ=1，
∴P(0<X<1)= P(0<X<2)=0.341 3，
故估计落入阴影部分的点的个数为20 000×(1-0.341 3)=13 174
故选：B
题型二：二项分布型求参
二项分布：
若在一次实验中事件发生的概率为 ，则在 次独立重复实验中恰好发生 次概率
，称 服从参数为 的二项分布，记作
， = .
1.（陕西省延安市宝塔区第四中学2022-2023学年数学试题）在n次独立重复试验（伯努利试验）中，若
每次试验中事件A发生的概率为p，则事件A发生的次数X服从二项分布 ，事实上，在伯努利试验
中，另一个随机变量的实际应用也很广泛，即事件A首次发生时试验进行的次数Y，显然
， ，2，3，…，我们称Y服从“几何分布”，经计算得 ．据此，若随机变量
X服从二项分布 时，且相应的“几何分布”的数学期望 ，则n的最小值为（ ）
A．6 B．18 C．36 D．37
【答案】D
【分析】根据二项分布和“几何分布”的定义，列不等式求解.
【详解】由题可知， ， ， ，
因为 ，所以 ，解得 ，
所以n的最小值为37.
故选：D.
2.（福建省厦门外国语学校2022-2023学年模拟数学试题（1）已知随机变量X服从二项分布 ，且
， ，则 （ ）A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】D
【分析】根据二项分布的均值与方差公式列方程组求解．
【详解】由题意 ，解得 ．
故选：D
3.（山西省吕梁市柳林县部分学校2022-2023学年数学试题）设随机变量 服从二项分布 ，若
， ，则实数 的值为__________.
【答案】6
【分析】结合二项分布的期望与方差公式，即可求解．
【详解】由题意可得， ，解得 ．
故答案为：6．
题型三：二项分布与正态分布综合
离散型随机变量分布列、期望、方差及其性质
（1）离散型随机变量 的分布列
…
** 错误的表达式 ** ;
** 错误的表达式 ** .
（2） 表示 的期望： ，反应随机变量的平均水平，若随机变量 满足
，则 .
（3） 表示 的方差： ，反映随机变量 取值的波动
性。 越小表明随机变量越稳定，反之越不稳定。若随机变量 满足 ，则 。
1.（2024·天津南开·一模）已知随机变量 ，且 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据正态分布的性质可得 ，即可根据二项分布的期望公式求解.
【详解】由 以及 可得 ，
由于 ，故 ， ，
故选：D
2.（22-23高三广西河池·）已知随机变量 ，且 ，又
，则实数 的值为（ ）A．0或2 B．2 C．-2或2 D．-2
【答案】C
【分析】根据题意，先求出 ，近而可得 的值，结合正态分布的性质可得关于 的方程，解出即
可.
【详解】因为随机变量 ，
所以 ，
又 所以 ，
当 时， ，
解得 或2，
故选：C．
3.（22-23湖南常德·阶段练习）已知两个随机变量 ， ，其中 ， ，若 ，
，则 （ ）
A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5
【答案】B
【分析】根据二项分布期望公式得到 ，再根据正态分布的对称性计算可得.
【详解】由 ，则 ，故 ，
所以 ，又因为 ，
可得 .
故选：B.
4.（22-23山西吕梁·模拟）已知随机变量 ，且 ，又
，则实数 的值为（ ）
A． 或4 B． C．4或1 D．5
【答案】A
【分析】根据二项分布的期望公式可得 ，进而由正态分布的对称性即可求解.
【详解】由题意可知 ，
得 ，当 时， ，解得 或4，
故选： ．
题型四：图标型分布列基础
求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤：
（1）根据题中条件确定随机变量的可能取值；
（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；
（3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望（在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，
如超几何分布或二项分布等，可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算）．
1.（辽宁省锦州市辽西育明高级中学2022-2023学年数学试题）为了弘扬中华优秀传统文化，加强对学生
的美育教育，某校开展了传统艺术书画知识趣味竞赛活动.一共3题，答题规则如下，每队2人，其中1人
先答题，若回答正确得10分，若回答错误，则另一人可补答，补答正确也得10分，得分后此队继续按同
样方式答下一题；若2人都回答错误，则得0分且不进入下一题，答题结束.已知第一队含有甲、乙两名队员，其中甲答对每道题目的概率为 ，乙答对每道题目的概率为 ，每道题都是甲先回答，且两人每道题
目是否回答正确相互独立.甲乙两人回答正确与否也互相独立.
(1)求第一队答对第1题的概率；
(2)记 为第一队获得的总分，求随机变量 的分布列和数学期望.
【答案】(1) (2)分布列见解析，数学期望为
【分析】（1）根据题意可知答对第一题分为两种情况：甲先答对或甲先答错乙补答对，结合独立事件的
乘法公式即可求解；
（2）根据题意可得 ，利用独立事件的乘法公式求出对应的概率，进而求解.
【详解】（1）设甲、乙答对每题的事件为 、 ，
则 ，所以 ，
答对第一题分为两种情况：甲先答对，甲先答错乙补答对，
所以答对第一题的概率为
.
（2）由题意得， ，
，
，
，
.
所以 的分布列为：
X 0 10 20 30
P
数学期望为 .
2.（陕西省咸阳市武功县2022-2023学年数学试题）某电视台举行冲关直播活动，该活动共有三关，只有
一等奖和二等奖两个奖项，参加活动的选手从第一关开始依次通关，只有通过本关才能冲下一关.已知第一
关的通过率为0.7，第二关通过率为0.5，第三关的通过率为0.3，三关全部通过可以获得一等奖（奖金为
300元），通过前两关就可以获得二等奖（奖金为200元），如果获得二等奖又获得一等奖，则奖金可以
累加为500元.假设选手是否通过每一关相互独立，现有甲、乙两位选手参加本次活动.
(1)求甲最后没有得奖的概率；
(2)已知甲和乙都通过了第一关，求甲和乙最后所得奖金总和为700元的概率.
【答案】(1) (2)
【分析】（1）甲没中奖分为第一关没有通过，和第一关通过且第二关没有通过两种情况，分别求得两个
事件的概率再求和即可；
（2）根据最后奖金总和分析得甲和乙中一人获得一等奖，一人获得二等奖，根据概率乘法和加法公式即
可求解．
【详解】（1）甲第一关没通过的概率为 ，
第一关通过且第二关没通过的概率为 ，
故甲没有得奖的概率 ．（2）记甲和乙通过了第二关且最后获得二等奖为事件 ，
通过了第二关且最后获得一等奖为事件 ，
则 ， ，
甲和乙最后所得奖金总和为700元，
甲和乙一人得一等奖，一人得二等奖，
若甲得了一等奖，乙得了二等奖的概率为 ，
若乙得了一等奖，甲得了二等奖的概率为 ，
甲和乙最后所得奖金总和为700元的概率 ．
3.（贵州省贵阳市五校2023届高三联合考试（五）理科数学试题）某学校组织“消防”知识竞赛，有A，B
两类题目．每位参加比赛的同学先在两类题目中选择一类并从中随机抽取一道题回答，若回答错误则该同
学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结
束．A类问题中的每个问题回答正确得40分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得60分，否
则得0分已知小明能正确回答A类问题的概率为0.7，能正确回答B类问题的概率为0.5，且能正确回答问
题的概率与回答次序无关
(1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；
(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．
【答案】(1)分布列见解析
(2)小明应选择先回答A类问题，理由见解析
【分析】（1）由X的所有可能取值，计算对应的概率，列出分布列；
（2）分别计算先回答A类问题累计得分的期望和先回答B类问题累计得分的期望，比较即可.
【详解】（1）由已知可得，X的所有可能取值为0，40，100，
则 ；
；
．
所以X的分布列为
X 0 40 100
P 0.3 0.35 0.35
（2）由（1）可知小明先回答A类问题累计得分的期望为
．
若小明先回答B类问题，记Y为小明的累计得分，
则Y的所有可能取值为0，60，100，
，
，
，
则Y的期望为 ，
因为 ，
所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答A类问题．
题型五：比赛模式
比赛模式思维点：
1. 比赛几局？
2.“谁赢了”；
3.有没有平局
4.赢了的必赢最后一局；
5.比赛为啥结束？6.有没有“抽签
1.（广东省佛山市H7教育共同体2022-2023学年联考数学试题）甲、乙两队进行篮球冠军争夺赛，比赛
采取三局二胜制，甲队每局取胜的概率为 ．甲队有一名核心球员，如果核心球员在比赛中受伤，将不能
参加后续比赛，甲队每局取胜的概率降为 ，若核心球员在每局比赛受伤的概率为 ．
(1)在核心球员一直未受伤的条件下，甲队以 取胜的概率；
(2)甲队以 取胜的概率．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）由独立事件概率运算求解即可；
（2）甲队以 取胜分为两种情况，第一种情况：甲队赢第一局和第三局，第二局输的条件下考虑核心球
员受伤的局数；第二种情况：甲队赢第二局和第三局，第一局输的条件下考虑核心球员受伤的局数.由条件
概率和全概率公式求解即可.
【详解】（1）记 “甲队在前两局比赛中连赢两局”， “甲队赢第一局和第三局，第二局输”，
“甲队赢第二局和第三局，第一局输”， “甲队以 取胜”，
记 “核心球员第 局开始受伤”， “核心球员一直未受伤”，
所以 .
（2） ，
，
，
，
，
所以 ，
，
，
，
，
所以 ，
所以 .
即甲队以 取胜的概率为 .
2.（天津市河西区2022-2023学年数学试题）在某次世界乒乓球锦标赛的团体比赛中，中国队将对阵韩国队．比赛实行5局3胜制．根据以往战绩，中国队在每一局中获胜的概率都是 ．
(1)求中国队以 的比分获胜的概率；
(2)求中国队在先失1局的前提下获胜的概率；
(3)假设全场比赛的局数为随机变量 ，在韩国队先胜第一局的前提下，求 的分布列和数学期望 ．
【答案】(1) (2) (3)分布列见详解， .
【分析】（1）由题意可知中国队前三局都获胜，根据公式计算即可；
（2）先失一局在获胜，分为两种情况进行求解，即①中国队连胜3局，②中国队在2到4局中胜2局，再
胜第5局，利用公式计算即可；
（3）由题意知 ，分别求出对于的概率，列出分布列，求出数学期望即可.
【详解】（1）设中国队以 的比分获胜的事件为 ，
所以概率为： .
（2）设中国队在先失一局的前提下获胜的事件为 ，
则有2种情况：
①中国队连胜3局，此时的概率为： ；
②中国队在2到4局中胜2局，再胜第5局，
此时概率为： ；
所以 .
（3）由题意知 ，
则 ，
，
，
所以 的分布列为：
3 4 5
所以 的数学期望为：
.
3.（河北省邯郸市六校2022-2023学年数学试题）甲、乙两位围棋选手进行围棋比赛，比赛规则如下：比
赛实行三局两胜制（假定没有平局），任何一方率先贏下两局比赛时，比赛结束，围棋分为黑白两棋，第
一局双方选手通过抽签的方式等可能的选择棋色下棋，从第二局开始，上一局的败方拥有优先选棋权.已知
甲下黑棋获胜的概率为 ，下白棋获胜的概率为 ，每位选手按有利于自己的方式选棋.
(1)求甲选手以2:1获胜的概率；
(2)比赛结束时，记这两人下围棋的局数为 ，求 的分布列与期望.【答案】(1) (2)分布列见解析，
【分析】（1）由题意可知甲选手以2:1获胜必须前两局双方各胜一局，且第三局甲获胜，则分第一局甲下
黑棋和第一局甲下白棋两种情况求出概率，然后利用互斥事件的概率公式求解，
（2）由题意可知 的取值可能为2，3，7，然后求出各自对应的概率，从而可求出 的分布列与期望.
【详解】（1）甲选手以2:1获胜，则前两局双方各胜一局，且第三局甲获胜.
若第一局乙选棋，则所求概率为 ；
若第一局甲选棋，则所求概率为 .
故甲选手以2:1获胜的概率为 .
（2）由题可知， 的取值可能为2，3，则
，
.
则 的分布列为
2 3
.
题型六：射击模型
1. 打了几枪？
2. 为啥结束？
3. 是否有子弹限制？
4.最终结束，是因为子弹打完，还是因为“完成任务”
5.有没有限制：如是“连续两枪击中”（或脱靶）还是“累计两枪击中”（或脱靶）
1.某靶场有 ， 两种型号的步枪可供选用，其中甲使用 两种型号的步枪的命中率分别为 , ；，
(1)若出现连续两次子弹脱靶或者子弹打光耗尽的现象便立刻停止射击，若击中标靶至少3次，则可以获得
一份精美礼品，若甲使用 型号的步枪，并装填5发子弹，求甲获得精美礼品的概率；
(2)现在 两把步枪中各装填3发子弹，甲打算轮流使用 两种步枪进行射击，若击中标靶，则继续
使用该步枪，若未击中标靶，则改用另一把步枪，甲首先使用 种型号的步枪，若出现连续两次子弹脱靶
或者其中某一把步枪的子弹打光耗尽的现象便立刻停止射击，记 为射击的次数，求 的分布列与数学期
望．
【答案】(1) (2)分布列见解析； 的数学期望为 .
【分析】（1）分别求出甲击中5次、4次、3次的概率，再相加即可得解；
（2） 的所有可能取值为2,3,4,5，求出 取每个值的概率后，可得分布列.根据数学期望公式可得数学期
望.
【详解】（1）甲击中5次的概率为 ，甲击中4次的概率为 ，甲击中3次的概率为 ，
所以甲获得精美礼品的概率为 .
（2） 的所有可能取值为2,3,4,5,
，
，
，
，
所以 的分布列为：
2 3 4 5
所以 .
2.甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是 和 .假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响，
每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响.
(1)求甲、乙各射击一次均击中目标的概率；
(2)求甲射击4次，恰有3次连续击中目标的概率；
(3)若乙在射击中出现连续2次未击中目标就会被终止射击，求乙恰好射击4次后被终止射击的概率.
【答案】(1) (2) (3)
【分析】（1）由于两人射击是否击中目标相互之间没有影响，所以由相互独立事件的概率公式求解即可；
（2）记事件 表示“甲第 次射击击中目标”，并记“甲射击4次，恰有3次连续击中目标”为事
件C，则 ，且 与 是互斥事件，再由独立事件和互斥事件的概率
求解即可；
（3）记事件 表示“乙第 次射击击中目标”，事件D表示“乙在第4次射击后被终止射击”，则
，且 与 是互斥事件，再利用由独立事件和互斥事件的概率求
解即可.
【详解】（1）用事件A表示“甲击中目标”，事件B表示“乙击中目标”.
依题意知，事件A和事件B相互独立，
因此甲、乙各射击一次均击中目标的概率为 .
（2）用事件 表示“甲第 次射击击中目标”，并记“甲射击4次，恰有3次连续击中目标”为事
件C，则 ，且 与 是互斥事件.
由于 ， ， ， 之间相互独立，
所以 与 （i， ，且 ）之间也相互独立.
由于 ，所以 ，
故
.
所以甲射击4次，恰有3次连续击中目标的概率为 .
（3）用事件 表示“乙第 次射击击中目标”，事件D表示“乙在第4次射击后被终止射击”，
则 ，且 与 是互斥事件.
由于 ， ， ， 之间相互独立，
所以 与 （i， ，且 ）之间也相互独立.
因为 ，
所以 ，
故
.
所以乙恰好射击4次后被终止射击的概率为 .
3.（上海市进才中学2022-2023学年数学试题）甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分
别为 ， ， ．飞机恰被一人击中而击落的概率为 ，恰被两人击中而击落的概率为 ，若三人
都击中，飞机必定被击落．
(1)求飞机恰被一人击中的概率；
(2)求飞机被击落的概率；
(3)已知飞机被击落，求三人都击中飞机的概率．
【答案】(1) (2) (3)
【分析】(1)(2)根据独立事件概率乘法公式可得;
(3)根据条件概率公式求解即可.
【详解】（1）设 “飞机被击落”， “飞机被i人击中”， ， ， ，则 ，
依题意， ， ， ．
由全概率公式 ，
为求 ，设 “飞机被第i人击中”， ， ， ，
将数据代入计算得
（2）于是
．
（3） ．
题型七：双盒子换球模式
双盒子换球模式：
1. 过去得是啥颜色球。
2. 来的是啥颜色球
3. 是同时换，还是A到B 先放再从B到A取
4. 换了几次，为啥结束
1.（2023·河南新乡·统考三模）现有4个红球和4个黄球，将其分配到甲、乙两个盒子中，每个盒子中4个
球．
(1)求甲盒子中有2个红球和2个黄球的概率．
(2)已知甲盒子中有3个红球和1个黄球，若同时从甲、乙两个盒子中取出 个球进行交换，记交
换后甲盒子中的红球个数为X，X的数学期望为 ．证明： ．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）根据超几何分布，即可求解；
（2）当 时，X的取值可能是2，3，4；当 时，X的取值可能是0，1，2，利用超几何分布分布求
出对应的概率，结合数学期望的公式分布计算即可求解.
【详解】（1）由题可知，
甲盒子中有2个红球和2个黄球的概率 ．
（2）当 时，X的取值可能是2，3，4，
且 ， ， ，
则 ．
当 时，X的取值可能是0，1，2，
且 ， ， ，
则 ．
故 ．
2.（23-24高三上·广东湛江·阶段练习）已知有甲，乙两个不透明盒子，甲盒子装有两个红球和一个绿球，
乙盒子装有三个绿球，这些球的大小，形状，质地完全相同．在一次球交换的过程中，甲盒子与乙盒子中
各随机选择一个球进行交换，重复 次该过程，记甲盒中装有的红球个数为 ．
(1)求 的概率分布列；
(2)求 ．【答案】(1)分布列见解析(2)
【分析】（1）根据题意，得到 的所有可能取值，利用相互独立事件的概率公式，求得相应的概率，即
可得到分布列；
（2）由题意得到 的表达式，得出 ，进而得到
，得到 为等比数列，结合等比数列的通项公式，即可求解
【详解】（1）解：由题意得，随机变量 的所有可能取值为0，1，2，
可得 ， ，
，
或 ，
所以随机变量 的分布列为
0 1 2
（2）解：由题意，随机变量 的所有可能取值为0，1，2，
且
，
又由
，
由 ，
且
，
即 ，
故 ，即 ，即 为等比数列，
且 ，所以 ．
3.（2023·广东茂名·二模）马尔可夫链是因俄国数学家安德烈·马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，
即第 次状态的概率分布只跟第 次的状态有关，与第 次状态是“没有任何关系的”.现
有甲、乙两个盒子，盒子中都有大小、形状、质地相同的2个红球和1个黑球.从两个盒子中各任取一个球
交换，重复进行 次操作后，记甲盒子中黑球个数为 ，甲盒中恰有1个黑球的概率为 ，恰有
2个黑球的概率为 .
(1)求 的分布列；
(2)求数列 的通项公式；
(3)求 的期望.
【答案】(1)答案见解析(2) (3)1
【分析】（1）由题意分析 的可能取值为0，1，2.分别求出概率，写出分布列；（2）由全概率公式得
到 ，判断出数列 为以 为首项，以 为公比的等比数列即可求解；
（3）利用全概率公式求出 求出 ，进而求出 .
【详解】（1）（1）由题可知， 的可能取值为0，1，2.由相互独立事件概率乘法公式可知：
; ; ，
故 的分布列如下表：
0 1 2
（2）由全概率公式可知：
，
即： ，所以 ，所以 ，又
，
所以，数列 为以 为首项，以 为公比的等比数列，
所以 ，即： .（3）由全概率公式可得：
,即： ,
又 ,所以 ,
所以 ,又 ,
所以 ,所以 ,所以 ,
所以 .
题型八：取球模式
取球模式：
1. 一次取几个。
2. 两个以上球，是一次性取出还是一个一个取。
3. 是否放回。
4. 为啥停止取球，停止条件是什么
1.（23-24湖南长沙·阶段练习）某商城进行促销活动，购买某产品的顾客可以参加一次游戏：在一个不透
明箱子中放入红、蓝、黄三种颜色的小球各1个，顾客从中有放回地取出小球，直到取出的小球集齐了三
种颜色则停止取球．设顾客停止取球时，取过的小球次数为 ，
(1)求 ；
(2)设 ，数列 ，求 的通项公式；
(3)顾客停止取球时，取过的小球次数为 ，顾客可以获得对应的 元奖金，其中 ，求证：
．
【答案】(1) ；(2) ；(3)证明见解析.
【分析】（1）利用前三次集齐颜色求概率即可；
（2）设第 次首次取到红球，则前 次中每次都取到蓝球或黄球中的一种，但不能全取蓝球，也不能
全取黄球列式求解；
（3）写出期望表达式，再放缩，利用裂项相消求和即可证明
【详解】（1） ；
（2）不妨设第 次首次取到红球，则前 次中每次都取到蓝球或黄球中的一种，
但不能全取蓝球，也不能全取黄球，
；
（3）易知下面证明：
，显然成立
故
设 ，其前n项和为 ，
则
故
2.（2024·辽宁大连·一模）一个不透明的盒子中有质地、大小均相同的7个小球，其中4个白球，3个黑球，
现采取不放回的方式每次从盒中随机抽取一个小球，当盒中只剩一种颜色时，停止取球．
(1)求停止取球时盒中恰好剩3个白球的概率；
(2)停止取球时，记总的抽取次数为 ，求 的分布列与数学期望：
(3)现对方案进行调整：将这7个球分装在甲乙两个盒子中，甲盒装3个小球，其中2个白球，1个黑球：
乙盒装4个小球，其中2个白球，2个黑球．采取不放回的方式先从甲盒中每次随机抽取一个小球，当盒
中只剩一种颜色时，用同样的方式从乙盒中抽取，直到乙盒中所剩小球颜色和甲盒剩余小球颜色相同，或
者乙盒小球全部取出后停止．记这种方案的总抽取次数为Y，求Y的数学期望，并从实际意义解释X与Y
的数学期望的大小关系．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
(3) ，在将球分装时，甲盒取完后直接取乙盒，此时甲盒中还有其它球，该球干扰作用已经消失，
所以同样是要剩余同一颜色，调整后的方案总抽取次数的期望更低．
【分析】（1）利用古典概型的概率公式可求 得概率；
（2）先确定 的取值，再就每一个取值的意义结合古典概型的概率公式可求分布列，再利用公式可求期
望.
（3）先确定 的取值，再设甲盒、乙盒抽取次数分别为 ，根据题设得到三者之间的关系，再结合古
典概型的概率公式可求分布.
【详解】（1）设“停止取球时盒中恰好剩3个白球”为事件 ，
则 ；
（2） 的可能取值为3，4，5，6，
， ， ，
，所以 的分布列为
3 4 5 6
的数学期望 ；
（3） 的可能取值为3，4，5，6，设甲盒、乙盒抽取次数分别为 ，
因为乙盒中两种小球个数相同，所以无论甲盒剩余小球什么颜色，乙盒只需取完一种颜色即可，
，
，
，
，
的数学期望 ，
在将球分装时，甲盒取完后直接取乙盒，此时甲盒中还有其它球，该球干扰作用已经消失，所以同样是要
剩余同一颜色，调整后的方案总抽取次数的期望更低．
3.（22-23山东烟台·模拟）已知甲、乙两个袋子中各装有形状、大小、质地完全相同的3个红球和3个黑
球，现设计如下试验：从甲、乙两个袋子中各随机取出1个球，观察两球的颜色，若两球颜色不同，则将
两球交换后放回袋子中，并继续上述摸球过程；若两球颜色相同，则停止取球，试验结束．
(1)求第1次摸球取出的两球颜色不同的概率；
(2)我们知道，当事件 与 相互独立时，有 ．那么，当事件 与 不独立时，如何表
示积事件 的概率呢？某数学小组通过研究性学习发现如下命题： ，其中
表示事件 发生的条件下事件 发生的概率，且对于古典概型中的事件 ， ，有 ．依据
上述发现，求“第2次摸球试验即结束”的概率．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）设甲袋中的三个红球为1，2，3，三个黑球为 ， ， ，乙袋中的三个红球为4，5，6，
三个黑球为 ， ， ，利用列举法结合古典概型求解即可；
（2）设事件 “第1次摸球取出的两球颜色不同”，事件 “第2次摸球取出的两球颜色相同”，结合
（1）分别求出 ，再根据题中所给公式计算即可.
【详解】（1）设甲袋中的三个红球为1，2，3，三个黑球为 ， ， ，
乙袋中的三个红球为4，5，6，三个黑球为 ， ， ，
设第1次摸球对应的样本空间为 ，则 ，
设事件 “第1次摸球取出的两球颜色不同”，则
事件
，所以 ，
所以 ；
（2）设两次摸球试验的样本空间为 ，则 ，
在样本空间 中，设事件 “第1次摸球取出的两球颜色不同”，
事件 “第2次摸球取出的两球颜色相同”，
由（1）知，第1次摸球取出的两球颜色不同共有18个可能的结果，
且每个可能的结果对应的“第2次摸球中从甲、乙两袋中各一个球”均有36种可能取法，
所以 ，
由（1）知，第1次摸球取出的两球颜色不同共有18个可能的结果，
不妨设第1次摸球中甲取出1、乙取出 （其余情况，同理可得），
则第1次摸球结束后，甲袋中红球2个、黑球4个，乙袋中红球4个、黑球2个，
在接下来的第2次摸球中，当甲、乙两袋取出的球颜色相同时，
共有 种取法，
故 ，
所以 ，
因此 ．
题型九：三人比赛模式
1.（2020·全国·高考真题（理））甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘
汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一
场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终
获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为 ，
（1）求甲连胜四场的概率；
（2）求需要进行第五场比赛的概率；
（3）求丙最终获胜的概率.
【答案】（1） ；（2） ；（3） .
【分析】（1）根据独立事件的概率乘法公式可求得事件“甲连胜四场”的概率；
（2）计算出四局以内结束比赛的概率，然后利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概率；
（3）列举出甲赢的基本事件，结合独立事件的概率乘法公式计算出甲赢的概率，由对称性可知乙赢的概
率和甲赢的概率相等，再利用对立事件的概率可求得丙赢的概率.
【详解】（1）记事件 甲连胜四场，则 ；
（2）记事件 为甲输，事件 为乙输，事件 为丙输，
则四局内结束比赛的概率为
，
所以，需要进行第五场比赛的概率为 ；
（3）记事件 为甲输，事件 为乙输，事件 为丙输，
记事件 甲赢，记事件 丙赢，
则甲赢的基本事件包括： 、 、 、
、 、 、 、 ，所以，甲赢的概率为 .
由对称性可知，乙赢的概率和甲赢的概率相等，
所以丙赢的概率为 .
2.（2022·黑龙江哈尔滨·高三开学考试）甲乙丙三人进行竞技类比赛，每局比赛三人同时参加，有且只有一
个人获胜，约定有人胜两局（不必连胜）则比赛结束，此人直接赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为 ，
乙获胜的概率为 ，丙获胜的概率为 ，各局比赛结果相互独立．
(1)求甲在 局以内（含 局）赢得比赛的概率；
(2)记 为比赛决出胜负时的总局数，求 的分布列和均值（数学期望）．
【答案】(1) (2)分布列见解析，
【分析】（1）根据相互独立事件与互斥事件的概率公式计算可得.
（2）依题意 的可能取值为 、 、 ，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望.
（1）
解：用 表示“甲在 局以内（含 局）赢得比赛”， 表示“第 局甲获胜”， 表示“第 局乙获胜”，
表示“第 局丙获胜”，
则
.
（2）
解：依题意 的可能取值为 、 、 ，
所以 ，
，
，
所以 的分布列为
所以
3.（2022·浙江省杭州学军中学开学考试）甲、乙、丙、丁四名选手进行羽毛球单打比赛．比赛采用单循环
赛制，即任意两位参赛选手之间均进行一场比赛．每场比赛实行三局两胜制，即最先获取两局的选手获得
胜利，本场比赛随即结束．假定每场比赛、每局比赛结果互不影响．
(1)若甲、乙比赛时，甲每局获胜的概率为 ，求甲获得本场比赛胜利的概率；
(2)若甲与乙、丙、丁每场比赛获胜的概率分别为 ， ， ，试确定甲第二场比赛的对手，使得甲在三场
比赛中恰好连胜两场的概率最大．
【答案】(1) (2)丁【分析】（1）分第一局第二局，第一局第三局，第二局第三局获胜求解；
（2）分甲在第二场甲胜乙，甲胜丙，甲胜丁求解.
(1)
解：设甲在第i局获胜为事件 ，事件 “甲获得本场比赛胜利”，
则 ，
所以 ．
(2)
若甲在第二场与乙比赛，则甲胜乙，且在甲丙、甲与丁的比赛中，甲只胜一场．
此时，甲恰好连胜两场的概率 ；
若甲在第二场与丙比赛，则甲胜丙，且在甲与乙、甲与丁的比赛中，甲只胜一场．
此时，甲恰好连胜两场的概率 ；
若甲在第二场与丁比赛，则甲胜丁，且在甲与乙、甲与丙的比赛中，甲只胜一场．
此时，甲恰好连胜两场的概率 ．
因为 ，所以，甲在第二场与丁比赛时，甲恰好连胜两场的概率最大．
题型十：马尔科夫链基础型
马尔可夫链：
若 ，即未来状态 只受当前状态 的影
响，与之前的 无关.
1.（23-24高三上·山东威海·期末）甲、乙、丙 人做传球练习，球首先由甲传出，每个人得到球后都等可
能地传给其余 人之一，设 表示经过 次传递后球传到乙手中的概率.
(1)求 ， ；
(2)证明： 是等比数列，并求 ；
(3)已知：若随机变量 服从两点分布，且 ， 则 ．记前
次（即从第 次到第 次传球）中球传到乙手中的次数为 ，求 ．
【答案】(1) ， (2)证明见解析， (3)
【分析】（1）分析已知计算即可得出结果；
（2）记 表示事件“经过 次传递后球传到乙手中”，若 发生，则 一定不发生，则 ，
变形可得 ，即数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，结合等比数列的
通项公式求解即可；
（3）结合第（2）问结论和题设条件，运用等比数列求和公式分组求和即可求解.
【详解】（1）因为 表示经过 次传递后球传到乙手中的概率，所以，第一次传到乙手中的概率为： ，
第二次传到乙手中的概率为： .
（2）记 表示事件“经过 次传递后球传到乙手中”，
若 发生，则 一定不发生，
所以 ，即 ，
即 ，又 ，
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 ，即 .
（3）由题意， 次传球后球在乙手中的次数 ， 服从两点分布，且 ,所以
由（2）可知， ，
则 .
2.（23-24高三上·江苏南京·阶段练习）篮球是一项风靡世界的运动，是深受大众喜欢的一项运动．
喜爱篮球运
不喜爱篮球运动 合计
动
男性 60 40 100
女性 20 80 100
合计 80 120 200
(1)为了解喜爱篮球运动是否与性别有关，随机抽取了男性和女性各100名观众进行调查，得到如上 列
联表，判断是否有99.9%的把握认为喜爱篮球运动与性别有关．
0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
附： ， ．
(2)校篮球队中的甲、乙、丙三名球员将进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可
能的将球传给另外两个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开始传球的
人为第1次触球者，第 次触球者是甲的概率记为 ，即 ．
①求 （直接写出结果即可）；
②证明：数列 为等比数列，并比较第9次与第10次触球者是甲的概率的大小．
【答案】(1)有99.9%的把握认为喜爱篮球运动与性别有关．(2)① ；②证明见解析，第9次触球者是甲的概率大．
【分析】（1）根据题意，由 的计算公式，代入计算，即可判断；
（2）根据题意，由等比数列的定义即可得到数列 为等比数列，然后代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）假设 ：喜爱篮球运动与性别独立，即喜爱篮球运动与性别无关．
根据列联表数据，经计算得 ，
根据小概率值 的独立性检验，我们推断 不成立，
即有99.9%的把握认为喜爱篮球运动与性别有关．
（2）①由题意得：第二次触球者为乙，丙中的一个，第二次触球者传给包括甲的二人中的一人，
故传给甲的概率为 ，故 ．
②第 次触球者是甲的概率记为 ，则当 时，第 次触球者是甲的概率为 ，
第 次触球者不是甲的概率为 ，则 ，
从而 ，又 ，
∴ 是以 为首项，公比为 的等比数列，∴ ，
∴ ， ，
故第9次触球者是甲的概率大．
3.（2023·云南昆明·模拟预测）从甲、乙、丙、丁、戊5人中随机地抽取三个人去做传球训练.训练规则是
确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须
将球传出.
(1)记甲、乙、丙三人中被抽到的人数为随机变量 ，求 的分布列和数学期望；
(2)若刚好抽到甲、乙、丙三个人相互做传球训练，且第1次由甲将球传出，记 次传球后球在甲手中的概
率为 .
①直接写出 ， ， 的值；
②求 与 的关系式 ，并求出 .
【答案】(1)分布列见解析，数学期望为
(2)① ， ， ；② ，
【分析】1）由离散型随机变量的分布列可解；
（2）记 表示事件“经过 次传球后，球在甲手中”，由全概率公式可求 ，再由数
列知识，由递推公式求得通项公式.
【详解】（1） 的所有可能取值为1，2，3.则
； ； .
所以随机变量 的分布列为：1 2 3
数学期望 .
（2）若刚好抽到甲、乙、丙三个人相互做传球训练，且 次传球后球在甲手中的概率为 .
则有 .
记 表示事件“经过 次传球后，球在甲手中”.
所以
.
即 .
所以 ，且 .
所以数列 表示以 为首项， 为公比的等比数列.
所以 ， .
即 次传球后球在甲手中的概率是 .
题型十一：马尔科夫链综合
马尔科夫不等式
设 为一个非负随机变量，其数学期望为 ，则对任意 ，均有 ，
马尔科夫不等式给出了随机变量取值不小于某正数的概率上界，阐释了随机变量尾部取值概率与其数学期望间
的关系．
证明：当 为非负离散型随机变量时，马尔科夫不等式的证明如下：
设 的分布列为 其中 ，则对任意
∑ A
， ，其中符号 i表示对所有满足 的
x≥ε
i
指标i所对应的 求和．
1.甲､乙､丙三人进行传球游戏，每次投掷一枚质地均匀的正方体骰子决定传球的方式：当球在甲手中时，
若骰子点数大于3，则甲将球传给乙，若点数不大于3，则甲将球保留；当球在乙手中时，若骰子点数大于
4，则乙将球传给甲，若点数不大于4，则乙将球传给丙；当球在丙手中时，若骰子点数大于3，则丙将球传给甲，若骰子点数不大于3，则丙将球传给乙．初始时，球在甲手中．
（1）设前三次投掷骰子后，球在甲手中的次数为 ，求随机变量 的分布列和数学期望；
（2）投掷 次骰子后 ，记球在乙手中的概率为 ，求数列 的通项公式；
（3）设 ，求证： ．
【答案】（1）分布列见解析；期望为
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据传球游戏的规则，可得 ，再根据独立事件概率公式，求解概率，再结合分
布列公式，即可求数学期望；
（2）首先题意，可得关于数列 的递推公式， ，再通过构造求数列的通项公式；
（3）首先根据（2）的结果，求 ，并利用放缩法证明不等式.
【小问1详解】
由题意知， ．
所以随机变量 的分布列为
0 1 2 3
随机变量 的数学期望为 .
【小问2详解】
由于投掷 次骰子后球不在乙手中的概率为 ，此时无论球在甲手中还是球在丙手中，均有 的
概率传给乙，故有 ．
变形为 ．又 ，所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列．
所以 ．
所以数列 的通项公式 ．
【小问3详解】
由（2）可得 ，
则 ，
所以 ．
又因为 ，
所以 ．
综上， ．
【点睛】关键点点睛：本题的关键是找到关于数列 的递推公式，从而可以利用数列的知识解决问题，
第三问的关键是对通项合理的放缩，从而可以求和，证明不等式.
2.乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投籃，若末命中则换为对方投篮．无
论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投
篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．
3.（1）求第2次投篮的人是乙的概率；
（2）求第 次投篮的人是甲的概率；
（3）已知：若随机变量 服从两点分布，且 ，则
．记前 次（即从第1次到第 次投篮）中甲投篮的次数为 ，求 ．
【解析】（1）记“第 次投篮的人是甲”为事件 ，“第 次投篮的人是乙”为事件 ，
所以，
.
（2）设 ，依题可知， ，则
，即 ，
构造等比数列 ，
设 ，解得 ，则 ，
又 ，所以 是首项为 ，公比为 的等比数列，
即 ．
（3）因为 ， ，
所以当 时， ，
故 ．
3.（2024届·武汉高三开学考）有编号为1，2，3，...，18，19，20的20个箱子，第一个箱子有2个黄球1
个绿球，其余箱子均为2个黄球2个绿球，现从第一个箱子中取出一个球放入第二个箱子，再从第二个箱
子中取出一个球放入第三个箱子，以此类推，最后从第19个箱子取出一个球放入第20个箱子，记 为从
第 个箱子中取出黄球的概率.
(1)求 ；(2)求 .
【答案】(1) ， ；(2)
【分析】（1）分第一次取出黄球和绿球两种情况，再由互斥事件概率加法公式计算可得答案；
（2）由题意可得 ，可得答案.
【详解】（1）从第二个箱子取出黄球的概率 ，
从第三个箱子取出黄球的概率 ；
（2）由题意可知， ，
即 ，又 ，.
题型十二：马尔科夫链：机器人一维游走模型
一维随机游走模型：
设数轴上一个点，它的位置只能位于整点处，在时刻 时，位于点 ，下一个时刻，它将
以概率 或者 （ ）向左或者向右平移一个单位.若记状态 表示：在时刻 该点位
于位置 ，那么由全概率公式可得：
另一方面，由于 ，代入上式可得：
.
进一步，我们假设在 与 处各有一个吸收壁，当点到达吸收壁时被吸收，不再
游走.于是， .随机游走模型是一个典型的马尔科夫过程.
进一步，若点在某个位置后有三种情况：向左平移一个单位，其概率为 ，原地不动，其概率为 ，向右
平移一个单位，其概率为 ，那么根据全概率公式可得：
1.（湖南省长沙市浏阳市第一中学2022-2023学年高三上学期第六次月考数学（理)试题）商品种类齐全、
性价比高等优势而深受广大消费者认可.某网购公司统计了近五年在本公司网购的人数，得到如下的相关数
据(其中“x=1”表示2015年，“x=2”表示2016年，依次类推；y表示人数)：
x 1 2 3 4 5
y(万人) 20 50 100 150 180
（1）试根据表中的数据，求出y关于x的线性回归方程，并预测到哪一年该公司的网购人数能超过300万
人；
（2）该公司为了吸引网购者，特别推出“玩网络游戏，送免费购物券”活动，网购者可根据抛掷骰子的结果，
操控微型遥控车在方格图上行进. 若遥控车最终停在“胜利大本营”，则网购者可获得免费购物券500元；若
遥控车最终停在“失败大本营”，则网购者可获得免费购物券200元. 已知骰子出现奇数与偶数的概率都是
，方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第20格。遥控车开始在第0格，网购者每抛掷一次骰子，
遥控车向前移动一次.若掷出奇数，遥控车向前移动一格（从 到 ）若掷出偶数遥控车向前移动两格
（从 到 ），直到遥控车移到第19格胜利大本营）或第20格（失败大本营）时，游戏结束。设遥
控车移到第 格的概率为 ，试证明 是等比数列，并求网购者参与游戏一次获得免
费购物券金额的期望值.
附：在线性回归方程 中， .
【答案】（1） ，预计到2022年该公司的网购人数能超过300万人；（2）约400元.【解析】
【分析】
（1）依题意，先求出 ，代入公式即可得到 ， ，可得回归方
程为 ，令 ， ．所以预计到2022年该公司的网购人数能超过300
万；
（2）遥控车移到第 （ ）格的情况是下列两种，而且也只有两种.
①遥控车先到第 格，又掷出偶数，其概率为
②遥控车先到第 格，又掷出奇数，其概率为 所以 ，即可证得 是
等比数列，
利用累加法求出数列 的通项公式，即可求得失败和获胜的概率，从而计算出期望.
【详解】
解：（1）
故 从而
所以所求线性回归方程为 ，令 ，解得 .
故预计到2022年该公司的网购人数能超过300万人
（2）遥控车开始在第0格为必然事件， ，第一次掷骰子出现奇数，遥控车移到第一格，其概率为
,即 .遥控车移到第 （ ）格的情况是下列两种，而且也只有两种.
①遥控车先到第 格，又掷出奇数，其概率为
②遥控车先到第 格，又掷出偶数，其概率为 所以 ，
当 时，数列 是公比为 的等比数列
以上各式相加，得
（ ）， 获胜的概率失败的概率 设参与游戏一次的顾客获得优惠券金额为 元， 或
X的期望
参与游戏一次的顾客获得优惠券金额的期望值为 ，约400元.
2.（江苏省苏州市2022-2023学年高三下学期2月学业质量调研数学试题）设数轴上有一只兔子，从坐标
开始，每秒以 的概率向正方向跳一个单位，以 的概率向反方向跳一个单位，记兔子
第n秒时的位置为 ．
(1)证明： ；
(2)记 是表达式 的最大值，证明： ．
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【分析】(1)若n次跳动中一共向右跳了k次，则 ．得到
，若n次跳动中一共向左跳了k次，则 ．得到
，再利用 ，讨论
或 即可得证；
(2)先计算 ，再利用 ，
， 进行放缩可以得证.
【详解】（1）若n次跳动中一共向右跳了k次，则 ．
因此 ， ，1，2，…，n．
若n次跳动中一共向左跳了k次，则 ．
故 ， ，1，2，…，n．
于是 ，
当 时， ；
当 时， ．
故 ，
即 ．（2）
因此 ．
【点睛】关键点点睛：
第一问中借助 ，
从而讨论 或 即可得证；
第二问中借助 ， ， 多次放缩才得证.
3.（江西省景德镇一中2021-2022学年考数学试题）某校为了解该校学生“停课不停学”的网络学习效率，
随机抽查了高一年级100位学生的某次数学成绩（单位：分），得到如下所示的频率分布直方图：
(1)估计这100位学生的数学成绩的平均值 ；（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）
(2)根据整个年级的数学成绩可以认为学生的数学成绩 近似地服从正态分布 ，经计算，（1）
中样本的标准差s的近似值为10，用样本平均数 作为 的近似值，用样本标准差s作为 的估计值，现
任抽取一位学生，求他的数学成绩恰在64分到94分之间的概率；（若随机变量 ，则
， ， )
(3)该年级1班的数学老师为了能每天督促学生的网络学习，提高学生每天的作业质量及学习数学的积极性，
特意在微信上设计了一个每日作业小程序，每当学生提交的作业获得优秀时，就有机会参与一次小程序中”
玩游戏，得奖励积分”的活动，开学后可根据获得积分的多少向老师领取相应的小奖品.小程序页面上有一
列方格，共15格，刚开始有只小兔子在第1格，每点一下游戏的开始按钮，小兔子就沿着方格跳一下，每
次跳1格或跳2格，概率均为 ，依次点击游戏的开始按钮，直到小兔子跳到第14格（奖励0分）或第
15格（奖励5分）时，游戏结束，每天的积分自动累加，设小兔子跳到第 格的概率为 ，试
证明 是等比数列，并求 （获胜的概率）的值.【答案】(1) (2) (3)证明见解析，
【分析】（1）根据频率分布直方图直接结算即可；
（2）由 可知 ，根据参考数据，即可得出 的概率；
（3）根据分类加法计数原理可知 ，构造等比数列可得 ，利用累加法求出
，即可求解.
（1）
（2）由 ，所以 ，
.
（3）小兔子开始在第1格，为必然事件， ，
点一下开始按钮，小兔子跳1格即移到第2格的概率为 ，即 ，
小兔子移到第 格的情况是下列两种，而且也只有两种情况.
①小兔子先跳到第 格，又点一下开始按钮跳了2格，其概率为 ；
②小兔了先跳到第 格，乂点一下开始按钮跳了1格，其概率为 ；
因为 ，所以 .
所以当 时，
数列 是以 为首项，以 为公比的等比数列，
所以 ，
.所以获胜的概率 .
题型十三：求导型分布列
1.（22-23高三全国·单元测试）冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征（
）和严重急性呼吸综合征（ ）等较严重疾病.而今年出现在湖北武汉的新型冠状病毒（
）是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株.人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状、发热、咳
嗽、气促和呼吸困难等.在较严重病例中，感染可导致肺炎、严重急性呼吸综合征、肾衰竭，甚至死亡.某
医院为筛查冠状病毒，需要检验血液是否为阳性，现有n（ ）份血液样本，有以下两种检验方式：
方式一：逐份检验，则需要检验n次.方式二：混合检验，将其中k（ 且 ）份血液样本分别取样
混合在一起检验.若检验结果为阴性，这k份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了，
如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k份再逐份检验，此时这k份血
液的检验次数总共为 .假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，
且每份样本是阳性结果的概率为p（ ）.现取其中k（ 且 ）份血液样本，记采用逐份检验
方式，样本需要检验的总次数为 ，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为 .（1）若 ，试求p关于k的函数关系式 ；
（2）若p与干扰素计量 相关，其中 （ ）是不同的正实数，满足 且 （
）都有 成立.
（i）求证：数列 等比数列；
（ii）当 时，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数的
期望值更少，求k的最大值
【答案】（1） ，（ ，且 ）；（2）（i）证明见解析；（ii）4.
【分析】（1）由已知， ， ； 的所有可能取值为1， ， ，根据
解得 即可得解；
（2）（i）由已知可得 ， ，得 ，可猜想 ，再用数学归纳法证明，再根据等比数
列的定义可证结论；
（ii）求出 ，根据 得到 ，再构造函数 （ ），利用导数可求得结
果.
【详解】（1）由已知， ， ，得 ，
的所有可能取值为1， ，
∴ ， .
∴ .
若 ，则 ，
所以 ，∴ ，
∴ .
∴p关于k的函数关系式为 ，（ ，且 ）.
（2）（i）∵证明：当 时， ，∴ ，所以 ，
令 ，则 ，
∵ ，∴下面证明对任意的正整数n， .
①当 ，2时，显然成立；
②假设对任意的 时， ，下面证明 时， ；由题意，得 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
所以 .
∴ 或 （负值舍去）.
∴ 成立.
∴由①②可知，对任意的正整数n， ，
所以 ，所以 为等比数列.
（ii）解：由（i）知， ， ，
∴ ，得 ，∴ .
设 （ ）， ，
∴当 时， ，则 在 上单调递减；
又 ， ，所以 ，
， ，所以 ，
， ，∴ ；
， .∴ .
∴k的最大值为4.
2.（2023·江西宜春·模拟预测）超级细菌是一种耐药性细菌，产生超级细菌的主要原因是用于抵抗细菌侵蚀
的药物越来越多，但是由于滥用抗生素的现象不断的发生，很多致病菌也对相应的抗生素产生了耐药性，
更可怕的是，抗生素药物对它起不到什么作用，病人会因为感染而引起可怕的炎症，高烧，痉挛，昏迷甚
至死亡.某药物研究所为筛查某种超级细菌，需要检验血液是否为阳性，现有n（ ）份血液样本，每
个样本取到的可能性相等，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验n次；（2）混合检验，将
其中k（ 且 ）份血液样本分别取样混合在一起检验，若检验结果为阴性，则这份的血液全为阴
性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k份血液再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为 次.假设在接受检验的血液样
本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p（ ）.现
取其中k（ 且 ）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为 ，采用混合检
验方式，样本需要检验的总次数为 .
（1）运用概率统计的知识，若 ，试求P关于k的函数关系式 ；
（2）若P与抗生素计量 相关，其中 ， ，…， （ ）是不同的正实数，满足 ，对任意的
（ ），都有 .
（i）证明： 为等比数列；
（ii）当 时，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数期望值比逐份检验的总次数期望
值更少，求k的最大值.
参考数据： ， ， ， ， ，
， ， ，
【答案】（1） （ 且 ）；（2）（i）证明见解析；（ii）8.
【分析】（1）根据检验方式可知， 的取值只为 ，易求得 ，而 的可能取值为 ，再分别
求出对应概率即可得到 ，列出等式即可解出 ；
（2）（i）先根据关系式赋值， ，归纳猜出 ，再根据数学归纳法证明即可；
（ii）依题可知， ，解不等式 ，
，构造函数 （ ），由其单调性即可求出 的最大值．
【详解】（1）当进行逐份检验时， ；
当进行混合检验时， ，
则
∵ ，∴
则 ，即 （ 且 ）.
（2）（i）当 时，有
则猜想：
下面用数学归纳法进行证明：
①当 时， 满足
②假设当 时，
则当 时，设 （ 且 ），则
∴
∴
∴
整理可得：
∴ 或 （舍去）
由①②可得： 对一切 都成立.
即 为等比数列.
（ii）依题可知：
由（1）可知：
∴
令 （ ），则
所以 在 上单调递增，在 上单调递减
∵ ，
则k的最大值为8.
3.．（22-23高三上·河南·阶段练习）超级细菌是一种耐药性细菌，产生超级细菌的主要原因是用于抵抗细
菌侵蚀的药物越来越多，但是由于滥用抗生素的现象不断的发生，很多致病菌也对相应的抗生素产生了耐
药性，更可怕的是，抗生素药物对它起不到什么作用，病人会因为感染而引起可怕的炎症，高烧，痉挛，
昏迷，甚至死亡.
某药物研究所为筛查某种超级细菌，需要检验血液是否为阳性，现有 份血液样本，每个样本取到
的可能性相等，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验 次；（2）混合检验，将其中 （
且 ）份血液样本分别取样混合在一起检验，若检验结果为阴性，则这 份的血液全为阴性，因
而这 份血液样本只要检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性，
就要对这k份再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为 次.假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为
现取其中 （ 且 ）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为 ，采用混合
检验方式，样本需要检验的总次数为
（1）运用概率统计的知识，若 ，试求关于 的函数关系式 ；
（2）若 与抗生素计量 相关，其中 是不同的正实数，满足 ，对任意的
，都有
（i）证明： 为等比数列；
（ii）当 时，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期
望值更少，求 的最大值.
参考数据： ， ， ， ， ，
【答案】（1） ，（ ，且 ）；（2）（i）见解析，（ii）4
【分析】（1）易知若取 份血液样本则 ； 的所有可能取值为1， ，根据概率公式可表示
出 .结合 ，化简即可关于 的函数关系式 ；
（2）（i）根据当 时 成立，则由数学归纳法即可证明 为等比数列.（ii）根据
（i）可得 ， ，化简可得 ，构造函数 ，求得导
函数 ，可通过 的符号判断函数单调性，结合参考数据，即可求得 的最大值.
【详解】（1）由已知得 ； 的所有可能取值为1， ，
，
.
.
若 ，
则 ， ，
，
.
关于k的函数关系式为 ，（ ，且 ）.
（2）（i）证明：当 时， ，，令 ，则 ，
， 下面证明对任意的正整数n， .
①当 ，2时，显然成立；
②假设对任意的 时， ，下面证明 时， ：
由题意，得 ， ，
， ，
，
.
或 （负值舍去）.
成立.
由①②可知， 为等比数列， .
（ii）由（i）知， ， ，
，得 ，
.
设 ， ，
当 时， ，即 在 上单调减.
又 ， ，
； ， ，
.
的最大值为4.
题型十四：分布列第19题压轴型题
1.（23-24高三上·四川成都·开学考试）在三维空间中，立方体的坐标可用三维坐标 表示，其中
．而在n维空间中 ，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为n维坐标 ，其中 ．现有如下定义：在n维空间中两点间的曼哈
顿距离为两点 与 坐标差的绝对值之和，即为
．回答下列问题：
(1)求出n维“立方体”的顶点数；
(2)在n维“立方体”中任取两个不同顶点，记随机变量X为所取两点间的曼哈顿距离
①求出X的分布列与期望；
②证明：在n足够大时，随机变量X的方差小于 ．
（已知对于正态分布 ，P随X变化关系可表示为 ）
【答案】(1)
(2)①分布列见解析， ；②证明见解析
【分析】（1）根据乘法原理，即可确定顶点个数；（2）①首先确定 ，再结合组合数公式求
概率，即可求解分布列和数学期望；②由①可知，n足够大时， ，可得正态分布 ，
正态分布曲线为 ，并设题中分布列所形成的曲线为 ，则当 与 均在 处取最大值，
说明当 时，
且 ，则可认为方差 ．
【详解】（1）对于n维坐标 有 两种选择（ ）．
故共有 种选择，即 个顶点
（2）①对于 的随机变量，在坐标 与 中有k个坐标值不同，
即 ，剩下 个坐标值满足 ．
此时所对应情况数为 种．
即
故分布列为：
0 1 2 …
…
数学期望
倒序相加得
即 ．
②当n足够大时， ．设正态分布 ，正态分布曲线为 ，
由定义知该正态分布期望为 ，方差为 ．
设题中分布列所形成的曲线为 ．
则当 与 均在 处取最大值，若当 时，
且 ，则可认为方差 ．
I． ：当 时，有
即 ．
II．
当n足够大时，有
当 时，
当 时，
故 ．
综上所述，可以认为 ．
2.（22-23高三·福建福州·模拟）某疫苗生产单位通过验血的方式检验某种疫苗产生抗体情况，现有
份血液样本（数量足够大），有以下两种检验方式：
方式一：逐份检验，需要检验n次；
方式二：混合检验，将其中k（ 且 ）份血液样本混合检验，若混合血样无抗体，说明这k份血
液样本全无抗体，只需检验1次；若混合血样有抗体，为了明确具体哪份血液样本有抗体，需要对每份血
液样本再分别化验一次，检验总次数为 次．
假设每份样本的检验结果相互独立，每份样本有抗体的概率均为 ．
(1)现有7份不同的血液样本，其中只有3份血液样本有抗体，采用逐份检验方式，求恰好经过4次检验就
能把有抗体的血液样本全部检验出来的概率；
(2)现取其中k（ 且 ）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为 ；采用混
合检验方式，样本需要检验的总次数为 ．
①若 ，求P关于k的函数关系式 ；
②已知 ，以检验总次数的期望为依据，讨论采用何种检验方式更好？
参考数据： ．【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）分为两种情况，一种是前三次检验中，其中两次检验出抗体，第四次检验出抗体，二是前
四次均无抗体，再结合概率公式即可求解；
（2）①由已知得 ， 的所有可能取值为1， ，求出相应的概率，再由 可求得
P关于k的函数关系式 ；②由 得 （ 且 ），构造函数
，利用导数求解其单调区间，讨论可得结果.
【详解】（1）设恰好经过4次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来为事件 ，
事件 分为两种情况，一种是前三次检验中，其中两次检验出抗体，第四次检验出抗体，二是前四次均无
抗体，
所以 ，
所以恰好经过4次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来的概率为 ，
（2）①由已知得 ， 的所有可能取值为1， ，
所以 ， ，
所以 ，
若 ，则 ，
所以 ， ，
所以 ，得 ，
所以P关于k的函数关系式 （ 且 ）
②由①知 ， ，
若 ，则 ，所以 ，得 ，
所以 （ 且 ）
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
因为 ， ，
，
所以不等式 的解是 且 ，
所以 且 时， ，采用方案二混合检验方式好，且 时， ，采用方案一逐份检验方式好，
3.（2024·黑龙江·二模）一座小桥自左向右全长100米，桥头到桥尾对应数轴上的坐标为0至100，桥上有
若干士兵，一阵爆炸声后士兵们发生混乱，每个士兵爬起来后都有一个初始方向（向左或向右），所有士
兵的速度都为1米每秒，中途不会主动改变方向，但小桥十分狭窄，只能容纳1人通过，假如两个士兵面
对面相遇，他们无法绕过对方，此时士兵则分别转身后继续前进（不计转身时间）.
(1)在坐标为10，40，80处各有一个士兵，计算初始方向不同的所有情况中，3个士兵全部离开桥面的最长
时间（提示：两个士兵面对面相遇并转身等价于两个士兵互相穿过且编号互换）；
(2)在坐标为10、20、30、……、90处各有一个士兵，初始方向向右的概率为 ，设最后一个士兵离开独木
桥的时间为 秒，求 的分布列和期望；
(3)若初始状态共 个士兵 ，初始方向向右的概率为 ，计算自左向右的第 个士兵（命名为指
挥官）从他的初始方向离开小桥的概率 ，以及当 取得最大值时 取值．
【答案】(1)90秒
(2)分布列见解析；期望 秒
(3) ，当 取得最大值时 的取值为1
【分析】（1）先优化假设，将士兵相遇时的转身改为互相穿过，然后计算单个士兵可能走的最远路程，
再求得时间；
（2）列出T的所有可能取值并计算概率，然后列出分布列，根据期望公式计算；
（3）先优化假设，假设指挥官以外的士兵之间不会碰撞，并且初始背对指挥官的士兵一开始就直接消失，
而初始面对指挥官的士兵在与指挥官相撞后也会消失；然后将问题转化为二项分布相关的问题，求出概率
；再研究 的单调性即可得出 最大时 的取值.
【详解】（1）由于两个士兵面对面相遇并转身等价于两个士兵互相穿过且编号互换，所以在最长时间下，
坐标为10处的士兵必须向右，最长时间为 秒，
所以3个士兵全部离开桥面的最长时间为90秒.
（2）T的可能取值为50，60，70，80，90，
，
所以T的分布列
T 50 60 70 80 90
P
期望 秒
（3）本小问的解答将分为4步进行. 第1步我们将把问题优化假设为以下情况：初始背对指挥官的士兵在
一开始就消失，而初始面对指挥官的士兵在和指挥官相撞时也会消失；第2步我们将说明，在此种假设下，
指挥官从初始面对的方向离开的充要条件是，初始状态下他前方的士兵中面对他的士兵数量 ，不超过初
始状态下他后方的士兵中面对他的士兵数量 ；第3步我们利用 服从二项分布，求出；第4步我们说明 是递减数列，从而当 取到最大值时， .
第1步：
根据题意，我们知道指挥官左边有 个士兵，右边有 个士兵.
由于两个士兵面对面相遇并转身等价于两个士兵互相穿过且编号互换，但我们只需要研究指挥官离开桥面
的方式，无需考虑其它士兵的编号，所以我们不妨设除指挥官外的士兵两两之间不会碰撞，而是相遇后互
相穿过对方. 不过，我们依然要考虑指挥官和士兵之间的碰撞.
在作出了除指挥官外的士兵两两之间不会碰撞的假设下，我们又有以下结论：
①在指挥官左（右）边的，初始方向朝左（右）的士兵（也就是初始时背对指挥官的士兵）永远不会和指
挥官相撞，因为这样的士兵和指挥官都在桥上时，他们之间的距离永远不会减少；
②士兵一旦和指挥官相撞一次，就不会再次相撞，因为和指挥官相撞后的士兵将进入背对指挥官的状态，
如①中所述，他们不可能再次相撞.
从而，我们还可以不妨假设：
①在指挥官左（右）边的，初始方向朝左（右）的士兵（也就是初始时背对指挥官的士兵）在开始的一瞬
间就消失；
②而剩下的那些士兵（也就是初始面对指挥官的士兵）一旦和指挥官相撞，就会在相撞的瞬间消失（从而
他们消失之前，始终面对指挥官）.
第2步：
设 表示指挥官初始面向的那些士兵中，一开始面向指挥官的士兵数量； 表示指挥官初始背对的那些士
兵中，一开始面向指挥官的士兵数量.
根据之前的假设，一开始背对指挥官的士兵会直接消失，因此初始状态下，指挥官前方有 个士兵，且都
面朝指挥官；指挥官后方有 个士兵，且也都面朝指挥官.
然后，我们考虑指挥官开始移动后发生的事情.
指挥官会先和他前面的一个士兵碰撞，然后转向，和他相撞的士兵随即消失，此时指挥官初始朝向和初始
背向的士兵数量分别是 和 .
然后指挥官又会先和他前面（也就是初始背对）的一个士兵发生碰撞，然后转向，和他相撞的士兵随即消
失，此时指挥官初始朝向和初始背向的士兵数量分别是 和 ；
以此类推……直至某一刻，指挥官行进的方向上没有士兵，这时指挥官会从行进的方向离开桥.
这表明，为判断指挥官最终离开桥的方向，我们只需要轮流给 和 减1，直至这两个数中的某一个数达
到0，在试图减1时无法再减少. 若 最终无法再减少，则指挥官会从初始面向的方向离开桥；若 最终
无法再减少，则指挥官会从初始面向的方向离开桥.
所以，指挥官从他的初始方向离开桥，当且仅当 .
第3步：
由于每个士兵的初始方向是独立的，且一开始面朝指挥官和背对指挥官各自的概率都是 ，所以一方面我
们知道 和 独立，且都服从二项分布 ；另一方面我们知道除指挥官外的一切士兵中，初始面对
指挥官的士兵数量 同样服从二项分布 .
故
..
至此，我们得到了 .
第4步：
最后我们考虑什么时候 取到最大.
由于 ，故 ，这
表明 .
所以 是递减数列，从而当 取到最大值时， .
